張鳳華周貴德 馬 坤 馬文娟 崔文元 張 波

(1滄州師范學(xué)院物理與信息工程學(xué)院滄州061001)

(2河北師范大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院石家莊050016)

中子輻照量指數(shù)分布函數(shù)式中比例系數(shù)和平均中子輻照量的計(jì)算公式?

張鳳華1,2?周貴德1馬 坤1馬文娟1崔文元2張 波2

(1滄州師范學(xué)院物理與信息工程學(xué)院滄州061001)

(2河北師范大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院石家莊050016)

已有的研究表明,在A(yíng)GB(Asymptotic Giant Branch)星s-過(guò)程核合成模型發(fā)展演化的3個(gè)典型階段中,其核合成區(qū)域中子輻照量分布在有效取值范圍內(nèi)都可視為指數(shù)分布,即ρAGB(τ)=C/τ0exp(?τ/τ0),但式中比例系數(shù)C和平均中子輻照量τ0的具體表達(dá)式相關(guān)文獻(xiàn)中并未全部給定.通過(guò)深入剖析中子輻照量指數(shù)分布函數(shù)的基本求解方法,并系統(tǒng)梳理不同恒星模型中子輻照量分布函數(shù)的求解過(guò)程,得到了C和τ0的計(jì)算通式及其輔助關(guān)系式.只要確定了恒星模型中子輻照量的分立分布函數(shù),就可以據(jù)此組公式確定出C和τ0與模型參量之間的關(guān)系式.所得結(jié)果有效地解決了利用解析方法求解目前流行的13C殼層(13C pocket)輻射燃燒AGB星s-過(guò)程核合成模型中子輻照量分布問(wèn)題.

恒星:AGB和后AGB,恒星:中子,方法:解析

1 引言

s-過(guò)程即慢中子俘獲過(guò)程,是為解釋比鐵族元素更重的元素(原子序數(shù)＞30)核合成而提出的一種物理機(jī)制[1].它要求較低的中子數(shù)密度條件(Nn＜108cm?3),使得任何不穩(wěn)定的核都在俘獲下一個(gè)中子前先進(jìn)行衰變,s-過(guò)程路徑沿β穩(wěn)定谷.由于太陽(yáng)系的重元素豐度分布的觀(guān)測(cè)證據(jù)最詳細(xì)、精確,因此在s-過(guò)程理論研究中常將其作為觀(guān)測(cè)約束.

經(jīng)典s-過(guò)程模型是研究中子俘獲核合成的解析理論,是一種純唯象的方法.經(jīng)典模型指出,定義中子流NnvT(Nn為中子數(shù)密度,vT為中子的熱運(yùn)動(dòng)速率)對(duì)時(shí)間的積分τ=∫NnvTdt,τ稱(chēng)為中子輻照量,表示在整個(gè)照射時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的中子數(shù)目, Seeger等[2]和Clayton等[3]指出:若定義ρ(τ)dτ為中子輻照量在τ～τ+dτ的鐵種子核數(shù)目(歸一化到106個(gè)硅原子),ρ(τ)稱(chēng)為中子輻照量分布(以下簡(jiǎn)稱(chēng)DNE),則當(dāng)唯象地取中子輻照量分布函數(shù)為指數(shù)衰減形式時(shí),所得結(jié)果可以擬合太陽(yáng)系的s-元素豐度分布,式中為太陽(yáng)系中種子核56Fe的豐度,因子f為被中子照射過(guò)的56Fe核的比例,常數(shù)τ0稱(chēng)為平均中子輻照量.逐漸地,人們發(fā)現(xiàn):要詳細(xì)地解釋全部的太陽(yáng)系s-元素豐度分布至少需要3個(gè)不同的DNE,即弱分量(負(fù)責(zé)生產(chǎn)原子質(zhì)量數(shù)A＜88的s-核素)、主要分量(生產(chǎn)88≤A≤208的s-核素)和強(qiáng)分量(生產(chǎn)約50%的208Pb)[4].1999年Arlandini等[5]給出擬合太陽(yáng)系s-元素主要分量的τ0=(0.296±0.003)(kT/30)1/2mbarn?1,式中kT為以keV為單位的分子熱運(yùn)動(dòng)能量.經(jīng)典s-過(guò)程模型可確定s-過(guò)程的平均物理?xiàng)l件,如中子輻照量、中子數(shù)密度、溫度以及s-過(guò)程時(shí)標(biāo)等.對(duì)于單顆恒星的演化,平均中子輻照量的值依賴(lài)于恒星的金屬豐度、質(zhì)量和13C殼層的質(zhì)量.

