周芬+冷舉良+杜運(yùn)興

摘要：在OpenSees平臺(tái)上采用纖維模型模擬FRP約束混凝土圓柱的受力性能時(shí)需要開發(fā)相應(yīng)的本構(gòu)模型.基于Jiang和Teng提出的分析型骨架本構(gòu)模型，將不同峰值應(yīng)力、應(yīng)變計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，選擇了更為精確的計(jì)算公式，并將其引入該骨架模型.該模型還考慮了箍筋對核心混凝土的約束作用，采用FRP極限環(huán)向抗拉應(yīng)變折減系數(shù)得出FRP片材在環(huán)向受拉破壞時(shí)的極限拉應(yīng)變.根據(jù)是否考慮鋼筋的疲勞采用兩種不同鋼筋本構(gòu)關(guān)系對試件進(jìn)行模擬.采用該模型不但可以得到構(gòu)件的軸向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，還可以計(jì)算橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)力的關(guān)系，模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好.

關(guān)鍵詞：纖維增強(qiáng)塑料;約束混凝土;纖維模型;本構(gòu)模型

中圖分類號：TB83;TM753 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Research on the Constitutive Models of ?FRP

Confined Concrete Cylinder Based on ?Fiber Models

ZHOU Fen，LENG Ju-liang， DU Yun-xing

（College of Civil Engineering， Hunan Univ， Changsha， Hunan410082， China）

Abstract：The related constitutive model is needed when using fiber model to simulate the mechanical behavior of FRP confined concrete cylinder on OpenSees platform. Based on the skeleton-line constitutive model proposed by Jiang and Teng， the test results were compared with the calculation results under different peak stresses and strains， and more precise formulas were chosen and taken into the skeleton-line constitutive model. In the constitutive model， with the confinement effect of stirrup on core concrete taken into consideration， the ultimate tensile strain of FRP under hoop tensile failure was obtained by the reduction factors of ultimate hoop tensile strain. In addition， two different constitutive models were adopted to simulate the member according to whether considering the steel fatigue through the constitutive model. Both the relationship of axial stress and strain and the relationship of lateral strain and axial stress for the structural member were obtained， and the prediction results agreed well with the test results.

Key words：FRP（Fiber Reinforced Plastics）;confined concrete;fiber models;constitutive models

OpenSees平臺(tái)是基于纖維模型的計(jì)算平臺(tái)，與傳統(tǒng)的有限元相比，纖維模型能夠在保證準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上大幅降低計(jì)算耗時(shí)，并且更易收斂，能夠用于大型結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬.國內(nèi)學(xué)者在該平臺(tái)上對構(gòu)件、結(jié)構(gòu)的仿真進(jìn)行了廣泛的研究，并積累了大量的科研成果[1-2].這些研究成果主要集中在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)及型鋼混凝土結(jié)構(gòu)領(lǐng)域.對于FRP加固的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，OpenSees材料庫中缺乏與其對應(yīng)的本構(gòu)模型，制約了該平臺(tái)對這種結(jié)構(gòu)的仿真分析.近年來，由于FRP材料優(yōu)越的力學(xué)性能和物理性能，F(xiàn)RP片材已經(jīng)廣泛地用于加固結(jié)構(gòu)和構(gòu)件中，特別是震后結(jié)構(gòu)的修復(fù)工作，F(xiàn)RP的約束作用不僅能提高結(jié)構(gòu)的承載力，還能大幅提高柱在地震作用下的耗能能力和延性[3].因此，研究基于纖維模型的FRP約束混凝土柱的本構(gòu)模型非常有意義.

