田 強，徐 權

(1.北京師范大學 物理系，北京100875;2.大慶師范學院 機電工程學院，黑龍江 大慶163712)

0 引言

Bose 愛因斯坦凝聚是當今世界上眾多實驗小組所青睞的課題，這是因為bose 愛因斯坦凝聚提供了用物質(zhì)波研究非線性效果的唯一可能性。同時，也有力地支撐了非線性原子光學新領域的研究。在絕對零度時，GP 方程對bose 愛因斯坦凝聚的動力學行為的描述是精確的。對于均勻凝聚體的情況(外勢為零或為常數(shù))，GP 方程就是一標準的非線性薛定諤方程。由非線性光學，我們知道，這樣的波方程的一個重要特點，就是它具有物質(zhì)波孤子。作為非線性效應的一個重要方向孤子在bose 愛因斯坦凝聚的研究中具有重要地位。

在非線性光學中，由傳播介質(zhì)的非線性作用引起了對波包的自聚焦相應，平衡了色散和衍射造成波包擴散而形成光學孤子。在bose 愛因斯坦凝聚中，產(chǎn)生這種等價于自聚焦效應的非線性效應，來自于凝聚原子之間的兩體相互作用。當它抵消波包的擴散作用后就形成了物質(zhì)波孤子。但是，對于不同的性質(zhì)的原子之間相互作用會形成不同的物質(zhì)波孤子。當原子間相互作用為排斥時，GP 方程具有暗孤子;當原子間相互作用為吸引時，GP 方程具有亮孤子。圍繞bose 愛因斯坦凝聚(BEC)中孤子這一主題，人們做了大量的理論和實驗工作。

1 BEC 暗孤子的研究現(xiàn)狀

1999年，Burger S.和他的合作者，在87Rb 原子的bose 愛因斯坦凝聚中首次實現(xiàn)了暗孤子［1］。2000年Denschlog J.工作組利用Na 原子也實現(xiàn)了物質(zhì)波暗孤子［2］。這兩個實驗都是通過相位印記(phase imprinting)的方法來實現(xiàn)物質(zhì)波暗孤子。暗孤子的特征就是由相位決定的，因此，加入一個合適的初相位分布就成為了產(chǎn)生暗孤子的自然的方式。這種思路是在文獻［3］中提出的，在文獻［1－2］中實現(xiàn)的。

這種方法將一個短持續(xù)時間的激光脈沖加入到雪茄型凝聚體的一部分中，因為可以在不改變凝聚體密度的前提下，印記一個增加的相位。它最初是被建議用來在bose 愛因斯坦凝聚中產(chǎn)生渦旋。在這兩個實驗中他們發(fā)現(xiàn)，只有當凝聚體的密度包絡上凹痕處的凝聚體密度為零時，暗孤子才是靜止的，并且此時被這一凹痕分為兩個部分的bose 愛因斯坦凝聚的相位精確相差π。一般隨著凹痕的深度由大到零的變化會引起暗孤子的速度由靜止到接近聲速的相應變化。

暗孤子是凝聚體本身密度缺損的一種表現(xiàn)。它僅僅只能存在于凝聚體的內(nèi)部。在bose 愛因斯坦凝聚中，暗孤子的一個重要特征是它的速度小于Bogoliubov 聲速其中g=(4πh2as)/m，as代表原子間散射長度，n=| ψ0|2是凝聚體基態(tài)的粒子數(shù)密度。這樣，暗孤子的運動速度v 可以由相位差δ(0 ＜δ ≤π)或者暗孤子的深度來nd表示，有:

此處，暗孤子的深度nd指的是凝聚體基態(tài)的粒子數(shù)密度n 與暗孤子底部粒子數(shù)密度之間的差值。當δ=π 時，暗孤子的速度為零，而且其底部的粒子數(shù)密度也為零。即此時暗孤子的底部沒有粒子，暗孤子的深度nd=n。隨著相位差δ 的減少，速度會逐漸增大，慢慢接近Bogoliubov 聲速，此時暗孤子開始變淺變寬，直到消失。

到目前為止，在bose 愛因斯坦凝聚中產(chǎn)生暗孤子的方法可以分為三類:1)相位engineering 技術，這是控制bose 愛因斯坦凝聚密度的主要直接技術;2)密度engineering 技術，這也是控制bose 愛因斯坦凝聚密度的主要直接技術;3)量子態(tài)engineering 技術，這種技術結(jié)合了前兩類技術。

2 BEC 物質(zhì)波亮孤子的研究現(xiàn)狀

與暗孤子是凝聚體本身密度缺損的一種表現(xiàn)相比，亮孤子本身就是凝聚體，所以，它更容易穩(wěn)定地存在并較長時間地傳播。亮孤子能較長時間存在的這種性質(zhì)，在量子信息的理論研究中有著非常重要的意義，增大了其作為鏈子信息載體的可能性，亮孤子存在及其維持的條件、孤子間的相互作用、孤子的傳播速度與其耗散的關系等的理論研究都對利用bose 愛因斯坦凝聚這種宏觀量子態(tài)作為量子信息載體的可行性以及可操作性研究有著重要的指導作用。另外，原子的耗散、關聯(lián)效應以及物理過程的演化和控制都是學者們感興趣的熱點問題。

