雷軼菊

（新鄉(xiāng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 新鄉(xiāng) 453003）

Double設(shè)計(jì)在對(duì)稱化L2-偏差下兩個(gè)下界的比較

雷軼菊

（新鄉(xiāng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 新鄉(xiāng) 453003）

從列平衡的角度出發(fā)，將設(shè)計(jì)的中心化L2-偏差、對(duì)稱化L2-偏差、可卷L2-偏差分別用二次型和均衡模式表示，可分別得到兩個(gè)下界， 它們都適合用來評(píng)價(jià)正交設(shè)計(jì)的均勻性。以double設(shè)計(jì)的對(duì)稱化L2-偏差為例，證明了這兩種方法算出的下界是相等的。

Double設(shè)計(jì)；對(duì)稱化L2-偏差；下界

在構(gòu)造2-水平部分因子設(shè)計(jì)，特別是那些分辨度為IV的設(shè)計(jì)中，doubling是一種簡(jiǎn)單卻很有用的方法。假定，則稱是的double。若是一個(gè)處理個(gè)數(shù)為n，具有1和-1兩個(gè)水平的k個(gè)因子的設(shè)計(jì)， 定義每一行為一個(gè)水平組合，那么定義了一個(gè)設(shè)計(jì)，其處理大小和因子個(gè)數(shù)都是的兩倍。最初，R. L. Plackett和J. P. Burman用doubling方法構(gòu)造了正交主效應(yīng)設(shè)計(jì)。CHEN H. G.和CHENG C. S.［2］用doubling方法將一個(gè)分辨度為IV的2-水平正規(guī)部分因子設(shè)計(jì)構(gòu)造成分辨度仍為IV的double設(shè)計(jì)。XU H. Q.和CHENG C. S.［3］討論了double設(shè)計(jì)中補(bǔ)設(shè)計(jì)的一般理論問題。在文獻(xiàn)［2-3］中討論構(gòu)造最大的二水平部分因子設(shè)計(jì)時(shí)，doubling方法起了重要的作用。

有關(guān)double設(shè)計(jì)方面的研究，涉及的都是因子設(shè)計(jì)方面的一些成果。筆者和覃紅［4］從均勻性的角度對(duì)double設(shè)計(jì)的性質(zhì)作了討論，分別在列平衡和行平衡下給出了double設(shè)計(jì)在對(duì)稱化L2-偏差下的兩個(gè)下界，并指出這兩個(gè)下界分別對(duì)衡量哪種設(shè)計(jì)的均勻性是有效的。FANG K. T.等［5-6］從列平衡出發(fā)，分別用兩種計(jì)算方法得到了兩個(gè)下界，且都適合用來評(píng)價(jià)正交設(shè)計(jì)的均勻性。既然這兩種方法考慮的都是列平衡，那么由這兩種方法得到的下界有何關(guān)系呢？到目前為止，這方面的研究還未見報(bào)道。在本文中，筆者以double設(shè)計(jì)的對(duì)稱化L2-偏差為例，證明了用兩種方［1］法算出的下界是相等的。

1 預(yù)備知識(shí)

， （1）

經(jīng)過簡(jiǎn)單代數(shù)計(jì)算，由（2）式可得

2 Double設(shè)計(jì)在對(duì)稱化L2-偏差下的兩個(gè)下界的比較

定理2中的下界是基于列平衡的考慮算出的，和定理1中的下界一樣，都適合用于評(píng)價(jià)正交設(shè)計(jì)的均勻性。下面，證明這兩個(gè)下界實(shí)際上是相等的。

證明：只需證明

綜上所述，有（9）式左邊=（9）式右邊，即（8）式成立。

［1］ PLACKETT R L, BURMAN J P. The Design of Optimum Multi-factorial Experiments［J］. Biometrika, 1946, 33: 305-325.

［2］ CHEN H G, CHENG C S. Doubling and Projection: A Method of Constructing Two-level Designs of Resolution IV［J］. Ann Statist, 2006, 34: 546-558.

［3］ XU H Q, CHENG C S. A Complementary Design Theory for Doubling［J］. Ann Statist, 2008, 36: 445-457.

［4］ 雷軼菊，覃紅. Double設(shè)計(jì)在對(duì)稱化L2-偏差下的均勻性［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，44，369-372.

［5］ FANG, K T, MUKERJEE R. A Connection Between Uniformity and Aberration in Regular Fractions of Two-level Factorials［J］. Biometrika, 2000, 87: 193-198.

［6］ FANG K T, LU X, WINKER P. Lower Bounds for Centered and Wraparound L2-discrepancies and Construction of Uniform Designs by Threshold Accepting［J］. J Complexity, 2003, 19: 692-711.

［7］ HICKEMELL F J. A Generalized Discrepancy and Quadrature Error Bound［J］. Mathematics of Computation, 1998, 67: 299-322.

【責(zé)任編輯 王云鵬】

Comparison of Two Lower Bounds for the Symmetric L2-discrepancy of Double Designs

LEI Yiju
（College of Mathematics and Information Science, Xinxiang University, Xinxiang 453003, China）

In view of the column balance, the centralized L2-discrepancy, symmetrized L2-discrepancy and rollable L2-discrepancy of a design could be respectively represented with quadric form and balance pattern； then two lower bounds could be respectively obtained. They were suitable for evaluating uniformity of the orthogonal designs. This paper proved in the case of the symmetric L2-discrepancy of double designs the lower bounds by two kinds of calculation methods are equal.

double design； symmetrized L2-discrepancy； lower bound

O212.6

A

2095-7726（2015）03-0001-03

2015-01-06

雷軼菊（1976-），女，湖北荊州人，講師，碩士，研究方向：試驗(yàn)設(shè)計(jì)。