蔣 鑫，庹先國(guó)，，柳炳琦，李懷良

（1．成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610059；2．西南科技大學(xué)核廢物與環(huán)境安全國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，綿陽621010）

西藏甲瑪銅多金屬礦床儲(chǔ)量的協(xié)同克立格估值

蔣 鑫1，庹先國(guó)1，2，柳炳琦1，李懷良2

（1．成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610059；2．西南科技大學(xué)核廢物與環(huán)境安全國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，綿陽621010）

西藏甲瑪銅多金屬礦礦區(qū)元素分布復(fù)雜，傳統(tǒng)的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行儲(chǔ)量估算時(shí)忽略了多金屬的相互影響，因此為了反映出不同金屬元素的空間變異情況，采用協(xié)同克里格法對(duì)該礦區(qū)的金屬元素儲(chǔ)量進(jìn)行估算。這里首先介紹了協(xié)同克里格算法的相關(guān)理論和相關(guān)技術(shù)，然后以此為基礎(chǔ)，對(duì)不同方向上的空間變差函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)套合的優(yōu)化，并對(duì)協(xié)同克里格方程組進(jìn)行降維處理。最后以2012年甲瑪?shù)V區(qū)勘探工程的數(shù)據(jù)為例，以Cu為主區(qū)域化變量，以Ag為協(xié)同區(qū)域化變量，計(jì)算了各自的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)和交差實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)，分別進(jìn)行協(xié)同克里格法插值和普通克里格法插值。交叉驗(yàn)證結(jié)果表明，協(xié)同克里格估值的標(biāo)準(zhǔn)差為0．6477，在儲(chǔ)量計(jì)算上面精度更高，并能廣泛應(yīng)用于西藏甲瑪銅多金屬礦的地質(zhì)屬性、儲(chǔ)量估算等空間數(shù)據(jù)建模。

儲(chǔ)量估算；協(xié)同克里格；空間變異；結(jié)構(gòu)套合

0 引言

西藏墨竹工卡縣甲瑪夕卡巖－角巖型銅多金屬礦床是目前我國(guó)同類礦床礦石品質(zhì)最好、成礦元素多，探明的資源量已經(jīng)達(dá)到超大型規(guī)模的礦床［1］。目前對(duì)于該地區(qū)的儲(chǔ)量估算已經(jīng)采用的是傳統(tǒng)斷面法［4］、SD法［2］和地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法［3］，其中地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法不但能給出結(jié)果的估算精度而且是無偏且估計(jì)方差最優(yōu)的，這些優(yōu)勢(shì)恰好是傳統(tǒng)方法所缺少

的［5］。

西藏甲瑪銅多金屬礦的區(qū)域內(nèi)地層比較復(fù)雜，地層曲面變化比較大，甚至可能存在地層曲面相交和錯(cuò)斷的情況，并且多種金屬之間會(huì)出現(xiàn)協(xié)同區(qū)域化［11－14］的現(xiàn)象，即多種金屬的儲(chǔ)量分布會(huì)相互影響。在這樣一種情況下，就需要我們解決如何尋找一種合適的方法消除多金屬相關(guān)關(guān)系的影響。這里采用協(xié)同克里格法對(duì)該礦區(qū)的空間變異進(jìn)行分析，并且對(duì)礦區(qū)的銅元素儲(chǔ)量估算進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果發(fā)現(xiàn)，協(xié)同克里格法的估算結(jié)果更符合實(shí)際情況，對(duì)深化礦業(yè)和石油行業(yè)開發(fā)地質(zhì)隨機(jī)建模理論和有效開采剩余礦產(chǎn)石油資源，具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。

