鄧一三，徐 斌，王燕楠

(1. 中國(guó)中鐵西南科學(xué)研究院，四川 成都 610031；2.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500)

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拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)圓拱穩(wěn)定性的影響研究

鄧一三1，徐 斌1，王燕楠2

(1. 中國(guó)中鐵西南科學(xué)研究院，四川 成都 610031；2.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500)

根據(jù)能量法，建立基于拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡方程和平衡穩(wěn)定性方程，分析了拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)兩端固支圓拱屈曲性能的影響。研究表明：拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)將導(dǎo)致拱的極限屈曲荷載減小，越是深拱，其影響越明顯；拱的長(zhǎng)細(xì)比越小，拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)極限屈曲荷載的影響越明顯；拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)將改變拱屈曲方式的拱型幾何參數(shù)分界值，反對(duì)稱(chēng)的平衡分岔屈曲的范圍將隨著拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的增加而擴(kuò)大。

橋梁工程；拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)；屈曲荷載；屈曲方式；能量法

拱結(jié)構(gòu)以其優(yōu)美的結(jié)構(gòu)造型、簡(jiǎn)潔的傳力路徑和經(jīng)濟(jì)的造價(jià)被廣泛應(yīng)用于橋梁與建筑結(jié)構(gòu)，其穩(wěn)定性問(wèn)題的研究也一直備受關(guān)注。

1962年，A．Gjelsvik，等[1]首次應(yīng)用能量法研究了集中荷載下變截面固支拱的屈曲問(wèn)題；隨后H．L．Schreger，等[2]對(duì)固支矩形截面拱的對(duì)稱(chēng)屈曲進(jìn)行了分析；J．F．Dickie，等[3]研究了鉸支和固支矩形截面淺圓拱的屈曲問(wèn)題；Pi Yonglin，等[4]研究了支承剛度和沖擊荷載對(duì)臨界荷載以及屈曲方式的影響；M．Jiho，等[5]研究了拋物線(xiàn)鉸支拱的非線(xiàn)性屈曲性能。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)拱的屈曲穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究[6]。劇錦三，等[7]研究了拱結(jié)構(gòu)的彈性二次屈曲性能；戴莉莉，等[8]和李召兵，等[9]在拱的屈曲分析中引入突變理論；陳浩軍，等[10]用有限元法研究了拱結(jié)構(gòu)屈曲的幾何非線(xiàn)性特性；程鵬，等[11]完整的考慮了橫向應(yīng)力和剪應(yīng)力的二階效應(yīng)，推導(dǎo)了拱的非線(xiàn)性平衡方程；衛(wèi)星，等[12]在拱的面內(nèi)彈性屈曲中考慮了二階效應(yīng)。

隨著現(xiàn)役拱橋和拱結(jié)構(gòu)建筑建造年齡的增長(zhǎng)，往往因局部地基承載力不足導(dǎo)致拱腳擾動(dòng)，從而對(duì)拱結(jié)構(gòu)的承載能力及穩(wěn)定性產(chǎn)生不利的影響。筆者以?xún)啥斯讨A拱為對(duì)象，研究在不同的拱的長(zhǎng)細(xì)比和深坦度下，拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)拱結(jié)構(gòu)承載能力和穩(wěn)定性的影響。

1 拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)引起的彎曲和膜應(yīng)變

當(dāng)拱腳支承處發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將引起超靜定固支拱內(nèi)的附加內(nèi)力。根據(jù)彈性中心法，拱腳左端發(fā)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)腳位移時(shí)，拱圈內(nèi)的彎曲應(yīng)變?chǔ)舃和膜應(yīng)變分εm為：

(1)

(2)

式中：rx為截面的慣性半徑；f為拱高；ys為彈性中心到拱頂?shù)木嚯x；R為拱半徑；L為拱跨；Θ為拱張開(kāi)角的1/2。

拱的幾何形狀見(jiàn)圖1。

圖1 拱的幾何形狀和坐標(biāo)

2 基于拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的屈曲臨界平衡穩(wěn)定方程

根據(jù)結(jié)構(gòu)總勢(shì)能定義，并將總勢(shì)能表達(dá)式除以常量E·A·R，得到修正的結(jié)構(gòu)總勢(shì)能：

