孫艷玲 梁煜恒 常素萍

( 1.湖北文理學(xué)院，襄陽 441053； 2.汽車零部件制造裝備數(shù)字化湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心， 襄陽 441053；3.華中科技大學(xué)，武漢 470074)

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接觸式表面輪廓測(cè)量?jī)x的非線性誤差分析與補(bǔ)償*

孫艷玲1，2梁煜恒1常素萍3

( 1.湖北文理學(xué)院，襄陽 441053； 2.汽車零部件制造裝備數(shù)字化湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心， 襄陽 441053；3.華中科技大學(xué)，武漢 470074)

分析了大量程接觸式輪廓測(cè)量過程中非線性誤差產(chǎn)生的原因，改進(jìn)了測(cè)桿結(jié)構(gòu)，建立了非線性誤差模型，推導(dǎo)出多項(xiàng)式擬合誤差的補(bǔ)償算法，采用標(biāo)準(zhǔn)球通過實(shí)驗(yàn)反算出多項(xiàng)式系數(shù)并驗(yàn)證了該方法的可靠性。

接觸式輪廓測(cè)量；非線性誤差補(bǔ)償；多項(xiàng)式擬合

0 引言

接觸式測(cè)量因其測(cè)量結(jié)果可靠、穩(wěn)定和重復(fù)性好，得到國際測(cè)量界一致認(rèn)可。測(cè)量時(shí)杠桿繞支點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)針針尖走過一段圓弧軌跡，針尖在移動(dòng)過程中的豎直位移量是粗糙度測(cè)量所需的表面形貌信息，水平向位移偏差由于非常小可以忽略。但在大量程表面輪廓測(cè)量時(shí)，豎直向位移達(dá)到毫米級(jí)，水平偏差可達(dá)到微米級(jí)，該誤差就不能忽略且必須補(bǔ)償。為此研究出一種容易實(shí)現(xiàn)的、高效的誤差補(bǔ)償方式，對(duì)于完整的輪廓測(cè)量?jī)x十分必要。

1 傳統(tǒng)接觸式輪廓測(cè)量?jī)x的結(jié)構(gòu)及杠桿受力分析

傳統(tǒng)接觸式輪廓儀工作原理如圖1示，測(cè)量工件表面輪廓時(shí)，二維工作臺(tái)在伺服電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下勻速水平進(jìn)給，觸針隨著工件表面的起伏上下移動(dòng)，基于邁克爾遜干涉原理的微位移傳感器通過杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)檢測(cè)觸針的高度變化[1-5]獲取表面輪廓數(shù)據(jù)。

圖1 傳統(tǒng)激光干涉式接觸式輪廓儀的工作原理圖

對(duì)圖2所示系統(tǒng)的杠桿受力分析得出力學(xué)模型，其中Fk為彈簧彈力；N1為轉(zhuǎn)軸支點(diǎn)O對(duì)杠桿的支撐力；f為轉(zhuǎn)軸軸承旋轉(zhuǎn)時(shí)受到的摩擦力；G為測(cè)桿重力；N為測(cè)量力，測(cè)量力定義為杠桿與工件接觸位置受到的豎直向上的力。

圖2 杠桿系統(tǒng)受力圖

以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，建立杠桿受力平衡方程：

(1)

簡(jiǎn)化式(1)得到測(cè)量力N的表達(dá)式：

(2)

f=N1μ

(3)

其中，r為杠桿轉(zhuǎn)軸半徑；μ為軸承動(dòng)摩擦系數(shù)。

由式(2)可知，當(dāng)杠桿長度及重心位置等參數(shù)為常數(shù)時(shí)，測(cè)量力N隨杠桿轉(zhuǎn)角θ而變化，它們之間的力學(xué)關(guān)系非常復(fù)雜，其中常數(shù)θ1，θ2是影響表達(dá)式復(fù)雜程度的關(guān)鍵因素，對(duì)數(shù)據(jù)的誤差補(bǔ)償不利，必須簡(jiǎn)化受力從結(jié)構(gòu)上消除這兩個(gè)常數(shù)。

2 傳感器杠桿結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)