1 協(xié)同克里格算法原理

在西藏甲瑪銅多金屬礦的觀測(cè)數(shù)據(jù)中，常遇到多個(gè)變量協(xié)同區(qū)域化的現(xiàn)象，如銀、銅、鉛、鋅等幾個(gè)變量的協(xié)同區(qū)域化，當(dāng)某一個(gè)變量的取樣量不足以獲得所需精度的估計(jì)量，而其他變量卻有較充足的取樣量時(shí)，研究這個(gè)變量與其他變量間的空間相關(guān)關(guān)系，借助其他變量的樣品信息用協(xié)同克里格法就可以提高對(duì)這個(gè)變量的估計(jì)精度。設(shè)有K個(gè)二階平穩(wěn)的變量構(gòu)成協(xié)同區(qū)域化變量｛Zk（x），k＝1，2，…，K｝，其數(shù)學(xué)期望為：

設(shè)k0為k＝1、2、…、K中某一特定值，即設(shè)Zk0（x）為我們要估計(jì)的主變量，設(shè)要估計(jì)的是中心點(diǎn)在x0處的承載Vk0（x0）上Zk0（x）的平均值：

有效數(shù)據(jù)集是｛Zak，ak＝1，2，…，nk｝，k＝1、2、…、K，而Zak是確定在承載Vak上的平均值，即：

要得到待估樣本點(diǎn)的無偏最優(yōu)估計(jì)值，必須滿足最小方差無偏估計(jì)的要求：

為使估計(jì)方差達(dá)到最小，則要求權(quán)重系數(shù)要滿足協(xié)同克立格方程組，即：

其中：?ak＝1、2、…、nk；k＝1、2、…、K，這個(gè)方程組的未知數(shù)是個(gè)權(quán)系數(shù)λak及K個(gè)拉格朗日參數(shù)μk；共有＋K個(gè)未知數(shù)，同時(shí)也有＋K個(gè)線性方程構(gòu)成這個(gè)方程組。

2 協(xié)同克里格算法的改進(jìn)與實(shí)現(xiàn)

2．1 交叉變差函數(shù)的建立

如式（1）所示的二階平穩(wěn)的協(xié)同區(qū)域化變量，其互協(xié)方差函數(shù)即交叉變差函數(shù)的定義為：

對(duì)交叉變差函數(shù)和變差函數(shù)進(jìn)行離散計(jì)算時(shí)，需要用球狀模型擬合理論變差函數(shù)。球狀函數(shù)模型的一般公式為：

其中：C0為塊金效應(yīng)，它表示h很小時(shí)兩個(gè)樣品點(diǎn)之間品位的變化；a為變程，當(dāng)h＞a時(shí)，任意兩樣品點(diǎn)就不在具有相關(guān)性。以球狀函數(shù)為基礎(chǔ)，通過計(jì)算可以得出交叉變差函數(shù)的理論模型。

2．2 求解協(xié)同克里格方程組

將式（4）轉(zhuǎn)化成矩陣形式為：

普通克里格方程組只要在二階平穩(wěn)條件下，總是可以用協(xié)方差函數(shù)表示，又可以用變差函數(shù)表示。而協(xié)同克里格方程組不同，二階平穩(wěn)條件下，只有當(dāng)Ck′k（h）＝Ckk＇（h），從而λk′k（h）＝Ck′k（0）－Ck′k（h）成立時(shí)，才可用交叉協(xié)方差函數(shù)表示。

2．3 優(yōu)化協(xié)同克里格方程組

這里主要從兩個(gè)方面來優(yōu)化［6－10］協(xié)同克立格算法，①變差函數(shù)；②從求解協(xié)同克立格方程組。因?yàn)樵趯?shí)際問題中，各個(gè)方向的變差函數(shù)是不一樣的，就需要研究不同方向上的結(jié)構(gòu)套合問題，主要是通過計(jì)算不同方向的變差函數(shù)值后，再用球狀模型來擬合實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)，最后進(jìn)行結(jié)構(gòu)套合。改進(jìn)后變差函數(shù)流程圖如圖1所示。

