鄭一平

概率是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要分支，是高中新課程數(shù)學(xué)新增知識之一，它既與高中相關(guān)學(xué)科知識間聯(lián)系密切，又是中數(shù)與高數(shù)的銜接點，因此成為近年高考考查的重點.高考復(fù)習(xí)中應(yīng)充分利用概率知識的交匯性，充分挖掘相關(guān)學(xué)科背景下的概率問題，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)，提高應(yīng)用知識綜合分析問題和解決問題的能力.下面歸納新課程知識交匯背景下的十一類概率問題并通過典型實例進行分析點評，供復(fù)習(xí)時參考.

1.概率與函數(shù)知識交匯

例1某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.（Ⅰ）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）記“函數(shù)f（x）=x2-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.

分析與略解（Ⅰ）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.

客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3.

P（ξ=3）=P（A1·A2·A3）+P（A

1·A2·A3）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A2）P（A3）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

P（ξ=1）=1-0.24=0.76.

所以ξ的分布列為

ξ13

P0.760.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）解法一因為f（x）=（x-32ξ）2+1-94ξ2，所以函數(shù)f（x）=x2-3ξx+1在區(qū)間[32ξ，+∞）上單調(diào)遞增，要使f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，當且僅當32ξ≤2，即ξ≤43.

可根據(jù)情況，將其中的一個平面以某直線為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)適當?shù)慕嵌?，使兩個平面重合.

例13設(shè)三棱錐V-ABC中，∠AVB =∠BVC =∠CVA=90°，求證△ABC是銳角三角形.

圖15

解析利用旋轉(zhuǎn)變換將Rt△VAB繞AB轉(zhuǎn)至平面ABC內(nèi)，如圖15所示.做VD⊥AB于D，連結(jié)CD，根據(jù)三垂線定理，得CD⊥AB.

在Rt△VCD中，∵CD > VD，在CD上截取DE=DV，則△ABE≌△ABV（相當于將△AVB繞AB轉(zhuǎn)至平面ABC內(nèi)得到△AEB），

∴∠AEB =∠AVB=90°.

∵E在CD線段內(nèi)，∠ACB<∠AEB=90°，即∠ACB是銳角.

同理可證∠CAB、∠CBA也為銳角，∴△ABC是銳角三角形.

十一、向量

對于立體幾何中的線、面、角度，賦予向量的解釋，利用向量運算的先進技術(shù)優(yōu)勢，可獲得新穎獨特，而富有創(chuàng)造性的妙解.

例14同例3.

解析設(shè)OA、OB、OC、OD兩兩夾角為θ，模為R，由正四面體的對稱性可知：OA+OB+OC+OD=0，因而OA·（OA+OB+OC+OD）=0，即R2+3R2cosθ=0，得cosθ=-13.

又AO+OB=AB（OB-OA）2=（AB）2OB2+OA2-2OB·OA=2R2+R2-2R2×（-13）=2R2=34S球=4πR2=3π.應(yīng)選A.

（收稿日期：2014-02-12）

從而P（A）=P（ξ≤43）=P（ξ=1）=0.76.

解法二ξ的可能取值為1，3.

當ξ=1時，函數(shù)f（x）=x2-3x+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，

當ξ=3時，函數(shù)f（x）=x2-9x+1在區(qū)間[2，+∞）上不單調(diào)遞增.所以P（A）=P（ξ=1）=0.76.

評析本題可以通過建立函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)求最值的方法達到求解目的.

2.概率與方程知識交匯

例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2（a-2）x-b2+16=0.

（1）若a、b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率；

（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程沒有實根的概率.

分析與略解（1）基本事件（a，b）共有36個，

方程有正根等價于a-2>0，16-b2>0，Δ≥0，即a>2，-4

設(shè)“方程有兩個正根”為事件A，則事件A包含的基本事件為（6，1），（6，2），（6，3），（5，3）共4個，

故所求的概率為P（A）=436=19；

（2）試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面積為S（Ω）=16.