目前，一些學(xué)者對基于纖維模型的FRP約束混凝土柱本構(gòu)模型進(jìn)行了初步研究，這些研究按模擬的方法可以分為3類：1）采用材料庫中已有的材料，通過適當(dāng)改變材料性能參數(shù)來模擬FRP約束混凝土材料.例如王代玉[4]采用預(yù)定義材料Concrete02，通過提高混凝土的極限抗壓強(qiáng)度和極限壓應(yīng)變來模擬FRP約束混凝土，這樣做的優(yōu)點(diǎn)在于方便易行，不需要對OpenSees進(jìn)行二次開發(fā)就能近似地模擬FRP約束混凝土的性能.但是由于材料Concrete02是基于鋼筋混凝土構(gòu)件提出的本構(gòu)關(guān)系，用來模擬FRP約束混凝土是不夠準(zhǔn)確的，并且也不能考慮不同F(xiàn)RP材料性能參數(shù)對FRP約束混凝土構(gòu)件的影響.2）采用簡化了的FRP約束混凝土材料的本構(gòu)模型，再將其嵌入OpenSees中.如何銘華等[5]，雖然材料骨架曲線采用Lam等[6]提出的較為精確的FRP約束混凝土設(shè)計(jì)型本構(gòu)模型，但是加卸載曲線卻采用Karsan等[7]根據(jù)混凝土循環(huán)軸壓試驗(yàn)提出的本構(gòu)模型，這樣雖然降低了編程難度，但也導(dǎo)致模擬結(jié)果不夠精確.3）Teng等[8]采用C++編程，材料本構(gòu)關(guān)系采用Teng等[9]提出的改進(jìn)的設(shè)計(jì)模型，結(jié)合Lam 和Teng[10]提出的加卸載模型，并運(yùn)用動(dòng)態(tài)鏈接庫建立新編材料與OpenSees平臺(tái)的連接，成功模擬了一鋼筋混凝土柱在水平往復(fù)荷載作用下的滯回性能，雖然模擬結(jié)果與試驗(yàn)有較好的吻合，但是該模型沒有模擬出由于鋼筋疲勞導(dǎo)致的骨架曲線的下降段，并且模擬結(jié)果的極限水平位移較試驗(yàn)結(jié)果小，說明其結(jié)果并不理想.

綜上所述，可以看到：上述對FRP約束混凝土柱的研究采用的本構(gòu)模型都是設(shè)計(jì)型本構(gòu)模型，該類模型雖然簡單易用，但是用于有限元數(shù)值模擬方面卻不如分析型模型精確.為準(zhǔn)確模擬FRP約束混凝土圓柱的受力性能，本文建立了適于運(yùn)用到纖維模型中的單軸分析型本構(gòu)模型，并進(jìn)行了相應(yīng)的程序模塊開發(fā).

1材料本構(gòu)模型

1.1混凝土本構(gòu)模型

FRP約束混凝土本構(gòu)模型如圖1所示，可以分為兩個(gè)部分.

1.1.1軸心受壓骨架曲線

FRP約束混凝土骨架線模型采用分析型本構(gòu)模型，當(dāng)約束混凝土受到的側(cè)向約束力恒定時(shí)，其軸向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

σcf*cc=（εc/ε*cc）rr-1+（εc/ε*cc）r.（1）

該公式由Popovics [11]提出，而后被Mander等[12] 采用并被廣泛運(yùn)用到鋼筋約束混凝土中，其中σc與εc分別為約束混凝土的軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變，系數(shù)r由下式計(jì)算：

r=EcEc-f*cc/ε*cc. （2）

式中：Ec為素混凝土的初始彈性模量;f*cc為混凝土所受側(cè)向約束力為恒值時(shí)的峰值抗壓強(qiáng)度;ε*cc為混凝土所受側(cè)向約束力為恒值時(shí)的峰值壓應(yīng)變.

許多研究者對f*cc和ε*cc的計(jì)算提出了不同的方案.本文選用了3個(gè)計(jì)算方案，并基于文獻(xiàn)[13]中的48個(gè)FRP約束混凝土圓柱試件對這3個(gè)計(jì)算方案進(jìn)行了比較，這3個(gè)方案分別如下.

