單彥霞 張建偉 于靖軍 韓雪艷 李仕華

(1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 秦皇島 066004； 2.燕山大學(xué)里仁學(xué)院， 秦皇島 066004；3.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室， 秦皇島 066004； 4.北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所， 北京 100191)

0 引言

多模式并聯(lián)機(jī)構(gòu)(也稱多操作模式機(jī)構(gòu))作為一種可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)受到了許多學(xué)者的關(guān)注[1]。多模式機(jī)構(gòu)又稱為運(yùn)動分岔機(jī)構(gòu)[2-4]，其主要特性是在運(yùn)動過程中通過約束奇異點(diǎn)改變運(yùn)動特性，進(jìn)而變換操作模式，進(jìn)行變自由度的重構(gòu)[5]。多模式機(jī)構(gòu)可以利用較少的驅(qū)動器實現(xiàn)較多的操作模式，并且操作模式變換時不需要拆卸機(jī)構(gòu)，具有變換時間少的優(yōu)點(diǎn)[6]。

近年來，多模式機(jī)構(gòu)的研究主要集中在構(gòu)型綜合和可重構(gòu)分析。在構(gòu)型綜合方面，KONG等[7-8]根據(jù)變自由度支鏈提出了一種綜合多模式機(jī)構(gòu)的通用方法，并綜合出了一系列多模式機(jī)構(gòu)；方躍法團(tuán)隊[9-11]通過將含約束奇異特性的單環(huán)閉鏈與串聯(lián)支鏈結(jié)合得到一類特殊的可重構(gòu)混聯(lián)支鏈，并綜合出了一系列多模式機(jī)構(gòu)。在可重構(gòu)分析方面，文獻(xiàn)[12-13]利用對偶四元數(shù)表示平臺位姿，并結(jié)合運(yùn)動學(xué)映射分析了SNU 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的操作模式；KONG等[14-15]則利用四元數(shù)來表示平臺的姿態(tài)，對4自由度3-RER多模式機(jī)構(gòu)和一種具有平面三自由度和3T1R自由度操作模式的變自由度機(jī)構(gòu)進(jìn)行了可重構(gòu)分析。上述研究的機(jī)構(gòu)可重構(gòu)分析都是利用代數(shù)幾何對機(jī)構(gòu)的約束方程進(jìn)行分析，只是約束方程建立的方法有所不同。

多模式機(jī)構(gòu)在構(gòu)型綜合以及可重構(gòu)分析方面已經(jīng)得到了廣泛的研究，但是關(guān)于多模式機(jī)構(gòu)的驅(qū)動器布置方式以及操作模式間變換的研究并不多見。驅(qū)動副數(shù)量影響著可以實現(xiàn)的操作模式數(shù)量，驅(qū)動副的選取也會對機(jī)構(gòu)奇異的特性產(chǎn)生影響，機(jī)構(gòu)中的奇異點(diǎn)往往是自由度切換點(diǎn)，必須考慮如何正確過渡[16]。KONG等[7]提到，驅(qū)動關(guān)節(jié)的最佳選擇和從一種操作模式切換到另一種操作模式的方法仍然是開放問題。CHABLAT等[17]給出了3-PRPiR機(jī)構(gòu)不同操作模式之間轉(zhuǎn)換的方法，并通過可鎖運(yùn)動副實現(xiàn)多操作模式。劉偉等[18]綜合了一種新的多模式機(jī)構(gòu)，并通過在支鏈上增加輔助驅(qū)動副，實現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動模式之間的變換。

現(xiàn)有的多模式機(jī)構(gòu)模式間變換方法還存在對通過約束奇異實現(xiàn)多模式變換的適用性問題。本文結(jié)合整體運(yùn)動/力約束性能指標(biāo)[19]提出一種實現(xiàn)多模式機(jī)構(gòu)操作模式間變換的方法。該方法采用TCI(Total constraint index)確定機(jī)構(gòu)的近似約束奇異空間，只在該空間內(nèi)啟動輔助驅(qū)動，以實現(xiàn)不同操作模式間的平穩(wěn)變換，為多模式機(jī)構(gòu)的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)構(gòu)可重構(gòu)分析