另一種研究s-過(guò)程的有效方法是進(jìn)行與熱脈沖AGB階段的恒星模型耦合的核合成數(shù)值計(jì)算.AGB星是一個(gè)埋在巨大對(duì)流包層里的簡(jiǎn)并星,其核心收縮為具有通常白矮星大小的致密碳-氧簡(jiǎn)并核,在它的外面是雙燃燒殼層–由內(nèi)到外分別為氦燃燒殼層和氫燃燒殼層,在雙燃燒殼層之間有一個(gè)很薄的、處于輻射平衡狀態(tài)的、富氦的中間殼層,氫燃燒殼層外是對(duì)流的外包層.在A(yíng)GB階段的后期,恒星進(jìn)入氦燃燒殼層熱不穩(wěn)定性而引發(fā)的熱脈沖AGB階段.一般說(shuō)來(lái),AGB星經(jīng)歷的脈沖數(shù)與其初始主序質(zhì)量密切相關(guān),如初始主序質(zhì)量為1.3 M⊙的AGB星,熱脈沖周期長(zhǎng)達(dá)105yr,大約經(jīng)歷10～12個(gè)熱脈沖后變?yōu)榘装?而初始主序質(zhì)量為5.0 M⊙的AGB星,熱脈沖周期約為1000～3000 yr,可經(jīng)歷30～50個(gè)熱脈沖才形成白矮星和行星狀星云.在熱脈沖循環(huán)進(jìn)行的過(guò)程中,恒星將發(fā)生重要“第3次挖掘”現(xiàn)象(Third Dredge-up).在最后幾個(gè)熱脈沖過(guò)程中,恒星外包層會(huì)發(fā)生“星風(fēng)質(zhì)量損失”.AGB星模型的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示．

圖1 熱脈沖AGB星模型結(jié)構(gòu)示意圖,包括對(duì)流外包層的邊界、氫燃燒殼層、氦燃燒殼層和氦中間殼層.介于氫殼層和對(duì)流包層邊界之間的A區(qū)以及氦中間殼層內(nèi)的B區(qū),在第3次挖掘過(guò)程期間被混入到對(duì)流的包層[6].Fig.1 Illustration of the structure of a thermal pulse-asymptotic giant branch star,showing the border of the convective envelope,the H-burning shell,the He-burning shell,and the He intershell.The region A between the H shell and the border of the convective envelope and the region B in the He intershell are mixed into the convective envelope during TDU[6].

自從發(fā)現(xiàn)AGB星以來(lái),大量天文觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)顯示,AGB星光球中的碳和重核素的豐度不同程度地高出一般恒星.根據(jù)AGB星外包層的碳、氧豐度比C/O,可將其分為兩類(lèi):一類(lèi)是C/O＜1的MS星和S星;另一類(lèi)是C/O＞1的C星．1952年,Merrill[7]在天文觀(guān)測(cè)中首次發(fā)現(xiàn),在S星的光譜中包含有不穩(wěn)定重核素99Tc(99Tc的半衰期是2×105yr),它的存在表明恒星內(nèi)部正在發(fā)生重要的重元素核合成過(guò)程–s-過(guò)程以及核合成產(chǎn)物被混到恒星表面的過(guò)程．20世紀(jì)60年代中期通過(guò)對(duì)恒星演化圖象的研究表明:熱脈沖AGB星階段的氦中間殼層是發(fā)生慢中子俘獲最合適的場(chǎng)所[8?9].Cameron[10]等人在A(yíng)GB星演化的He燃燒階段引入了兩個(gè)對(duì)重元素核合成至關(guān)重要的中子源:一個(gè)是13C中子源,通過(guò)反應(yīng)13C(α,n)16O釋放中子;另一個(gè)是22Ne中子源,通過(guò)22Ne(α,n)25Mg釋放中子.其中,22Ne是由在H燃燒殼層中經(jīng)過(guò)CNO循環(huán)合成的14N,在脈沖開(kāi)始的早期,在He殼層中通過(guò)反應(yīng)鏈14Ne(α,γ)18F(β+,ν)18O(α,γ)22Ne自然生成,而要形成一定量的13C,需要一個(gè)將質(zhì)子混入He中間殼層的過(guò)程.

由于經(jīng)典模型完全不依賴(lài)于恒星模型,因此能為恒星模型的核合成數(shù)值計(jì)算提供指導(dǎo)和約束,而恒星核合成區(qū)域的DNE就是聯(lián)系兩種方法的橋梁.原則上講,相似的元素豐度分布應(yīng)該對(duì)應(yīng)相似的DNE,因此兩種方法的研究結(jié)果應(yīng)該是一致的.而事實(shí)上,在A(yíng)GB星s-過(guò)程模型發(fā)展演化所經(jīng)歷的3個(gè)主要階段中,上世紀(jì)70年代的熱脈沖對(duì)流核合成模型[11](以下簡(jiǎn)稱(chēng)Ulrich模型,詳見(jiàn)2.1節(jié)),以及80年代的13C殼層對(duì)流核合成模型[12?15](詳見(jiàn)2.2節(jié)),都能在其核合成區(qū)域自然地給出指數(shù)形式的漸近DNE,即