1）文獻(xiàn)[6]提出的FRP約束混凝土圓柱設(shè)計(jì)型本構(gòu)模型峰值應(yīng)力、應(yīng)變計(jì)算公式：

f*cc=f′c0+3.3fl， （3）

ε*ccεc0=1.75+12（flf′c0）（εlεc0）0.45.（4）

2）文獻(xiàn)[13]提出的FRP約束混凝土圓柱分析型本構(gòu)模型峰值應(yīng)力、應(yīng)變計(jì)算公式：

f*cc=f′c0+3.5fl， （5）

ε*ccεc0=1+17.5（flf′c0）1.2.（6）

3）文獻(xiàn)[9]提出的FRP約束混凝土圓柱改進(jìn)后的設(shè)計(jì)型本構(gòu)模型峰值應(yīng)力、應(yīng)變計(jì)算公式：

f*cc=f′c0+3.5f′c0（2Efrptfrp（f′c0/εc0）D-0.01）εlεc0， （7）

ε*ccεc0=1.75+6.52Efrptfrp（f′c0/εc0）D0.8（εlεc0）1.45.（8）

式中：f′c0為素混凝土的抗壓強(qiáng)度;εc0為素混凝土的峰值壓應(yīng)變;fl為混凝土受到的側(cè)向約束力;εl為FRP材料的環(huán)向拉應(yīng)變.

fl的計(jì)算公式為：

fl=-EfrptfrpεlR. （9）

式中：Efrp為FRP材料的彈性模量;tfrp為FRP片材的厚度;R為混凝土柱的截面半徑.

公式（9）中的負(fù)號表示fl與εl方向相反，因?yàn)閒l是混凝土受到的側(cè)向壓應(yīng)力，而εl是FRP材料的環(huán)向拉應(yīng)變.本文若無特別說明，假定壓應(yīng)變和壓應(yīng)力為正，而拉應(yīng)變和拉應(yīng)力為負(fù).對于設(shè)計(jì)型本構(gòu)模型而言，參數(shù)ε l等于FRP片材的極限環(huán)向拉應(yīng)變?chǔ)舎，rup，而對于分析型本構(gòu)模型而言，參數(shù)εl的計(jì)算應(yīng)考慮整個(gè)受力過程中它的變化.本文采用的是分析型本構(gòu)模型，采用文獻(xiàn)[13]中的公式計(jì)算εl，該公式如下：

εcεc0=0.85（1+8flf′c0）×1+0.75（-εlεc0）0.7-

exp -7（-εlεc0）. （10）

上述公式中，當(dāng)已知軸向應(yīng)變?chǔ)與求解橫向應(yīng)變?chǔ)舕時(shí)需要采用迭代的方法進(jìn)行計(jì)算.根據(jù)文獻(xiàn)[13]中48個(gè)試件的試驗(yàn)資料，將以上3種方案的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比分析，如表1所示.

表1中第2列與第4列表示不同方案對48個(gè)試件的峰值應(yīng)力與應(yīng)變的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之比的平均值，可看到方案3對試件峰值應(yīng)力的模擬最為精確，所以本文采用方案3的公式（7）計(jì)算試件的峰值應(yīng)力.而對峰值應(yīng)變的模擬，3個(gè)方案的模擬結(jié)果相差不大，本文采用相對簡單的公式（6）進(jìn)行模擬.

注：f*cct與ε*cct分別為試驗(yàn)試件峰值應(yīng)力和應(yīng)變.

1.1.2卸載、再加載曲線

國內(nèi)外對FRP約束混凝土的軸心反復(fù)受壓本構(gòu)模型的研究已經(jīng)較為成熟[14].本文的卸載和再加載曲線采用文獻(xiàn)[10]提出的FRP約束混凝土圓柱的軸心受壓卸載、再加載規(guī)則，由于該規(guī)則計(jì)算較為復(fù)雜，具體計(jì)算方法可參見文獻(xiàn)[10].需要注意的是，由于該卸載、再加載規(guī)則是基于文獻(xiàn)[6]中的設(shè)計(jì)型骨架本構(gòu)模型建立的，所以當(dāng)將其運(yùn)用到本文的分析型骨架本構(gòu)模型時(shí)，需要將它原本的峰值應(yīng)力、應(yīng)變計(jì)算公式改為本文的公式（7）和公式（6）.

