高翔

[摘 要]磁場(chǎng)的強(qiáng)弱和運(yùn)動(dòng)速度的大小決定了荷質(zhì)比一定的粒子的磁偏轉(zhuǎn)半徑，而磁場(chǎng)分布的位置（或者粒子進(jìn)與出磁場(chǎng)的位置）和磁場(chǎng)在空間分布范圍限定了磁偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的徑跡，從而決定了磁偏轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的圓心角和所夾的弦，進(jìn)而決定了粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和實(shí)際通過(guò)的路徑。粒子從什么位置以什么樣的速度進(jìn)入和射出有界磁場(chǎng)，以及有界磁場(chǎng)的分布區(qū)域是分析粒子進(jìn)出有界磁場(chǎng)問(wèn)題的重要條件。

[關(guān)鍵詞]有界磁場(chǎng) 分布范圍 進(jìn)出位置

[中圖分類號(hào)] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）230039

荷質(zhì)比q/m不同的電荷以不同速度進(jìn)入指定的磁場(chǎng)區(qū)域，磁偏轉(zhuǎn)的半徑r=mv/qB，因荷質(zhì)比的不同而存在差異，同時(shí)由于運(yùn)動(dòng)電荷進(jìn)入有界磁場(chǎng)的方向不同，即與磁場(chǎng)邊界的夾角存在差異，磁偏轉(zhuǎn)的路徑也就不同。由于受磁場(chǎng)邊界的限制，使得磁偏轉(zhuǎn)的路徑受到相應(yīng)的限定，這也就決定了磁偏轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的圓心角和運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)所夾的弦長(zhǎng)不同，從而使得磁偏轉(zhuǎn)的時(shí)間和經(jīng)歷的路徑存在差別。

求解此類問(wèn)題常用的方式是：通過(guò)確定進(jìn)入和射出有界磁場(chǎng)的位置求解磁回旋對(duì)應(yīng)的弦，通過(guò)弦長(zhǎng)的最值求解磁回旋路徑的長(zhǎng)短，或者通過(guò)尋找磁回旋的圓心角求解磁回旋經(jīng)歷的時(shí)間，其中求入射速度或qm是解決此類問(wèn)題切入點(diǎn)。

一、粒子從確定的位置以確定的速率進(jìn)、出指定區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的最值問(wèn)題分析

圖1

【例1】 如圖1所示為可測(cè)定比荷的某裝置的簡(jiǎn)化示意圖，在第一象限區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.0×10-3T，在x軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.5m處為離子的入射口，在y軸上安放接收器，現(xiàn)將一帶正電荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率從P處射入磁場(chǎng)，若粒子在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.5m的M處被觀測(cè)到，且運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小，設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m、電量為q，不計(jì)其重力。則上述粒子的比荷qm（Ckg）是（ ）。

A.3.5×107 B.4.9×107

C.5.3×107D.7×107

【認(rèn)知及思維過(guò)程分析】

1.粒子從確定的位置進(jìn)、出有界磁場(chǎng)，雖然知道速度的大小，但射入和射出的方向未知，在指定分布區(qū)域的有界磁場(chǎng)中發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)。學(xué)生多會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為是從P和M處垂直邊界進(jìn)、出有界磁場(chǎng)，誤認(rèn)為磁偏轉(zhuǎn)的半徑為r=L。這是審題不清，擴(kuò)大條件導(dǎo)致錯(cuò)誤建立物理過(guò)程模型的結(jié)果。

圖2

2.邏輯推理磁偏轉(zhuǎn)的最大半徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知Bqv=mv2r，解得r=mv/qB，即磁偏轉(zhuǎn)r∝m/q。由此可知磁偏轉(zhuǎn)半徑隨荷質(zhì)比的變化而改變。欲求最大的q/m，只要尋求最小磁回旋半徑即可，即進(jìn)、出磁場(chǎng)位置的間距等于磁偏轉(zhuǎn)的直徑時(shí)方可滿足，如圖2所示，連接MP，以之為直徑求出半徑r=22L，從而求得qm=4.9×107Ckg。

二、粒子從確定的位置以確定的速度進(jìn)入三角形分布區(qū)域有界磁場(chǎng)問(wèn)題分析

粒子從確定的位置以確定的速度進(jìn)入指定位置的三角形有界磁場(chǎng)區(qū)域，磁偏轉(zhuǎn)的半徑隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化而改變，但由于磁場(chǎng)是在三角形區(qū)域內(nèi)分布的，使得磁偏轉(zhuǎn)的徑跡不能任意增大，邊界限制就成為求解問(wèn)題的切入點(diǎn)。

