程愛

每次上到統(tǒng)計模塊中“數(shù)據(jù)的離散程度”這節(jié)時總會有一種在邏輯上不是很順暢的感覺，總覺得有些話要說，但又總是期盼著別人也和我有同樣的感覺，能提出來大家議一議這個話題，解決我心中的困惑。恰在此時，合肥市第48中學(xué)孫志峰老師給我們上了一堂高質(zhì)量的“數(shù)據(jù)的離散程度”展示課，課后各兄弟學(xué)校的代表們各抒己見，說出了各自心中的看法和困惑。市、縣的數(shù)學(xué)教育專家也給我們現(xiàn)場解答了很多困惑，我在此基礎(chǔ)上進(jìn)行整理，談?wù)勛约旱囊恍┛捶ā?/p>

一、在“方差”導(dǎo)入上的困惑

有效的導(dǎo)入能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，以學(xué)生的發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引領(lǐng)學(xué)生尋求解決問題的方法和過程，學(xué)生能在解決問題的過程中體會成功的喜悅感。而在這個過程中老師為學(xué)生搭建臺階，讓學(xué)生沿著臺階一步一步走向成功顯得尤為重要，課堂教學(xué)中臺階的搭建往往要借助于教學(xué)情境的導(dǎo)入。教學(xué)情境設(shè)置的好壞往往是一節(jié)課成功與否的關(guān)鍵，而滬科版教材在“方差”這一概念的導(dǎo)入上并沒有起到相應(yīng)的作用。

“數(shù)據(jù)的離散程度”這一節(jié)，滬科版教科書無論是實驗版本還是現(xiàn)行版本都沿用了同一個情境進(jìn)行導(dǎo)入：

問題：兩臺機(jī)床都生產(chǎn)直徑為（20±0.2）mm的零件，為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10個進(jìn)行測量，結(jié)果如下（單位：mm）：

思考：根據(jù)以上結(jié)果評判哪臺機(jī)床生產(chǎn)的零件的精度更穩(wěn)定？

我上課一直以來都要求學(xué)生：新課要回家事先預(yù)習(xí)，上課過程中不允許看書。而恰是這一要求使我在上這一課時出現(xiàn)了不和諧的一幕，一位學(xué)生在求B組平均數(shù)的計算過程中不小心把機(jī)床B中最后一個數(shù)據(jù)19.8看成了20.0來計算，得到xB=20.02mm，于是得到20.02>20.0。這和我的預(yù)設(shè)發(fā)生了沖突，我當(dāng)時并沒有指出這個錯誤，而是利用這個意外的課堂生成問這位學(xué)生：由20.02>20.0，你能得到哪個機(jī)床更穩(wěn)定些？這名學(xué)生思考了半天很猶豫地回答：A機(jī)床更穩(wěn)定些。很顯然這和問題的結(jié)論不符。是置之不理還是加以引導(dǎo)繼續(xù)探究？經(jīng)過短暫的思考后我決定繼續(xù)引導(dǎo)，讓大家各抒己見，大家七嘴八舌展開了討論，但5分鐘過后仍然沒有結(jié)果。事實證明我把問題想簡單了，在課堂上我也反復(fù)問自己，假如真是xB>xA，那么到底哪個機(jī)床更穩(wěn)定一些？不知道！我真的不知道！是課前準(zhǔn)備不充分還是對教材沒有吃透？我對自己產(chǎn)生了質(zhì)疑，隨著下課鈴聲響起，我在尷尬、遺憾和自責(zé)中結(jié)束了這節(jié)課。下課后我直奔辦公室，再次研讀教材、上網(wǎng)查閱相關(guān)資料，沒有結(jié)果；找同事交流，還是沒有結(jié)果，數(shù)學(xué)組的幾位同事開玩笑地說：這孩子真會找茬。

真的是孩子在找茬嗎？如果是xA=xB，這個“薦”找的好！晚上回到家我反復(fù)思考，問題到底出在哪里？是孩子的錯，還是教材的錯？我再次拿起教材仔細(xì)研讀查找原因，最后大膽提出一個質(zhì)疑：教材的導(dǎo)入方法有問題。平均數(shù)根本就不能用來比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度，教材以平均數(shù)來導(dǎo)入新知“方差”的方法本身是有問題的。

教材在分析過程中，把平均數(shù)和中位數(shù)拿來作為衡量一組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的參照量，并且很“巧合”地出現(xiàn)了xA=xB=20.0mm，“中位數(shù)也都是20.0mm”。從數(shù)據(jù)集中趨勢這個角度很難區(qū)分兩個機(jī)床加工精度的穩(wěn)定性，以前學(xué)過的知識解決不了這個問題，這時就需要一種新的知識來解決，然后很自然地引入新知識“方差”。教材整個導(dǎo)入過程看似步步為營，實則強(qiáng)拉硬拽、牽強(qiáng)附會。