1.2鋼筋本構(gòu)模型

鋼筋本構(gòu)關(guān)系采用OpenSees材料庫中的ReinforcingSteel材料模型，本構(gòu)模型如圖2所示.其中參數(shù)取值參照文獻(xiàn)[15]，初始強(qiáng)化點(diǎn)應(yīng)變?chǔ)舠h取為屈服點(diǎn)對應(yīng)應(yīng)變的14倍 ，強(qiáng)化段初始彈性模量Esh取為2 138 MPa，極限強(qiáng)度fsu取1.5倍屈服強(qiáng)度fy，對應(yīng)應(yīng)變?chǔ)舠u取為εsh加上0.14.ReinforcingSteel相比于OpenSees中其他鋼筋材料（如Steel01和Steel02），不僅更加適用于鋼筋混凝土柱的非線性

分析[16]，而且它還能考慮鋼筋的強(qiáng)度退化、疲勞以及屈曲等問題.因此，本文采用材料ReinforcingSteel本構(gòu)模型中預(yù)定義的Coffin-Manson[17]準(zhǔn)則考慮鋼筋的疲勞剛度退化問題對柱構(gòu)件滯回性能的影響.

2試驗(yàn)分析與驗(yàn)證

本文采用OpenSees單元庫中基于柔度法的梁柱單元nonlinearBeamColumn進(jìn)行模擬.單元布置5個(gè)高斯積分點(diǎn)，混凝土圓柱纖維劃分為沿徑向和環(huán)向各為10，總共100個(gè)纖維，加載方式為位移控制加載.素混凝土初始彈性模量取為Ec=4 730（fc0） （MPa） [18]，并且當(dāng)素混凝土峰值點(diǎn)應(yīng)變未知時(shí)取為0.002 2.由于采用纖維模型進(jìn)行模擬，在建模過程中需要遵循以下假定：

1）不考慮試驗(yàn)中柱所受剪力作用;

2）不考慮鋼筋的粘結(jié)滑移效應(yīng);

3）構(gòu)件變形滿足歐拉平截面假定.

2.1單調(diào)軸心受壓試驗(yàn)

本文有11個(gè)FRP約束混凝土圓柱軸心受壓試件，其中2個(gè)取自文獻(xiàn)[13]中編號為28和29的試件數(shù)據(jù)，這兩個(gè)試件全為FRP弱約束混凝土試件，另外9個(gè)都取自Xiao和Wu[19]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，這9個(gè)試件根據(jù)混凝土強(qiáng)度可分為3組，每組都包括3個(gè)試件，這3個(gè)試件分別包裹1～3層FRP片材.試件編號CL表示低強(qiáng)度混凝土，CM表示中等強(qiáng)度混

凝土，CH表示高強(qiáng)混凝土，F(xiàn)1到F3表示FPR層數(shù)從1～3層.試件幾何材料屬性如表2所示.Xiao等[19]的試件中沒有給出FRP極限環(huán)向拉應(yīng)變?chǔ)舎，rup的值，本文采用Lim等[20]提出的FRP極限環(huán)向抗拉應(yīng)變折減系數(shù)Kε估算εh，rup的取值，具體公式如下：

εh，rup=Kεεfrp，（11）

Kε=0.9-2.3f′c0×10-3-0.75Efrp×10-6，

105MPa≤Ef≤6.4×105MPa.（12）

式中：εfrp為FRP軸心受拉極限應(yīng)變;Efrp為FRP材料的彈性模量;f′co為素混凝土強(qiáng)度.

由于本文本構(gòu)模型采用分析型模型，所以我們能夠通過計(jì)算得到試件橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系，并且相比于文獻(xiàn)[5]采用的設(shè)計(jì)型本構(gòu)模型，本文還能模擬弱約束混凝土的強(qiáng)度下降段.在模擬試件28和29時(shí)，模型的FRP極限環(huán)向拉應(yīng)變?nèi)樵嚰钠骄?，由圖3（a）我們可以看到本文對弱約束混凝土強(qiáng)度下降段的模擬較為準(zhǔn)確.由圖3（b），3（c）和3（d）可知：強(qiáng)度為33.86 MPa和43.77 MPa的混凝土試件的模擬結(jié)果與試驗(yàn)吻合良好，表明本文采用的纖維模型能夠較好地模擬FRP約束混凝土材料的受力性能.而對于強(qiáng)度為55.21 MPa的混凝土試件的模擬，由于本文采用本構(gòu)關(guān)系中的計(jì)算公式都是基于素混凝土強(qiáng)度不超過47 MPa的柱構(gòu)件提出的，所以并不適用于素混凝土強(qiáng)度超過47 MPa的構(gòu)件.需要注意的是圖3中x軸表示混凝土材料應(yīng)變，當(dāng)其小于零時(shí)表示橫向應(yīng)變，當(dāng)其大于零時(shí)表示軸向應(yīng)變.