式中r為連續(xù)經(jīng)歷兩次熱脈沖的物質(zhì)占氦中間殼層的質(zhì)量比例,稱(chēng)為重疊因子,Δτ為每次照射的中子輻照量.對(duì)于目前流行的第3代恒星s-過(guò)程核合成模型,即上世紀(jì)90年代中期建立起來(lái)的13C殼層輻射燃燒模型[16?18](詳見(jiàn)2.3節(jié)),我們?cè)谖墨I(xiàn)[19-22]的研究表明,其漸近DNE雖然不再是嚴(yán)格的指數(shù)分布,但在中子輻照量的有效值范圍內(nèi),仍可視為指數(shù)分布.文獻(xiàn)[19-22]給出了對(duì)分立分布的DNE進(jìn)行指數(shù)函數(shù)數(shù)值擬合確定τ0值的方法,顯然這種方法不夠簡(jiǎn)明準(zhǔn)確,也不便于推廣應(yīng)用.τ0與模型參量的關(guān)系式是聯(lián)系經(jīng)典模型和恒星模型的橋梁,對(duì)研究?jī)烧叩年P(guān)系問(wèn)題具有重要意義.因此,從解析理論推導(dǎo)角度探求τ0與該模型參量之間更直接、簡(jiǎn)明和準(zhǔn)確的關(guān)系式是非常有必要的.

另外,由于

可見(jiàn)比例系數(shù)C表示達(dá)漸近分布時(shí)氦中間殼層內(nèi)受中子輻照量照射的種子核數(shù)目比例,或說(shuō)進(jìn)入氦中間殼層內(nèi)的新鮮物質(zhì)受中子照射的概率.一般與不同模型對(duì)應(yīng)的概率值不同,C的值在一定程度上反映了AGB星s-過(guò)程核合成模型的特點(diǎn),因此準(zhǔn)確確定C的值是很有意義的.對(duì)于對(duì)流核合成模型(包括Ulrich模型和13C殼層對(duì)流核合成模型),相關(guān)文獻(xiàn)如文獻(xiàn)[4,6,18,23]等并未給出C的具體表達(dá)式.對(duì)于13C殼層輻射燃燒核合成模型,文獻(xiàn)[19-22]在確定C的取值時(shí),只是仿照文獻(xiàn)[18],將ρAGB(τ)歸一到受中子照射過(guò)的物質(zhì)比例,對(duì)于如何從理論上更合理地確定C的值未予討論.

本文在對(duì)Ulrich模型DNE得出方法進(jìn)行深入剖析的基礎(chǔ)上,通過(guò)對(duì)不同AGB星模型DNE的得出過(guò)程進(jìn)行系統(tǒng)的梳理,得到了中子輻照量指數(shù)分布函數(shù)式(2)式中平均中子輻照量τ0和比例系數(shù)C的計(jì)算通式及其輔助關(guān)系式.公式表明,只要確定了AGB星s-過(guò)程核合成模型中子輻照量的分立分布函數(shù),就可以確定出τ0和C與模型參量之間的關(guān)系式.

2 AGB星s-過(guò)程核合成模型DNE指數(shù)函數(shù)表達(dá)式中比例系數(shù)和平均中子輻照量的確定

2.1 Ulrich模型

1973年,Ulrich[11]從TP-AGB模型出發(fā),提出了一個(gè)具有重要意義的s-過(guò)程核合成模型,其主要特點(diǎn)是:(1)當(dāng)對(duì)流的富He中間殼層的底部溫度升高到0.8×108～0.9×108K時(shí),13C中子源釋放出中子,種子核經(jīng)歷中子輻照而合成新核素;(2)每個(gè)熱脈沖對(duì)流氦中間殼層內(nèi)所有物質(zhì)(質(zhì)量Msh)的中子照射情況都相同;(3)由于在熱脈沖期間混合流將物質(zhì)帶到恒星表面以及在脈沖間隔期間4He燃燒生成13C導(dǎo)致氦殼層丟失質(zhì)量,因此僅有質(zhì)量為rMsh的物質(zhì)可以連續(xù)經(jīng)歷兩次熱脈沖,其中比例系數(shù)r稱(chēng)為重疊因子; (4)在每個(gè)熱脈沖開(kāi)始時(shí),都有(1?r)Msh的物質(zhì)從外包層進(jìn)入對(duì)流氦中間殼層區(qū),它們含有沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)先前中子照射的種子核.假設(shè)Δτ為每個(gè)脈沖的中子輻照量,Ulrich列出了自第n個(gè)熱脈沖進(jìn)入的(1?r)Msh新鮮物質(zhì)所經(jīng)歷的中子輻照情況,如表1所示.表中第1列標(biāo)記脈沖的序數(shù),第2列表示新鮮物質(zhì)占氦中間殼層的質(zhì)量比例,第3列表示所接受的中子輻照量,顯然通式(1?r)rm(m=0,1,2···)即表示自任意第n個(gè)脈沖開(kāi)始時(shí)進(jìn)入的(1?r)Msh新鮮物質(zhì)中,在第n+m個(gè)脈沖結(jié)束后仍能留在氦中間殼層且經(jīng)歷中子輻照量為(m+1)Δτ的物質(zhì)比例.

