李 彬1,2? 趙海斌1,2 王 歆1,3

(1中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)南京210008)

(2中國(guó)科學(xué)院行星科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京210008) (3中國(guó)科學(xué)院空間目標(biāo)與碎片觀測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京210008)

小行星(26)Proserpina的測(cè)光觀測(cè)和建模研究?

李 彬1,2? 趙海斌1,2 王 歆1,3

(1中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)南京210008)

(2中國(guó)科學(xué)院行星科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京210008) (3中國(guó)科學(xué)院空間目標(biāo)與碎片觀測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京210008)

2011年12月到2012年2月期間對(duì)小行星(26)Proserpina進(jìn)行了時(shí)序測(cè)光觀測(cè),獲得其自轉(zhuǎn)的會(huì)合周期為p=(13.107±0.002)h.結(jié)合歷史測(cè)光數(shù)據(jù),采用光變曲線凸殼反演方法對(duì)其自轉(zhuǎn)狀態(tài)和形狀進(jìn)行反演研究,并提出采用Bootstrap方法對(duì)反演參數(shù)進(jìn)行誤差估計(jì).測(cè)定出(26)Proserpina是一個(gè)逆轉(zhuǎn)的小行星,其極軸指向解為λ1=90.8°±1.4°, β1=?53.1°±3.2°和λ2=259.3°±2.2°,β2=?62.0°±2.0°;測(cè)定其自轉(zhuǎn)的恒星周期為(13.109777±3.8×10?6)h;并基于兩個(gè)極軸解反演出互為鏡像的凸殼形狀模型.

小行星:個(gè)別:(26)Proserpina,方法:觀測(cè),方法:數(shù)值

1 引言

概括來說,小行星亮度的變化有3種原因:(1)小行星與地球和小行星與太陽(yáng)間距離的改變;(2)相位角(即從小行星看太陽(yáng)和看地球兩個(gè)方向間的角度)的改變;(3)小行星不規(guī)則形狀以及不均勻的表面反照率在自轉(zhuǎn)時(shí)所引起亮度的改變[1].

通常所說的小行星光變是指由于自轉(zhuǎn)引起的光度變化,其光變周期一般是數(shù)小時(shí).在這個(gè)期間內(nèi)距離和相位角的改變都很小,因此短周期的光度變化反映了小行星的不規(guī)則形狀或者表面不均勻的反照率.小行星和地球在繞日公轉(zhuǎn)過程中,它們與太陽(yáng)的幾何位置也會(huì)發(fā)生變化,當(dāng)運(yùn)行到恰當(dāng)位置時(shí),地面望遠(yuǎn)鏡才能觀測(cè)到它們,形成可觀測(cè)窗口.不同觀測(cè)窗口獲得的小行星光變曲線存在差異,這種差異與小行星視界角θ(自轉(zhuǎn)軸與視線方向夾角)的變化有關(guān).因此,通過積累多個(gè)觀測(cè)窗口的多條光變曲線數(shù)據(jù)可反演計(jì)算出小行星的形狀、自轉(zhuǎn)軸指向及表面基本光學(xué)特征[2?3].

歷經(jīng)A(Amplitude)方法、E(Epoch)方法、AM(Amplitude-Magnitude)方法等一系列基于三軸橢球形狀模型的反演方法后[4?6],Kaasalainen和Torppa等人提出基于凸殼模型的形狀反演方法[2?3,7].凸殼模型比橢球模型更進(jìn)一步模擬小行星的真實(shí)形狀,因此該方法獲得廣泛的應(yīng)用.例如DAMIT(Database of Asteroid Models from Inversion Techniques)小行星形狀模型數(shù)據(jù)庫(kù),收集了300多個(gè)小行星凸殼反演模型[8],Hanuˇs等人通過對(duì)大量形狀模型的自轉(zhuǎn)參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),研究了Yarkovsky效應(yīng)和YORP(Yarkovsky-O’Keefe-Radzievskii-Paddack)效應(yīng)在小行星族群演化中的作用[9].