(3)

根據(jù)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的能量準(zhǔn)則，總勢(shì)能的一階變分為0時(shí)結(jié)構(gòu)處于平衡臨界狀態(tài)，可得到徑向和軸向的平衡方程分別為：

n3)=0

(4)

(5)

式中：μ2=NR2/(EI)；N是常數(shù)，為膜應(yīng)力的合力。

根據(jù)膜應(yīng)變等于拱結(jié)構(gòu)的平均軸向應(yīng)變，可建立補(bǔ)充方程：

(6)

聯(lián)立平衡方程式(4)、式(5)和補(bǔ)充方程式(6)，并代入兩端固支圓拱的邊界條件，可得考慮拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的臨界平衡方程：

(7)

式中：H′和G′均是關(guān)于μ，α，Θ，S，和λs的函數(shù)；S為拱軸線(xiàn)長(zhǎng)度；λs=0.25(S/rx)(S/R)為拱型幾何參數(shù)，S/rx反映了拱的長(zhǎng)細(xì)比，S/R反映了拱的深坦度；β=(Ncr-N)/N；Ncr=qcrR為平衡臨界狀態(tài)下考慮拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的組合名義軸力。

3 基于拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)屈曲平衡穩(wěn)定性分析

總勢(shì)能的2階變分為0，顯示了結(jié)構(gòu)平衡從穩(wěn)定狀態(tài)到不穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)渡，為屈曲發(fā)生的標(biāo)志?？倓?shì)能式(3)的二階變分為：

(8)

令δ2Π*=0，可得到徑向和軸向的平衡穩(wěn)定方程分別為：

(9)

根據(jù)膜應(yīng)變等于拱結(jié)構(gòu)的平均軸向應(yīng)變，可建立補(bǔ)充方程：

(10)

拱的面內(nèi)屈曲方式分別為反對(duì)稱(chēng)的分岔屈曲和對(duì)稱(chēng)的極值點(diǎn)屈曲。

3.1 基于拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的反對(duì)稱(chēng)分岔屈曲平衡穩(wěn)定性

εmb=0

(11)

將平衡穩(wěn)定方程(9)和補(bǔ)充方程(11)聯(lián)立，并代入固支圓拱邊界條件，可得反對(duì)稱(chēng)平衡分岔屈曲下結(jié)構(gòu)平衡穩(wěn)定的臨界條件：

μΘ=1.430 3π

(12)

聯(lián)立式(7)與式(12)，即可求出未知量β和μ，從而得到反對(duì)稱(chēng)平衡分岔屈曲時(shí)臨界狀態(tài)下的Ncr值，最終求得反對(duì)稱(chēng)平衡分岔屈曲的臨界荷載qcr。

3.2 基于拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)極值點(diǎn)屈曲平衡穩(wěn)定性

C1·β2+C2·β+C3=0

(13)

式(13)也是關(guān)于未知量β和μ，并與拱腳轉(zhuǎn)角位移α和拱型參數(shù)λs有關(guān)的方程。同理可通過(guò)聯(lián)立式(7)與式(13)，求得對(duì)稱(chēng)極值點(diǎn)屈曲的臨界荷載qcr。

4 拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)屈曲性能影響分析

拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)屈曲性能的影響主要體現(xiàn)在對(duì)拱的極限屈曲荷載大小、屈曲方式的影響，以及產(chǎn)生拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)細(xì)比和深坦度對(duì)拱屈曲性能影響的變化。

筆者研究了徑向均布荷載作用下，兩端固支圓拱在拱腳左端發(fā)生逆時(shí)針的轉(zhuǎn)角位移時(shí)，不同參數(shù)下拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)拱的屈曲性能的影響(拱體的彈性模量E=3.3e11 Pa，截面慣性矩I=0.046 875 m4，截面高H=0.866 m，截面面積A= 0.75 m2)。

圖2描述了拱的長(zhǎng)細(xì)比S/rx=100時(shí)(S/rx一定，λs反映了拱的深坦度)，不同的深坦度下(λs分別為52.36，31.42，22.44和13.09)Ncr/NFB值隨拱腳逆時(shí)針轉(zhuǎn)角α的變化規(guī)律。

