金 艷 朱 敏姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 西安 710071)

Alpha穩(wěn)定分布噪聲下基于柯西分布的相位鍵控信號(hào)碼速率最大似然估計(jì)

金 艷 朱 敏*姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 西安 710071)

針對(duì)現(xiàn)有的相位鍵控(PSK)編碼信號(hào)碼速率估計(jì)方法在Alpha穩(wěn)定分布中性能嚴(yán)重退化的問(wèn)題，該文提出一種基于柯西分布的碼速率最大似然估計(jì)(CMLE)新方法，該方法可同時(shí)估計(jì)碼速率與定時(shí)偏差。CMLE利用窗口法將信號(hào)劃分為定時(shí)偏差窗和多個(gè)寬度一定的非重疊且已同步的時(shí)域窗，每個(gè)窗只包含一個(gè)碼元符號(hào)；在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，利用窗中符號(hào)信息構(gòu)造了基于柯西分布的似然函數(shù)，可同時(shí)獲得定時(shí)偏差窗寬與碼元符號(hào)窗寬的最大似然估計(jì)。仿真結(jié)果表明，該方法能有效抑制Alpha穩(wěn)定分布噪聲并具有良好的參數(shù)估計(jì)性能。

信號(hào)處理；Alpha穩(wěn)定分布；柯西分布；相位鍵控編碼信號(hào)；碼速率；最大似然估計(jì)(MLE)

1 引言

相位鍵控(Phase Shift Keying, PSK)編碼信號(hào)具有抗干擾性強(qiáng)，保密性好等優(yōu)良性能，是通信系統(tǒng)中的常用信號(hào)，其參數(shù)估計(jì)是電子對(duì)抗中的研究熱點(diǎn)[1]。碼速率能表征PSK信號(hào)的編碼特性，因此，碼速率的估計(jì)是PSK信號(hào)處理的重要一環(huán)。高斯分布滿足中心極限定理，且易于處理和分析，在傳統(tǒng)的PSK信號(hào)的碼速率估計(jì)中，一般假設(shè)背景噪聲服從高斯分布。然而，在實(shí)際噪聲或雜波環(huán)境中，如閃電，海雜波，低頻大氣噪聲等均具有很強(qiáng)的沖激特性。在這類脈沖噪聲下，基于高斯噪聲模型的常規(guī)處理方法性能退化甚至失效。Alpha穩(wěn)定分布是描述此類非高斯脈沖噪聲的一種有效模型，與高斯分布相比，其具有更厚的統(tǒng)計(jì)拖尾和顯著的脈沖特性[2?4]。

針對(duì)PSK信號(hào)的碼速率估計(jì)，目前已有多種有效的分析方法。文獻(xiàn)[5]提出的時(shí)域自相關(guān)法，對(duì)接收信號(hào)做自相關(guān)處理，通過(guò)提取峰值估計(jì)信號(hào)的碼速率，但該方法在相關(guān)積分時(shí)間選取較大時(shí)，運(yùn)算量明顯增大。文獻(xiàn)[6,7]提出的循環(huán)譜相關(guān)估計(jì)法和循環(huán)自相關(guān)法，計(jì)算信號(hào)的循環(huán)統(tǒng)計(jì)量，并檢測(cè)離散譜線，即可估得信號(hào)的碼速率，但當(dāng)噪聲中存在幅值較大的分量時(shí)，基于循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的二階方法性能嚴(yán)重退化。文獻(xiàn)[8,9]提出的基于相位差分和基于小波變換的碼速率估計(jì)方法，對(duì)于噪聲的抑制作用較低，在信噪比較高時(shí)才能獲得參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。文獻(xiàn)[10]通過(guò)建立最大似然函數(shù)，求取極值獲得碼元信息，但該方法需要定時(shí)偏差等先驗(yàn)信息。此外，上述方法是以高斯噪聲為背景的分析與處理，在Alpha穩(wěn)定分布噪聲背景下均失效。