小行星(26)Proserpina是一顆典型的S型小行星,根據(jù)IRAS(Infrared Astronomical Satellite)的數(shù)據(jù),其直徑達(dá)(94.80±1.7)km.Blanco等人采用AM方法獲得其自轉(zhuǎn)軸指向λ1=47?±1?、β1=?4?±7?以及λ2=227?±13?、β2=0?±13?.兩個(gè)軸指向都表明該小行星自轉(zhuǎn)軸位于黃道面附近,但由于誤差較大,難以確定小行星自轉(zhuǎn)方向.軸比為a/b=1.16、b/c=1.40[10],說明這是顆扁平的小行星.

2 光變曲線觀測(cè)和數(shù)據(jù)處理

國(guó)內(nèi)最早進(jìn)行小行星光變觀測(cè)的機(jī)構(gòu)是紫金山天文臺(tái),1965年張鈺哲等人就使用紫金山上60 cm望遠(yuǎn)鏡結(jié)合光電倍增管對(duì)(26)Proserpina進(jìn)行了時(shí)序測(cè)光,這是首次獲得該小行星的光變曲線[11].

2011–2012年期間,我們利用紫金山天文臺(tái)盱眙觀測(cè)站40 cm施密特卡塞格林式望遠(yuǎn)鏡對(duì)(26)Proserpina進(jìn)行了時(shí)序測(cè)光.使用的終端是加V+R濾光片的無快門U6 CCD,視場(chǎng)為23′×23′.由于目標(biāo)星視星等很亮(V=11.4 mag),而U6 CCD沒有快門,我們采用了散焦模式觀測(cè),采取了40 s和0 s交替曝光策略,用以進(jìn)行相鄰圖像相減以消除無快門造成的星象拖尾效應(yīng),同時(shí)也達(dá)到減本底的效果.觀測(cè)數(shù)據(jù)還做了暗流改正和圓頂平場(chǎng)改正.

此外我們還使用了Scaltriti等人的光變數(shù)據(jù)以及Pilcher用Meade 35 cm望遠(yuǎn)鏡獲得的光變曲線數(shù)據(jù).用于形狀反演的數(shù)據(jù)的具體信息參見表1.其中第1列是觀測(cè)日期,第2列和第3列是小行星的日心距和地心距,第4列是小行星太陽(yáng)相位角,第5、6列是小行星的黃經(jīng)和黃緯,最后一列是數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn).

3 反演方法

3.1 形狀模型

Kaasalainen和Torppa等人提出的凸殼反演方法在小行星形狀反演研究領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用.該方法在三軸橢球體模型基礎(chǔ)上改進(jìn)為凸殼模型[2?3].在假設(shè)小行星形狀是凸多面體和表面反照率均勻的前提下對(duì)小行星的自轉(zhuǎn)軸指向、自轉(zhuǎn)周期和形狀進(jìn)行綜合建模.使模型的光變曲線與實(shí)測(cè)光變曲線的殘差最小化,即:

其中Lobs和Lmod分別表示實(shí)測(cè)光變曲線和模型光變曲線.其中模型亮度是通過散射函數(shù)S在小行星表面可見面元A+上積分得到:

表1 (26)Proserpina的觀測(cè)信息匯總表Table 1 The summary sheet of observations of(26)Proserpina

3.2 誤差估計(jì)

在小行星形狀反演研究中,誤差估計(jì)一直是具有挑戰(zhàn)性的工作.Kaasalainen等人認(rèn)為小行星極軸指向的誤差來源于散射模型和參數(shù)的不確定性,他們對(duì)于極軸指向的誤差估計(jì)一般是2?[3]到5?[15]之間,對(duì)于恒星周期的誤差估計(jì)是0.01Δp到0.1Δp之間[7],其中:

這里,p是自轉(zhuǎn)會(huì)合周期,ΔT是所使用數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度.

