瑪哈提·胡斯曼

（新疆師范大學數(shù)學科學學院，新疆烏魯木齊830054）

可測集的結(jié)構及其應用

瑪哈提·胡斯曼

（新疆師范大學數(shù)學科學學院，新疆烏魯木齊830054）

實變函數(shù)論是微積分的進步，其目的是想克服黎曼所建立微積分學存在的缺點，使得微積分的運算更對稱更完美?？蓽y集是實變函數(shù)中基本而重要的概念之一。內(nèi)外測度相等的有界點集E稱為勒貝格可測集（簡稱可測集）。文章討論可測集定義的等價性，性質(zhì)以及可測集與開集，閉集的關系，用開集、閉集，刻畫出開集可以從外部逼近，可測集、閉集可以從內(nèi)部逼近。

可測集；開集；閉集

實變函數(shù)論中心問題是建立勒貝格積分理論。數(shù)學分析中考慮函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上黎曼積分時，對區(qū)間進行分劃T并作積分和數(shù)，f（ξi）△xi即當分劃的細度｜｜T｜｜→0時，積分和數(shù)的極限存在且與分化的方法及介點ξi的取法無關，就必須要求函數(shù)f在這些小區(qū)間上的函數(shù)值變動不大。這表明黎曼可積函數(shù)類太窄，加之黎曼積分存在缺陷。

若交換積分與極限運算的條件太苛刻，可積函數(shù)類的充要條件沒有解決，從而求原函數(shù)的問題得不到徹底解決。近代物理與概率論的發(fā)展要求改造黎曼積分，引進應用更靈活的新積分?？紤]不是分劃函數(shù)f（x）的定義域，而且對函數(shù)的值域R（f）=f（［a，b］）做某種分劃［2］，這樣便能保證函數(shù)在每個［yi-1，yi］上值的變化不大，記作Εi=［x：x∈［a，b］，yi-1≤f（x）＜yi］則Εi不一定是區(qū)間。則需要通過對Εi進行某種度量，即必須推廣區(qū)間長度概念，對一般的點集建立一種合理的度量，即推廣長度概念，又必須保留長度概念的基本性質(zhì)，這就是集合的測度。

1 零測度集（簡稱零集）

零測度集的概念與黎曼積分的局限性有關。定義在［a，b］上的非負函數(shù)f（x），如果可積，則其積分值應為曲線y=f（x）的下方圖形的面積。對于狄利克雷函數(shù)D（x）是勒貝格積分下可積函數(shù)，該面積可理解為一有理數(shù)集為底，高為1的“矩形”的面積，此值就應為［0，1］∩Q的“長度”。在黎曼積分中這種非區(qū)間數(shù)集的“長度”是沒有意義.再說我們把區(qū)間長度的概念推廣到一般的集合。設I=［a，b］為區(qū)間，定義I的長度為m（I）=b-a，對單點集a{}有m（a）=m（［a，a］）=0，故單點集的度量（測度）為零或零測度集由于有限點集是有限個單點集之并集，即任何有限點集也是零測度集。

一般地，如果能把一個集合分解為有限個互不相交的區(qū)間之并，則該集合的長度應該等于這幾個區(qū)間的長度之和，如果不能把給定的集合分解為一些區(qū)間之并集時，考慮覆蓋該集合的區(qū)間系。我們考慮由可數(shù)個區(qū)間構成的覆蓋，從這點出發(fā)可給出如下“零測度集”定義。

2 有界集的測度

開集與閉集的測度：利用區(qū)間的長度以及開集的構造定理引進開集的測度概念。

定義2 設G是非空開集G=∪i（αi，βi），（αi，βi）為G的構成區(qū)間，

設F為非空有界閉集，令α=inf｛x：x∈F｝，β=sup｛x：x∈F｝，

因此G0=［α，β］-F，G=（a，b）-F是開集，從而有b-a-m（G）=β-α-m（G0）

這表明b-a-m（G）只與F有關，而與區(qū)間（a，b）的選擇無關。

定義3 設F為非空有界閉集，任取包含F(xiàn)的開區(qū)間（a，b），令G=（a，b）-F，則G為開集，定義b-a -m（G）為閉集F的測度。

性質(zhì)1 設F為有界閉集，G是有界開集且F?G，則m（G-F）=mG-mF［4］。

定義4 設Ε是有界集，定義m?Ε=inf｛mG：G?Ε，G是開集｝為外測度

m?Ε=sup｛mF：Ε?F，F(xiàn)是閉集｝為內(nèi)測度。

定義5 設E是有界集，如果m?Ε=m?Ε，則稱Ε是勒貝格可測集。

3 勒貝格外測度

零集的概念為我們建立一般集合的“長度”概念提供了思路。

設Ε為Rn中任意集合，為定義Ε的“長度”，使用從Ε的外部包圍Ε的方法。

用一列區(qū)間構成的區(qū)間系去覆蓋Ε，這一列區(qū)間的長度之和為該覆蓋的總長度。

由于ZΕ是以0為下界的非空集合，故它的下確界是存在的。對Rn中的任何集Ε，都有外測度，對有些集Ε，級數(shù)m（In）可能對任何覆蓋都發(fā)散，因此m?Ε可以為∞。

當m?Ε＜＋∞時，對?ε＞0，必存在一列開區(qū)間｛In｝，滿足In?Ε且In｜＜m?Ε＋ε。

勒貝格外測度除具有單調(diào)性以外還有次可加性和平移不變性。

勒貝格建立的外測度是定義在Rn的一切子集構成的集合類P（R）上的集函數(shù)，它是區(qū)間長度概念推廣的，盡管它有許多好性質(zhì)并具有次可加性，即集合的外測度一般不滿足可列可加性，這表明外測度m?（·）不能作為長度概念在P（R）上的延伸。希望去掉P（R）中分出一個子集族，使m?（·）在其上具有可列可加性，這子集族包含足夠廣泛的集合。