針對(duì)Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，傳統(tǒng)的相位編碼信號(hào)碼速率估計(jì)失效的問(wèn)題，本文提出一種基于柯西分布的碼速率估計(jì)方法。該方法利用窗口法將接收信號(hào)劃分為定時(shí)偏差窗和多個(gè)寬度一定的非重疊且已同步的時(shí)域窗，每個(gè)窗只包含一個(gè)碼元符號(hào)信息。利用碼元符號(hào)信息，構(gòu)造基于柯西分布的最大似然函數(shù)，即可估計(jì)信號(hào)的碼元寬度即碼速率。

2 信號(hào)和噪聲模型

設(shè)觀測(cè)信號(hào)為x(t)=s(t)+v(t)，其中相位編碼信號(hào)[11]s(t)可表示為式中，f為載頻，?0為初相，?(t)為相位編碼調(diào)制序列。

其中{?m}為信號(hào)符號(hào)集，δm(n)=δ(n),m =1, 2,…,M, δ(?)為離散Dirac函數(shù)，T0為定時(shí)偏差，Tc為碼片時(shí)寬。當(dāng)M=2，相位?1和?2的間隔為π時(shí)，s(t)為二進(jìn)制相位鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)編碼信號(hào)；當(dāng)M=4，相位之間的間隔為π/2時(shí)，s(t)為四進(jìn)制相位鍵控(Quaternary Phase Shift Keying, QPSK)編碼信號(hào)。q(t)=。v(t)為加性Alpha穩(wěn)定分布噪聲[12]。觀測(cè)信號(hào)離散采樣點(diǎn)為t=nTs, Ts為采樣周期。

一般情況下，Alpha穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)(Probability Distribution Function, PDF)沒(méi)有統(tǒng)一的封閉表達(dá)式，通常采用特征函數(shù)描述：

其中

是符號(hào)函數(shù)。參數(shù)α為特征參數(shù)，表征PDF的尖銳程度與拖尾厚重程度，α值越小，PDF曲線越尖銳且拖尾越厚。參數(shù)γ＞0為分散系數(shù)，又稱為尺度系數(shù)，與高斯分布的方差類似。?1≤β≤1為對(duì)稱參數(shù)，β=0為對(duì)稱Alpha穩(wěn)定分布(Symmetric α-Stable, SαS)。當(dāng)α=1,β=0時(shí)對(duì)應(yīng)為柯西分布[13]；當(dāng)α=2, β=0時(shí)對(duì)應(yīng)為高斯分布，且柯西分布與高斯分布均具有封閉形式的PDF。?∞＜a＜+∞為位置參數(shù)，對(duì)于SαS, 0＜α＜1時(shí)，則a表示中值，1＜α≤2時(shí)，則a表示均值。若滿足a=0且γ=1，則Alpha穩(wěn)定分布稱為標(biāo)準(zhǔn)Alpha穩(wěn)定分布。Alpha穩(wěn)定分布噪聲不具有統(tǒng)一封閉形式的PDF，但可通過(guò)特定的算法仿真體現(xiàn)。圖1與圖2分別表示不同α值下標(biāo)準(zhǔn)SαS的PDF曲線和時(shí)域分布，由圖可知，α值越小，PDF曲線越尖銳且拖尾越厚重，時(shí)域表現(xiàn)為大幅度樣本即大脈沖出現(xiàn)的概率越大。另外，當(dāng)α=1時(shí)對(duì)應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其PDF曲線尖銳，拖尾較為厚重，時(shí)域沖激特性明顯。此外，理論研究證明對(duì)于Alpha穩(wěn)定分布噪聲，僅當(dāng)階數(shù)p小于其特征指數(shù)α的統(tǒng)計(jì)矩是有限的[12]。因此，傳統(tǒng)的基于二階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)處理方法在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下性能嚴(yán)重退化甚至失效。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)SαS概率密度函數(shù)曲線

圖2 不同α值下標(biāo)準(zhǔn)SαS的時(shí)域分布

3 基于柯西分布的碼速率最大似然估計(jì)