Kaasalainen等人對(duì)極軸指向誤差估計(jì)基本是依據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn),2012年Wang[16]首次嘗試用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行自轉(zhuǎn)狀態(tài)參數(shù)的誤差估計(jì).將蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)原理用于小行星(360)Carlova和(171)Ophelia的形狀反演研究.其方法為:通過在觀測(cè)的光變曲線上增加隨機(jī)誤差產(chǎn)生模擬光變曲線,再使用模擬光變曲線進(jìn)行形狀反演.經(jīng)過多次對(duì)模擬光變曲線的反演,可以獲得待測(cè)參數(shù)的分布,根據(jù)分布情況確定待測(cè)參數(shù)和參數(shù)誤差.在MC模擬中,添加均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為0.05 mag的隨機(jī)誤差,對(duì)于這兩個(gè)小行星的極軸誤差估計(jì)在5?左右.2014年Ansdell等人也采用該方法對(duì)小行星(3200)Phaethon進(jìn)行了形狀反演的誤差估計(jì).他們?cè)谟^測(cè)數(shù)據(jù)上添加了μ=0,σ=0.01 mag的觀測(cè)誤差,對(duì)該小行星極軸的黃經(jīng)和黃緯誤差估計(jì)分別為13?和10?[17].

Wang和Ansdell等人采用的MC方法中都引入了這樣一個(gè)假設(shè):觀測(cè)誤差是均值為0,方差為常數(shù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)量[16?17].只是在各自的MC模擬中采用了不同的方差值.而本文嘗試不采用任何分布假設(shè),僅從模型誤差的獨(dú)立同分布特征入手對(duì)待測(cè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)誤差估計(jì),即采用Bootstrap方法進(jìn)行誤差估計(jì).該方法最先由Efron于1979年提出,其原理是根據(jù)給定的原始樣本觀測(cè)信息,而不需要進(jìn)行樣本分布假設(shè)和增加樣本信息,對(duì)總體分布特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法[18].隨著計(jì)算能力的提高,Bootstrap方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于求估計(jì)量的方差.在天文研究領(lǐng)域,文獻(xiàn)[19-22]介紹了該方法對(duì)初軌精度進(jìn)行估計(jì)的研究,我們也采用這種方法對(duì)觀測(cè)資料殘差的重采樣構(gòu)成Bootstrap樣本,由Bootstrap樣本進(jìn)行自轉(zhuǎn)狀態(tài)參數(shù)(自轉(zhuǎn)周期、自轉(zhuǎn)軸指向)的精度估計(jì).具體過程如下所示:

(1)由原始觀測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)合光變曲線反演方法得到形狀模型和自轉(zhuǎn)狀態(tài)參數(shù)

(3)由原始觀測(cè)光變曲線和模型光變曲線計(jì)算殘差:ei=L?Lod;

經(jīng)過B次重復(fù)后得到一組由Bootstrap樣本產(chǎn)生的參數(shù),根據(jù)這組參數(shù)進(jìn)行參數(shù)和參數(shù)誤差估計(jì)

4 結(jié)果

4.1 自轉(zhuǎn)周期初定

1965年張鈺哲等人對(duì)(26)Proserpina進(jìn)行了兩個(gè)晚上的時(shí)序測(cè)光,擬合得到10.60 h和13.11 h的會(huì)合周期[11],最后他們采用了前者.1977–1978年Scaltriti等人測(cè)定的會(huì)合周期為13.13 h[12].此外Riccioli等人測(cè)定的會(huì)合周期為6.668 h[23],該值幾乎是歷史周期的一半.Ditteon等人測(cè)得的周期是(13.06±0.03)h[24].之后Fauerbach等人和Pilcher分別測(cè)定了會(huì)合周期,為(13.106±0.001)h[25]和(13.110±0.001)h[13]以及(13.109±0.001) h[14].除Riccioli的結(jié)果外,其余結(jié)果是近似的.我們使用Harris等人所提出的周期計(jì)算方法[26],對(duì)新觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行周期計(jì)算,測(cè)得會(huì)合周期為(13.107±0.002)h,與前人結(jié)果吻合很好.

