李志成

1引言：PCK概念的內(nèi)涵

這一概念最早由斯坦福大學教授Shulman（美國教育研究會主席）提出，他認為構(gòu)成教學的知識基礎有7類，其中的“學科教學知識”逐步成為教師知識的重心與核心.學科教學知識是“Pedagogical Content Knowledge”（簡稱為PCK）的翻譯，也有些研究者將其翻譯成“教學內(nèi)容知識”或者“學科教育知識”.

2010年上海的中學生與全球47萬名中學生共同參加國際學生評估項目（PISA）的調(diào)查，最終在閱讀、數(shù)學和科學素養(yǎng)三方面的成績均排名全球第一，震撼全球.相比于來自外國專家學者的贊許，以及本國專家學者的質(zhì)疑和驚訝，國內(nèi)的數(shù)學教育家們提出“反觀我們自己的數(shù)學教學”.上海作為一個國際大都市，需要建成國際金融中心，學生的數(shù)學能力以及數(shù)學教師的教學能力將遇到更大的機會和挑戰(zhàn)，基于數(shù)學教師的學科教學知識的教學設計研究意義重大.本文將在前人的理論指導下，結(jié)合PCK的相關理論，以《數(shù)列的極限》為例，探究高中教學設計的相關問題，期望對教學設計有更好的理解和改進.2實例：基于PCK的高中數(shù)學設計

在教學實踐過程中，教齡越長，教師的數(shù)學知識越豐富，對數(shù)學知識點之間的關聯(lián)更加清晰，對數(shù)學學科的理解和認識越深入.基于PCK的內(nèi)涵和定義，本研究以《數(shù)列的極限》的教學內(nèi)容為例，通過“內(nèi)容分析”、“學情分析”、“教學方法及教學手段的選擇”、“教學反思”等方面的研究，探究高中數(shù)學教學設計的內(nèi)涵及改進策略.

2.1“數(shù)列的極限概念”內(nèi)容分析

極限概念是學生認知的難點，同時也是教學的難點.對這一難點的產(chǎn)生原因，回顧國內(nèi)外學者的討論，結(jié)合理論分析我們認為：極限概念由直觀到嚴謹?shù)纳蓺v史是漫長的，這說明概念本身具有高度抽象性；恰當?shù)恼J知根源的尋找并不容易，這使學生在最初的概念學習時借助于各自的有限空間概念幫助建立了一些不正確的心理表征，而概念間錯綜復雜的關系更降低了數(shù)列極限概念的可認知性.

2.11數(shù)列極限概念定義的剖析

數(shù)列極限是由初等數(shù)學向高等數(shù)學過渡的關鍵內(nèi)容，它是數(shù)學由具體到抽象、由有限到無限的橋梁，是微分學的基礎.對于數(shù)列極限概念的理解，直接關系到學生今后學習高等數(shù)學的成敗.極限概念難以理解掌握的原因在于：概念在教學的過程中涉及到“任意”、“給定”、“無限接近”、“存在”、“趨向”等較抽象的術(shù)語.概念的敘述繁長、符號很多，如：絕對值符號等，且它們之間的數(shù)量關系錯綜復雜，學生難以掌握，對絕對值的幾何意義和解絕對值不等式不熟悉.

（1）定義的文本解讀

上海教育出版社教材定義如下：

請同學們觀察下列幾個數(shù)列的變化趨勢

（a）1[]10，1[]102，1[]103，…，1[]10n，…

（b）-1，1[]2，-1[]3，…，（-1）n[]n，…

（c）12，23，34，…，nn+1，…

歸納數(shù)列極限的描述性定義：一般地，如果當項數(shù)n無限增大時，數(shù)列{an}的項無限的趨近于某一個常數(shù)A，則稱數(shù)列{an}以A為極限，記作limn→∞an=A.

（2）人民教育出版社教材定義如下：

數(shù)列極限的精確定義（ε-N定義）：設給定數(shù)列{an}，A是一個常數(shù)，若對于任意給定的小正數(shù)ε，總存在某個正整數(shù)N，使得對大于N的一切n，都有an-A<ε，則稱常數(shù)A為數(shù)列{an}當n趨于無窮大時的極限，或者稱數(shù)列{an}收斂于A，記作：limn→∞an=A.

2.12幾個相關概念溯源

（1）數(shù)列的概念：按一定次序排列的一列數(shù)，其中每個數(shù)叫做數(shù)列的項.

說明：數(shù)列是特殊的函數(shù)；數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)an=f（n），當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值；數(shù)列與集合的區(qū)別是：有序和無序，可重復和不可重復.

（2）數(shù)列的通項公式：數(shù)列{an}的項與項數(shù)n之間的對應關系用一個公式表示：an=f（n）.說明：不是所有的數(shù)列都能寫出通項，如3的不足近似值17，173，1732，…；一個數(shù)列的通項可能不唯一，如-1，1，-1，1，…可以寫成an=（-1）n-1，也可以寫成an=cos（n-1）π.

2.13定義的邏輯分析

無窮等比數(shù)列所有項的和：設無窮等比數(shù)列為a1，a1q，a1q2，…，a1qn-1，…，公比為q，當無窮等比數(shù)列的公比q滿足|q|<1時，其前n項和的極限才存在.當0<|q|<1時，無窮等比數(shù)列前n項和的極限如下：

因為Sn=a1（1-qn）1-q=a11-q-a11-q·qn（|q|<1），

所以limn→∞Sn=limn→∞a1（1-qn）1-q=limn→∞a11-q·limn→∞（1-qn）=a11-q（limn→∞1-limn→∞qn）=a11-q.