3.1 柯西分布噪聲下信號(hào)的PDF

柯西分布具有封閉形式的PDF，且其PDF曲線拖尾厚重，沖激特性明顯，是Alpha穩(wěn)定分布噪聲的典型代表。已有許多學(xué)者提出在柯西分布噪聲下的信號(hào)處理方法，并將其推廣至一般的Alpha穩(wěn)定分布噪聲情況，分析并驗(yàn)證了其具有較好的性能，如基于最大似然位置估計(jì)的Myriad[14]和Meridian[15]濾波器等。為便于分析，本文推導(dǎo)了基于標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的PSK信號(hào)碼速率的最大似然估計(jì)，且仿真實(shí)驗(yàn)證明，該方法可應(yīng)用于一般的Alpha穩(wěn)定分布噪聲情況。標(biāo)準(zhǔn)柯西分布為滿足參數(shù)1,1, α=γ=

β=0,a=0的Alpha穩(wěn)定分布，其 PDF為

標(biāo)準(zhǔn)柯西分布噪聲下，碼元符號(hào)?m, m∈{1,2,…,M}的信號(hào)模型可表示為y=?m+v ，其中v為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布噪聲，則y的PDF為

式中，fv(y)為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的PDF, ?m為獨(dú)立同分布序列，其概率滿足ψ(?i)=ψ(?j)=1/M,i,j∈{1,2,…,M}且。

3.2 碼速率的最大似然估計(jì)

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)柯西分布噪聲下，觀測(cè)到的PSK信號(hào)為Sr={s0,S}={s0,s1,s2,…,sK}，其中，s0表示定時(shí)偏差窗內(nèi)的信號(hào)，S={s1,s2,…,sK}={s(1),s(2),…,s(N)}

下面以BPSK信號(hào)為例，闡述信號(hào)窗口的劃分。如圖3所示，s0表示定時(shí)偏差窗內(nèi)的信號(hào)，其寬度為NT0; si表示BPSK信號(hào)中第i個(gè)窗內(nèi)的同步信號(hào)，Nsi表示信號(hào)si的寬度，Ns={Ns1,Ns2,…,NsK}為同步信號(hào)窗口寬度集合。為K個(gè)碼元符號(hào)窗內(nèi)信號(hào)，其PDF為

由式(5)可推得信號(hào)分量si的PDF為式中，NT0表示定時(shí)偏差窗寬，在非協(xié)作方式下所截獲到的信號(hào)，其定時(shí)偏差一般不為0。表示前i?1個(gè)窗內(nèi)的信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)之和。其中M表示調(diào)制進(jìn)制數(shù)，M=2時(shí), ?m∈{0,π}, ψ(?m)=1/2; M=4時(shí)；?m∈{π/4,3π/4,5π/4,7π/4}; ψ(?m) =1/4。將式(7)代入式(6)并取對(duì)數(shù)，可得信號(hào)S的對(duì)數(shù)似然函數(shù)

圖3 無(wú)噪聲情況下碼元符號(hào)及其對(duì)應(yīng)的BPSK信號(hào)

設(shè)每個(gè)碼元內(nèi)的平均采樣點(diǎn)數(shù)為Ns，則Ns=Tc/Ts，且K?Ns=N，對(duì)于給定的Ns，則Nsi均可唯一確定，特別地，當(dāng)Ns為整數(shù)時(shí)，Ns=Nsi=Nsj,i,j∈{1,2,???,K}。因此，在已知信號(hào)載頻f后，可由信號(hào)S的對(duì)數(shù)似然函數(shù)估計(jì)未知參數(shù)Ns, NT0

去除式(9)中的無(wú)關(guān)常數(shù)項(xiàng)可得需要注意的是NT0的取值范圍與Ns的取值有關(guān)。因此，在由定時(shí)偏差窗寬NT0域和碼元符號(hào)窗寬Ns域形成的2維平面(NT0,Ns)上進(jìn)PSK信號(hào)的碼速率c=1/(s?Ts)。行峰值搜索，^得到峰值所對(duì)應(yīng)的2維坐標(biāo)，即可估得s，則

4 仿真結(jié)果及分析

設(shè)PSK信號(hào)參數(shù)滿足：觀測(cè)時(shí)間T0=0.1 s，初相θ=0，采樣頻率fs=10 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)N=10000；其中，BPSK信號(hào)和QPSK信號(hào)的碼元符號(hào)窗寬分別為Ns=6.6和Ns=6.9；定時(shí)偏差窗寬NT0=4。