小行星的會(huì)合周期包含了地球公轉(zhuǎn)和小行星公轉(zhuǎn)的影響,恒星周期才是其真實(shí)的自轉(zhuǎn)周期.因此需要結(jié)合小行星、地球和太陽(yáng)的幾何位置,以及自轉(zhuǎn)指向和形狀模型進(jìn)行恒星周期擬合.在給定的周期解空間內(nèi)歷遍對(duì)方程(1)做最小化計(jì)算,獲得一個(gè)自轉(zhuǎn)周期的最優(yōu)解.

根據(jù)已有的會(huì)合周期確定恒星周期的掃描范圍,我們?cè)?3.106～13.120 h之間進(jìn)行初步周期掃描,周期變化步長(zhǎng)為3×10?5h.我們發(fā)現(xiàn)χ2最小值在13.10977 h附近.圖1顯示了歷遍周期和對(duì)應(yīng)的χ2分布情況.

圖1 周期和擬合的χ2值對(duì)比Fig.1 The period vs the fi tting χ2

4.2 自轉(zhuǎn)軸指向

根據(jù)光變曲線反演方法計(jì)算自轉(zhuǎn)參數(shù),需要初始自轉(zhuǎn)周期和初始極軸指向.其中對(duì)于自轉(zhuǎn)周期初值比較敏感,因此,采用上一步的初始周期掃描的結(jié)果.對(duì)于極軸計(jì)算,該方法將從初始極軸迭代計(jì)算出一個(gè)局部最優(yōu)極軸解.因此我們將極軸解空間劃分為若干個(gè)網(wǎng)格,然后把每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)值作為極軸指向的初始值,經(jīng)過迭代后找到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的局部最優(yōu)解,最后在所有局部最優(yōu)解中找出全局最優(yōu)解.

圖2顯示3?×3?網(wǎng)格上的歷遍結(jié)果,不同顏色指示了對(duì)應(yīng)極軸位置的χ2值.得到的極軸指向最優(yōu)解為λ=259.3?,β=?62.0?,對(duì)應(yīng)的恒星周期為p=13.109778 h, χ2=0.666.根據(jù)Torppa和Kaasalainen等人的研究,χ2符合(χ2?χ2min)/χ2min＜ρ,所對(duì)應(yīng)的解構(gòu)成比較穩(wěn)定的解區(qū)間,其中ρ一般取5%或者10%[7].在歷遍的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解的黃經(jīng)方向存在一個(gè)鏡像解區(qū)域,該區(qū)域的局部最優(yōu)解是λ=90?,β=?53.0?,圖1對(duì)應(yīng)的p=13.109775 h,χ2=0.667.

圖2 極軸解空間的χ2分布Fig.2 The distribution of χ2in the solution space of pole axis

我們采用Bootstrap方法進(jìn)行1 000次模擬,取使χ2最小化的周期值和極軸值,得到由Bootstrap樣本反演結(jié)果的分布.由于光變曲線和凸殼反演方法自身的局限性,無法避免在黃經(jīng)方向產(chǎn)生鏡像解(即黃經(jīng)相差約180?的解),因此Bootstrap樣本的極軸解在其解空間呈現(xiàn)出二維雙峰分布特點(diǎn).在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),按照極軸黃經(jīng)方向進(jìn)行切分,以分別估計(jì).圖3顯示了極軸解的分布情況,其中上面兩圖分別為極軸解在第1個(gè)峰值附近的黃經(jīng)和黃緯的分布以及直方圖;下面兩幅圖為極軸解在第2個(gè)峰值附近的黃經(jīng)和黃緯的分布圖和直方圖.圖中的菱形表示極軸解,直方圖是極軸解在黃經(jīng)和黃緯上的分布統(tǒng)計(jì),曲線是對(duì)直方統(tǒng)計(jì)做的高斯擬合結(jié)果.極軸解分布的兩個(gè)峰值分別對(duì)應(yīng)的極軸P1和P2,他們互為鏡像解.對(duì)極軸在黃經(jīng)和黃緯方向的分布進(jìn)行Gauss擬合得到分布中心和標(biāo)準(zhǔn)差.詳細(xì)結(jié)果參見表2.在1 000次模擬中364次極軸解處于P1區(qū)域,636次處于P2區(qū)域.在一定程度上反映真實(shí)解所在區(qū)域的可能性.