機(jī)構(gòu)處于約束奇異時的位形稱為變換位形。操作模式為描述動平臺運(yùn)動類型的連續(xù)位姿集合[7]，也可看作是被約束奇異曲面分割的工作空間的子空間[5]?？芍貥?gòu)分析可以得到多模式機(jī)構(gòu)的各種操作模式及操作模式間的變換位形。

使用對偶四元數(shù)能更系統(tǒng)地描述動平臺的位姿[20]，對偶四元數(shù)可以表示為

Q=x0+x1i+x2j+x3k+ε(y0+y1i+y2j+y3k)

(1)

式中ε——對偶因子，滿足ε≠0且ε2=0

其系數(shù)滿足

x0y0+x1y1+x2y2+x3y3=0

(2)

(3)

利用式(3)，任意倍數(shù)的λQ(λ≠0)均可轉(zhuǎn)換為Q，因此滿足式(3)的Q可一一映射為7維射影空間PR7中的點(diǎn)(x0,x1,x2,x3,y0,y1,y2,y3)，式(2)可以看作為PR7中的6維二次曲面S，又稱為Study二次曲面[21]，該6維曲面上的點(diǎn)與剛體在3維空間中的位姿一一對應(yīng)，齊次變換矩陣M表示為

(4)

式中R——旋轉(zhuǎn)矩陣p——位移

如圖1所示，通過上述映射，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間就可以描述為Study二次曲面上的曲線，曲線p1、p2分別表示操作模式M1、M2的工作空間，并交于變換位形點(diǎn)T，通過位置反解得到的函數(shù)f可映射到兩種模式的關(guān)節(jié)空間q1、q2。

圖1 多模式機(jī)構(gòu)工作空間與關(guān)節(jié)空間的映射Fig.1 Mapping of workspace and joint space of multi-mode mechanism

1.1 操作模式分析

圖2 多模式并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structural diagram of multi-mode parallel mechanism

數(shù)學(xué)上操作模式是機(jī)構(gòu)約束方程的所有相同的不可約正維解的集合，可通過建立多項式約束方程，進(jìn)行準(zhǔn)素分解得到[22]。如圖2所示，包含n個支鏈的n自由度非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，若假設(shè)動平臺的位姿在PR7的坐標(biāo)為(x0,x1,x2,x3,y0,y1,y2,y3)，則可以建立3類約束方程求解動平臺的位姿：

第1類為Study二次曲面方程g1和歸一化方程g2，即式(2)和式(3)。

第2類為關(guān)節(jié)參數(shù)約束方程gi，描述動平臺位姿與驅(qū)動關(guān)節(jié)參數(shù)之間的關(guān)系

gi(t,x)=0 (i=3,4,…,n+2)

(5)

其中t=(t1,t2,…,tn)

x=(x0,x1,x2,x3,y0,y1,y2,y3)

式中t——機(jī)構(gòu)驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入?yún)?shù)

x——動平臺位姿

第3類為幾何結(jié)構(gòu)約束方程gj，用于描述支鏈關(guān)節(jié)對動平臺運(yùn)動的約束限制

gj(x)=0 (j=n+3,n+4,…,2n+2)

(6)

利用代數(shù)幾何理論[23]將式(2)、(3)、(5)、(6)組成多項式理想I=〈g1,g2,…,g2n+2〉，先對不含常數(shù)項的方程組成的多項式理想J=〈g1,gn+3,gn+4,…,g2n+2〉進(jìn)行分析，通過數(shù)學(xué)軟件Maple中多項式理想庫PolynomialIdeals的PrimeDecomposition函數(shù)對其進(jìn)行準(zhǔn)素分解

