賈蕓蕓

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中的“軟件”，若能正確地把握它，并把它落實(shí)到學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的活動(dòng)中，就相當(dāng)于找到了打開(kāi)智慧之門的鑰匙，對(duì)開(kāi)發(fā)智力，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)并形成正確的價(jià)值觀具有十分重要的作用. 分式一章中蘊(yùn)藏了大量的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、整體思想、類比思想、方程思想、辯證思想等；常用的方法有：分類法、類比法、待定系數(shù)法、消元法、配方法、換元法、圖像法、觀察法、驗(yàn)證法、列表法、構(gòu)造法、綜合法等. 下面就“分式”一章中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法作簡(jiǎn)單回顧.

一、 類比思想

類比是指在不同的對(duì)象之間，根據(jù)它們某些方面的相似之處進(jìn)行比較，通過(guò)聯(lián)想和預(yù)測(cè)推出在其他方面也可以相似，從而去建立猜想和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法. 通過(guò)類比可以發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的異同點(diǎn)，利用已有知識(shí)來(lái)研究新知識(shí). 分式這一章中，類比思想一直貫穿始終，分式的概念，分式的基本性質(zhì)，分式的通分、約分、最簡(jiǎn)分式，分式加減、乘除、乘方運(yùn)算及混合運(yùn)算，都是直接通過(guò)與分?jǐn)?shù)類比，通過(guò)實(shí)例，觀察異同點(diǎn)，總結(jié)歸納出來(lái)的. 分式方程的解法及應(yīng)用也可以類比一元一次方程.

二、 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用非常廣泛. 轉(zhuǎn)化思想是將陌生的或不易解決的問(wèn)題，設(shè)法通過(guò)某種手段轉(zhuǎn)化為我們熟悉的或已經(jīng)解決的或易于解決的問(wèn)題，從而使原問(wèn)題獲得解決的一種思想方法. 這樣不但有利于培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，同時(shí)也降低了對(duì)新知識(shí)理解的難度，一舉多得.

本章很多地方都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想. 如異分母分式加減法轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減法；分式除法轉(zhuǎn)化為分式乘法；分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.

1. 分式有無(wú)意義或分式值為零時(shí)的轉(zhuǎn)化

例1 （1）（2014·廣西賀州）分式有意義，則x的取值范圍是_______.

（2）（2014·畢節(jié)）若分式的值為零，則x的值為_(kāi)______.

（3）（2013·欽州）當(dāng)x=_______時(shí)，分式無(wú)意義.

【分析】這三道題是將有關(guān)分式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程的問(wèn)題來(lái)解決. 第（1）題，如果分式有意義，則分母不為零，可先列方程x-1=0，解得x=1，所以當(dāng)x≠1時(shí)分式有意義；第（2）題當(dāng)分式的值為0時(shí)，則分子等于0且分母不等于0，解得x=-1. 所以當(dāng)x=-1時(shí)的值為0；第（3）題，當(dāng)分式無(wú)意義時(shí)，則分母為0，即x-2=0，解得x=2.

2. 異分母分式加減時(shí)的轉(zhuǎn)化

例2 （2014·廣西玉林）先化簡(jiǎn)，再求值：-，其中x=-1.

【分析】異分母分式相加減時(shí)，通過(guò)通分轉(zhuǎn)化成同分母分式再進(jìn)行加減.

解：原式=-==，當(dāng)x=-1時(shí)，原式==.

3. 分式的除法的轉(zhuǎn)化

例3 （2014·江蘇揚(yáng)州）化簡(jiǎn)：-÷.

【分析】分式除以分式時(shí)，把除式的分子分母顛倒位置后，與被除式相乘，從而轉(zhuǎn)化為分式的乘法.

解：原式=-·=-=.

4. 分式方程的轉(zhuǎn)化

例4 （2014·山東聊城）解方程：+=-1.

【分析】解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化，即把分式方程的分母去掉，使分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，就可用解整式方程的方法來(lái)求解，所以在學(xué)習(xí)過(guò)程中要樹(shù)立“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想. 解分式方程一定要注意驗(yàn)根. 分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2 （這一步就是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用），

去括號(hào)得：-x2-4x-4+16=4-x2，

解得：x=2，

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是增根，原方程無(wú)解.

三、 數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)建模思想

本章的數(shù)學(xué)方法有分解因式、通分、約分、去分母等等. 在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題. 分式方程就是一個(gè)重要的模型. 經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題——分式方程模型——求解——解釋解的合理性”的數(shù)學(xué)化過(guò)程，體會(huì)分式方程的建模思想，對(duì)培養(yǎng)利用方程模型解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義.