圖3 Bootstrap模擬中自轉(zhuǎn)參數(shù)的分布圖Fig.3 The spin-parameter distributions with the Bootstrap simulation

表2 (26)Proserpina的恒星周期和極軸指向Table 2 The period and pole orientation of(26)Proserpina

4.3 形狀模型

利用光變曲線反演小行星凸殼形狀是光變曲線反演方法的最大特點(diǎn).凸殼模型是由一系列三角面元構(gòu)成的,每個(gè)面元的面積在一定程度上反映真實(shí)小行星的形狀特點(diǎn).

我們根據(jù)兩個(gè)極軸解分別得到兩個(gè)形狀模型.圖4的上面3個(gè)圖形是第1個(gè)極軸位置的形狀模型,下面是第2個(gè)極軸指向?qū)?yīng)的形狀;從左往右分別是從x軸方向、y軸方向、z軸方向觀測(cè)的圖形;其中z軸方向作為自轉(zhuǎn)軸方向.從圖形可明顯看出自轉(zhuǎn)軸的軸距最短,意味著(26)Proserpina是個(gè)扁平狀的不規(guī)則小行星,具體的軸比信息參見表2.

圖4 (26)Proserpina的凸形狀Fig.4 The convex shapes of(26)Proserpina

圖5展示了我們所用的25條光變曲線和模型曲線的對(duì)照.其中α是觀測(cè)時(shí)刻的太陽(yáng)相位角,θ是視界角,θ0是太陽(yáng)方向和小行星極軸方向的夾角,虛線表示模型曲線,黑色米字符號(hào)連成觀測(cè)曲線.從圖形可以看出觀測(cè)曲線和模型曲線吻合得很好.

圖5 觀測(cè)和模型光變曲線Fig.5 The observational and modeling light curves

5 討論與總結(jié)

我們對(duì)主帶S型小行星(26)Proserpina進(jìn)行光變觀測(cè)并測(cè)定其自轉(zhuǎn)的會(huì)合周期,使用光變曲線反演方法獲得恒星周期、自轉(zhuǎn)軸指向和凸殼形狀模型,并采用Bootstrap方法對(duì)反演結(jié)果的不確定性進(jìn)行了分析.

我們測(cè)定出該小行星的自轉(zhuǎn)周期為(13.109777±3.8×10?6)h;自轉(zhuǎn)軸指向?yàn)棣?= 90.8?±1.4?,β1=?53.1?±3.2?和λ2=259.3?±2.2?,β2=?62.0?±2.0?,明顯偏向于南黃極,說明該小行星處于逆旋轉(zhuǎn)狀態(tài).該結(jié)論與Blanco等人的結(jié)論有較大差異,這主要是由于采用的模型和方法不一樣,并且我們采用了歷時(shí)更長(zhǎng)的觀測(cè)數(shù)據(jù).