(7)

確定理想I的代數(shù)簇為

(8)

其中Ki=Ji∪〈g2,g3,…,gn+2〉

代數(shù)簇V(I)可以理解為理想I中方程的公共零點(diǎn)，即該機(jī)構(gòu)整個工作空間，而V(Ki)正是約束奇異曲面分割工作空間后的子空間，即操作模式。每個理想Ki對應(yīng)一種操作模式Mi，將操作模式Mi對應(yīng)理想的代數(shù)簇V(Ki)代入式(4)可得到這種操作模式的齊次變換矩陣M，通過分析矩陣M可得機(jī)構(gòu)在操作模式Mi時的運(yùn)動類型。

1.2 變換位形分析

機(jī)構(gòu)的變換位形可通過對各操作模式求交集獲得，操作模式Mi和操作模式Mj的變換位形i∧j的代數(shù)簇為

i∧j=V(Ki)∪V(Kj)

(9)

如果交集不為空則該交集為操作模式Mi和操作模式Mj的變換位形，此時機(jī)構(gòu)處于約束奇異狀態(tài)。

2 多模式機(jī)構(gòu)驅(qū)動空間求解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動布置方式會影響機(jī)構(gòu)的奇異性、剛度和運(yùn)動/力傳遞特性等，通常會優(yōu)先選擇基座副或靠近基座的運(yùn)動副、移動副作為驅(qū)動副[24-25]。將驅(qū)動副進(jìn)行排列組合，構(gòu)成基礎(chǔ)驅(qū)動空間S0。在操作模式Mi下，基礎(chǔ)驅(qū)動空間S0中所有合理的驅(qū)動組合Acta，稱為操作模式Mi的驅(qū)動空間Si。

變換位形的驅(qū)動空間是指既可以擺脫奇異位形又可控地進(jìn)行兩種操作模式間變換的合理驅(qū)動組合。為實現(xiàn)Mi和Mj兩種操作模式，驅(qū)動的選擇須同時滿足2種操作模式的驅(qū)動要求，且能夠消除變換位形i∧j的約束奇異。因此，變換位形的驅(qū)動空間Sij為

Sij={Acta∩Actb|Acta∈Si,Actb∈Sj}

(10)

即可得到變換位形下的輔助驅(qū)動組合Actc。

支鏈內(nèi)的約束奇異產(chǎn)生局部自由度時，需要添加額外的驅(qū)動來消除該局部自由度，使機(jī)構(gòu)可以從一種操作模式變換到另一種操作模式。

將滿足機(jī)構(gòu)所有操作模式及變換位形要求的驅(qū)動組合構(gòu)成機(jī)構(gòu)的驅(qū)動空間，并從中選出最優(yōu)的驅(qū)動組合。驅(qū)動組合的優(yōu)選原則為：①盡量選擇機(jī)座副、移動副作為驅(qū)動副。②應(yīng)優(yōu)先選擇最少驅(qū)動副數(shù)量的驅(qū)動組合。③選擇的驅(qū)動副在機(jī)構(gòu)中的位置應(yīng)盡量對稱。

3 操作模式變換

3.1 近似約束奇異空間

多模式機(jī)構(gòu)在奇異位形及其附近會失去控制。文獻(xiàn)[19]提出了整體運(yùn)動/力約束特性指標(biāo)TCI，用于評價并聯(lián)機(jī)構(gòu)距離約束奇異位形，范圍為[0,1]，0表示機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形。其計算方法如下：

計算輸入端運(yùn)動/力約束特性指標(biāo)ICI(Input constraint index)

(11)

式中 $Cij——第i支鏈中第j個約束螺旋

$Rij——第i支鏈中第j個受限運(yùn)動螺旋

計算輸出端運(yùn)動/力約束特性指標(biāo)OCI(Output constraint index)

(12)