應(yīng)變

（a）試件28-29

應(yīng)變

（b）試件CLF1-CLF3

應(yīng)變

（c）試件CMF1-CMF3

應(yīng)變

（d）試件CHF1-CHF3

2.2水平循環(huán)加載試驗(yàn)

水平循環(huán)加載試驗(yàn)選用Haroun等 [21]中編號CS-R1的FRP約束混凝土圓柱進(jìn)行模擬，試件高2 438 mm，直徑610 mm，配置橫向箍筋和縱向鋼筋，其中橫向箍筋直徑為6.35 mm，間距為127 mm，屈服強(qiáng)度為210.3 MPa，縱向鋼筋沿環(huán)向布置20根，每根鋼筋直徑為19.05 mm，屈服強(qiáng)度為299.2 MPa，混凝土保護(hù)層厚度為25.4 mm，混凝土和FRP片材材料屬性如表3所示.

本文在建模過程中，考慮了橫向箍筋對混凝土的約束作用.結(jié)合Mander等[12]和Carlo等 [22]提出的理論，采用下面公式計(jì)算混凝土受到的側(cè)向約束力：

Pu=fl+flsAcc/Ag. （13）

式中：Pu為總約束力;fl為FRP提供的約束力，采用公式（9）計(jì)算;Acc為箍筋約束核心混凝土面積;Ag為整個(gè)柱截面面積;fls為橫向箍筋提供的約束力，計(jì)算方法可以參見文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[22].根據(jù)試驗(yàn)條件，在建模過程中需要將構(gòu)件底端設(shè)為固端約束，而頂端只約束其轉(zhuǎn)動(dòng)，并且需要施加大小為644.96 kN的軸力.

當(dāng)采用ReinforcingSteel模擬鋼筋且不考慮鋼筋的疲勞及剛度退化時(shí)，計(jì)算結(jié)果如圖4（a）所示，骨架曲線上水平力隨著水平位移的增大而增加，并且?guī)缀醭示€性趨勢，這明顯與試驗(yàn)結(jié)果骨架曲線不符.試驗(yàn)骨架曲線中水平力在水平位移小于40 mm時(shí)，隨著水平位移增大水平力也增大，但是位移繼續(xù)增加以后，水平力的增大開始變緩，最后甚至出現(xiàn)下降段.同時(shí)模擬構(gòu)件中滯回環(huán)也較試驗(yàn)過于飽滿，整體來說模擬結(jié)果不太準(zhǔn)確.

當(dāng)考慮鋼筋疲勞及剛度退化時(shí)（圖4（b）），可以明顯地看到其模擬結(jié)果滯回曲線與試驗(yàn)曲線吻合較好，并且能較好地模擬骨架曲線在水平位移較大時(shí)水平力的下降.將本文圖4（b）得出的結(jié)果與文獻(xiàn)[8]的模擬結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如圖4（c）所示，可以看到文獻(xiàn)[8]模擬的滯回曲線沒能模擬出FRP約束鋼筋混凝土柱由于多次循環(huán)加載導(dǎo)致的水平承載力下降.同時(shí)文獻(xiàn)[8]的滯回曲線中的極限水平位移較試驗(yàn)偏小，而本文由于考慮了FRP極限環(huán)向抗拉應(yīng)變折減系數(shù)，所以可以精確估計(jì)構(gòu)件的極限應(yīng)變值，得出了與試驗(yàn)吻合較好的極限水平位移.需要注意的是，圖4（b）模擬結(jié)果的滯回環(huán)較試驗(yàn)飽滿，這主要是因?yàn)楸疚臎]有考慮鋼筋與混凝土的粘結(jié)滑移因素，并且由于本文采用纖維模型進(jìn)行模擬，也沒有考慮剪力對滯回曲線的影響.