從形狀模型(圖4)很容易看出這是個(gè)較扁平的小行星,其軸比為a/b=1.05、b/c= 1.30,表明這與Blanco等人的結(jié)論比較接近.一般情況下軸比b/c比較大,表明這可能是一個(gè)并合雙星結(jié)構(gòu),或者至少在其中間有較大的凹陷區(qū)域.從形狀模型看,靠近極軸區(qū)域比較平坦,很可能這就是全局大尺度的凹陷結(jié)構(gòu)造成的.另一方面其不規(guī)則的光變曲線也說明這個(gè)小行星表面結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜.

基于目前的25條光變曲線,采用Bootstrap方法對(duì)形狀反演進(jìn)行了模擬,獲得了趨于穩(wěn)定的解分布.根據(jù)解的分布情況,給出了解的誤差估計(jì),誤差范圍從1.4?到3.2?之間.由于該方法不依賴于觀測(cè)數(shù)據(jù)的分布模型,因此避免了分布模型的參數(shù)選擇,因此可適用于小行星形狀反演研究.

從光變曲線反演小行星形狀本身就存在諸多不確定性因素,例如表面反照率的不均勻性,散射模型的準(zhǔn)確度等.雖然凸殼反演方法建立的小行星形狀模型比三軸橢球形狀模型更接近真實(shí)形狀,但由于光變數(shù)據(jù)的局限性,導(dǎo)致鏡像難以避免.我們進(jìn)行Bootstrap的模擬,取使χ2最小化的極軸解,得到解出現(xiàn)在P1區(qū)域的概率是0.364,出現(xiàn)在P2區(qū)域的概率是0.636(見圖3).小行星(26)Proserpina的極軸解為P2的可能性明顯高于P1.因此,就統(tǒng)計(jì)學(xué)意義而言,根據(jù)Bootstrap模擬可以確定極軸解的唯一性.

要進(jìn)一步提高自轉(zhuǎn)參數(shù)的準(zhǔn)確性,從鏡像解中區(qū)分唯一解,那么需要從反演模型和數(shù)據(jù)類型入手.例如采用結(jié)合自適應(yīng)光學(xué)數(shù)據(jù)和小行星掩恒星數(shù)據(jù)的KAOLA(Knitted Occultation,Adaptive-optics,and Lightcurve Analysis)模型[27].而采用Bootstrap模擬來判斷極軸唯一解也不失為一種可能,但該方法還有待更詳細(xì)地研究.

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Photometric Observational and Modelling Study on the Asteroid(26)Proserpina

LI Bin1,2ZHAO Hai-bin1,2WANG Xin1
(1 Purple Mountain Observatory,Chinese Academy of Sciences,Nanjing 210008) (2 Key Laboratory of Planetary Sciences,Chinese Academy of Sciences,Nanjing 210008) (3 Key Laboratory of Space Object and Debris Observation,Purple Mountain Observatory,Chinese Academy of Sciences,Nanjing 210008)

We present new CCD observations of the asteroid(26)Proserpina carried out between 2011 December and 2012 February.A synodic period of(13.107±0.002) h based upon the new observations is obtained.Using all available light curves,the spin vectors,period of rotation,and the shape model of the asteroid are determined with the convex inversion method.Further more,a Bootstrap method is applied to estimate the uncertainties of the spin parameters.We derive a pair of possible poles for(26)Proserpina,and believe that it has a retrograde rotation state.The poles are determined λ1=90.8?±1.4?,β1= ?53.1?±3.2?,and mirror solution of λ2= 259.3?±2.2?,β2=?62.0?±2.0?.The spin period corresponding to the two poles is almost the same as(13.109777±3.8×10?6)hours.For the asteroid,the convex shapes corresponding to the pairs of poles are mirror images of each other.

asteroids:individual:(26)Proserpina,methods:observational,methods: numerical

P185;

:A

2014-11-20收到原稿,2015-01-21收到修改稿

?國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11178025,11273067)、紫金山天文臺(tái)小行星基金會(huì)、澳門科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金項(xiàng)目(095/2013/A3)資助

?binli@pmo.ac.cn

10.15940/j.cnki.0001-5245.2015.04.004