在求解協(xié)同克立格方程組系數(shù)時(shí)，協(xié)同克立格方程組的維數(shù)與樣品數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)有直接關(guān)系，也就是說樣品數(shù)據(jù)越多，方程組維數(shù)越大。這就需要對(duì)協(xié)同克立格方程組進(jìn)行降維處理或者減少協(xié)同克立格方程組的數(shù)目，協(xié)同克立格方程組的矩陣形式為式（8）。

針對(duì)研究數(shù)據(jù)樣本，樣本數(shù)據(jù)構(gòu)形相同，協(xié)同克立格矩陣［K］相同，所以只需計(jì)算一次［K］－1，假設(shè)每次估值計(jì)算時(shí)，待估塊段大小相等，幾何特性相等，那么［M］（M表示協(xié)方差函數(shù)向量）相同。這時(shí)，就只需要求解一次協(xié)同克立格方程組，所得到的權(quán)重系數(shù)［λ］＝［K］－1［M］，就適合所有的待估塊，就能進(jìn)行比較快速的計(jì)算。權(quán)值校正的協(xié)同克里格算法流程如圖2所示。

圖1 變差函數(shù)流程圖Fig．1 Flow chart of variogram

圖2 協(xié)同克立格插值算法流程圖Fig．2 Flow chart of Cokriging

圖3 地表及鉆孔點(diǎn)三維模型圖Fig．3 3Dmodel diagram of surface and drill

3 應(yīng)用實(shí)例

作者以西藏自治區(qū)墨竹工卡縣甲碼銅多金屬礦床儲(chǔ)量估算為例。原始數(shù)據(jù)為截止2012年甲瑪?shù)V區(qū)勘探工程的數(shù)據(jù)。包括58個(gè)鉆孔，共計(jì)15 187件化學(xué)樣。每個(gè)鉆孔均有完整的測(cè)斜數(shù)據(jù)共568個(gè)。礦床地表模型及鉆孔點(diǎn)的三維模型如圖3所示。

3．1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

對(duì)礦床儲(chǔ)量的協(xié)同克里格法估值，首先需要對(duì)鉆孔數(shù)據(jù)進(jìn)行特異值處理與樣品組合處理，以Cu元素的計(jì)算進(jìn)行實(shí)例說明。首先根據(jù)Cu的品位數(shù)據(jù)，在正態(tài)概率紙上作累積頻率曲線圖（圖4）。

圖4表明Cu品位的累積頻率符合正態(tài)分布，并且存在少量異常偏大的離散點(diǎn)，我們才認(rèn)為它們是真正的特異值。對(duì)這種異常的特高品位點(diǎn)用上截品位代替，取第一個(gè)發(fā)生偏離的品位值為上截品位，將所有高于上截品位的品位數(shù)據(jù)全部用上截品位值代替。代替前、后的統(tǒng)計(jì)分析見表1。原始數(shù)據(jù)樣品長(zhǎng)度各不相同，需要進(jìn)行樣品組合，組合后的Cu元素特征值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表2。

圖4 Cu元素累積頻率曲線圖Fig．4 Cumulative frequency curves of Cu

表1 Cu元素特異值處理結(jié)果Tab．1 The results of specific values of Cu

3．2 協(xié)同克里格法估算儲(chǔ)量

3．2．1 變差函數(shù)及結(jié)構(gòu)分析

對(duì)組合樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分析結(jié)果如表3所示，組合樣品中Cu的品位數(shù)據(jù)與Ag的品位數(shù)據(jù)相關(guān)程度最大，所以以Ag元素作為輔助變量對(duì)Cu元素的品位進(jìn)行估值。

進(jìn)行協(xié)同克里格法插值的第一步是得到Cu品位和Ag品位的變差函數(shù)，以及兩者的交叉變差函數(shù)。把所有鉆孔點(diǎn)兩兩組合成點(diǎn)對(duì)，計(jì)算出其距離值，再以球狀模型擬合成理論實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)。Cu品位項(xiàng)和Ag品位項(xiàng)的三個(gè)變差函數(shù)軸的方向定位及其計(jì)算結(jié)果見表4。