基于前面分析，如圖3示，采用重心可調(diào)的弓形測(cè)桿結(jié)構(gòu)，使測(cè)針針尖與杠桿支點(diǎn)及位移計(jì)量點(diǎn)在一條直線上，消去傳統(tǒng)杠桿模型中的參數(shù)θ2。誤差補(bǔ)償時(shí)，平衡位置上下的補(bǔ)償量完全對(duì)稱，降低誤差補(bǔ)償?shù)碾y度。采用重心調(diào)整裝置(該調(diào)整裝置能夠在杠桿上左右滑動(dòng)，自身還包括一個(gè)能上下調(diào)整的平衡螺母)可將杠桿重心調(diào)整至轉(zhuǎn)軸處，消去傳統(tǒng)杠桿模型中的參數(shù)θ1。使杠桿系統(tǒng)的重心與轉(zhuǎn)軸基本重合，消除重力在測(cè)量過程中的轉(zhuǎn)矩，保證測(cè)量力穩(wěn)定。

圖3 改進(jìn)后的杠桿結(jié)構(gòu)

3 非線性誤差模型建立

弓形杠桿的幾何模型如圖4示，弓形杠桿在測(cè)量過程中繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)頭針尖以支點(diǎn)O為圓心，L1為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)。采集的數(shù)據(jù)是杠桿另一端距離支點(diǎn)為L2的計(jì)量系統(tǒng)在垂直方向上的位移，測(cè)頭針尖在X方向上除了要計(jì)算工作臺(tái)的移動(dòng)距離X′外還要考慮由于杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)所引起的偏移ΔX。同理針尖在Y方向的位移Y與計(jì)量系統(tǒng)測(cè)量值也不是線性關(guān)系。

圖4 弓形杠桿的幾何模型

假設(shè)測(cè)量時(shí)杠桿從平衡位置順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，針尖上升高度Y，杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ。Y與θ滿足關(guān)系：

Y=L1sinθ

(4)

同時(shí)，X向有偏移ΔX，ΔX與θ滿足關(guān)系：

ΔX=X-X′=L1(1-cosθ)

(5)

其中X為測(cè)頭針尖在X向?qū)嶋H位移值，計(jì)量系統(tǒng)測(cè)量值為：

Y′=Δh×K=K×L2tanθ

(6)

K為線性比例常數(shù)。由式 (4)，(5)得：

Y=Y′L1cosθ/KL2

(7)

X=X′+L1(1-cosθ)

(8)

由式 (7)，(8)可看出Y與Y′、X與X′沒有確定線性關(guān)系。

4 非線性誤差補(bǔ)償

4.1 非線性誤差分析

為得出兩個(gè)方向的非線性誤差與針尖移動(dòng)距離Y之間的關(guān)系(Y的最大取值反映了杠桿系統(tǒng)的量程)，將誤差都表示為Y與其他常量的函數(shù)：

ΔY=Y-Y′=Y-KL2tan[arcsin(Y/L1)]

(9)

ΔX=X-X′=L1{1-cos[arcsin(Y/L1)]}

(10)

4.2 測(cè)參數(shù)反算誤差的補(bǔ)償方法

假設(shè)杠桿各段長度能真實(shí)獲得，取L2=50mm，L1=150mm，K=L1/L2=3，通過公式(6)反算角度θ，代入公式(9)、(10)求出誤差值直接補(bǔ)償即可有效消除非線性誤差。但在實(shí)際操作中，由于L1、L2在加工及安裝過程中不可能完全與設(shè)計(jì)尺寸相同，直接用工具測(cè)量會(huì)引入測(cè)量誤差無法得知其真實(shí)值，為精確計(jì)算補(bǔ)償量帶來極大誤差。Y方向按測(cè)量值所獲得的誤差補(bǔ)償曲線與實(shí)際應(yīng)采用的誤差補(bǔ)償曲線比較如圖5示?？芍苯佑梅钦鎸?shí)值進(jìn)行誤差補(bǔ)償無法滿足高精度輪廓儀測(cè)量要求，常數(shù)參量L1、L2與真實(shí)值的細(xì)微差別都會(huì)給補(bǔ)償結(jié)果帶來影響。因此擬采用對(duì)標(biāo)準(zhǔn)球擬合反算誤差補(bǔ)償參數(shù)的方法彌補(bǔ)理想補(bǔ)償手段在實(shí)際操作中的缺陷，利用文獻(xiàn)[6-8]推薦的補(bǔ)償方式可得：

Y=A1Y′+A2Y′2+A3Y′3+A4Y′4+A5

(11)

X=X′+B1Y′1+B2Y′2+B3Y′3

(12)