（因為0<|q|<1，所以limn→∞qn=0）所以limn→∞Sn=a11-q.

2.14概念的表征分析

有極限的數(shù)列一定是無窮數(shù)列.如果我們畫一條數(shù)軸，把一個極限為A的數(shù)列{an}中的數(shù)和A都在數(shù)軸上表示出來，那么，我們從圖形上可以看出，“數(shù)列{an}的極限是A”相當于“隨著n的增大，表示an（n=1，2，…）的點無限趨近于A的點”.什么叫做“無限趨近”，有多近，也就是說，“隨著n越來越大，an點與點A的距離要多小，有多小”，但作為科學的數(shù)學，是不允許用“無限趨近”或“要多近，有多近”等含糊不清的語言來對概念下定義的.

2.15概念的發(fā)展簡史

極限理論刻畫的是有限到無限量變的動態(tài)過程.早在戰(zhàn)國時期，我國著名哲學家莊周在所著《莊子·天下篇》中就有“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的論述.公元前263年劉徽根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，它的面積就越接近于圓面積的想法成功地推算出π的近似值是31416，可見那時候人們就有了樸素的極限思想并開始運用極限的方法.

柯西在他的論著中，擺脫了與幾何圖形及幾何量的任何牽連，但在他的敘述中，仍有一些語句需要作進一步解釋.諸如“無限地趨近”，“要怎么小就怎么小”等，后來魏爾斯特批評柯西借助連續(xù)運動的直觀定義極限.

2.2學情分析研究

高中學生已經(jīng)掌握了必要的預備知識：如絕對值的概念、兩點間的距離、解簡單絕對值不等式的技能等.掌握了數(shù)列的項（按一定次序排列的一列數(shù)，其中每個數(shù)叫做數(shù)列的項.）、數(shù)列的通項公式（數(shù)列an的項與項數(shù)n之間的對應關系用一個公式表示：an=f（n））、單調(diào)有界數(shù)列、單調(diào)無界數(shù)列、擺動有界數(shù)列、擺動無界數(shù)列的圖像變化趨勢，以及有極限的數(shù)列的前若干項與常數(shù)A的差的絕對值計算表，有觀察圖像變化趨勢的能力.

（1）學生在以前的數(shù)學學習中一直接觸的都是常量，而且都是有限量.他們沒有遇到過無限的數(shù)學模型，習慣用一種不變的觀點來分析問題.而極限是一個無限過程，需用運動、變化的觀點來考察問題.初學極限的學生.最難解決的是從靜態(tài)到動態(tài)的轉(zhuǎn)變.

（2）數(shù)列極限概念的形式定義顛倒了思維過程的自然順序，這與先前學生熟悉的思維方式不太一致，然而我們不應該就此降低對學生的要求，即使最初不得不采用簡單而直觀的方式介紹它，但我們的目的是要學生最終掌握數(shù)列極限的嚴謹形式定義，讓思維達到真正的形式運算的水平.

（3）概念中用到了不等式，這是學生熟悉的.然而，正是這一學生熟悉的概念卻隱藏著“無限趨近”的無限過程，用不等式的可解可證，將未知化為了已知，用有限的可操作性完成無限的不可操作性的辯證思想，這是學生所不熟悉的.

（4）極限概念難以理解、掌握的原因在于：概念在教學的過程中涉及到“任意”、“給定”、“無限接近”、“存在”、“趨向”等較抽象的術(shù)語.概念的敘述繁長、符號很多，且它們之間的數(shù)量關系錯綜復雜，學生難以掌握.

3課后：課堂實踐后續(xù)思考

學科教學知識（PCK）的構(gòu)成并不是與生俱來，也非某本專著中能包含全部，數(shù)學教師還可以積累每次教學過程中的感受，認真撰寫教學反思和教學后記，通過跟同行的交流或請教其他經(jīng)驗更豐富的教師，達到對教學目標、重難點的重新認識，使自身專業(yè)水平和PCK內(nèi)容更趨合理.

但是，教師若只注重積累而不重視思考，教師從中得到的收獲也將必定有限.我們認為，教學反思和與同行交流討論是教師迅速成長的良好途徑.我們經(jīng)常碰到的一個問題是：學生在理解某個數(shù)學知識出現(xiàn)了問題，教師在課后就要反思為什么學生不能理解，是因為學生的知識概念不清，還是因為自身表述或呈現(xiàn)內(nèi)容的策略方式不當.如果原因在于自身，就要及時調(diào)整教學策略，促進學生的理解.這些累積和反思逐步會融合為教師PCK的一部分，從而使教師的PCK更加豐富，結(jié)構(gòu)更加合理.另外，教師需要多進入經(jīng)驗教師的課堂，這種進入不是簡單的聽課，而是需要在聽課過程中和過程后，多聽多想，并在課后同授課教師一起探討，對教學中關于知識點的教學策略等問題進行探討，交換教學思想探討教學方法，以收獲教學信息和靈感.這種教師之間的交流是一種信息交流，由此教師們相互溝通，相互影響，相互促進.

另外，高中數(shù)學教師應該多學習與專業(yè)相關的理論，特別是多學習和思考與高中數(shù)學相關的專業(yè)知識，比如《高觀點下的初等數(shù)學》等；也應該及時跟進與更新和教學相關的教學技術(shù)和教學手段，這樣更能使我們的PCK結(jié)構(gòu)跟上時代發(fā)展的節(jié)奏，取得更好的效果.

參考文獻

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[4]上海青浦實驗研究所（2007）.小學數(shù)學新手和專家教師PCK比較的個案研究一一青浦實驗的新世紀行動之四.上海教育科研，10：47—50.