水平位移/mm

（a）不考慮鋼筋疲勞結(jié)果與試驗(yàn)對比

水平位移/mm

（b）考慮鋼筋疲勞結(jié)果與試驗(yàn)對比

水平位移/mm

（c）計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[8]結(jié)果對比

3結(jié)論

1）本文基于OpenSees平臺(tái)運(yùn)用纖維模型對FRP約束混凝土圓柱進(jìn)行了模擬分析，在Jiang和Teng提出的FRP約束混凝土圓柱的分析型骨架本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，通過對比不同本構(gòu)模型的峰值應(yīng)力、應(yīng)變計(jì)算公式的模擬結(jié)果，選取了更為精確合理的計(jì)算公式，從而改進(jìn)了FRP約束混凝土的骨架本構(gòu)模型.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合Lam等提出的加卸載本構(gòu)模型，本文通過C++編程成功地將FRP約束混凝土材料分析型本構(gòu)模型嵌入OpenSees材料庫中.

2）結(jié)合編制的C++程序，基于OpenSees平臺(tái)采用纖維模型模擬了FRP約束混凝土圓柱不同受力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果，模擬結(jié)果不僅能得出構(gòu)件軸向應(yīng)變與軸向應(yīng)力的關(guān)系，還得到構(gòu)件橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)力的關(guān)系.需要注意的是，本文采用的本構(gòu)模型只適用于素混凝土強(qiáng)度不高于47 MPa的構(gòu)件.

3）本文在水平循環(huán)加載試驗(yàn)?zāi)M過程中，考慮了箍筋對混凝土材料的約束作用，并且對縱向鋼筋是否考慮鋼筋的疲勞與剛度退化因素采用了兩種鋼筋本構(gòu)模型，并對比了兩者計(jì)算結(jié)果的滯回曲線.分析結(jié)果表明，不考慮鋼筋疲勞與剛度退化時(shí)會(huì)夸大構(gòu)件的剛度，導(dǎo)致過大估計(jì)構(gòu)件的承載能力.當(dāng)考慮鋼筋疲勞與剛度退化時(shí)，模擬滯回曲線與試驗(yàn)吻合較好.

參考文獻(xiàn)

[1]張傳超，鄭山鎖，李磊，等. 基于柔度法的纖維梁柱單元及其參數(shù)分析[J].工業(yè)建筑，2010，40 （12）：90-94.

ZHANG Chuan-chao， ZHENG Shan-suo， LI Lei，et al. Flexibility-based fiber beam-column element and its parametric analysis[J]. Industrial Construction， 2010， 40（12）： 90-94. （In Chinese）

[2]韓軍，李英民，姬淑艷. RC框架結(jié)構(gòu)合理破壞機(jī)制的實(shí)現(xiàn)[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，42（12）：2003-2008.

HAN Jun，LI Ying-min，JI Shu-yan. Realization of rational failure mechanism for the RC frame structure[J]. Journal of Harbin Institute of Technology， 2010， 42（12）： 2003-2008. （In Chinese）

[3]丁洪濤，易偉建，冼巧玲.碳纖維布（CFRP）加固壓彎構(gòu)件全過程分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，30（3）：139-141.

DING Hong-tao， YI Wei-jian， XIAN Qiao-ling. Nonlinear analysis of carbon fiber sheets （CFRP） strengthened members subjected to axial load and lateral shear[J]. Journal of Hunan University： Natural Sciences， 2003， 30（3）： 139-141.（In Chinese）

[4]王代玉. FRP約束混凝土柱軸壓本構(gòu)關(guān)系及抗震性能[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，2008： 60-67.

