陳德前

我們先來了解一下集合的有關(guān)概念：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物的總和。這里的“事物”包含的對象非常豐富，可以是人，比如在做廣播操時，各個班級的同學(xué)站在一起，每一個班級的同學(xué)都組成了一個集合；可以是物品，比如全校的黑板擦放在一起就組成了一個黑板擦的集合；也可以是數(shù)學(xué)元素，比如所有正整數(shù)組成了一個集合，所有無理數(shù)組成了一個集合。

19世紀(jì)70年代康托爾創(chuàng)立了著名的集合論。在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈，因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。集合論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家們以為數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性終于實(shí)現(xiàn)了，人們把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的不矛盾性歸結(jié)為集合論的不矛盾性。

可是，英國科學(xué)家羅素認(rèn)為集合論是自相矛盾的，沒有相容性。這就是著名的羅素悖論，或者說是“集合論”悖論。通俗地講，我們知道整體大于部分，可羅素悖論卻告訴我們：整體并不一定大于部分，或者說部分并不一定小于全部。我們可以通過一個例子來說明羅素悖論的含義：

甲乙兩個人進(jìn)行寫數(shù)字比賽，甲寫出一個整數(shù)，乙把它乘以2就得到一個偶數(shù)。

甲：1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，……

乙：2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，……

這樣你來我往，偶數(shù)與整數(shù)一樣多。

但是我們知道，整數(shù)是由奇數(shù)和偶數(shù)構(gòu)成的，一般都認(rèn)為整數(shù)的個數(shù)多于奇數(shù)或偶數(shù)的個數(shù)，也就是整體必然大于部分。但上面的例子卻說明：整數(shù)的個數(shù)與奇數(shù)或偶數(shù)的個數(shù)一樣多。

事實(shí)上，這樣的例子還有很多，我們再看一個幾何方面的例子：

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在斜邊AB上任取一點(diǎn)，向直角邊BC作垂線，垂足在BC上，我們會發(fā)現(xiàn)，對于斜邊AB上的任意一點(diǎn)，直角邊BC上都有一個點(diǎn)與它對應(yīng)，因此斜邊AB上的點(diǎn)與直角邊BC上的點(diǎn)一樣多，即斜邊AB與直角邊BC一樣長。

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看，多么奇怪的結(jié)論！偶數(shù)（奇數(shù)）與整數(shù)一樣多，斜邊與直角邊一樣長。

為什么會出現(xiàn)這樣的奇怪結(jié)論？難道我們以前學(xué)習(xí)的結(jié)論是錯的？

其實(shí)，上面的兩個結(jié)論并不奇怪，我們以前學(xué)習(xí)的結(jié)論也沒有錯，問題是這些結(jié)論成立的前提不同。

我們以前學(xué)習(xí)的結(jié)論是在有窮的情況下研究的，而上面的兩個結(jié)論是在無窮的情況下研究的。比較兩個無窮集合的方法是給兩組無窮大數(shù)列中的每一個數(shù)一一配對，如果這兩組最后一個都不剩，這兩組無窮大就是相等的；如果有一組還有些沒有配完，這一組就比另一組大些。這種方法顯然是合理的也是唯一可行的方法。但是當(dāng)把這種方法實(shí)際應(yīng)用時，會得到許多令人大吃一驚的結(jié)論。根據(jù)上述比較無窮大數(shù)的原則，偶數(shù)的數(shù)目與整數(shù)的數(shù)目是同樣多的。當(dāng)然，這個結(jié)論看起來是非常荒謬的，因?yàn)榕紨?shù)只是整數(shù)的一部分，這與整體大于部分的直覺顯然矛盾。由于這種矛盾首先是伽利略發(fā)現(xiàn)的，故稱“伽利略悖論”?？低袪栒J(rèn)為，伽利略悖論并非什么“悖論”。任何兩組東西，只要能相互一一對應(yīng)，就是一樣多?！罢w大于部分”這條規(guī)律只有在有窮的情況下正確。在無窮大的世界里，部分可能等于全體！這就是無窮的本質(zhì)。