姚纓英，李海紅

(浙江大學電氣工程學院，浙江杭州310027)

0 引言

國內大多數(shù)電路教材在給出集總(中)參數(shù)電路定義時均采用類似于“電路的各向尺寸遠小于電路周圍電磁波的波長時，電路參數(shù)的分布性對電路性能的影響并不明顯，從而可以近似地用集中的電阻、電容和電感作為電路的參數(shù)，即認為能量損耗、電場儲能和磁場儲能這三種過程是分別集中在電阻元件、電容元件和電感元件中進行的。由這些理想的集中參數(shù)元件構成的電路稱為集中參數(shù)電路”或者“端鈕上的電壓、電流為確定值”的說法[1-5]。

因為這些描述不夠具體，作為能否采用集總參數(shù)電路模型抽象的依據(jù)，常常有學生提出疑問或異議:電磁場中的變量和怎樣轉換成為電路中的變量u和i?l?λ是區(qū)分集總參數(shù)電路和分布參數(shù)電路的唯一依據(jù)?教材［6］雖然已附加了和作為集總參數(shù)電路抽象的限制條件，其由來又如何?另外，教材中基爾霍夫定律是直接給出的，但大多數(shù)教材都補充解釋說KCL是電流連續(xù)性的表現(xiàn)(或稱電荷守恒)，KVL是電壓與路徑無關這一性質的反映(或稱能量守恒)。那么，能否從時變場的麥克斯韋方程推導出基爾霍夫定律?雖有一些教材在恒定電流場中對此過程的推導有過描述，但因為是靜態(tài)場所以難免牽強[7]。再者，傳輸線理論本質上是基于電報方程的分布參數(shù)電路理論，即所謂的電磁場方程的“路”理論。采用了對一維空間尺度離散化的方法，仍然用電路的參數(shù)和模型來描述。那么分布參數(shù)電路與集總參數(shù)電路的關系又是怎樣呢?能否按電磁場理論推出這兩種路問題的數(shù)學模型?

1 集總參數(shù)電路抽象原則

1.1 集總參數(shù)系統(tǒng)的基本假設

眾所周知，麥克斯韋方程組是關于電磁現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學描述，應用范圍很廣。當客觀電磁現(xiàn)象與過程被約束在一維的“電流通路”之中時，通過理想化電路模型的構造，即可簡明有效地應用基爾霍夫定律解決客觀電磁現(xiàn)象與過程的分析。那么，我們必須給出進行該簡化的依據(jù)，筆者認為，這就是集總電路抽象原則。

根據(jù)文獻[8]陳述的集總事物原則，本文定義集總參數(shù)系統(tǒng)基于下述三個基本假設:

(1)系統(tǒng)中每個元件的凈增電荷總是零;

(2)系統(tǒng)中的元件之間沒有磁耦合(磁耦合可發(fā)生在元件內部);

(3)電效應在瞬間貫穿整個系統(tǒng)。

1.2 集總參數(shù)元件的抽象原則

集總參數(shù)系統(tǒng)中的元件稱為集總參數(shù)元件?？梢姡傁到y(tǒng)是由集總元件互連組成的。并且在集總系統(tǒng)內集總元件之間的電磁場相互無影響，系統(tǒng)與外部也無電磁交換，是電磁能量獨立的系統(tǒng)。凡不滿足上述假設條件的系統(tǒng)稱為分布參數(shù)系統(tǒng)，需要用電磁場理論進行分析。

將上述假設具體化，則集總參數(shù)元件的抽象約束原則是:

(2)在所有時刻，元件與外部任何閉環(huán)交鏈的磁鏈的變化率為零，即ψ/t=0;

(3)感興趣的時間范圍必須遠長于電磁波在元件內部傳輸?shù)臅r間延遲，即系統(tǒng)最大尺度遠小于系統(tǒng)信號的最大波長(l?λ);

滿足前兩個約束之后，元件除了通過其端鈕上的電壓和電流外，相互之間不發(fā)生關系。同時保證流入端鈕的電流唯一并流出端鈕，并確保端鈕上定義的電壓唯一。約束(3)是具有空間尺度的器件質點化的前提條件。事實上，滿足上述兩個條件的電磁場是似穩(wěn)場，而似穩(wěn)場的宏觀判據(jù)是約束(3)。

1.3 電路抽象示例

如果定義一個元件，如圖1所示。

圖1 電路抽象示例

該元件有兩個端鈕a和b，在每個端鈕上有流入的電流ia和ib，元件兩端電位(電勢)分別為φa和φb。并假設s為包圍該元件的閉合曲面，端鈕導線的截面積分別為sa和sb。

根據(jù)約束的假設(1)，由麥克斯韋方程可知全電流(包含傳導電流和位移電流)是連續(xù)的，也就有式中為在導體中流動的傳導電流為變化的電場所對應的位移電流。將麥克斯韋方程組中的電高斯定理q代入全電流連續(xù)方程，則有今由約束假設(1)可得，/t=0。即意味著0，故電流連續(xù)性歸結為

從而有 ia=-ib。而表明隨時間變化的磁場是磁準靜態(tài)場。這樣才可以用dq/dt=i來定義傳導電流。

從上面兩個假設不難看出，它們都隱含了一個條件，那就是準靜態(tài)場。所謂的準靜態(tài)場是滿足似穩(wěn)條件l?λ(或t=l/c?λ/c)的動態(tài)電磁場。含義很明確，就是脫離了場源的電磁波在該元件中的傳播時間t遠小于該信號對應的變化周期T。這意味著，不必考慮信號傳播的電磁場滯后效應，所以元件上各處的電磁現(xiàn)象是同時變化的，從而可將其作為一個空間上的質點看待，將電磁以及材料特性都用相應的特征參數(shù)量予以表征。

