唐寧，馮長煥

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002）

VaR準(zhǔn)確性檢驗(yàn)的T檢驗(yàn)法

唐寧，馮長煥

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002）

根據(jù)VaR失敗率檢驗(yàn)法的定義，通過利用組合的方式獲取檢驗(yàn)樣本和構(gòu)造服從T分布的統(tǒng)計(jì)量，得到檢驗(yàn)VaR準(zhǔn)確性的新方法——T檢驗(yàn)法。T檢驗(yàn)法所接受的模型不僅在似然比檢驗(yàn)法下能被接受，且在同一置信度下T檢驗(yàn)法所接受的模型比似然比檢驗(yàn)法所接受的模型的準(zhǔn)確性更高。最后通過實(shí)證分析進(jìn)一步說明T檢驗(yàn)法比似然比檢驗(yàn)法能更好地檢驗(yàn)VaR的準(zhǔn)確性。

失敗率檢驗(yàn)；VaR；T檢驗(yàn)

引言

VaR（value at risk）字面解釋就是“在險(xiǎn)價(jià)值”，其含義指：在市場正常波動(dòng)下，在一定概率水平（置信度）下，某一金融資產(chǎn)或證券組合價(jià)值在未來特定時(shí)期內(nèi)的最大可能損失。因VaR的大小直接關(guān)系著金融投資者的利益，故關(guān)于VaR的計(jì)算方法也在不斷完善。不管是最初的歷史模擬法、方差－協(xié)方差法和蒙特卡洛法，還是現(xiàn)在已經(jīng)完善的極值理論法計(jì)算出的VaR都是一個(gè)估計(jì)值，故對(duì)VaR準(zhǔn)確性的檢驗(yàn)就顯得尤為重要。而對(duì)于VaR準(zhǔn)確性檢驗(yàn)的方法主要有失敗率檢驗(yàn)法、正態(tài)檢驗(yàn)法、似然比檢驗(yàn)法和貝葉斯檢驗(yàn)法［1-2］（其中似然比檢驗(yàn)法最常用），都是通過把檢驗(yàn)失敗率轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)失敗次數(shù)來檢驗(yàn)VaR準(zhǔn)確性。正態(tài)檢驗(yàn)法和似然比檢驗(yàn)法這兩種方法都是以失敗次數(shù)N服從二項(xiàng)分布B（T，p）（其中T為實(shí)驗(yàn)總天數(shù)，p為失敗率）為出發(fā)點(diǎn)。其中正態(tài)性檢驗(yàn)是當(dāng)T充分大時(shí)，由中心極限定理得出統(tǒng)計(jì)量

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而得到失敗次數(shù)N的接受域。似然比檢驗(yàn)是由統(tǒng)計(jì)量［3］的極限分布，是自由度為1的χ2分布得到失敗次數(shù)N的接受域（α是置信水平）。從正態(tài)檢驗(yàn)法和似然比檢驗(yàn)法可看出，兩種方法都是在大樣本的前提下得出的結(jié)果，且這兩種檢驗(yàn)方法不可避免的問題是：雖然總的失敗次數(shù)落在接受域內(nèi)，但是失敗是連續(xù)出現(xiàn)在一段時(shí)間內(nèi)，而未失敗的VaR又連續(xù)出現(xiàn)在另一段時(shí)間內(nèi)，即預(yù)測的失敗具有前后相關(guān)的關(guān)系，那么，仍不能說相應(yīng)的VaR模型可靠，而利用正態(tài)檢驗(yàn)法和似然比檢驗(yàn)法都不能拒絕此模型。針對(duì)這一問題，本文直接從失敗率的定義出發(fā)，構(gòu)建了在大樣本和小樣本情況下均適用的T檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)VaR準(zhǔn)確性。