測(cè)量時(shí)要獲得X、Y的準(zhǔn)確值只需求得多項(xiàng)式的系數(shù)Ai、Bi，再將測(cè)量值X′、Y′代入即可，采用這種方法可有效避免直接測(cè)量L1，L2引入的誤差。

圖5 測(cè)量值與真實(shí)值計(jì)算出的誤差補(bǔ)償曲線比較

4.3 多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算

通過標(biāo)定弓形杠桿參數(shù)來計(jì)算多項(xiàng)式系數(shù)，采用半徑實(shí)際檢定值為R的高精度標(biāo)準(zhǔn)球同時(shí)標(biāo)定輪廓儀的X與Y向。具體步驟為尋找這樣一組系數(shù)：A1,A2…B1,B2…，要求該組系數(shù)可使一組采樣值通過式(11)、(12)修正后得到的最小二乘圓與標(biāo)準(zhǔn)圓比較時(shí)，尺寸誤差與形狀誤差綜合評(píng)定值最小，即修正后的點(diǎn)能夠盡可能分布在標(biāo)準(zhǔn)圓上或其附近。求得最優(yōu)補(bǔ)償系數(shù)后可利用公式(11)、(12)修正測(cè)量值。

4.4 實(shí)驗(yàn)法實(shí)現(xiàn)非線性誤差補(bǔ)償系數(shù)標(biāo)定及誤差補(bǔ)償

利用性能可靠的垂直微位移工作臺(tái)產(chǎn)生等間

距50μm的位置點(diǎn)，行程為2mm。傳感器測(cè)頭置于工作臺(tái)上，跟隨工作臺(tái)等間距上升，記錄下未補(bǔ)償?shù)膫鞲衅魇緮?shù)值。按照補(bǔ)償公式，利用4階方程對(duì)實(shí)際位移擬合得出A1，A2，A3，A4，A5分別為88.113，0.0050392，-9.2138e-005，1.1663e-006，-0.16188。

利用半徑標(biāo)稱值為80mm的玻璃球冠對(duì)X向非線性誤差補(bǔ)償系數(shù)B1，B2，B3標(biāo)定，該球冠半徑實(shí)測(cè)值為79505.3μm，得到補(bǔ)償系數(shù)B1，B2，B3分別為 -0.00019466， 0.00032836，-1.68e-007。

綜上所述，X，Y向非線性誤差可分別根據(jù)式(13)，(14)進(jìn)行補(bǔ)償。

Y=88.113×Y′+0.0050392×Y′2-(9.2138e-

005)×Y′3+(1.1663e-006)×Y′4-0.16188

(13)

X=X′-0.00019466×Y′1+0.00032836×

Y′2-(1.68e-007)×Y′3

(14)

5 非線性誤差補(bǔ)償效果驗(yàn)證

采用標(biāo)定后的傳感器在不同位置測(cè)量球冠輪廓驗(yàn)證X向與Y向的非線性誤差補(bǔ)償效果，測(cè)量選擇3個(gè)不同位置，每個(gè)位置重復(fù)測(cè)量2次，測(cè)量位置如圖6示。每次輪廓測(cè)量完采用最小二乘法擬合球半徑值，測(cè)得輪廓補(bǔ)償后與未補(bǔ)償擬合半徑值如表1示。

圖6 測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)球冠位置示意圖

表1 6次測(cè)得輪廓補(bǔ)償與未補(bǔ)償擬合半徑值(標(biāo)稱值為79505.3μm)

補(bǔ)償前后誤差值對(duì)比如圖7示，6次擬合半徑均值為：79504.38μm；均值與實(shí)際值差值為：79504.38-79505.3=-0.98μm?？煽闯?，進(jìn)行非線性誤差補(bǔ)償后擬合半徑與標(biāo)稱半徑差值明顯縮小，符合測(cè)量要求。

圖7 補(bǔ)償前后誤差值對(duì)比圖

6 總結(jié)

本文分析了輪廓測(cè)量中誤差補(bǔ)償?shù)闹匾?，建立了傳感器非線性誤差模型。選用了多項(xiàng)式擬合誤差的補(bǔ)償方法，通過使用標(biāo)準(zhǔn)球來反算多項(xiàng)式系數(shù)，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，補(bǔ)償效果良好。

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2013年湖北省教育廳自科類重點(diǎn)科研項(xiàng)目(D20132602)

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.05.03