WANG Dai-yu. Axial constitutive relationship and seismic performance of FRP confined column[D]. Harbin： School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology， 2008： 60-67.（In Chinese）

[5]何銘華，欒雨琪，劉暉，等.基于OpenSees的FRP約束混凝土本構(gòu)開發(fā)及墩柱性能分析[J].橋梁建設(shè)， 2013， 43（6）： 19-26.

HE Ming-hua， LUAN Yu-qi， LIU Hui， et al. Development of FRP confined concrete constitutive model and analysis of pier/column behavior based on OpenSees[J].Bridge Construction， 2013，43（6）：19-26. （In Chinese）

[6]LAM L， TENG J G. Design-oriented stress-strain model for FRP-confined concrete[J]. Construction and Building Materials， 2003， 17（6/7）： 471-489.

[7]KARSAN D， JIRSA J. Behavior of concrete under compressive loadings[J]. Journal of the Structural Division， ASCE， 1969， 95（12）： 2543-2563.

[8]TENG J G， LU J Y， LAM L， et al. Numerical simulation of FRP-jacketed RC columns subjected to cyclic loading[C]// The 5th International Conference on FRP Composites in Civil Engineering. Beijing： Advances in FRP Composites in Civil Engineering， 2010：820-823.

[9]TENG J G， JIANG T， LAM L，et al. Refinement of a design-oriented stress-strain model for FRP-confined concrete[J]. Journal of Composites for Construction， 2009，13（4）： 269-278.

[10]LAM L， TENG J G. Stress-strain model for FRP-confined concrete under cyclic axial compression[J]. Engineering Structures， 2009， 31（2）： 308-321.

[11]POPOVICS S. Numerical approach to the complete stress-strain relation for concrete[J]. Cement and Concrete Research， 1973， 3（5）： 583-599.

[12]MANDER J B， PRIESTLEY M J N， PARK R. Theoretical stress-strain model for confined concrete[J]. Journal of Structural Engineering， 1988， 114（8）： 1804-1826.

[13]JIANG T， TENG J G. Analysis-oriented stress-strain models for FRP-confined concrete[J]. Engineering Structures， 2007， 29（11）： 2968-2986.

[14]王代玉，王震宇，喬鑫.CFRP中等約束鋼筋混凝土方柱反復(fù)受壓本構(gòu)模型[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，41（4）： 39-46.

WANG Dai-yu， WANG Zhen-yu， QIAO Xin. Cyclic stress-strain model for CFPR moderately-confined reinforced concrete square columns[J]. Journal of Hunan University： Natural Sciences， 2014， 41（4）： 39-46.（In Chinese）

[15]DHAKAL R P， MAEKAWA K. Path-dependent cyclic stress-strain relationship of reinforcing bar including bucking[J]. Engineering Structures， 2002， 24（11）： 1383-1396.

[16]HEO Yeong-ae， KUNNATH S K. Sensitivity to constitutive modeling in fiber-based discretization of reinforced concrete members for performance-based seismic evaluation[J]. Advances in Structural Engineering，2009， 12（1）： 37-51.

[17]MAZZONI S， MCKENNA F， MICHAEL H S， et al. OpenSees ?users manual[R]. Berkeley， Califorma： PEER， University of Califorma，2004.

[18]ACI 318-95Building code requirements for structural concrete （318-95） and commentary （318R-95）[S]. Farmington Hills， Michigan， USA： American Concrete Institute （ACI）， 1999.

[19]XIAO Y， WU H. Compressive behavior of concrete confined by carbon fiber composite jackets[J]. Journal of Materials in Civil Engineering， 2000， 12（2）： 139-146.

[20]LIM J C， OZBAKKALOGLU T. Confinement model for FRP-confined high-strength concrete[J]. Journal of Composites for Construction， 2014，17（5）：1-19.

[21]HAROUN M A，MOSALLAM A S，F(xiàn)ENG M Q. Experimental investigation of seismic repair and retrofit of bridge columns by composite jackets[J]. Journal of Reinforced Plastics and Composites， 2003， 22（14）： 1243-1268.

[22]CARLO P， CLAUDIO M. Analytical modelfor FRP confinement of concrete columns with and without internal steel reinforcement[J]. Journal of Composites for Construction， 2010， 14（6）： 693-705.