設(shè)“方程無實根”為事件B，則構(gòu)成事件B的區(qū)域為

B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）2+b2<16}，

其面積為S（B）=14×π×42=4π，故所求的概率為P（B）=4π16=π4.

評析本題通過利用方程思想結(jié)合幾何概型知識進行思考，并通過計算達到解決問題目的.

3.概率與不等式知識交匯

例3設(shè)S是不等式x2-x-6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S.（1）記使得“m+n=0成立的有序數(shù)組（m，n）”為事件A，試列舉A包含的基本事件.（2）記ξ=m2，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）.

分析與略解（1）由x2-x-6≤0得-2≤x≤3，即S={x|-2≤x≤3}，

由于整數(shù)m，n∈S且m+n=0，所以A包含的基本事件為（-2，2），（2，-2），（-1，1），（1，-1），（0，0）.

（2）由于m的所有不同取值為-2，-1，0，1，2，3，所以ξ=m2的所有不同取值為0，1，4，9，且有P（ξ=0）=16，P（ξ=1）=26=13，P（ξ=4）=26=13，P（ξ=9）=16，故ξ的分布列為

ξ0149

P16131316

所以E（ξ）=0×16+1×13+4×13+9×16=196.

4.概率與數(shù)列知識交匯

例4有人玩擲硬幣走跳跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是12.棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…第100站. 一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次. 若擲出正面，棋子向前跳一站（從k到k+1）；若擲出反面，棋子向前跳二站（從k到k+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結(jié)束. 設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn.（1）求P0，P1，P2的值；（2）求證：Pn-Pn-1=-12（Pn-1-Pn-2），其中n∈N，2≤n≤99；（3）求P99及P100的值.

分析與略解（1）棋子開始在第0站為必然事件，∴P0=1，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為12，∴P1=12，棋子跳到第二站應(yīng)從如下兩方面考慮：①第一、二次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為14；②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為12.∴P2=14+12=34.

（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況有下列兩種，而且也只有兩種：①棋子先到第n-2站，又擲出反面，其概率為12Pn-2；②棋子先到第n-1站，又擲出正面，其概率為12Pn-1.∴Pn=12Pn-2+12Pn-1，∴Pn-Pn-1=-12（Pn-1-Pn-2）.

（3）由（2）知，當2≤n≤99時，數(shù)列{Pn-Pn-1}是首項為P1-P0=-12，公比為-12的等比數(shù)列. ∴P1-1=-12，P2-P1=（-12）2，P3-P2=（-12）3，…，Pn-Pn-1=（-12）n.

以上各式相加，得Pn-1=（-12）+（-12）2+…+（-12）n，

∴Pn=1+（-12）+（-12）2+…+（-12）n=23[1-（-12）n+1]，（n=0，1，2，…，99）.

∴P99=23[1-（12）100]，P100=12P98=12·23[1-（-12）99]=13[1+（12）99].

評析本題形式新穎，巧妙地把概率與數(shù)列進行交匯，解決的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，利用數(shù)列知識解決遞推數(shù)列之間關(guān)系，從而達到問題的解決.

5.概率與向量知識交匯

圖1

例5 （2013年高考江西卷（文））小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6（如圖1）這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋.

（1）寫出數(shù)量積X的所有可能取值；

（2）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

分析與略解（1） X的所有可能取值為-2 ，-1，0， 1.

（2）數(shù)量積為-2的只有

OA2·OA5一種.

數(shù)量積為-1的有OA1·OA5，

OA1·OA6，

OA2·OA4，

OA2·OA6，

OA3·OA4，

OA3·OA5六種，

數(shù)量積為0的有

OA1·OA3，

OA1·OA4，

OA3·OA6，

OA4·OA6四種，

數(shù)量積為1的有OA1·OA2，

OA2·OA3，

OA4·OA5，

OA5·OA6四種，

故所有可能的情況共有15種.