圖3

【例2】 如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限內(nèi)的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，正三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，且ab邊與y軸平行。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的p（0，h）點(diǎn)，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)，通過(guò)電場(chǎng)后從x軸上的a（2h，0）點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限，又經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)從y軸上的某點(diǎn)進(jìn)入第Ⅲ象限，且速度與y軸負(fù)方向成45°角，不計(jì)粒子所受的重力。求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??；

（2）粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；

（3）abc區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值。

【認(rèn)知及思維障礙分析】

1.粒子經(jīng)由“組合場(chǎng)”，故解題時(shí)應(yīng)明確先后經(jīng)歷的物理過(guò)程，準(zhǔn)確求解前后物理過(guò)程銜接的物理量“速度”和層遞發(fā)生的“位置”是求解問(wèn)題的關(guān)鍵。

運(yùn)動(dòng)電荷先在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，從確定的位置a（2h，0）射出電場(chǎng)，再?gòu)脑擖c(diǎn)進(jìn)入正三角形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，并發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)。通過(guò)類平拋運(yùn)動(dòng)的始末位置求解電場(chǎng)強(qiáng)度和到達(dá)a點(diǎn)的速度是解決問(wèn)題的前提。

2.難點(diǎn)是粒子經(jīng)過(guò)磁偏轉(zhuǎn)后與y軸負(fù)方向成45°角射出三角形磁場(chǎng)，我們知道了磁偏轉(zhuǎn)的速度（大小和方向），但從什么位置射出三角形磁場(chǎng)，是未知的，盡管知道與-y相交，但交點(diǎn)在哪兒未知，因此從何位置射出有界磁場(chǎng)是一個(gè)未知的點(diǎn)，我們也就無(wú)法確定磁回旋的徑跡。同時(shí)由于磁場(chǎng)分布在指定的三角形區(qū)域內(nèi)，再加上三角形邊界的限制，使得磁偏轉(zhuǎn)的軌跡不能隨意擴(kuò)大，因此利用有界磁場(chǎng)邊界的約束，根據(jù)r=mv/qB，利用r∝1/B，通過(guò)最大的磁回旋半徑尋求B的最小值就成為解決問(wèn)題的切入點(diǎn)。

3.利用圓的對(duì)稱性是作圖法求射出磁場(chǎng)位置的關(guān)鍵。由弦的中垂線與包絡(luò)圓弧的對(duì)稱性可知，運(yùn)動(dòng)電荷從確定的位置以恒定的速度進(jìn)入正三角形磁場(chǎng)，經(jīng)磁偏轉(zhuǎn)后粒子必然從正三角形對(duì)稱點(diǎn)b射出。

解析：（1）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，在x方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則x=2h=v0t。

粒子在豎直方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則：

y=h=12at2=qEm（2hv0）2

，解得E=mv202qh。

（2）粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)沿負(fù)y方向的分速度：vy=at=2ht2·t=2ht=v0

，所以v=2v0，與x軸成45°。

（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知：qvB=mv2/r，解得r=mv/qB。

圖4

根據(jù)圓的對(duì)稱性，當(dāng)運(yùn)動(dòng)電荷從a射入，運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)射出時(shí)磁偏轉(zhuǎn)的半徑最大，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有最小值，如圖4所示，r=

22L=

2mv0qB

，解得B=2mv0qL。

三、粒子從確定的位置以確定的入射方向進(jìn)入圓形有界磁場(chǎng)問(wèn)題分析

粒子從確定的位置以確定的入射方向進(jìn)入圓形有界磁場(chǎng)，磁偏轉(zhuǎn)的半徑隨入射速度的變化而正比例變化，這也使得磁偏轉(zhuǎn)的圓心角隨磁回旋半徑減小而增大，從而使得磁偏轉(zhuǎn)花費(fèi)的時(shí)間隨之增加。磁偏轉(zhuǎn)花費(fèi)的時(shí)間隨圓心角或者磁偏角的變化而同步改變成為解決問(wèn)題的切入點(diǎn)。

圖5

【例3】 如圖5所示，在以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.1T，圓半徑R=103cm，豎直平行放置的金屬板連接在如圖5所示的電路中，電源電動(dòng)勢(shì)E=9V，內(nèi)阻r=1Ω，定值電阻R1=20Ω，滑動(dòng)變阻器R2的最大阻值為70Ω；兩金屬板上的小孔S1、S2跟O點(diǎn)在垂直于極板的同一直線上，另有一水平放置的足夠長(zhǎng)的熒光屏D，O點(diǎn)跟熒光屏D之間的距離H=203cm，現(xiàn)有荷質(zhì)比為q/m=