式中 $Ci——動平臺受到的第i個約束螺旋

Δ$Oi——第i個虛擬輸出螺旋

整體運(yùn)動/力約束特性指標(biāo)TCI為

(13)

機(jī)構(gòu)在約束奇異位形附近時約束性能較差，本文以κ=0.3為閾值，即圖1中的虛線c，將約束奇異位形附近κ<0.3的工作空間稱為近似約束奇異空間。

3.2 操作模式變換的過程

圖1中關(guān)節(jié)空間中的實線表示主動輸入?yún)?shù)，虛線表示被動關(guān)節(jié)參數(shù)。在近似約束奇異空間內(nèi)，可采用冗余驅(qū)動的方法實現(xiàn)操作模式間的平穩(wěn)變換。操作模式間的變換可分為3個階段：

(1)操作模式Mi進(jìn)入近似約束奇異空間時，如圖1中關(guān)節(jié)空間中的粗實線所示，啟動輔助驅(qū)動組合Actc，操作模式Mi不變，機(jī)構(gòu)按Mi的反解驅(qū)動。

(2)到達(dá)變換位形時，機(jī)構(gòu)從操作模式Mi變換為操作模式Mj，機(jī)構(gòu)按操作模式Mj的反解驅(qū)動。

(3)操作模式Mj離開近似約束奇異空間時，關(guān)閉輔助驅(qū)動組合Actc。

機(jī)構(gòu)從操作模式Mi變換到操作模式Mj的流程如圖3所示。

圖3 操作模式變換流程圖Fig.3 Flow chart of operation mode transformation

4 實例分析

以SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)的兩種操作模式變換為例，分析其變換過程。

4.1 可重構(gòu)分析

SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)由動平臺、定平臺以及3條完全相同的UPU支鏈構(gòu)成，如圖4所示。每個U副由2個相互垂直相交的轉(zhuǎn)動副構(gòu)成，其中與平臺相連的轉(zhuǎn)動副稱為U副第一轉(zhuǎn)動副U1，與P副相連的轉(zhuǎn)動副稱為U副第二轉(zhuǎn)動副U2。平臺上的U副均勻布置在等邊三角形頂點(diǎn)，U副中的第一轉(zhuǎn)動副平行于平臺，且指向平臺圓心。定平臺外心圓半徑為r1，動平臺外心圓半徑為r2，支鏈的兩個U副Ai與Bi之間的距離為di。

圖4 SNU 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.4 Diagram of SNU 3-UPU parallel mechanism

文獻(xiàn)[13]對SNU 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行可重構(gòu)分析并得到了9種操作模式，其中2種復(fù)數(shù)理想對應(yīng)的操作模式是3T模式的特例，其余7種操作模式如表1所示。

表1 操作模式Tab.1 Operation configurations

各操作模式對應(yīng)的機(jī)構(gòu)一般位形如圖5所示。由圖5可以看出，在M1、M2、M3操作模式下會出現(xiàn)P副超出其工作范圍或運(yùn)動副間產(chǎn)生干涉的問題。因此分析其他4種操作模式間的變換，得到4種變換位形，如表2所示。

圖5 SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)的操作模式Fig.5 Operation modes of SNU 3-UPU mechanism

以3T操作模式和2T1R操作模式之間的變換為例，說明確定合理驅(qū)動及實現(xiàn)模式變換的過程。

4.2 SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)驅(qū)動空間分析

4.2.1操作模式的驅(qū)動空間

根據(jù)第2節(jié)的輸入選取原則，選取各支鏈機(jī)架上的U副第一轉(zhuǎn)動副U1，第二轉(zhuǎn)動副U2以及移動副P為驅(qū)動副，且各支鏈中僅選取一個驅(qū)動副，經(jīng)排列組合可得到機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)驅(qū)動空間S0，共10種驅(qū)動組合方式，如表3所示。