所以小波去下棋的概率為p1=715.

因為去唱歌的概率為p2=415，所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-415=1115.

評析本題（1）關(guān)鍵是對向量知識的理解，（2）關(guān)鍵是在（1）的基礎(chǔ)上要注意到滿足條件的可能結(jié)果，利用分類推理獲得遞推關(guān)系.

6.概率與立幾知識交匯

圖2

例6如圖2，四棱錐P-ABCD中，PA=AB=AD=1.

（Ⅰ）請你在下面四個選項中選擇2個作為條件，使得能推出平面PCD⊥平面PAD，并證明.

①PB=PD=2； ②四邊形ABCD是正方形；

③PA⊥平面ABCD； ④平面PAB⊥平面ABCD.

（Ⅱ）在（Ⅰ）選擇的條件下，在四棱錐P-ABCD的表面

上任取一個點，求這個點在四棱錐P-ABCD側(cè)面內(nèi)的概率.

分析與略解（Ⅰ）選擇①②作為條件.

證明如下：∵PA=AD=1，PD=2， ∴PD2=PA2+AD2.

∴∠PAD=90°，即PA⊥AD.同理，可證PA⊥AB， ∴PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∴ CD⊥平面PAD.

又CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， PA⊥AB，PA⊥AD，

∵CD⊥平面PAD ∴CD⊥PD，同理有BC⊥PB.

S△PAB=S△PAD=12×PA×AD=12×1×1=12，S△PCB=S△PCD=12×PD×CD=12×2×1=22，SABCD=AB2=1.

∴在四棱錐P-ABCD的表面上任取一個點，這個點在四棱錐P-ABCD側(cè)面內(nèi)的概率是S△PAB+S△PAD+S△PCB+S△PCDS△PAB+S△PAD+S△PCB+S△PCD+SABCD=1+22+2=22.

（注：選擇②③也是正確的，其余選擇都是錯誤的.）

點評（Ⅰ）是一道開放式判斷推理題，通過分析選擇條件并進行推理證明達到目的.（Ⅱ）則把立幾與概率相結(jié)合，考查幾何概型問題.只要分別計算出它們的面積即可求得滿足條件的概率.

7.概率與物理知識交匯

圖3

例7如圖3，在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān)JA、JB、JC，只要其中有1個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)開關(guān)JA、JB、JC能夠閉合的概率分別是45、35、25，

計算：（1）在這段時間內(nèi)恰好3個開關(guān)都閉合的概率；

（2）在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率.

分析與略解（1）P=45×35×25=24125； （2）P=1-（1-45）×（1-35）×（1-25）=119125.

評析本題關(guān)鍵要掌握物理相關(guān)知識，考慮電路通與不通的條件進行解題.

8.概率與體育比賽問題交匯

例8在世界杯排球賽中，中國女排與俄羅斯女排以“五局三勝”制進行決賽，根據(jù)以往戰(zhàn)況，中國女排在每一局中贏的概率為35，已知比賽中，俄羅斯女排先勝了第一局，求：（1）中國女排在這種情況下取勝的概率；（2）求本場比賽只打四局就結(jié)束的概率.（均用分數(shù)作答）

分析與略解（1）中國女排取勝的情況有兩種，第一種是中國女排連勝三局，第二種是在第2局到第4局，中國女排贏了兩局，第5局中國女排贏，∴中國女排取勝的概率為（35）3+C23·（35）2×25×35=297625.

（2）C12·（25）2×35+（35）3=51125.

評析本題涉及概率應(yīng)用問題，特別是體育比賽中經(jīng)常遇到類似問題，因此必須讓學(xué)生能熟練應(yīng)用所學(xué)概率知識靈活解決這類問題.

9.概率與實際問題交匯

例9根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對工期的影響如下表：

降水量X X<300300≤X<700700≤X<900X≥900

工期延誤天數(shù) 02610

歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9. 求：

（Ⅰ）工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是300mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率.