40×105C/kg

的正離子由小孔S1進(jìn)入電場(chǎng)加速后，從小孔S2穿出，通過(guò)磁場(chǎng)后打在熒光屏D上，不計(jì)離子的重力和離子在小孔處的初速度，求：

（1）若離子能垂直打在熒光屏上，則電壓表的示數(shù)多大？

（2）滑動(dòng)變阻器滑片P的位置不同，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也不同，求離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和此種情況下打在熒光屏上的位置到屏中心O′點(diǎn)的距離。

【認(rèn)知及思維障礙分析】

1.識(shí)別電路結(jié)構(gòu)，判斷電容器兩極板間的電壓是求解問(wèn)題的前提。滑動(dòng)變阻器R2和定值電阻R1組成穩(wěn)定的串聯(lián)電路，閉合回路的電流恒定。設(shè)滑動(dòng)變阻器左端連入線路的電阻為Rx，則電容器兩極板間獲得的電壓Ux=R1+Rxr+R1+R2E。

2.直線加速器兩極板間的電壓決定了粒子加速后獲得的速度，W=qU=12mv2-0

，解得v=2qUm，即v∝U。

3.加速后的粒子從確定的位置以確定的方向進(jìn)入圓形有界磁場(chǎng)發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，磁偏轉(zhuǎn)的半徑r∝v，圓心角隨磁偏轉(zhuǎn)半徑的增加而減小，磁偏轉(zhuǎn)的時(shí)間t=θ2πT

隨圓心角的減小而減少。確定何時(shí)達(dá)到最大的圓心角是求解最長(zhǎng)時(shí)間的關(guān)鍵，同時(shí)要避免另外一個(gè)二級(jí)推論的干擾，那就是在磁偏轉(zhuǎn)半徑一定的前提下，磁偏轉(zhuǎn)的徑跡為劣弧的前提下，磁偏轉(zhuǎn)所夾的弦隨著圓心角的增加而增大，粒子磁偏轉(zhuǎn)通過(guò)的路程隨之增加。

解析：（1）若離子由電場(chǎng)射出后進(jìn)入圓形有界磁場(chǎng)，經(jīng)磁偏轉(zhuǎn)射出有界磁場(chǎng)垂直打在熒光屏上，則離子在磁場(chǎng)中速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的徑跡如圖6所示，由幾何知識(shí)可知，離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓半徑r1=R=103cm。

設(shè)兩金屬板間的電壓為U1離子經(jīng)電場(chǎng)加速獲得v1，由動(dòng)能定理有：qU1=12mv21

；由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知qv1B=mv21r1

，得r1=mv1qB

，聯(lián)立兩式解得：U1=B2r21q2m

，代入數(shù)值解得U1=60V。

（2）兩金屬板間的電壓越小經(jīng)電場(chǎng)加速后獲得的速度也越小，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑就越小，射出電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角越大，因此在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)，所以滑片在變阻器R2的左端時(shí)，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)。

由閉合電路歐姆定律得：I=ER1+R2+r=1A。

兩金屬板間電壓Umin=IR1=20V，由qUmin=12mv22可得此時(shí)的軌跡半徑：r2=0.1m。

粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的徑跡如圖7所示，O1為徑跡圓的圓心。由tanα=Rr2=3

可得α=60°，故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為t=T3≈5.2×10-5s。

在△OO′A中，θ=30°，所以A、O′間距離x=Htanθ=20cm。

四、粒子從確定的位置以確定的入射速度進(jìn)入矩形有界磁場(chǎng)問(wèn)題分析

粒子從確定的位置以確定的速率進(jìn)入矩形有界磁場(chǎng)，在磁感應(yīng)強(qiáng)度不變的情況下，磁偏轉(zhuǎn)的半徑恒定，但由于進(jìn)入有界磁場(chǎng)速度方向的變化，使得磁偏轉(zhuǎn)的路徑存在差異，體現(xiàn)為磁偏轉(zhuǎn)的圓心角變化，所夾的弦長(zhǎng)也發(fā)生變化，這就使得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間隨之變化。通過(guò)求解磁偏轉(zhuǎn)的圓心角來(lái)求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，或者通過(guò)求解所夾的弦長(zhǎng)來(lái)求解磁偏轉(zhuǎn)通過(guò)的路程是解決此類問(wèn)題的切入點(diǎn)。