仿真中噪聲為加性標(biāo)準(zhǔn)SαS分布噪聲，由于其不存在有限的二階矩(α≠2.0時(shí))，使得方差的概念失去意義，因此采用廣義信噪比[12]:

圖4(a)和圖4(b)分別為BPSK信號(hào)和QPSK信號(hào)在α=1.0, GSNR=0 dB的噪聲下，2維平面(NT0,Ns)上取NT0=4的1維切片圖。峰值所在位置分別為Ns=6.6, Ns=6.9，從而可估得信號(hào)的碼速率。圖4(c)和圖4(d)分別為BPSK信號(hào)在α=1.0, GSNR=?3 dB和GSNR=?5 dB的噪聲下的基于CML方法的切片圖。

本文以歸一化均方根誤差(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE)評(píng)價(jià)在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下碼速率估計(jì)方法的性能，并與基于循環(huán)自相關(guān)函數(shù)(Cyclic Autocorrelation Function, CAF)和基于Haar小波變換(Haar Wavelet Transform, HWT)的傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比。假設(shè)Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)的次數(shù)為R，所估計(jì)的參數(shù)為θ，第i次實(shí)驗(yàn)中的估計(jì)值為，則參數(shù)θ估計(jì)的歸一化均方根誤差為。

實(shí)驗(yàn)1 在不同的廣義信噪比下，對(duì)BPSK信號(hào)經(jīng)過(guò)200次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)果如圖5所示。由圖可知，在α=0.5的Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，當(dāng)GSNR≥?3 dB , CMLE方法能準(zhǔn)確估計(jì)碼速率；在α=1.0和α=1.5的Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，基于CMLE的方法分別在GSNR≥?4 dB和GSNR≥?5 dB時(shí)達(dá)到準(zhǔn)確估計(jì)。HWT方法是基于一階統(tǒng)計(jì)量的方法，利用Haar小波變換檢測(cè)信號(hào)的相位突變點(diǎn)，從而獲取信號(hào)碼速率的估計(jì)。然而，在脈沖噪聲下，大幅值脈沖導(dǎo)致檢測(cè)誤判。CAF的碼速率估計(jì)是傳統(tǒng)的基于二階統(tǒng)計(jì)量的方法，α＜2.0時(shí)其二階矩不存在，因此，在脈沖噪聲下，基于HWT和基于CAF的BPSK信號(hào)碼速率估計(jì)方法均失效。在α=2.0的Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，即高斯噪聲下，上述3種方法均能有效估計(jì)碼速率，在GSNR≥?7 dB時(shí)，基于CMLE的方法能準(zhǔn)確估計(jì)碼速率，基于CAF和基于HWT的方法分別在GSNR≥?8 dB 和GSNR≥?1 dB時(shí)，能達(dá)到準(zhǔn)確估計(jì)。此外，基于CAF的方法算法復(fù)雜度為O(N2logN)，本文方法的算法復(fù)雜度為O(2MN2)。

圖4 NT0=4的1維切片圖

圖5 BPSK信號(hào)碼速率估計(jì)性能比較

2由此表明，在樣本數(shù)較大時(shí)，本文方法算法復(fù)雜度較CAF方法低，且在信噪比較低的脈沖噪聲和高斯噪聲環(huán)境下均可準(zhǔn)確估計(jì)BPSK信號(hào)的碼速率。