然而，相對于暗孤子，人們對物質(zhì)波亮孤子的研究則相對稍晚些。原因在于當凝聚體原子間的相互作用為吸引時，維系孤子穩(wěn)定凝聚原子數(shù)必須在一個臨界值范圍內(nèi)，并且二維和三維情形中，凝聚體存在的塌縮現(xiàn)象，導致相應的物質(zhì)波亮孤子不能穩(wěn)定存在。但是在準一維情況下，吸引的玻色愛因斯坦凝聚還是可以穩(wěn)定的。故亮孤子可從中形成。另外在二維情況下，還可以通過快速振動原子間相互作用來穩(wěn)定二維亮孤子［4］。在實驗［5，6］中，Strecter K.E.和Khaykovich L.等人，就是利用7Li 原子在準一維光學阱中生成了物質(zhì)波亮孤子和孤子鏈，并且觀察了他們的傳播過程。

理論和實驗研究表明只要凝聚體的原子數(shù)目超過某一臨界數(shù)目，都會塌縮，只有有限數(shù)目原子的凝聚體通過阱的束縛才可以穩(wěn)定存在。當非線性相互作用與色散相互補償時，孤子就可形成。對雪茄型凝聚體而言，吸引相互作用勢凝聚體被限制在一維方向上運動，當吸引的相互作用能補償波色的色散時，即可形成穩(wěn)態(tài)孤子。由于GP 方程在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化為一維非線性薛定諤方程，所以獲得不同類型非線性薛定諤方程的嚴格解。對于研究玻色愛因斯坦凝聚行為具有非常重要的意義。

近年來，我國沈陽材料科學國家(聯(lián)合)實驗室梁兆新、張志東與北京凝聚態(tài)物理國家實驗室劉伍明合作，運用達布變換法給出了一個意味非線性薛定諤方程的嚴格解。他考慮了在一個排斥勢中，原子間相互作用隨時間變化的原子間的相互作用的玻色愛因斯坦凝聚的亮孤子的動力學問題，他們研究發(fā)現(xiàn)，在亮孤子中原子數(shù)可以保持一個動力學平衡，在亮孤子和背景間存在一個時間周期的原子的交換，并且，在一定參數(shù)范圍內(nèi)，亮孤子可以通過增加原子的散射長度被壓縮成非常高的局域性物質(zhì)密度。同時，該研究提供了實驗方式來確認GP 方程的應用范圍，并可以實現(xiàn)對玻色愛因斯坦凝聚體的壓縮和控制。

另外，物質(zhì)波隙孤子在近幾年也得到廣泛研究。理論上，處于光晶格勢中的凝聚體由于存在能帶和能隙結(jié)構(gòu)，預言在能隙中可以存在物質(zhì)波隙孤子［9］。這一預言不就后得到了驗證。

3 結(jié)語

總之，對于玻色愛因斯坦凝聚中孤子問題的研究無論在理論上還是在實驗上，都主要包含三個方面:

1)孤子的產(chǎn)生和形成;

2)物質(zhì)波孤子的相干演化以及在探測過程中的相干效應;

3)非相干演化，孤子的耗散。

對于孤子產(chǎn)生問題，我們在暗孤子研究現(xiàn)狀中就提到了三種方法，“相位印記，密度工程技術，以及量子態(tài)工程技術”。而孤子的相干演化指的是在耗散發(fā)生前的演化過程，在較短的時間內(nèi)，GP 方程可以為玻色愛因斯坦凝聚孤子的動力學演化給出準確的描述。其中包含了孤子對、孤子鏈的產(chǎn)生以及每個孤子之間的相互作用。孤子的耗散效應包括了動力學不穩(wěn)定性和熱力學不穩(wěn)定性。動力學不穩(wěn)定性是由于孤子是一維客體，當存在于高維情況時，他們的穩(wěn)定性就會強烈依賴于凝聚體幾何性質(zhì)。對于充分拉長的凝聚體，它的橫向囚禁非常強，使得橫向不可能被激發(fā)，因而孤子是動力學穩(wěn)定的。相反當橫向囚禁較松時，橫向容易被激發(fā)，從而導致孤子的蛇形不穩(wěn)定性，導致孤子退化為聲子和更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，如渦旋和渦旋環(huán)。對應動力學不穩(wěn)定性的孤子的耗散行為相干，卻又不穩(wěn)定地演化，可以利用GP 方程描述。熱力學不穩(wěn)定性的存在，是由于孤子是平均場理論中凝聚體的一種集體激發(fā)態(tài)，因此，會在短時間內(nèi)衰減到基態(tài)，其中包含了聲子的散射，此時的耗散的研究將和孤子與熱云的相互作用有關，所以不能再用GP 方程來描述，而是用Bogoliubov－de Gennes 方程來描述。

［1］Burger S.，Bongs K.，Dettmer S.，et al.Dark Solitons in Bose－Einstein Condensates.［J］.Phys.Rev.Lett.，1999，83:5198.

［2］Salasnich L.，Parola A.and Reatto L..Effective wave－equations for the dynamics of cigar－shaped and disc－shaped Bose Condensates［J］.Phys.Rev.A.，2002，65:043614.

［3］Buger S.，Carr L.D.，Ohberg P.，et al.Generation and interaction of solitons in Bose－Einstein Condensate［J］.Phys.Rev.A.，2002，65:043611.

［4］Xing－Hua H.，Xiao－Fei Z.，Dun Z.，et al.Dynamics and modulation of ring dark solitons in two－dimensional Bose－Einstein condensates with tunable interaction［J］.Phys.Rev.A.，2009，79:023619.

［5］Strecker K.E.，Partridge G.B.，Truscott A.et al.Formation and propagation of matter－wave soliton trains.［J］.Nature，2002，417:150.

［6］Khaykovich L.，Schreck F.，F(xiàn)errari G.，et al.Salomon Formation of a Matter－Wave Bright Soliton［J］.Science 2002，296:1290－1293.