表3 組合樣本統(tǒng)計(jì)分析表Tab．3 Combined sample analysis table

表4 Cu和Ag元素變差函數(shù)參數(shù)表Tab．4 Variogram Parameter of Cu and Ag

圖5 變差函數(shù)圖Fig．5 Diagram of variogram

兩種元素品位的變差函數(shù)圖見圖5。

從圖5可以看出，兩種元素在各個(gè)方向上的變差函數(shù)比較相似，因此所有變差函數(shù)都是各向同性的。對(duì)Cu品位項(xiàng)和Ag品位項(xiàng)的三個(gè)軸方向上的變差函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)套和，套和結(jié)果如下：

Cu品位的變差函數(shù)模型為：

Ag品位的變差函數(shù)模型為：

以這兩種品位為基礎(chǔ)計(jì)算它們的交叉變差函數(shù)，同樣交叉變差函數(shù)的變化趨勢(shì)滿足球狀模型，所以用球狀模型擬合計(jì)算出交叉變差函數(shù)的基臺(tái)值為0．58，拱高為0．42，變程為55m，其變差函數(shù)圖如圖6所示。

圖6 交叉變差函數(shù)圖Fig．6 Diagram of interactive variogram

3．2．2 算法模型驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)協(xié)同克里格插值的合理性，采用交叉驗(yàn)證方法對(duì)鉆孔點(diǎn)依次求解。其基本原理是從信息樣集合中臨時(shí)抽取一個(gè)點(diǎn)作為已知值，利用協(xié)同克里格插值模型去估算這個(gè)已知值，然后對(duì)計(jì)算結(jié)果和真實(shí)值的差值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。以Cu元素的品位估值情況進(jìn)行交叉驗(yàn)證為例，驗(yàn)證結(jié)果見圖7。

同理用普通克里格插值模型和已知樣品去估算已知值，與協(xié)同克里格模型相比結(jié)果見表5。

表5 協(xié)同克里格驗(yàn)證結(jié)果表Tab．5 Result of Cokriging

從圖7可以看出，Cu元素品位的殘差值大部分在3以內(nèi)，與實(shí)際鉆孔值相當(dāng)接近，表明模型確定合理，能用于下一步的儲(chǔ)量計(jì)算。與普通克里格模型相比發(fā)現(xiàn)，在3 570個(gè)組合樣品點(diǎn)上，協(xié)同克里格插值模型減少了估值的平均誤差，并且普通克里格插值模型的標(biāo)準(zhǔn)差總是高于協(xié)同克里格插值模型的標(biāo)準(zhǔn)差，這表明協(xié)同克里格模型在儲(chǔ)量計(jì)算上面精度更高。

3．2．3 儲(chǔ)量計(jì)算

針對(duì)三維塊段模型的儲(chǔ)量計(jì)算，運(yùn)用變差函數(shù)的特征確定單元塊段的尺寸參數(shù)（表6）。

圖7 交叉驗(yàn)證結(jié)果圖Fig．7 Result of interactive verification

表6 塊段估值參數(shù)表Tab．6 Valuation parameter block segment table

由表6可以看出，甲瑪?shù)V區(qū)總共劃分出153 600個(gè)單元塊段，對(duì)每個(gè)單元塊段的Cu品位進(jìn)行估值時(shí)，需要確定對(duì)于該估值點(diǎn)的搜索范圍。由于Cu品位的變差函數(shù)模型以及與輔助變量之間的交叉變差函數(shù)模型都呈球狀模型變化趨勢(shì)，而球狀模型的特點(diǎn)是變差函數(shù)值隨著距離變化到變程時(shí)，變差函數(shù)值就穩(wěn)定為基臺(tái)值，所以變程大小直接影響待估單元塊段的搜索區(qū)域。進(jìn)行協(xié)同克里格估值時(shí)，搜索范圍定義為具有一個(gè)長(zhǎng)軸和兩個(gè)短軸的三維橢球體，綜合Cu品位球狀模型參數(shù)和礦區(qū)鉆孔分布間隔的因素，搜索的三維橢球體設(shè)長(zhǎng)軸為200m，次軸為200m，短軸為30m，在整個(gè)橢球體內(nèi)部的單元塊段都要參與估值計(jì)算（圖8）。