表1 Ulrich模型自第n個(gè)熱脈沖進(jìn)入氦中間殼層區(qū)的(1?r)Msh新鮮物質(zhì)的中子照射經(jīng)歷Table 1 The neutron irradiation history of the(1?r)Mshfresh matter which entered into the He intershell at pulsenin the Ulrich model

在此基礎(chǔ)上，Ulrich給出了經(jīng)過(guò)巨大數(shù)目的熱脈沖后氦殼層內(nèi)接受中子輻照量在τ附近單位區(qū)間內(nèi)的種子核相對(duì)豐度

式中

f為從對(duì)流殼層混進(jìn)外包層的質(zhì)量占對(duì)流殼層的質(zhì)量比例.后來(lái)的文獻(xiàn)(如文獻(xiàn)[4,6,18,23])中對(duì)方程(5)的引用方式一般為

其中τ0的表達(dá)式與(3)式相同.

為了更好地利用Ulrich模型的方法討論其他類(lèi)型AGB星s-過(guò)程模型的DNE,我們有必要對(duì)該方法做進(jìn)一步的解讀.

(1)如何從DNE的分立分布過(guò)渡到連續(xù)分布？

表1實(shí)際上給出了氦殼層達(dá)漸近分布(氦殼層內(nèi)被先后進(jìn)入的新鮮物質(zhì)充滿(mǎn),即1?r+(1?r)r+(1?r)r2+···=1)時(shí)氦殼層內(nèi)物質(zhì)按中子輻照量的分立分布形式,即達(dá)漸近分布時(shí)氦殼層內(nèi)中子輻照量為kΔτ(k表示新鮮物質(zhì)受中子照射的次數(shù))的物質(zhì)比例為

對(duì)于如何從這個(gè)分立分布過(guò)渡到連續(xù)分布,Ulrich[11]實(shí)際上是假設(shè)氦殼層達(dá)漸近分布時(shí), τ在0～Δτ之間的物質(zhì)比例為P1=1?r,τ在Δτ～2Δτ之間的物質(zhì)比例為P2=(1?r)r, ······,τ在(k?1)Δτ～kΔτ之間的物質(zhì)比例為Pk=(1?r)rk?1,因此τ在τ～τ+Δτ之間的物質(zhì)比例為(1?r)rτ/?τ,而平均單位中子輻照量區(qū)間的物質(zhì)比例為

即得到了方程(5)中的第2個(gè)等式，也就得到了DNE的連續(xù)分布形式.可以看出中子輻照量的連續(xù)分布函數(shù)和分立分布函數(shù)有如下關(guān)系:

(2)如何確定DNE指數(shù)分布函數(shù)式(7)式中的平均中子輻照量和比例系數(shù)？

將(7)式寫(xiě)成等式,有

式中C1和CU為比例系數(shù).對(duì)比(5)式和(11)式可知C1=1.而

式中τ0的表達(dá)式與(3)式相同.對(duì)比(11)式和(12)式可知

(13)式就是由本文首次明確給出的比例系數(shù)CU的表達(dá)式．

2.2 13C殼層對(duì)流燃燒模型

1982年,Iben和Renzini[12?13]提出了一個(gè)適合于低金屬豐度、低質(zhì)量AGB星的13C殼層形成機(jī)制.80年代末90年代初,Hollowell等[14]和Kappeler等[15]在此基礎(chǔ)上提出了一個(gè)包含兩個(gè)中子源的低質(zhì)量AGB星s-過(guò)程核合成模型,其基礎(chǔ)假設(shè)是:在每個(gè)熱脈沖過(guò)去之后,氦中間殼層頂部會(huì)形成一個(gè)13C密度隨深度下降的13C薄層,該薄層保持不變,直到被隨后到來(lái)的熱脈沖吞并后在對(duì)流環(huán)境下通過(guò)13C(α,n)16O反應(yīng)產(chǎn)生居主要地位的中子照射,種子核俘獲中子形成新核素.當(dāng)氦殼層對(duì)流至最充分時(shí),底部的溫度升高到約為3×108K,22Ne源剛能被激發(fā),釋放出中子數(shù)密度峰值較大的小量中子,種子核繼續(xù)俘獲中子合成新核素.這些產(chǎn)物最終在第3次挖掘中被混合到大氣包層.文獻(xiàn)[6,18]指出,這個(gè)模型雖然包含了兩個(gè)中子源,但仍給出指數(shù)形式的DNE,即

其中τ0的表達(dá)式與(3)式相同.我們將上式寫(xiě)成等式

式中C2和CC皆為比例系數(shù)。

下面我們仿照Ulrich模型的方法來(lái)確定(15)式中比例系數(shù)CC.該模型是假設(shè)在每個(gè)對(duì)流熱脈沖結(jié)束時(shí)有(1?r)Msh的新鮮物質(zhì)進(jìn)入氦中間殼層區(qū),并在整個(gè)區(qū)內(nèi)混合均勻,其中的(1?r)rMsh部分能夠經(jīng)歷下一個(gè)熱脈沖并接受期間的中子照射.仿照表1,我們?cè)诒?中列出了自第n個(gè)熱脈沖進(jìn)入的(1?r)Msh新鮮物質(zhì)所接受的中子輻照量隨所經(jīng)歷脈沖數(shù)的變化情況.