圖2 拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的α-Ncr/NFB圖

圖2中：NFB=(1.430 3π)2EI/(S/2)2為無(wú)拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的臨界軸力[14]?？梢?jiàn)：越是深拱，Ncr/NFB值越明顯的隨著拱腳轉(zhuǎn)角α的增大而減小；而拱越坦，則影響越不明顯。表明當(dāng)拱的長(zhǎng)細(xì)比一定時(shí)，不同深坦度下，拱腳的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角位移對(duì)極限屈曲荷載的影響不同。

圖3描述了拱的長(zhǎng)細(xì)比S/rx=100時(shí)，在不同的拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)下(α分別為0，π/40和π/20)Ncr/NFB值隨λs的變化?？梢?jiàn)：①當(dāng)拱腳轉(zhuǎn)角α一定時(shí)，隨著λs值的減小，拱的屈曲方式逐漸從反對(duì)稱(chēng)的平衡分岔屈曲變?yōu)閷?duì)稱(chēng)的極值點(diǎn)屈曲；②當(dāng)拱腳左端產(chǎn)生α=π/40和α=π/20的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角位移時(shí)，屈曲方式的拱型幾何參數(shù)分界值由無(wú)拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的λs≈17.5分別變?yōu)棣藄≈17.1和λs≈16.8，表明逆時(shí)針拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)擴(kuò)大了拱反對(duì)稱(chēng)分岔屈曲的范圍。

圖3 拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的λs-Ncr/NFB圖

圖4描述了拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)一定時(shí)(α=π/20)，不同的長(zhǎng)細(xì)比下(λs/Θ分別為25，50，75和100)，Ncr/NFB值隨拱的深坦度Θ的變化?？梢?jiàn)：當(dāng)拱的深坦度一定時(shí)，拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)極限屈曲荷載的影響隨著長(zhǎng)細(xì)比的增加而減小。即當(dāng)拱的長(zhǎng)細(xì)比較小時(shí)，拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)極限屈曲荷載的影響較大，反之則較小。

圖4 拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的Θ-Ncr/NFB圖

5 結(jié) 語(yǔ)

以固支圓拱為研究對(duì)象，通過(guò)能量法建立了基于拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡方程和平衡穩(wěn)定性方程，分析了拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)拱屈曲性能的影響。研究表明：拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)將導(dǎo)致拱的極限屈曲荷載減小，越是深拱，其影響越明顯；拱的長(zhǎng)細(xì)比越小，拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)極限屈曲荷載的影響越明顯；拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)將改變拱屈曲方式的拱型幾何參數(shù)分界值，反對(duì)稱(chēng)的平衡分岔屈曲的范圍將隨著拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)的增加而擴(kuò)大。

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Effects of Angular Displacement of Skewback on Stability Performance of Circular Arch

Deng Yisan1, Xu Bin1, Wang Yannan2

(1. China Southwest Research Institute of China Railway Engineering Co. Ltd., Chengdu 610031, Sichuan, China; 2. School of Mechatronic Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, Sichuan, China)

According to the energy criterion of structure stability, the balance equation and the equilibrium stability equation were obtained. Next, the effects of angular displacement of skewback on buckling performance of circular arch were worked out by means of the simultaneous solution of balance equation and equilibrium stability equation. The following conclusions can be drawn from the above research: the angular displacement of skewback will lead to the decrease of buckling load of deep arch; the effects of angular displacement of skewback on buckling load are changed by opening angle of arch; the effects of angular displacement of skewback on buckling load are more evident with the decrease of slenderness ratio of arch; the dividing values of geometric parameter of arch are enlarged with the increase of angular displacement of skewback.

bridge engineering; angular displacement of skewback; buckling load; buckling mode; energy method

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.01.05

2013-11-20；

2014-02-23

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51174173)

鄧一三(1982—)，男，四川南充人，工程師，碩士，主要從事結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析方面的研究。E-mail:dphqbys@163.com。

TU501；TU511.3

A

1674-0696(2015)01-022-03