4 勒貝格可測集與勒貝格測度

在外測度的基礎上，在Rn中誘導出集族Ω，使在其上m?（·）除滿足外測度的性質(zhì)外還是可列可加性的。在概率論中，用Α∩Ε，Α∩Εc的概率之和表示事件Α的概率，而對集合Α，Ε來說m?Α=m?（Α∩Ε）＋m?（Α∩Εc）不一定成立，如果Ε是勒貝格可測集必有等號成立，反之亦然，即可測集的充要條件是等號成立［3］。

定義7 設Ε?Rn，如果對任一集T?Rn，有m?T=m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc），則稱Ε為勒貝格可測集，即m?Ε=mΕ為集合Ε的勒貝格測度。

5 主要結(jié)果

定理1 若Ε?Rn有界可測集滿足m?Ε=m?Ε，則對?Α?I有m?A=m?（Α∩Ε）＋m?（Α∩Εc）。

證明 由Α=（Α∩Ε）∪（Α∩Εc）得，m?Α≤m?（Α∩Ε）＋m?（Α∩Εc）（1）

反之，由于m?Α=inf｛mG｜Α?G，G為開集｝。故由下確界定義，有開集G，Α?G?I，使得mG＜m?Α＋ε。而G可測集，所以Gc也可測集。

由于Ε∩G?G，Εc∩G?Gc，故

有內(nèi)測度定義知｜I｜=m?Ε＋m?（I-Ε），但是

故（1）和（2）知定理1證畢。

定理2 若mΕ＜∞，則定義5和定義7等價，即

（1）m?Ε=m?Ε

（2）對?T?Rn，m?T=m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc）

證明 先證（2）?（1）設對?T?Rn，m?T=m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc）

取T為開區(qū)間I且使Ε?I，有｜I｜=m?（I∩Ε）＋m?（I∩Εc）=m?Ε＋m?（I-Ε）

從而有m?Ε=｜I｜-m?（I-Ε）=m?Ε

再證（1）?（2）。因Ε是有界集，可取開區(qū)間I?Ε，則Ε∩Ic=?

而由定理1，且T∩I?I可得m?（T∩I）=m?（T∩I∩Ε）＋m?（T∩I∩Εc）

故，由I的可測性，將上述二式相加，得m?T=m?（T∩I）＋m?（T∩Ic）≥m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc）

另外，對任意集T，有m?T≤m?（T∩Ε）＋m?（T∩Εc），即Ε為可測集

6 可測集的結(jié)構

勒貝格可測集的結(jié)構雖不像波雷爾集那樣形象和容易把握，但通過以下的逼近定理可予以刻劃。

定理3［4］（逼近定理）設Ε?Rn有界集，則

（1）設Ε可測?對?ε＞0，存在開集G與閉集F，使得F?Ε?G，且m（G-Ε）＜ε，m（Ε-F）＜ε。

（2）Ε可測?對?ε＞0，存在Gδ型集G與Fσ型集F，使得F?Ε?G且m（G-F）=0。

定理4［2］設Ε?Rn可測的充要條件是：對?ε＞0，存在開集Ε?G1，Εc?G2，使得m（G1∩G2）＜ε。

這個逼近定理表明，可測集可以用包含它的開集或含于其內(nèi)的閉集去任意逼近，而且任何勒貝格可測集與Gδ型或Fσ型集合相比，僅僅相差一個零測度集。即用全體Gδ型集或Fσ型集合全體零測度集，可以構造勒貝格可測集。

全體勒貝格可測集的集合L（R）是R的冪集P（R）的真子集，這表明一定存在勒貝格不可測集。

［1］程其襄，等.實變函數(shù)與泛函分析基礎［M］.北京：高等教育出版社，2010：56-69.

［2］周民強.實變函數(shù)論［M］.北京：北京大學出版社.

［3］趙靜輝.實變函數(shù)簡明教程［M］.華中理工大學出版社，1996：56-60，72-83.

［4］江澤堅，等.實變函數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1994：62-76.

［5］趙榮俠，等.測度與積分［M］.西安電子科技大學出版社，2002：31-48.

［6］吳炯新，周戈.實變與泛涵—基本原理與思想方法［M］.廈門：廈門大學出版社，2004.

［7］吳通新，吳卓人，等.實變函數(shù)與泛函分析（上）［M］.北京：人民教育出版社，1987.

Discuss the Measurable Set Shallowly the Structure

Mahat·HUSUMAN
（School of Mathematial Scinces，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

The theory of variable function is the department of infinitesimal calculus，.which makes operation more perfect symmetry of infinitesimal calculus.The purpose of the theory is to overcome the faults of infinitesimal calculus that Riemann established.The measurable set is one of basic and important concepts of variable function. The bounded point set E known as the Lebesgue measurable set（i.e.measurable set）.The present paper discusses the equivalency and the nature of the definition of measurable set.On the other hand，the relationship of the open set and the closed set is also discussed，further more，the paper portrays that open set approach the measurable set from exterior，the closed set may approach the measurable set from the interior.

Measurable set；Open set；Closed set

O174

A

1008?9659（2015）03?052?04

2015-04-29

瑪哈提·胡斯曼（1959-），男，新疆阿勒泰人，副教授，主要從事函數(shù)論方向的研究。