表2 13C殼層對(duì)流燃燒模型自第n個(gè)熱脈沖進(jìn)入氦中間殼層的(1?r)Msh新鮮物質(zhì)的中子照射經(jīng)歷Table 2 The neutron irradiation history of the(1?r)Mshfresh matter which entered into the He intershell at pulsenin the13C-pocket convective burning model

由此可以得到氦中間殼層內(nèi)DNE達(dá)漸近分布時(shí)殼層內(nèi)物質(zhì)按中子輻照量的分立分布形式，即氦中間殼層內(nèi)中子輻照量為kΔτ的物質(zhì)比例為

假設(shè)τ在0～Δτ之間的物質(zhì)比例為P1=(1?r)r,τ在Δτ～2Δτ之間的物質(zhì)比例為P2=(1?r)r2,······,τ在(k?1)Δτ～kΔτ之間的物質(zhì)比例為Pk=(1?r)rk,k=1,2···,則中子輻照量τ在τ～τ+Δτ之間的物質(zhì)比例為(1?r)r(τ+?τ)/?τ,而平均單位中子輻照量區(qū)間的物質(zhì)比例為

對(duì)比(15)式和(17)式,可知C2=1.而

式中τ0的表達(dá)式與(3)式相同.對(duì)比(15)式和(18)式可知

2.3 13C殼層輻射燃燒模型

20世紀(jì)90年代中期,Straniero等[16?17]提出了13C殼層輻射燃燒模型,Gallino等[18]對(duì)該模型給予了徹底的闡述.該模型表明,13C實(shí)際上是在熱脈沖間隔階段的輻射平衡狀態(tài)下燃燒釋放中子,13C殼層內(nèi)的中子數(shù)密度以及由此產(chǎn)生的中子輻照量隨著位置所處深度的增加而減小,殼層內(nèi)的種子核隨即俘獲中子合成重元素.在下一個(gè)對(duì)流熱脈沖到來(lái)時(shí),該殼層區(qū)域的物質(zhì)同氦中間殼層區(qū)未經(jīng)歷過(guò)該次s-過(guò)程的物質(zhì)混合均勻,并接受來(lái)自22Ne源中子數(shù)密度峰值高但中子輻照量小的中子照射,在熱脈沖結(jié)束時(shí),又與來(lái)自外包層的新鮮物質(zhì)混合均勻,之后經(jīng)歷下一個(gè)熱脈沖循環(huán).

我們?cè)谟懻撛撃Ｐ偷腄NE時(shí),同文獻(xiàn)[18]一樣,不考慮13C殼層區(qū)中子輻照量隨位置的變化以及模型參量隨脈沖數(shù)的變化,且只考慮13C中子源的中子照射.需要指出的是, Busso等[24]曾指出,由于核合成區(qū)域(即13C殼層)很小,僅約占氦中間殼層質(zhì)量的1/20,核合成產(chǎn)物在整個(gè)氦中間殼層的均勻混合使得不同核合成區(qū)域的生產(chǎn)因子逐漸非常接近.特別是最近的研究表明[25?26],只有采用13C均勻分布的13C殼層,才能擬合主族前太陽(yáng)系碳化硅顆粒中的鋯和鋇同位素豐度.因此假設(shè)處于13C殼層區(qū)中子輻照量均勻分布是合理的,也是有必要的.在上述簡(jiǎn)化條件下,該模型是假設(shè)在某個(gè)對(duì)流熱脈沖結(jié)束時(shí)自外包層進(jìn)入氦中間殼層的質(zhì)量為(1?r)Msh新鮮物質(zhì),其中的(1?r)rMsh部分可經(jīng)歷隨后的熱脈沖,但只有位于13C殼層區(qū)域的(1?r)qMsh(q表示13C殼層占對(duì)流氦中間殼層的質(zhì)量比例)部分可以在兩個(gè)脈沖間隔之間的輻射平衡狀態(tài)下經(jīng)歷中子照射,其余(1?r)(r?q)Msh部分不被照射.假設(shè)種子核經(jīng)歷一次照射獲得的中子輻照量都為Δτ,我們?cè)趫D2中列出了自第n個(gè)熱脈沖進(jìn)入氦中間殼層的(1?r)Msh新鮮物質(zhì)的中子照射經(jīng)歷分叉結(jié)構(gòu)示意圖.

將圖2中所有τ=kΔτ的質(zhì)量比例數(shù)相加,即可得到第n+m次脈沖結(jié)束時(shí)氦殼層內(nèi)自第n到第n+m次脈沖先后進(jìn)入的新鮮物質(zhì)中接受中子輻照量為τ=kΔτ的質(zhì)量比例.