圖8

【例4】 在如圖8所示的直角坐標(biāo)系xOy中，矩形區(qū)域oabc內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=5.0×10-2T；第一象限內(nèi)有沿-y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=1.0×105N/C。已知矩形區(qū)域的Oa邊長(zhǎng)為0.6m，ab邊長(zhǎng)為0.20m。在cb邊中點(diǎn)N處有一放射源，某時(shí)刻放射源沿紙面向磁場(chǎng)中各方向均勻輻射速率均為v=2.0×106m/s的某種帶正電粒子，帶電粒子質(zhì)量m=1.6×10-27kg，電荷量q=3.2×10-19C，不計(jì)粒子重力（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字），求：

（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑。

（2）從x軸上射出的粒子中，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短路程為多少？

（3）放射源沿-x方向射出的粒子，從射出到從y軸離開所用的時(shí)間。

【認(rèn)知及思維障礙分析】

1.從確定的位置以確定的速率向各方向發(fā)射相同的粒子，磁回旋半徑r=mvqB均相等，因粒子射入磁場(chǎng)方向不同，因而形成不同的磁偏轉(zhuǎn)徑跡，磁偏轉(zhuǎn)徑跡的包絡(luò)面如圖8所示，弧面NP到Na之間是粒子磁回旋的包絡(luò)面。在這一包絡(luò)面中，穿出磁場(chǎng)進(jìn)入上方勻強(qiáng)電場(chǎng)中的粒子中，磁偏轉(zhuǎn)中最短的弦是有界磁場(chǎng)的間距oa和bc的距離，因此在磁偏轉(zhuǎn)半徑一定的前提下，最短的弦對(duì)應(yīng)最短的磁偏轉(zhuǎn)路程。

圖8

2.追蹤分析物理過(guò)程不僅是解決物理問(wèn)題的能力，更是發(fā)展學(xué)科思維能力的關(guān)鍵。很多時(shí)候我們只局限在磁偏轉(zhuǎn)這一物理過(guò)程的最值分析而忽視了后續(xù)跟進(jìn)發(fā)生的物理過(guò)程。向-x方向射出的粒子經(jīng)過(guò)磁偏轉(zhuǎn)后，沿y軸正向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)勻變速直線運(yùn)動(dòng)后，再次以相同大小的速率沿y軸負(fù)向進(jìn)入有界磁場(chǎng)，再次發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，通過(guò)作圖法定性描繪再次發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)的徑跡，通過(guò)幾何關(guān)系求解磁偏轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的圓心角，從而求解第二次磁偏轉(zhuǎn)經(jīng)歷的時(shí)間。

圖9

解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖8，由牛頓第二定律可得：qvB=mv2R，解得：R=0.20m。

（2）由幾何知識(shí)可知最短弦對(duì)應(yīng)最短的弧長(zhǎng)，如圖9所示，α=60°，最短的弧長(zhǎng)即為最短路程s=Rα=π15=0.21m。

（3）粒子磁偏轉(zhuǎn)的周期T=2πRv=6.28×10-7s。

粒子在磁場(chǎng)中沿NP運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=T4。

粒子在電場(chǎng)中的加速度a=Eqm，又因?yàn)関=at2，解得：t2=1.0×10-7s，粒子在電場(chǎng)中往返運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，即t2=t3。

由圖9可知cosθ=12，故θ=60°。

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的第二部分時(shí)間t4=θ2πT=T6。

粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t總=t1+t2+t3+t4=4.6×10-7s。

綜合上述分析可知，粒子以確定的速度進(jìn)入指定區(qū)有界磁場(chǎng)，發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)的徑跡因磁場(chǎng)的強(qiáng)弱、分布范圍和粒子自身的運(yùn)動(dòng)特征而受到限定，磁場(chǎng)的分布限定了磁偏轉(zhuǎn)徑跡，從而決定了磁偏轉(zhuǎn)所夾弦的大小，通過(guò)求解弦的大小來(lái)求解磁偏轉(zhuǎn)通過(guò)的路程就成為解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。在磁場(chǎng)分布范圍一定的前提下，磁偏轉(zhuǎn)半徑越小，磁偏轉(zhuǎn)越大，磁偏轉(zhuǎn)的圓心角也就越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也就越長(zhǎng)。

（責(zé)任編輯 易志毅）