假設圖1所示的橢圓圈內物體是一段長為l具有均勻截面積S的導體，如圖2(a)所示。其中電磁場滿足似穩(wěn)場條件，導電材料的電導率為γ，可知有

關系式uab=Ria就是傳導電流在導體中電磁表征的數(shù)學陳述(也稱為數(shù)學模型)。關系式被稱為特性方程，對應的曲線即稱為特性曲線，用電路符號R來表示，如圖2(b)。

上述過程就是理想電阻元件的抽象過程。依此原理，即可類比地定義所需的模型元件。

圖2 導體及其電路抽象

2 基爾霍夫定律的推演

依據(jù)上述集總參數(shù)電路系統(tǒng)的假設，在按照集總電路抽象原則得到的電路中0，因此，很容易仿照恒定場推導出沿任意路徑有，此時電場為保守場，做功與路徑無關，也就是電壓具有單值性。

3 分布參數(shù)電路模型的限制條件

3.1 分布參數(shù)電路模型

現(xiàn)在，我們以圖3所示的長直同軸電纜為例，來分析集總參數(shù)電路和分布參數(shù)電路的推導。這里的內外導體為理想導體，半徑分別為a和b，導體間充有理想介質ε和μ。麥克斯韋方程為

圖3 長直同軸電纜及其等效電路模型

在滿足集總電路抽象條件時，有dq/dt=0和dΨ/dt=0，則此時的電場與磁場均為準靜態(tài)場，相互之間沒有電磁耦合，即電場的方程為與靜電場方程類似，其解為

內導體表面每單位長度電荷為

則單位長電容為C0=2πε/In(b/a)，磁場的方程為

與靜磁場方程類似，其解為

則單位長電感為L0=μIn(b/a)/2π。

此時，坡印亭矢量和穿過同軸電纜軸向任意橫截面中的能流總和分別為

綜上所述，單位長同軸電纜即可抽象為一個電容和一個電感。如果沿導線可忽略電磁波的推遲效應，則可將整個同軸電纜用圖3(a)所示電路表示。

3.2 非理想導體電路

如果內外導體間的介質有損耗，則可推得對應于Us的電流場

則單位長漏電導為

雖然我們推出了分別表示各單一電磁現(xiàn)象的集總電路元件，如C0代表內外導體間的電場儲能，L0表示磁場儲能，R0表示導體中的損耗，G0表示媒質損耗，但是并不能精確反映電路的結構，特別是各器件互連及與電源和負載之間的關系。

3.3 集總參數(shù)電路與電磁場分析的區(qū)別

下面我們通過對同一問題的分布參數(shù)電路建模過程來說明其間的區(qū)別。

從電磁場理論中，我們知道任何能建立靜態(tài)場的導波系統(tǒng)必然能夠維持TEM波。沿均勻傳輸線(z方向)傳播的平面波則是TEM波，其電場和磁場具有下述形式:

式中，ψ0表示沿z方向每單位長度中穿過的磁鏈，L0為單位長電感。由又因0，所以，將其代入上述積分式，可得

式中，C0為單位長度的電容。式(13)和式(15)就是無損耗傳輸線的基本方程?？梢姡妷弘娏餮鼐€是變化的。

如果電介質有損耗，則電磁場方程除了考慮位移電流密度外，還應考慮傳導電流密度。式(13)應修改為

若導線有損耗，式(2)應修改為

這就是一般情況下分布參數(shù)電路的基本方程。

3.4 推廣而得的結論的局限性

事實上，上述推廣而得的結論是不嚴格的。因為導線若有損耗，則必然有Ez分量，系統(tǒng)中的電磁波不再是TEM波。不過由于電場的橫向分量遠大于軸向分量，所以，式(16)和式(17)導得的結果和從電磁場方程組求得的解十分接近。

分布參數(shù)電路與集總參數(shù)電路的區(qū)分可以用是否具有電磁波的特征來簡單判別。但是，分布參數(shù)電路模型則是在滿足TEM波的特定情況下推得的。而TEM波在橫截面內電場和磁場分布與相應系統(tǒng)的靜態(tài)場分布相同，沿軸向的分布具有波動性。

4 結語

我們研究的電磁場理論與電路理論相互之間有著密切的聯(lián)系，這一點在集總電路抽象的過程中尤為突出。因此，我們在教學的過程中，特別是研究性大學電類系列課程教學的過程中，應該把握適當?shù)臅r機和方式強化其中的關聯(lián)，強化模型化過程中的條件與限制。

[1]江澤佳，電路原理[M]，北京，人民教育出版社，1979

[2]江緝光，劉秀成，電路原理(第二版)[M]，北京，清華大學出版社，2007

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[4]陳洪亮等，電路分析基礎[M]，北京，清華大學出版社，2009

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[6]于歆杰，電路原理[M]，北京，清華大學出版社，2007

[7]倪光正，工程電磁場原理(第二版)[M]，北京，高等教育出版社，2009

[8]Anant agarwal，于歆杰等譯，模擬和數(shù)字電子電路基礎[M]，北京，清華大學出版社，2008

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