例5 （2014·云南）“母親節(jié)”前夕，某商店根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，用3 000元購(gòu)進(jìn)第一批盒裝花，上市后很快售完，接著又用5 000元購(gòu)進(jìn)第二批這種盒裝花. 已知第二批所購(gòu)花的盒數(shù)是第一批所購(gòu)花盒數(shù)的2倍，且每盒花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少5元. 求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元？

【分析】設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是x元/盒，則第一批進(jìn)的數(shù)量是，第二批進(jìn)的數(shù)量是，再根據(jù)等量關(guān)系“第二批進(jìn)的數(shù)量=第一批進(jìn)的數(shù)量×2”可得方程.

解：設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是x元/盒，則

2×=，解得x=30.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的根.

答：第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是30元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用. 注意，分式方程需要驗(yàn)根，這是易錯(cuò)的地方.

四、 整體思想

整體思想就是對(duì)問(wèn)題一一求解比較困難時(shí)，把注意力和著眼點(diǎn)放在要解決的問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，認(rèn)真分析題意，從全局出發(fā)，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作整體處理，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)潔巧妙解答的一種方法.

例6 （2014·江蘇泰州）先化簡(jiǎn)，再求值：

1-÷-，其中x滿足x2-x-1=0.

【分析】化簡(jiǎn)原式可以得到，要求的值，則要求出x的值，可現(xiàn)階段又沒(méi)有學(xué)過(guò)如何解這個(gè)方程，那怎么辦呢？聯(lián)想整體思想，看看條件，易得x2=x+1，即將x+1看作一個(gè)整體，代入求值即可.

解：原式=·-

=·-

=x-=.

∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，則原式=1.

例7 （2014·山東濟(jì)寧）已知x+y=xy，求代數(shù)式+-（1-x）（1-y）的值.

【分析】考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值. 首先將所求代數(shù)式展開(kāi)化簡(jiǎn)，然后整體代入即可求值.

解：∵x+y=xy，

∴+-（1-x）（1-y）=-（1-x-y+xy）=-1+x+y-xy=1-1+0=0.

【點(diǎn)評(píng)】在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不能只著眼于它的局部特征，而整體思想是把聯(lián)系緊密的幾個(gè)量作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用這種思想可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，達(dá)到簡(jiǎn)捷解題、出奇制勝的效果. 一般地，運(yùn)用整體思想的方法有整體代換、整體設(shè)元、整體變形、整體補(bǔ)形、整體配湊和整體構(gòu)造等.

五、 分類討論思想

分類討論思想是在對(duì)一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題出現(xiàn)的情況進(jìn)行全面分析思考的基礎(chǔ)上，將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題，進(jìn)而在既不重復(fù)也不遺漏的情況下處理和解決問(wèn)題的思想方法.

例8 若分式的值為負(fù)數(shù)，試確定x的取值范圍.

【分析】分式的值為負(fù)數(shù)，即分式的分子2-x與分母1+x的符號(hào)相反.

解：∵<0，∴分子2-x與分母1+x的符號(hào)相反，即2-x>0，

1+x<0或2-x<0，

1+x>0.

解得x<2，

x<-1或x>2，

x>-1. ∴x<-1或x>2，

【分析】對(duì)于不確定因素的問(wèn)題，我們需要分類進(jìn)行討論，本題中不能直接確定分子分母的符號(hào)，我們就應(yīng)該分類討論，分類討論時(shí)要不重復(fù)也不遺漏.

數(shù)學(xué)思想方法是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的關(guān)鍵. 只有掌握數(shù)學(xué)思想方法，才能真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，解題才能得心應(yīng)手.

跟蹤練習(xí)

1. （2014·江蘇泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），則代數(shù)式+的值等于_____.

2. （2014·四川涼山）先化簡(jiǎn)，再求值：÷a

+2-，其中a2+3a-1=0.

3. （2014·新疆）解分式方程：+=1.

參考答案

1. -3.

2. 解：原式=÷=·=，當(dāng)a2+3a-1=0，即a2+3a=1時(shí)，原式=.

3. 解：方程兩邊都乘（x+3）（x-3），得3+x（x+3）=x2-9，3+x2+3x=x2-9，3x=-12，解得x=-4.

檢驗(yàn)：把x=-4代入（x+3）（x-3）≠0，

∴x=-4是原分式方程的解.

（作者單位：江蘇省淮安外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）