1 失敗率檢驗(yàn)法定義

VaR的準(zhǔn)確性通常是利用失敗率來衡量。當(dāng)在置信水平α下估計(jì)出VaR時(shí)，將t時(shí)刻的損失與t時(shí)刻的VaR進(jìn)行比較，如果損失大于VaR，則記為失敗。若總天數(shù)為T的實(shí)驗(yàn)中，其失敗的天數(shù)為N，則失敗率p記為：p＝，而失敗率檢驗(yàn)的定義為：將失敗率p與置信水平α（α＝1－c，c為置信度）進(jìn)行比較，若p＝α，則說明估計(jì)出的VaR比較準(zhǔn)確，相應(yīng)的VaR模型較好［3］。相反，若p值與α相差較大，則說明估計(jì)出的VaR不可靠，相應(yīng)的VaR模型存在不足。然而通常情況下，可能會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的選取和隨機(jī)誤差項(xiàng)干擾等因素使得失敗率p與置信水平α不是絕對(duì)相等，就不能說明估計(jì)出的VaR不可靠，故需要對(duì)p與α是否具有顯著性差異進(jìn)行檢驗(yàn)。

2 T檢驗(yàn)

2．1 T檢驗(yàn)原理

從失敗率檢驗(yàn)的定義可知，希望得到的失敗率p與置信水平α不具有顯著性的差異。然而，對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本內(nèi)檢驗(yàn)時(shí)，得到的某個(gè)特定的失敗率p大多情況下與α是不同的，即使p與α相同，但又因?yàn)轭A(yù)測失敗可能存在前后相關(guān)關(guān)系，所以不能輕易得出模型是否可靠的結(jié)論。為了解決這一問題，可以選取不同時(shí)間段數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本或者選取不同的樣本容量，如果得到的p值與α均無顯著性差異，那么就可以說估計(jì)出的VaR比較準(zhǔn)確。但是因數(shù)據(jù)選取等偶然性原因，很難使每個(gè)p都與α均無顯著性差異，所以對(duì)于選擇n個(gè)檢驗(yàn)樣本得到的n個(gè)p（這n個(gè)失敗率p中有些p值相同有些不同），只要它們的均值ˉp與α沒有顯著性差異就可以說估計(jì)出的VaR比較準(zhǔn)確。

對(duì)于成立時(shí)間較長的金融行業(yè)，它具有充足的歷史數(shù)據(jù)，既可以選擇不同時(shí)間段的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本也可以改變樣本容量獲得多個(gè)p值，但是對(duì)于發(fā)展歷史較短的行業(yè)，能夠利用的歷史數(shù)據(jù)有限，得到的p值數(shù)據(jù)很少，這樣就會(huì)因偶然性得出與實(shí)際情況不一致的結(jié)果。為了克服小樣本數(shù)據(jù)不足對(duì)結(jié)果造成的影響，選取檢驗(yàn)樣本可按隨機(jī)抽取的方式進(jìn)行，即：如果共有n個(gè)歷史數(shù)據(jù)，那么從中隨機(jī)抽取適當(dāng)數(shù)據(jù)（記為m個(gè)，m＜n），重復(fù)抽取k次，即可得到k個(gè)p值（這些p值可能相同也可能不同），按照隨機(jī)抽取的方法，由組合原理知一共可抽取Cmn個(gè)不同的樣本，即可得到Cmn個(gè)p值，增加了檢驗(yàn)樣本。

設(shè)p1，p2，．．．，pn是由隨機(jī)抽取的方式得到的n個(gè)p值，ˉp是這n個(gè)p值的均值，若ˉp與α沒有顯著性差異，那么由統(tǒng)計(jì)學(xué)原理可知統(tǒng)計(jì)量

應(yīng)該服從自由度為（n－1）的t分布［4］（其中s為樣本p1，p2，．．．，pn的標(biāo)準(zhǔn)差），那么對(duì)于給定的假設(shè)檢驗(yàn)顯著性水平ξ，ˉp的接受域?yàn)椋?/p>