表2 變換位形Tab.2 Transformation configurations

表3 SNU 3-UPU的10種驅(qū)動組合Tab.3 10 Actuation combination of SNU 3-UPU

注：帶下劃線的運(yùn)動副為選取的驅(qū)動副。

圖6 3T模式的螺旋系分析Fig.6 Screw system analysis of 3T mode

操作模式M4和M5的驅(qū)動空間為S4、S5。模式M4有3個平移自由度，建立支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)1X1Y1Z1，如圖6所示。X1軸與第一轉(zhuǎn)動副U1軸線重合，Y1軸與第二轉(zhuǎn)動副U2軸線重合，Z1軸按右手法則確定。

根據(jù)螺旋理論，支鏈約束螺旋$i(i=1,2,3)為平行于Zi軸的約束力偶。驅(qū)動螺旋與非驅(qū)動副運(yùn)動副旋量的互易積為0，且與所有約束力線性無關(guān)。

選擇不同的驅(qū)動副對應(yīng)的驅(qū)動螺旋及幾何描述如表4所示。

表4 3T模式的驅(qū)動螺旋Tab.4 Actuation combinations of 3T operation mode

由表4可知，該操作模式下合理的驅(qū)動空間為S4={Act 1, Act 2, Act 3, Act 4, Act 5, Act 6, Act 7, Act 8, Act 9, Act 10}，即表3中的10種驅(qū)動組合均滿足該操作模式的驅(qū)動要求。

同理對模式M5進(jìn)行分析，其支鏈螺旋系以及約束螺旋系如圖7所示。對表4所列驅(qū)動螺旋進(jìn)行線性相關(guān)性分析可知，該操作模式合理的驅(qū)動空間為S5={Act 7, Act 8, Act 9, Act 10}，即表3中的4種驅(qū)動組合滿足該操作模式的驅(qū)動要求。

圖7 2T1R模式的螺旋系分析Fig.7 Screw system analysis of 2T1R mode

4.2.2變換位形的驅(qū)動空間

圖8 變換位形的螺旋系分析Fig.8 Screw system analysis of transformation configuration

根據(jù)式(12)可得該變換位形的驅(qū)動空間為

(14)

4.3 3T模式與2T1R模式間變換

4.3.1近似約束奇異空間

(15)

式中φ——繞Z軸的轉(zhuǎn)角，(°)

對應(yīng)位姿隨時間的變化曲線如圖9所示。

圖9 SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)動平臺位姿變化曲線Fig.9 Position and pose change curves of moving platform of SNU 3-UPU

分析3T模式與2T1R模式的近似約束奇異空間。在3T模式下(圖6)，3-UPU機(jī)構(gòu)存在3個約束力偶旋量$Ci和3個輸入端單位受限運(yùn)動旋量$Ri，分別為

(16)

式中sij——與螺旋$ij指向相同的矢量

bi——固定坐標(biāo)系原點(diǎn)O到Bi的矢量

將式(16)代入式(13)可得機(jī)構(gòu)在不同動平臺高度時XY平面的TCI指標(biāo)性能圖譜，如圖10所示。

圖10 SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)在3T模式時的TCI指標(biāo)性能圖譜Fig.10 TCI performance atlases of SNU 3-UPU mechanism in 3T mode

分析2T1R模式的近似約束奇異空間(圖7)。3-UPU機(jī)構(gòu)存在3個約束力線矢旋量$Ci和3個輸入端單位受限運(yùn)動旋量$Ri，分別為

(17)

將式(17)代入式(13)可得機(jī)構(gòu)在動平臺繞Z軸不同轉(zhuǎn)角時XY平面上的TCI指標(biāo)性能圖譜，如圖11所示。

圖11 SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)在2T1R模式時的TCI指標(biāo)性能圖譜Fig.11 TCI performance atlases of SNU 3-UPU mechanism in 2T1R mode