文獻(xiàn)[19-20]給出:

通過(guò)考察P(kΔτ)?τ曲線(xiàn),文獻(xiàn)[19-20]指出,此模型的漸近DNE在中子輻照量的有效取值范圍內(nèi)非常逼近于指數(shù)分布,因此仍可用指數(shù)分布函數(shù)來(lái)擬合,即

下面我們仿照Ulrich模型方法來(lái)求解上式中τ0和比例系數(shù)Cr的表達(dá)式．

對(duì)(20)式進(jìn)行指數(shù)擬合,有

也就是說(shuō),

或

式中y只與r?q有關(guān),P0等于圖2中m→∞時(shí)中子輻照量τ=0的各項(xiàng)之和,即

仿照Ulrich模型的方法,將中子輻照量的分立分布函數(shù)(24)式轉(zhuǎn)化成連續(xù)分布,有

或

定義

有

可見(jiàn),

為了得到y(tǒng)的表達(dá)式,我們進(jìn)一步考察以上所討論的各種模型的DNE．

一方面有:

Ulrich模型

13C殼層對(duì)流燃燒模型

13C殼層輻射燃燒模型

考慮到在對(duì)流s-過(guò)程核合成模型中,種子核經(jīng)歷熱脈沖即經(jīng)歷中子照射,因此可以認(rèn)為,在(31)～(32)式中,rτ/?τ中的重疊因子r在此處表示種子核連續(xù)經(jīng)歷兩次中子照射的概率,因此類(lèi)似地,(33)式中的qy也是這個(gè)含義,不妨稱(chēng)其為準(zhǔn)重疊因子.

另一方面,Ulrich模型中,新鮮物質(zhì)都是自各次脈沖開(kāi)始時(shí)進(jìn)入,都至少經(jīng)歷一次中子照射,所以新鮮種子核受中子照射的概率pU為1,此概率也可以通過(guò)計(jì)算DNE達(dá)漸近分布時(shí)氦中間殼層內(nèi)受中子照射(即至少經(jīng)歷一次照射)的物質(zhì)比例Ptotal求得,即

但13C殼層模型(包括13C殼層對(duì)流燃燒模型和13C殼層輻射燃燒模型)中,(1?r)Msh新鮮物質(zhì)是自脈沖結(jié)束時(shí)進(jìn)入氦中間殼層,只有(1?r)rMsh的物質(zhì)能經(jīng)歷下一次熱脈沖,并全部(13C殼層對(duì)流燃燒模型)或部分(13C殼層輻射燃燒模型)地經(jīng)歷中子照射,因此新鮮種子核受中子照射的概率小于1.此概率仍然可以通過(guò)計(jì)算漸近分布時(shí)氦中間殼層內(nèi)受中子照射的物質(zhì)比例Ptotal求得．

對(duì)于13C殼層對(duì)流燃燒模型,新鮮種子核受中子照射的概率

可以看出,pC正好等于種子核連續(xù)經(jīng)歷兩次照射的概率r．

對(duì)于13C殼層輻射燃燒模型,如果把(33)式中的qy看成是準(zhǔn)重疊因子,表示種子核連續(xù)經(jīng)歷兩次照射的概率,則該模型就與13C殼層對(duì)流燃燒模型有完全類(lèi)似的結(jié)構(gòu).因此類(lèi)似地,qy也就應(yīng)該等于該模型新鮮種子核受中子照射的概率(用pr表示).考慮到Ptotal等于圖2中除τ=0的各項(xiàng)之和，則應(yīng)有

因而

(37)式是通過(guò)類(lèi)比方法得到的結(jié)果,是否正確還需驗(yàn)證．

由(22)式知

我們將假設(shè)的r?q的一些可能取值分別代入(37)式和(38)式中,得到了完全相同的y值，如表3所示.這充分證明了(36)式或(37)式的正確性.

表3 對(duì)(37)式的驗(yàn)證Table 3 The veri fi cation of Eq.(37)

將(24)、(25)及(36)式的結(jié)果代入(30)式,得到

將(36)式代入(28)式,得到

為了表明公式與模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系,在(40)式中將平均中子輻照量用τ0r表示．

3 AGB星s-過(guò)程模型中子輻照量指數(shù)分布函數(shù)式中比例系數(shù)C和平均中子輻照量τ0的計(jì)算通式

根據(jù)第2節(jié)的討論,我們可以歸納總結(jié)出AGB星s-過(guò)程模型DNE指數(shù)分布函數(shù)(2)式中比例系數(shù)C和平均中子輻照量τ0的計(jì)算通式及其輔助關(guān)系式,即:若已知AGB星s-過(guò)程模型DNE的分立分布函數(shù),即DNE達(dá)漸近分布時(shí)氦中間殼層內(nèi)經(jīng)歷任意k(k= 0,1,2···)次照射的物質(zhì)比例Pk,則

式中R表示進(jìn)入氦中間殼層的新鮮物質(zhì)能連續(xù)經(jīng)歷兩次中子照射的概率.其中,對(duì)于對(duì)流核合成模型(包括Ulrich模型和13C殼層對(duì)流燃燒模型),