統(tǒng)計學(xué)中，平均數(shù)是用來描述數(shù)據(jù)集中趨勢的指標(biāo)之一。所謂數(shù)據(jù)的“集中趨勢”，就是數(shù)據(jù)“向某一中心值聚攏的傾向”，或者說是數(shù)據(jù)的“一般水平、代表值或典型值”，而教材在這里竟然拿來用作衡量一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，邏輯上有點(diǎn)說不通，給人一種為了情境而情境的感覺。學(xué)生在計算過程中的一個不小心，得到20.02>20.0，我們又該下什么樣的結(jié)論？是A機(jī)床穩(wěn)定還是B機(jī)床穩(wěn)定？是平均數(shù)大一點(diǎn)的較穩(wěn)定還是平均數(shù)小一點(diǎn)的較穩(wěn)定？這么一個不小心，就把前面所有精心布的局踏在腳下，而導(dǎo)致這一問題的根本原因是：平均數(shù)根本就不能用來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度。書本上的導(dǎo)入方法給人一種誤導(dǎo)，好像平均數(shù)也能刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，只是沒有方差更細(xì)致罷了，其實不然。平均數(shù)不能用來描述一組數(shù)據(jù)的離散程度。如果按照教材上的導(dǎo)入方法很容易使學(xué)生對數(shù)據(jù)的集中趨勢和數(shù)據(jù)的離散程度兩個概念產(chǎn)生混淆。

二、一點(diǎn)建議

學(xué)生在學(xué)過平均數(shù)這一塊知識后，對平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢并不能馬上理解透徹，這時如果再用與之相近的方法或概念去幫助理解反而適得其反，從心理學(xué)上是不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的。通過七年級的學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)知道，折線圖是反映一組數(shù)據(jù)的變化趨勢。教材第117頁的問題1，給出的是一條折線圖，通過這條折線圖，學(xué)生很難理解集中趨勢的內(nèi)涵，反而給學(xué)生一種是反映這組數(shù)據(jù)變化趨勢的錯覺。在教學(xué)中如果能把折線去掉，取而代之用一條橫線把這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示出來（如下圖所示）：

則更能讓學(xué)生感受到：平均數(shù)就是描述一組數(shù)據(jù)“向某一中心值聚攏的傾向”，或者說是數(shù)據(jù)的“一般水平、代表值或典型值”的內(nèi)涵。從認(rèn)知心理學(xué)角度來說避免了負(fù)遷移的干擾，把變化趨勢和集中趨勢區(qū)分開來，使學(xué)生更易理解和記憶，并且也為后面講到平均數(shù)易受極端值的影響埋下伏筆，給學(xué)生以直觀的感受。

數(shù)據(jù)的“集中趨勢”與“離散程度”這兩個概念之間到底有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？有人把它們比喻為“愛幾分”與“恨幾分”，沒有愛何來恨，沒有恨又怎知愛，愛和恨交織在一起，誰又能把它們區(qū)分開？請別再折磨孩子們了，“集中趨勢”，請你和“離散程度”保持一定的距離，讓孩子能分清楚你們的區(qū)別和聯(lián)系。

教材中的問題6，本身是個非常經(jīng)典的例子，我在平行班中另外一個班的教學(xué)過程中跳過了教材中“平均數(shù)”“中位數(shù)”的導(dǎo)入過程，直接引導(dǎo)學(xué)生從散點(diǎn)圖（如下圖所示）來觀察得出哪一個機(jī)床更穩(wěn)定。

然后再從絕對值的幾何意義角度出發(fā)去理解一組數(shù)據(jù)的波動性大小，用偏差絕對值xi-x的平均數(shù)

xA=

xB=

來刻畫這一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和合理性，通過數(shù)形結(jié)合來解決問題，最后自然過渡到方差的概念。整個探究過程顯得更流暢，并且在隨堂練習(xí)中學(xué)生的正確率反而更高一些，更重要的是在一年后的中考復(fù)習(xí)中這一班的學(xué)生對這一部分知識掌握得更牢固，在數(shù)據(jù)的集中趨勢和數(shù)據(jù)的離散程度的應(yīng)用上區(qū)分得更透徹。事實證明這種導(dǎo)入的方法更能讓學(xué)生接受，整個過程更合情合理，沒有牽強(qiáng)附會的感覺，達(dá)到了預(yù)想中的效果，也提高了課堂效率。

教材中的案例是編寫組專家們心血的結(jié)晶，很多都是經(jīng)得起教學(xué)實踐檢驗的經(jīng)典案例，但我們處在一線教學(xué)的教師也應(yīng)在具體的教學(xué)過程中大膽提出質(zhì)疑，對于有些案例應(yīng)能提出自己的不同見解，有些案例在經(jīng)過實踐和論證后應(yīng)能針對本校的學(xué)情進(jìn)行再加工，爭取做到最大限度地符合本校學(xué)情，以提高課堂的有效性。教師不應(yīng)是單一的知識傳遞者，還應(yīng)是知識產(chǎn)生的見證者和參與者。學(xué)高為師，身正為范，只有勇于探索和質(zhì)疑的老師，才能引領(lǐng)學(xué)生在知識的海洋中遨游。

以上是我在平時教學(xué)中遇到的一些事例和感悟，有不妥之處敬請專家指正。

參考文獻(xiàn)：

[1]李晶.有效教師[M].遼寧師范大學(xué)出版社，2006.

[2]陳旭遠(yuǎn)，賀成.有效備課[M].東北師范大學(xué)出版社，2008.

編輯 王夢玉