機(jī)構(gòu)在3T和2T1R操作模式下沿軌跡運(yùn)動時的TCI指標(biāo)變化曲線，如圖12所示。機(jī)構(gòu)在3.48 s時到達(dá)近似約束奇異空間，由式(15)可得，此時動平臺中心點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的位置為(8.54, 5.19, 6.08)mm；機(jī)構(gòu)在t=5 s時TCI指標(biāo)值為0，機(jī)構(gòu)處于奇異位形；機(jī)構(gòu)在5.36 s時離開近似約束奇異空間，此時動平臺中心點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的位置為(6.66, 7.45, 0)mm，繞Z軸的轉(zhuǎn)角φ為19.30°。

圖12 SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)在沿軌跡運(yùn)動時的TCI指標(biāo)變化曲線Fig.12 TCI change curves of SNU 3-UPU mechanism moving along trajectory

4.3.2模式間變換

3T模式機(jī)構(gòu)的位置反解為

(18)

2T1R模式機(jī)構(gòu)的位置反解為

(19)

模式變換時驅(qū)動副輸入曲線如圖13所示，θ1為輔助驅(qū)動啟動后的轉(zhuǎn)角，θ2為輔助驅(qū)動關(guān)閉后的轉(zhuǎn)角。在t為0～3.48 s時，機(jī)構(gòu)處于3T模式，輸入式(18)中d1、d2、d3位移進(jìn)行驅(qū)動；在t=3.48 s時，進(jìn)入近似約束奇異空間(圖中黃色區(qū)域)，啟動輔助驅(qū)動，輸入?yún)?shù)為θ1=atan2(y,z)；在t=5 s時，到達(dá)變換位形，輸入式(19)中d1、d2、d3位移進(jìn)行驅(qū)動，輔助驅(qū)動的輸入?yún)?shù)變?yōu)棣?=90°；保持輔助驅(qū)動輸入?yún)?shù)為θ2=90°不變，直到t=5.36 s離開近似約束奇異空間，關(guān)閉輔助驅(qū)動。

圖13 3T模式與2T1R模式之間模式變換時的輸入曲線Fig.13 Input curves transforming between 3T mode and 2T1R mode

4.4 仿真分析

圖14 SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)的仿真模型Fig.14 Simulation mode of SNU 3-UPU mechanism

建立SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)的仿真模型，如圖14所示，動平臺U副中心所在圓的半徑為50 mm，定平臺U副中心所在圓的半徑為100 mm。導(dǎo)入ADAMS中，并按4.3節(jié)分析結(jié)果設(shè)置驅(qū)動副參數(shù)。

動平臺X、Y、Z方向的位移和Z軸轉(zhuǎn)角隨時間變化的曲線如圖15所示。由圖15可知，與預(yù)定的運(yùn)動軌跡圖9一致，證明按照該方法驅(qū)動可以實現(xiàn)SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)3T操作模式與2T1R操作模式之間的平穩(wěn)變換。

圖15 SNU 3-UPU機(jī)構(gòu)動平臺位姿仿真變化曲線Fig.15 Position and pose simulation change curves of moving platform of SNU 3-UPU

5 結(jié)論

(1)提出了一種多模式并聯(lián)機(jī)構(gòu)的操作模式間變換方法。該方法基于整體運(yùn)動/力約束特性指標(biāo)TCI定義近似約束奇異空間，在該空間內(nèi)通過添加輔助驅(qū)動的方式，實現(xiàn)操作模式之間的平穩(wěn)變換。

(2)針對提出的方法，制定了不同操作模式間變換的流程，確定了驅(qū)動組合的優(yōu)選原則，得到了合理的輔助驅(qū)動，并優(yōu)選出機(jī)構(gòu)的驅(qū)動空間。

(3)以SNU 3-UPU多模式并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，進(jìn)行了可重構(gòu)分析，得到7種操作模式和4種變換位形，實現(xiàn)了3T操作模式和2T1R操作模式間的平穩(wěn)變換。