分析與略解（Ⅰ）由已知條件和概率的加法公式有：P（X<300）=0.3，P（300≤X<700）=P（X<700）-P（X<300）=0.7-0.3=0.4，

P（700≤X<900）=P（X<900）-P（X<700）=0.9-0.7=0.2.

P（X≥900）=1-P（X<900）=1-0.9=0.1.

所以Y的分布列為：

Y 0 2 6 10

P 0.3 0.4 0.2 0.1

于是，E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3；

D（Y）=（0-3）2×0.3+（2-3）2×0.4+（6-3）2×0.2+（10-3）2×0.1=9.8.

故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. （Ⅱ）由概率的加法公式，P（X≥300）=1-P（X<300）=0.7，

又P（300≤X<900）=P（X<900）-P（X<300）=0.9-0.3=0.6. 由條件概率，得P（Y≤6|X≥300）=P（X<900|X≥300）=P（300≤X<900）P（X≥300）=0.60.7=67.

故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是67.

評析現(xiàn)實生活中與概率問題有關(guān)的實際問題經(jīng)常會遇到，通過這些問題引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)知識應(yīng)用于解決實際問題是新課程重要目的，也是教學(xué)中要特別關(guān)注的問題.

10.概率與統(tǒng)計交匯問題

例10我區(qū)高三期末統(tǒng)一測試中某校的數(shù)學(xué)成績分組統(tǒng)計如下表：

分組頻數(shù)頻率

（0，30]30.03

（30，60]30.03

（60，90]370.37

（90，120]mn

（120，150]150.15

合計MN

圖4

（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在圖4給出的坐標系中畫出頻率分布直方圖；

（Ⅱ）若我區(qū)參加本次考試的學(xué)生有600人，試估計這次測試中我區(qū)成績在90分以上的人數(shù)；

（Ⅲ）若該校教師擬從分數(shù)不超過60的學(xué)生中選取2人進行個案分析，求被選中2人分數(shù)均不超過30分的概率.

分析與略解（Ⅰ）由頻率分布表得M=30.03=100 ， 所以m=100-（3+3+37+15）=42，n=42100=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1. 概率分布直方圖如圖5所示.

圖5

（Ⅱ）由題意知，全區(qū)90分以上學(xué)生估計為42+15100×600=342人.

（Ⅲ）設(shè)考試成績在（0，30]內(nèi)的3人分別為A、B、C；

考試成績在（30，60]內(nèi)的3人分別為a、b、c，

從不超過60分的6人中，任意抽取2人的結(jié)果有：

（A，B），（A，C），（A ，a），（A，b），（A，c），

（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），

（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有15個.

設(shè)抽取的2人的分數(shù)均不大于30分為事件D.則事件D含有3個結(jié)果： （A，B），（A，C） ，（B，C） .

∴P（D）=315=15.

11.概率與算法圖6

例11（2013年四川高考試題）某算法的程序框圖如圖6所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個

整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生.

（Ⅰ）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概

率Pi（i=1，2，3）；

（Ⅱ）甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù).

甲的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分）

運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)

3014610

…………

21001027376697

乙的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分）

運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)

3012117

…………

21001051696353

當n=2100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率（用分數(shù)表示），并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.

分析與略解（Ⅰ）變量x是在1，2，3，…，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能.

當x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1=12；

當x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2=13；

當x從6，12，18，24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3=16.

所以輸出y的值為1的概率為12，輸出y的值為2的概率為13，輸出y的值為3的概率為16.

（Ⅱ）當n=2100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率如下，

輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率

甲1027210037621006972100

乙10512100 69621003532100

比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編寫程序符合算法要求的可能性較大.

總之，概率與中學(xué)知識密切相關(guān)，具有很強的交匯性，應(yīng)重視概率知識的工具性，發(fā)揮其應(yīng)有的功能，真正達到學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué).

（收稿日期：2014-08-12）