對(duì)于13C殼層輻射燃燒模型,

我們稱(chēng)(43)～(44)式為通式(41)～(42)式的輔助關(guān)系式．

以上結(jié)論的得出是基于基本簡(jiǎn)化假設(shè)條件:模型參量不隨脈沖數(shù)變化,且脈沖數(shù)可以有足夠多個(gè),使核合成區(qū)域的DNE達(dá)漸近分布.事實(shí)上,對(duì)于條件更加復(fù)雜的AGB星s-過(guò)程核合成模型,通式(41)～(42)式也是適用的.例如,目前仍在被深入探討的13C殼層輻射燃燒的低質(zhì)量AGB星s-過(guò)程模型[25?33],其重疊因子、對(duì)流氦中間殼層的質(zhì)量、13C殼層質(zhì)量等模型參量都隨脈沖數(shù)變化.并且由于只有發(fā)生第3次挖掘的熱脈沖才會(huì)形成13C殼層,進(jìn)而使種子核受到中子照射發(fā)生s-過(guò)程核合成,因此在討論氦中間殼層區(qū)域的DNE時(shí),只能考慮帶挖掘的脈沖(假設(shè)為kmax個(gè)),所得分布也不是漸近分布,我們不妨稱(chēng)其為最終分布.文獻(xiàn)[21-22]給出了考慮模型參量q、r隨脈沖數(shù)變化但各次照射的中子輻照量Δτ都相同時(shí)氦中間殼層區(qū)域分立形式的DNE,即DNE達(dá)最終分布時(shí)氦中間殼層內(nèi)接受任意k(k=0,1,2···)次中子照射的物質(zhì)比例的表達(dá)式.文獻(xiàn)[21-22]的計(jì)算結(jié)果表明,在中子輻照量的有效值范圍內(nèi),最終DNE分布仍然可以用指數(shù)函數(shù)式(2)式來(lái)擬合.此時(shí)模型的qy的值是隨脈沖數(shù)變化的,若引入平均準(zhǔn)重疊因子的概念,并合理認(rèn)為其值等于DNE達(dá)最終分布時(shí)氦中間殼層內(nèi)受中子照射的物質(zhì)比例,則我們?nèi)匀豢梢岳?41)～(42)式來(lái)確定該模型DNE指數(shù)擬合函數(shù)式中的平均種子輻照量(用表示)和比例系數(shù)(用表示),只需取

4 結(jié)果和討論

本文在深入剖析Ulrich模型指數(shù)形式DNE得出方法的基礎(chǔ)上,通過(guò)對(duì)不同AGB星s-過(guò)程核合成模型DNE的求解過(guò)程進(jìn)行系統(tǒng)的梳理,給出了不考慮模型參量隨脈沖數(shù)變化時(shí)三代AGB星s-過(guò)程核合成模型DNE指數(shù)擬合函數(shù)式(2)式中比例系數(shù)C和平均中子輻照量τ0的具體表達(dá)式,即(13)、(19)、(39)～(40)式,并進(jìn)一步歸納總結(jié)出了C和τ0的計(jì)算通式(41)～(42)式以及輔助關(guān)系式(43)～(44)式;在此基礎(chǔ)上,將通式的應(yīng)用范圍拓展到任意復(fù)雜條件的13C殼層輻射燃燒的AGB星s-過(guò)程模型,給出了輔助關(guān)系式(45)～(46)式,得到了13C殼層輻射燃燒模型C和τ0的普適計(jì)算公式.研究結(jié)果表明:只要確定了AGB星s-過(guò)程模型DNE的分立分布函數(shù),就可以由通式和輔助關(guān)系式確定出DNE指數(shù)分布函數(shù)式(2)式中C和τ0與模型參量之間的關(guān)系式.

為了檢驗(yàn)上述所得公式的可靠性,我們仿照文獻(xiàn)[18]的圖8,取重疊因子r=0.45,殼層的質(zhì)量比例q=0.05,每次中子照射的輻照量Δτ=0.2 mbarn?1.事實(shí)上這組模型參量值可以認(rèn)為是13C殼層輻射燃燒模型參量的典型值或平均值:因?yàn)榘凑瘴墨I(xiàn)[18],一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)13C殼層的質(zhì)量比例約為0.05,且在分子熱運(yùn)動(dòng)能量kT=8 keV時(shí),對(duì)于3 M⊙、太陽(yáng)金屬豐度的AGB星模型,一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)13C殼層一次照射產(chǎn)生的中子輻照量平均值為0.2 mbarn?1,而該模型重疊因子的漸近值r=0.45.我們首先將這組模型參量值分別代入(3)、(13)及(19)式，得到τ0=0.25 mbarn?1,CU=0.688,CC=0.310,相應(yīng)的Ulrich模型和13C殼層對(duì)流燃燒模型的DNE分別如圖3曲線(xiàn)1和2所示.可以看出,計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[18]的圖8一致.再將上述模型參量的取值分別代入(39)和(40)式,得到Cr= 0.0305,τ0r=0.08 mbarn?1,所得τ0r值與文獻(xiàn)[19-20]所得τ0=0.08 mbarn?1一致,相應(yīng)的13C殼層輻射燃燒模型的DNE如圖3曲線(xiàn)3所示.另外,文獻(xiàn)[21-22]計(jì)算了考慮模型參量隨脈沖數(shù)變化時(shí)上述3 M⊙、太陽(yáng)金屬豐度的13C殼層輻射燃燒模型分立形式的DNE,據(jù)此可以得到R==0.0664,=0.0625,將其代入(41)和(42)式得=0.0230,=0.074 mbarn?1,所得值與文獻(xiàn)[21-22]的計(jì)算結(jié)果τ0=0.073 mbarn?1一致,相應(yīng)的DNE如圖3曲線(xiàn)4所示.需要強(qiáng)調(diào)的是,文獻(xiàn)[19-22]τ0的計(jì)算式是通過(guò)對(duì)中子輻照量分立分布計(jì)算結(jié)果進(jìn)行指數(shù)函數(shù)數(shù)值擬合得到的,而本文τ0的計(jì)算公式是利用解析方法推導(dǎo)出來(lái)的,所表示的τ0與模型參量的關(guān)系更加直接、簡(jiǎn)明和準(zhǔn)確,便于推廣應(yīng)用,而準(zhǔn)重疊因子概念的引入也使得公式的物理含義更加明確.本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[18]及[19-22]計(jì)算結(jié)果的一致性,充分證明了本文所得C和τ0計(jì)算公式的可靠性.

