高光發(fā)

(1.安徽理工大學(xué)煤礦安全高效開采省部共建教育部重點實驗室，安徽淮南 232001;2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，合肥 230027;3.新加坡國立大學(xué)沖擊工程實驗室，新加坡 120425)

基于長桿彈高速垂直侵徹半無限靶板的流體動力學(xué)模型(下文簡稱HTP 模型［1］)，Alekseevskii［2］與Tate［3］分別獨立的提出一種同時考慮彈靶流變強度的改進(jìn)的長桿彈侵徹/侵蝕模型，稱之為Alekseevskii-Tate 模型(下文簡稱為AT 模型)，該模型同時也考慮到侵徹主要過程中侵徹行為的“不穩(wěn)定”特征。AT 模型自提出以來，一直是長桿彈侵徹研究中最重要應(yīng)用最廣泛的理論模型。由于考慮到實驗中觀察到的侵徹過程中彈體尾部速度的“不穩(wěn)定”減速現(xiàn)象，AT 模型與實際情況更吻合，其計算結(jié)果理論上應(yīng)該更準(zhǔn)確。

然而，正因為其考慮的這種不穩(wěn)定現(xiàn)象，因而侵徹速度u和彈體尾部速度v 不再是常值了，同時彈體尾部速度u 與彈體剩余長度l 兩個變量相互耦合，其解耦算法在一般情況下比較復(fù)雜，如此以來，AT 模型很難像HTP 模型、AR 模型［6］甚至改進(jìn)的AR 模型一樣容易地計算出其精確的解析解。為了進(jìn)一步提高AT 模型的實用性，更大程度上推導(dǎo)其模型中參數(shù)的精確解是很有必要的。Walters 等［7-8］也就AT 模型的一般解進(jìn)行了深入的推導(dǎo)分析，其結(jié)果與本節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果類似，但其推導(dǎo)過程更為復(fù)雜，結(jié)果形式也較本推導(dǎo)復(fù)雜，同時，由于其符號定義與AT 模型原文定義的不甚一致，因此可讀性稍差。

本研究在分析AT 模型的基礎(chǔ)上，對其推導(dǎo)過程中存在不足之處進(jìn)行修改完善。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解和一下特殊情況下的精確解析解，并在此基礎(chǔ)上研究彈靶流變強度比、彈靶材料密度比、彈體瞬時速度等因素與彈體瞬時侵徹深度、彈體最大侵徹深度等因素之間的內(nèi)在聯(lián)系及其影響規(guī)律。

1 AT 模型原文推導(dǎo)過程中的一點問題的修正

以Tate 模型為例，在原文［3］中，根據(jù)傳統(tǒng)HTP 模型基礎(chǔ)上考慮彈靶材料的強度，得到

根據(jù)原文“Capitals are used to denote the initial values of variables”［3］的意思，并結(jié)合原文推導(dǎo)過程，筆者認(rèn)為應(yīng)該寫為下列形式更為合適

式中:V、U 分別表示彈體的入射速度和初始侵徹速度;u、v 分別表示彈體的瞬時速度和瞬時侵徹速度; ρp和ρt分別表示長桿彈和靶板材料的密度;Rp和Rt分別表示彈體和靶板的流變強度。

考慮到彈靶材料密度比為1 時的情況，侵徹速度與彈體的入射速度的關(guān)系式(2)可寫為

考慮材料密度比為1 時的情況，可有

式中l(wèi) 和L 分別表示彈體的瞬時長度和初始長度。

2 幾種特殊情況下AT 模型中相關(guān)參數(shù)的解

在推導(dǎo)AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解之前，先討論幾種特殊情況下相應(yīng)的解，在這幾類特殊情況下，AT 模型能夠做一定的簡化，因此，求出其解析解變得較為簡單。

1)ρp=ρt=ρ0且Rp=Rt=σ

此時，由式(3)、式(4)可有

可定義

分別為彈體的相對剩余長度，歸一化瞬時侵徹深度，彈體的相對入射動能，彈體尾部的相對瞬時速度。

式(5)可寫為

假設(shè)彈靶的流變強度皆為1.10 GPa［3］，彈靶的密度為7.80 g/cm3，彈體的入射速度為3 000 m/s，此時彈體的歸一化瞬時侵徹深度與彈體尾部的相對瞬時速度之間的關(guān)系如圖1 所示。