故當(dāng)檢驗(yàn)VaR準(zhǔn)確性時(shí)，只要ˉp落在該接受域內(nèi)，則稱ˉp與α無顯著性差異，即估計(jì)出的VaR具有較高的準(zhǔn)確性，反之，若ˉp落在了接受域外，則說明ˉp與α顯著不同，相應(yīng)的VaR具有高估或低估價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)的嫌疑，故估計(jì)出VaR的VaR模型有待進(jìn)一步改善。通過此方法可以克服預(yù)測失敗存在相關(guān)關(guān)系對(duì)模型優(yōu)良判斷的影響。因?yàn)榇藱z驗(yàn)方法是構(gòu)造服從t分布的統(tǒng)計(jì)量T，所以將此種方法稱為T檢驗(yàn)法。

2．2 實(shí)證分析

選取上證指數(shù)2013年1月4日至2014年1月28日的257個(gè)日收盤價(jià)為樣本，經(jīng)

（Pt為資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格）處理后得256個(gè)數(shù)據(jù)。利用eviews6.0對(duì)序列Xt進(jìn)行一系列相關(guān)的分析后建立EGARCH模型［5］為：

由風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR的定義可得VaR在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的定義為［6］：

其中，Rt為資產(chǎn)在第t期的收益率，VaRt為t時(shí)刻α顯著水平下的VaR，取值為正。

2.2.1正態(tài)假設(shè)下T檢驗(yàn)法與似然比檢驗(yàn)法比較

為了計(jì)算VaR，假設(shè)序列Xt服從正態(tài)分布，則VaRt＝ut＋σtZ1－α，其中，ut和σt分別是t時(shí)刻Xt序列的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。結(jié)合已建立的EGARCH模型得到的σt可得99%置信度下255天的VaR（表1）。

通過失敗率檢驗(yàn)，總天數(shù)為255天的VaR中失敗總天數(shù)為5天，該值落在Kupiec提出的似然比檢驗(yàn)法下的接受域（0，7）內(nèi)，即似然比檢驗(yàn)結(jié)果說明在正態(tài)假設(shè)下計(jì)算出的VaR可靠。

表1正態(tài)假設(shè)下的部分VaR值

T檢驗(yàn)法檢驗(yàn)：在255天中隨機(jī)抽取100天并計(jì)算這100天內(nèi)的失敗率，重復(fù)抽取30次，得到30個(gè)失敗率p，對(duì)這30個(gè)p值進(jìn)行均值是否為0.01的T檢驗(yàn)［7］，檢驗(yàn)結(jié)果（表2）顯示Sig．值為0.000，說明這30個(gè)失敗率p的均值與0.01存在顯著性差異。即：T檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)結(jié)果為正態(tài)假設(shè)下計(jì)算出的VaR不可靠，還有待改進(jìn)。

表2正態(tài)分布下T檢驗(yàn)結(jié)果

分析T檢驗(yàn)法拒絕正態(tài)假設(shè)下的VaR模型的原因：（1）對(duì)Xt進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)Xt序列的偏度為0.327 529，峰度為5.320 699，且JB統(tǒng)計(jì)量的伴隨概率為0.000，即Xt不服從正態(tài)分布，T檢驗(yàn)法拒絕正態(tài)假設(shè)下的VaR模型正好與Xt實(shí)際不服從正態(tài)分布相吻合。（2）從T檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)樣本獲取方法可知，T檢驗(yàn)法是拒絕失敗的發(fā)生具有前后相關(guān)關(guān)系的模型，而正態(tài)分布下總數(shù)為255天的5次失敗主要發(fā)生在前110天內(nèi)，所以T檢驗(yàn)法拒絕相應(yīng)的VaR模型。

2.2.2極值理論下T檢驗(yàn)法與似然比檢驗(yàn)法比較

首先對(duì)收益率序列建立EGARCH模型，再對(duì)殘差建立極值模型，最后根據(jù)收益率序列的VaREGARCH與經(jīng)EGARCH模型過濾后得到的殘差序列的VaRε之間的關(guān)系：VaREGARCH＝μt＋σtVaRε［3］，計(jì)算到99%置信度下255天的VaR，見表3。