圖3 不同AGB星s-過(guò)程核合成模型的中子輻照量分布Fig.3 The distributions of neutron exposures predicted from di ff erent AGB star models for the s-process nucleosynthesis

本文研究結(jié)果是非常有意義的,主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:

(1)C和τ0的計(jì)算通式揭示了三代AGB星s-過(guò)程核合成模型內(nèi)在的統(tǒng)一性,而三代模型的C和τ0不同的具體表達(dá)式,又反映出不同模型各自的具體特點(diǎn).因此,利用這些公式,結(jié)合恒星模型的核合成數(shù)值計(jì)算結(jié)果,能使我們更好地理解和把握AGB星s-過(guò)程核合成模型演化和發(fā)展的趨勢(shì)．

(2)在s-過(guò)程理論的研究發(fā)展過(guò)程中,經(jīng)典模型與恒星模型兩種方法的關(guān)系是一個(gè)重要的理論問(wèn)題.在Ulrich模型、13C殼層對(duì)流燃燒模型階段,由于兩種模型能在核合成區(qū)域自然地給出指數(shù)形式的DNE,因此恒星模型方法和經(jīng)典模型方法是一致的,并且通過(guò)關(guān)系式(3)式,經(jīng)典模型為恒星模型的核合成數(shù)值計(jì)算提供指導(dǎo)和約束[4,6].然而,目前流行的13C殼層輻射燃燒的低質(zhì)量AGB星s-過(guò)程模型,其DNE變得非常復(fù)雜,難以做解析表述,使得該模型與經(jīng)典模型的關(guān)系也一直沒(méi)有得到充分的闡述和論證.本文總結(jié)出的C和τ0的計(jì)算通式,在揭示三代AGB星s-過(guò)程核合成模型存在內(nèi)在一致性的同時(shí),也間接證明了13C殼層輻射燃燒模型與經(jīng)典模型的一致性.而本文給出的13C殼層輻射燃燒模型C和τ0的計(jì)算公式,則徹底解決了利用解析方法求解該模型DNE的問(wèn)題,為廣泛探討不同質(zhì)量和金屬豐度下該模型DNE的特點(diǎn),充分論證該模型與經(jīng)典模型的關(guān)系問(wèn)題提供了強(qiáng)有力工具.

(3)13C殼層輻射燃燒的低質(zhì)量AGB星s-過(guò)程模型仍然是目前被深入探討的恒星模型[25?33].由于13C殼層的形成機(jī)制仍未確定[30],因此在擬合恒星觀(guān)測(cè)豐度的核合成計(jì)算中,13C殼層質(zhì)量(對(duì)應(yīng)模型參量q)、13C總量(對(duì)應(yīng)模型參量Δτ)以及13C分布常被作為自由參量,有時(shí)也被觀(guān)測(cè)結(jié)果約束[25?26].因此,利用本文給出的13C殼層輻射燃燒模型DNE指數(shù)函數(shù)式中C和τ0與模型參量q、r和Δτ之間的關(guān)系式,探討經(jīng)典模型對(duì)該恒星模型核合成數(shù)值計(jì)算的指導(dǎo)和約束作用是一個(gè)很有現(xiàn)實(shí)意義的研究課題.

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Calculating Formulas of Coefficient and Mean Neutron Exposure in the Exponential Expression of Neutron Exposure Distribution

ZHANG Feng-hua1,2ZHOU Gui-de1MA Kun1MA Wen-juan1CUI Wen-yuan2ZHANG Bo2
(1 Department of Physics and Information Engineering,Cangzhou Normal College,Cangzhou 061001)
(2 College of Physics Science and Information Engineering,Hebei Normal University, Shijiazhuang 050016)

stars:AGB and post-AGB,stars:neutron,methods:analytical

P144;

A

10.15940/j.cnki.0001-5245.2015.06.004

2015-03-11收到原稿,2015-05-23收到修改稿

?國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11273011、U1231119)、河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(A2014110008、A2011205102)資助

?zfh1968zfh@163.com