實(shí)驗(yàn)2 在不同的廣義信噪比下，對(duì)QPSK信號(hào)經(jīng)過(guò)200次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)果如圖6所示。由圖可知，在α=0.5的Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，當(dāng)GSNR≥2 dB, CMLE方法能準(zhǔn)確估計(jì)碼速率；在α=1.0和α=1.5的Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，基于CMLE的方法在GSNR≥1 dB時(shí)可達(dá)到準(zhǔn)確估計(jì)。由于脈沖噪聲的影響，基于CAF和基于HWT的QPSK信號(hào)碼速率估計(jì)方法均失效。在α=2.0的Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，即高斯噪聲下，上述3種方法均能有效估計(jì)QPSK信號(hào)碼速率，在GSNR≥?1 dB時(shí)，基于CMLE的方法能準(zhǔn)確估計(jì)碼速率，基于CAF和基于HWT的方法分別在GSNR≥?7 dB和GSNR≥0 dB時(shí)，能達(dá)到準(zhǔn)確估計(jì)。基于CMLE的方法是以柯西分布噪聲為背景的碼速率估計(jì)方法，對(duì)于脈沖噪聲抑制作用較強(qiáng)，而在高斯噪聲下，基于CAF方法的參數(shù)估計(jì)性能優(yōu)于基于CMLE的方法。

圖6 QPSK信號(hào)碼速率估計(jì)性能比較

5 結(jié)束語(yǔ)

在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，本文提出了一種基于柯西分布的PSK信號(hào)碼速率最大似然估計(jì)算法，并給出了算法步驟。該方法通過(guò)窗口劃分將信號(hào)分為定時(shí)偏差窗與碼元符號(hào)窗，并利用碼元符號(hào)信息，建立基于柯西分布的似然函數(shù)。在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，可同時(shí)獲得定時(shí)偏差窗寬與碼元符號(hào)窗寬的最大似然估計(jì)，從而得到碼速率的估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)中，分別對(duì)BPSK和QPSK信號(hào)進(jìn)行碼速率的最大似然估計(jì)，并對(duì)比了基于循環(huán)自相關(guān)函數(shù)與基于Haar小波變換的參數(shù)估計(jì)方法。仿真結(jié)果表明，本文方法較基于循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的方法算法復(fù)雜度低，且相對(duì)于Haar小波變換和循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的方法，該方法對(duì)脈沖抑制作用強(qiáng)，在脈沖強(qiáng)度不同的Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，均具有良好的參數(shù)估計(jì)性能。

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金 艷： 女，1978年生，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楝F(xiàn)代信號(hào)處理、統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理、信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)、通信信號(hào)偵測(cè)等.

朱 敏： 男，1991年生，碩士生，研究方向?yàn)樾盘?hào)檢測(cè)與估計(jì)、脈沖噪聲處理.

姬紅兵： 男，1963年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楣怆娦畔⑻幚怼⑽⑷跣盘?hào)檢測(cè)與識(shí)別、醫(yī)學(xué)影像處理等.

Cauchy Distribution Based Maximum-likelihood Estimator for Symbol Rate of Phase Shift Keying Signals in Alpha Stable Noise Environment

Jin Yan Zhu Min Ji Hong-bing
(School of Electronic Engineering, Xidian University, Xi'an 710071, China)

In order to solve the problem that the performance of existing algorithms for the symbol rate estimation of Phase Shift Keying (PSK) signals will significantly degrade in the Alpha stable noise environment, a novel Cauchy distribution based Maximum-Likelihood Estimator (CMLE) method for symbol rate of PSK signals is proposed. The parameters of the timing offset and the symbol rate can be estimated simultaneously through this method. The windowed procedure is utilized in the CMLE and the noise polluted PSK signal is divided into a timing offset window and the multiple windows with certain width which are non-overlapping and synchronized in the time domain, and only one code symbol is contained in each window; in the Alpha stable noise environment, the symbol in the window is utilized and a likelihood function based on Cauchy distribution is built, then the maximum-likelihood estimation of window width for the timing offset and the symbol rate can be achieved simultaneously. The simulation results show that the proposed method can suppress the Alpha stable noise efficiently and offer superior parameter estimation performance.

Signal processing; Alpha-stable distribution; Cauchy distribution; Phase Shift Keying (PSK) signals; Symbol rate; Maximum-Likelihood Estimator (MLE)

TN911.7

： A

：1009-5896(2015)06-1323-07

10.11999/JEIT141180

2014-09-10收到，2014-12-25改回

國(guó)家自然科學(xué)基金(61201286)，陜西省自然科學(xué)基金(2014JM8304)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(K5051202013)資助課題

*通信作者：朱敏 zhum91@163.com