表3極值理論下的部分VaR值

經(jīng)檢驗(yàn)，255天中共有3天失敗，該值也落在似然比檢驗(yàn)法下的接受域內(nèi)，說明運(yùn)用極值理論計(jì)算出的VaR通過了似然比檢驗(yàn)，即極值理論下的VaR模型可靠。同樣在255天中隨機(jī)抽取100天計(jì)算失敗率，重復(fù)30次，對(duì)得到的30個(gè)失敗率p進(jìn)行均值是否為0.01的t檢驗(yàn)［7］，檢驗(yàn)結(jié)果（表4）的Sig．值為0.083，說明這30個(gè)失敗率p的均值與0.01無顯著性差異。故通過T檢驗(yàn)法檢驗(yàn)，表明在極值理論下計(jì)算出的VaR可靠。

T檢驗(yàn)法接受極值理論下的VaR的原因是：（1）VaR主要研究極值，所以利用極值理論計(jì)算結(jié)果比正態(tài)假設(shè)更加準(zhǔn)確，且本文不是直接對(duì)Xt序列建立極值模型，而

表4極值理論下T檢驗(yàn)結(jié)果

是對(duì)經(jīng)過EGARCH模型過濾后得到的殘差序列建立極值模型，這樣更能滿足極值理論需序列獨(dú)立同分布這一條件。所以在理論上極值理論的VaR模型可靠，而T檢驗(yàn)結(jié)果與此相符。（2）極值理論下總數(shù)為255天的3次失敗分別發(fā)生第29、36和108這3個(gè)交易日內(nèi)，可認(rèn)為失敗的發(fā)生不具有前后相關(guān)關(guān)系，所以T檢驗(yàn)法接受相應(yīng)的VaR模型。

3 結(jié)束語

本文根據(jù)失敗率的定義確定了檢驗(yàn)VaR準(zhǔn)確性的T檢驗(yàn)法，利用組合的方式獲取檢驗(yàn)樣本和構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量得到了失敗率均值ˉp的接受域，通過上證指數(shù)的應(yīng)用比較發(fā)現(xiàn)：在99%置信度下，T檢驗(yàn)法拒絕了似然比檢驗(yàn)法所接受的正態(tài)假設(shè)下的VaR模型，這一結(jié)果與序列不服從正態(tài)分布相吻合，說明在同一置信度下T檢驗(yàn)法比似然比檢驗(yàn)法對(duì)模型的準(zhǔn)確性要求更高，且在99%置信度下，T檢驗(yàn)法和似然比檢驗(yàn)法都接受了極值理論下的VaR模型，這說明T檢驗(yàn)法能接受較好的模型。總之T檢驗(yàn)既能拒絕有待改進(jìn)的模型又能接受較好的模型，能達(dá)到檢驗(yàn)VaR準(zhǔn)確性的目的。

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The T-test of VaR Accuracy Test

TANG Ning，F(xiàn)ENG Changhuan
（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong 637002，China）

According to the definition of VaR failure test，a new method to test the accuracy of VaR is obtained，which using combination method to get testing samples and structure statistics that obey T distribution，that is T-test.Themodel accepted by the T-test can also accepted by likelihood ratio test，and at the same confidence，it ismore accurate.by the end，through the empirical analysis，it is further explained that，compared to the likelihood ratio test，T-test can test the accuracy of the VaR preferably.

failure test；VaR；T-test

F224.7

A

1673-1549（2015）01-0083-04

10．11863／j．suse．2015．01．20

2014-12-11

西華師范大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目（14C004）；南充市社科規(guī)劃項(xiàng)目（NC2013B027）

唐寧（1991-），女，四川蓬安人，碩士生，主要從事統(tǒng)計(jì)學(xué)理論及應(yīng)用方面的研究，（E-mail）422706724＠qq.com