圖1 侵徹過程中彈體相對速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系(I)

從圖1 可以看出，彈體在侵徹主要過程中尾部的速度并不穩(wěn)定，而是呈遞減的趨勢，而且該遞減速度逐漸加速，直到彈體的動能耗盡，彈體的侵徹行為停止。

當(dāng)v=0 時，根據(jù)式(5)可知彈體侵徹速度u 也為0，亦即是說彈體侵徹過程終止，此時彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

從式(8)可知，彈體的最終侵徹深度與彈體的初始長度L、初始動能ρ0V2呈正比，與彈體和靶板的流變強度呈反比σ。

假設(shè)彈靶的流變強度皆為1.10 GPa，彈靶的密度為7.80 g/cm3，則根據(jù)式(8)可以得到歸一化最終侵徹深度與彈體入射速度之間的關(guān)系

從式(9)可以看出，隨著彈體入射速度的增加，其歸一化侵徹深度逐漸增加直到到達(dá)某一值(接近HTP 理論解)時為止;同時也可以看出，當(dāng)入射速度較小時(入射速度低于150 m/s 左右)，侵徹深度隨入射速度的增加緩慢增加，而當(dāng)入射速度大于此值時，彈體的歸一化侵徹深度與入射速度近似呈線性正比關(guān)系。

2)ρp≠ρt但Rp=Rt=σ

此時，可有

利用式(6)的定義，可簡化為

或

同上假設(shè)彈靶的流變強度皆為1.10 GPa，彈體材料的密度為7.80 g/cm3，彈體的入射速度為3 000 m/s，可以得到不同彈靶密度比α 時，彈體的歸一化瞬時侵徹深度與彈體尾部的相對瞬時速度之間的關(guān)系，如圖2 所示。

圖2 不同彈靶密度比時侵徹過程中彈體相對速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系

結(jié)合圖1，從圖2 中可以看出，首先，隨著彈靶材料密度比的增加，彈體的最大侵徹深度逐漸增大;其次，雖然在主要侵徹過程中，彈體尾部速度都是逐漸減小，但隨著彈靶材料密度比的增加，這種減小的趨勢逐漸減緩。

當(dāng)v=0 時，根據(jù)式(10)可知彈體侵徹速度u 也為0，亦即是說彈體侵徹過程終止，此時彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

或

同上假設(shè)彈靶的流變強度皆為1.10 GPa，彈體材料的密度為7.80 g/cm3，可以得到不同彈靶密度比α 時，彈體的歸一化最終侵徹深度P/L 與彈體入射速度V 之間的關(guān)系。從式中可以看出，雖然不同彈靶材料密度比時，彈體的最大歸一化侵徹深度與彈體入射速度之間的關(guān)系相似，但是在速度足夠大時(本情況中速度大于1 500 m/s 左右)，決定彈體的最大歸一化侵徹深度的還是彈靶材料密度比。

3)ρp=ρt=ρ0但Rp≠Rt

此時，式(3)可簡化為

從式(13)可以看出，當(dāng)彈體的流變強度Rp大于靶板的流變強度 Rt時，此時當(dāng)彈體尾部速度減小到 v =時u=v，即侵徹過程中彈體呈剛體性質(zhì)，也就是說彈體從始至終不存在變形現(xiàn)象，此時彈體的侵徹深度還包括剛體侵徹的這一階段，此類侵徹行為不屬于純流體動力學(xué)的研究范圍，在此不做討論。

當(dāng)Rt-Rp＞0 時，由式(13)可知，彈體尾部速度減小到時，彈體侵徹行為停止，此時即使彈體速度大于0，但彈體的銷蝕速度等于彈體的尾部速度。同時，該式也說明，只有彈體入射速度大于該值時，彈體才能對靶板進(jìn)行有效的侵徹。

此時，可有

當(dāng)u=0 時，即是說彈體侵徹過程終止，此時彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

式(14)與式(15)的即彈靶材料密度相同時彈體的瞬時侵徹深度和最大侵徹深度的一般解。特別地，當(dāng)Rt/Rp=2n +1(n 為任意正整數(shù)，包括0)時，有