通過計(jì)算，2012年西藏甲瑪?shù)V區(qū)的勘探區(qū)域共探獲銅金屬量為229×104T（只考慮銀元素為輔助變量）。

圖8 搜索范圍圖Fig．8 Diagram of search field

4 結(jié)語

對(duì)于西藏自治區(qū)墨竹工卡縣甲碼銅多金屬礦床儲(chǔ)量估算，當(dāng)用傳統(tǒng)普通克里格方法進(jìn)行插值計(jì)算時(shí)，沒有考慮不同金屬元素的相關(guān)關(guān)系，插值精度不高?；诖?，作者采用協(xié)同克里格法，并對(duì)協(xié)同克里格法進(jìn)行優(yōu)化，能快速地計(jì)算西藏甲碼銅多金屬礦的資源儲(chǔ)量。作者首先對(duì)鉆孔數(shù)據(jù)資料進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析和預(yù)處理，然后計(jì)算Cu元素和Ag元素的變差函數(shù)及其交叉變差函數(shù)以構(gòu)造協(xié)同克里格方程組，通過求解方程組得出權(quán)值系數(shù)。最后對(duì)甲瑪?shù)V區(qū)的Cu元素儲(chǔ)量進(jìn)行了估算，得到Cu金屬量為229× 104T。同時(shí)通過方差驗(yàn)證，與普通克里格法的驗(yàn)證結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，協(xié)同克里格法因?yàn)榉从沉瞬煌饘僭仄肺婚g的空間變異情況，可靠性更高，能為礦山開采設(shè)計(jì)提供科學(xué)、可靠的依據(jù)。

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Estimation of reserves based on Cokriging in Jiama polymetallic copper deposit，Tibet

JIANG Xin1，TUO Xian-guo1，2，LIU Bing－qi1，LI Huai-liang2
（1．State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China；2．Key Laboratory for Radioactive Waste and Environmental Security，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621010，China）

The distribution of mining area element is very complex in Jiama polymetallic copper deposit，Tibet．Traditional geostatistical method ignored the phenomenon of mutual influence more metal on the reserves estimation．In order to reflect different metal elements of space mutation，metal reserves of the mine area is estimated based on the cokriging method in this paper．The paper first introduces the relevant theory and technology of the Cokriging algorithm，then optimizes spatial variation function in different directions to structure of nested，and decreases the dimension of cokriging equations．Finally，by taking an example of the data of exploration engineering for Jiama mining area in 2012，with Cu as the main regionalized variables and with Ag as collaborative regionalized variables，this paper calculate the experimental variogram and the interactive experimental variogram，respectively，Cokriging interpolation and the ordinary kriging interpolation．Cross validation results point out that the standard deviation of Cokriging is 0．6477，and the Cokriging is higher in the calculation of reserves above precision．The Cokriging can be widely used in the geological properties，reserve estimation and spatial data modeling of Jiama polymetallic copper deposit，Tibet．

estimating reserves；Cokriging；spatial variation；structure of nested

P 632

A

10．3969／j．issn．1001-1749．2015．03．16

1001-1749（2015）03-0372-07

2014-07-01 改回日期：2014-08-13

國(guó)家自然科學(xué)基金重大科研儀器設(shè)備研制專項(xiàng)（41227802）；國(guó)家杰出青年基金（41025015）

蔣鑫（1991－），男，碩士，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用，現(xiàn)主要從事勘探設(shè)備軟件開發(fā)，E-mail：jiangxin＿cdut＠163．com。