式(16)和式(17)通過簡單的積分求解能夠到達(dá)具體的解析解。

同上假設(shè)彈靶的流變強度皆為1.10 GPa，彈靶材料的密度為7. 80 g/cm3，彈體的入射速度為3 000 m/s，根據(jù)式(16)，可以得到不同靶彈流變強度比時，彈體尾部的相對速度與歸一化瞬時侵徹深度一直的關(guān)系，如圖3 所示。

圖3 不同靶彈流變強度比時侵徹過程中彈體相對速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系

從圖3 可以看出，隨著靶板和彈體流變強度比逐漸增大，在侵徹“準(zhǔn)穩(wěn)定”過程中的前期彈體尾部速度變化不明顯，但在后期，其速度的減少趨勢逐漸增大，而且，其最終侵徹深度也逐漸減小。

同上假設(shè)彈靶的流變強度皆為1.10 GPa，彈靶材料的密度為7.80 g/cm3，根據(jù)式(17)，可以得到不同靶彈流變強度比時，彈體的入射速度與歸一化最大侵徹深度之間的關(guān)系。結(jié)果表明，當(dāng)靶板與彈體流變強度比大于1 時，彈體的入射速度必須大于一定值才能對靶板進(jìn)行有效的侵徹，這種速度可以稱之為最小臨界速度(此種動能也可稱之為最小臨界動能［7-8］)，隨著此比值逐漸增加，其最小臨界速度也隨之增大，當(dāng)靶彈流變強度為3 和5 時，彈體的最小臨界速度分布為751 m/s 和1 062 m/s;其次，隨著靶彈流變強度比的增加，相同入射速度下彈體的最大歸一化侵徹深度逐漸降低; 第三，靶彈流變強度比值的增加，雖然相同入射速度下其最大歸一化侵徹深度會減小，但同時提高其入射速度后，極限的歸一化侵徹深度基本相似，此時提高入射速度效果并不是很明顯，提高最大臨界侵徹深度理論上最有效的手段是提高彈靶材料密度比。

3 AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解的分析

對AT 模型中的一般情況下的解進(jìn)行推導(dǎo)分析。在此暫不考慮彈靶密度相等時的情況，另外，同上分析，當(dāng)彈體的流變強度大于靶板的流變強度時，彈體的侵徹過程中存在剛體侵徹過程，此時AT 模型的適用性值得探討，暫不考慮，只考慮彈體流變強度小于靶板流變強度時的情況(兩者相等時的情況上文已做討論，并得到具體的解析解;同時，需要注意的是，彈體流變強度小于靶板的流變強度并不代表彈體材料的動態(tài)屈服強度小于靶板材料的動態(tài)屈服強度)。

根據(jù)上文的分析有

式中相關(guān)符號的意義同前文。

可有

即

式中

將式(18)代入式(20)，可以得到

根據(jù)上述參數(shù)代表的物理意義，可以定義以下的無量綱參數(shù)

則有

式中

為一個常量，至于彈體入射速度、靶彈材料密度比、彈靶的流變強度相關(guān)。

當(dāng)彈體尾部速度減小到

4 結(jié)論

1)Tate 等提出的AT 模型的推導(dǎo)過程中沒有考慮到彈靶材料密度比為1，即彈靶材料密度相等時的情況(此時推導(dǎo)過程中存在表達(dá)式分母為0 的情況)，然而，原文中最后的實例分析卻使用彈靶材料密度相等時的情況討論理論分析結(jié)果，從而存在邏輯的不足之處，本文對此進(jìn)行了分析、修改與完善。

2)對AT 模型的理論方程進(jìn)行了推導(dǎo)，得到其一般情況下核心參數(shù)如彈體瞬時侵徹深度、彈體最大侵徹深度等解析解的表達(dá)式。

3)針對彈靶材料密度比相等、彈靶流變強度相等、靶彈流變強度比為奇數(shù)等特殊情況下相關(guān)參數(shù)的精確解析解進(jìn)行了推導(dǎo)，并利用實例對彈靶密度比、彈靶流變強度比等因素對侵徹行為的影響規(guī)律進(jìn)行了分析和討論。

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