山東省泰安第六中學(xué) 劉向煒 婁延貞

山東教育出版社出版的《義務(wù)教育教科書(shū)（五?四制）數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)，第四章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，第四節(jié)圖形變化的簡(jiǎn)單應(yīng)用，這一節(jié)內(nèi)容將圖形的軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)整合在圖案的欣賞和設(shè)計(jì)活動(dòng)中，豐富有趣。在筆者的教學(xué)過(guò)程中，此章節(jié)深受學(xué)生們的喜愛(ài)，尤其是課本P107頁(yè)的做一做，這一小節(jié)中，大家各抒己見(jiàn)，發(fā)現(xiàn)了好多種變化的方法。因?yàn)榇藞D形較為復(fù)雜，加上手工作圖的局限性，并沒(méi)有學(xué)生說(shuō)出“樹(shù)甲”可以經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)變換就可以與“樹(shù)乙”重合。但這并不代表學(xué)生們想不到。由于課后P108頁(yè)的習(xí)題2 ，《教師用書(shū)》中給出了四種圖形變化方式，大多數(shù)老師也都給學(xué)生講解了多種變化方法，當(dāng)然也包括經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)可以完成題目要求的變換；再加上《配套練習(xí)冊(cè)》P107頁(yè)的探索嘗試的對(duì)比，有很多學(xué)生提出了課本P107頁(yè)做一做的“那棵樹(shù)”能不能經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)變換完成由“樹(shù)甲” 到“樹(shù)乙”的變化？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，大多學(xué)生會(huì)得到這樣的回答：你親自動(dòng)手做一做，利用尺規(guī)作圖方法作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線中垂線，看看他們能不能交于一點(diǎn)就可以了，但是很少有人給出明確的答案。因?yàn)槎鄶?shù)人心里想的是大概吧，也許吧，或許可以，應(yīng)該行。也就是因?yàn)檫@一點(diǎn)，所以才會(huì)有很多輔導(dǎo)資料上會(huì)出現(xiàn)有兩個(gè)正確答案的選擇題。比如，山東教育出版社出版的《初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練》，還有發(fā)行量很高的《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)?數(shù)學(xué)專(zhuān)頁(yè)》上均有這類(lèi)題目。《基礎(chǔ)訓(xùn)練》P130頁(yè)的這道題，它與我們教科書(shū)上的課后習(xí)題2，變化方式一樣，《教師用書(shū)》中也已經(jīng)明確給出了四種變換方式，包括只用旋轉(zhuǎn)即可完成，當(dāng)然不能只選答案D了?！渡倌曛橇﹂_(kāi)發(fā)報(bào)?數(shù)學(xué)專(zhuān)頁(yè)》期末綜合訓(xùn)練A卷上也有這樣一道題（題目圖片見(jiàn)文章最后）。這種題目的存在，說(shuō)明了很多人（包括老師）沒(méi)有認(rèn)識(shí)到“平面上的圖形變化，凡是經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)能夠完成的，完全可以經(jīng)過(guò)一步旋轉(zhuǎn)完成”這一事實(shí)，也就是“兩步變一步”。于是筆者帶著這個(gè)問(wèn)題和同事們展開(kāi)了研究，經(jīng)過(guò)討論、作圖，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，最終證明了這一命題是真命題。下面我來(lái)說(shuō)一下證明的思路，以及證明的過(guò)程。

從平面內(nèi)基本圖形線段入手，把一條線段AB先平移一段距離后，再旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度，完成線段AB到線段A1B1的變化。若要證明線段AB可以經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)變化到線段A1B1，那么必須得說(shuō)明變化前后的兩條線段上所有的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的中垂線都經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)變化時(shí)的旋轉(zhuǎn)中心。于是就有了下面的證明過(guò)程。

已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，線段AB在y軸正半軸上A(0,0)，B(0,a)，把線段AB沿x軸向右平移b個(gè)單位后，到達(dá)A1B’處，然后讓線段A1B’繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ度，變成線段A1B1，求證：線段AB與線段A1B1所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的中垂線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)。

證明：過(guò)點(diǎn)B1作B1D⊥x軸，垂足為D，易得可得線段的點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可設(shè)直線表達(dá)式為：y=m1x+a，把代入可解得于是直線表達(dá)式為：因?yàn)榛ハ啻怪钡膬蓷l直線表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1，所以可以設(shè)直線中垂線表達(dá)式為：把線段的中點(diǎn)代入可求得

可以得到線段的中垂線表達(dá)式應(yīng)為此直線與線段的中垂線的焦點(diǎn)可以求出來(lái)，計(jì)算如下：

直線的方程可以設(shè)為y=m2x+ka,把代入可解得于是直線表達(dá)式為：因?yàn)榛ハ啻怪钡膬蓷l直線表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1，所以可以設(shè)線段CC1的中垂線表達(dá)式為：把線段的中點(diǎn)代入可求得

所以直線的中垂線方程為：此直線與線段的中垂線的交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為

所以交點(diǎn)為，這與前邊所求的交點(diǎn)坐標(biāo)相同。

這在理論上證明了兩條線段上所有的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的中垂線都經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)。所以“二步變一步”是正確的。后來(lái)筆者通幾何畫(huà)板軟件，做了“這棵樹(shù)”的動(dòng)畫(huà)圖片，又從另一方面印證了：平面圖形平移、旋轉(zhuǎn)變換完全可以用一步旋轉(zhuǎn)完成。毫無(wú)疑問(wèn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心離我們要旋轉(zhuǎn)的圖形很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)，并且我們的旋轉(zhuǎn)角度足恰好又很小，此時(shí)的圖形變換就是平移，所以我們可以說(shuō)平移亦旋轉(zhuǎn)，平移恰好是轉(zhuǎn)的一個(gè)特殊情況，是旋轉(zhuǎn)中心無(wú)限遠(yuǎn)的一個(gè)特例。

一番探索研究下來(lái)，我本人收獲了以下幾點(diǎn)：一是在教育教學(xué)的過(guò)程中，我們教師對(duì)于每一個(gè)小細(xì)節(jié)都要認(rèn)真思考，嚴(yán)謹(jǐn)證明，尤其是教給學(xué)生們的知識(shí)上，更要嚴(yán)苛的要求自己。二是這種研究會(huì)讓我們有很多意想不到的收獲，可以得出一些從未有人研究的過(guò)結(jié)論，享受探究的樂(lè)趣，并能潛移默化給自己的學(xué)生們。三是正如旋轉(zhuǎn)亦平移是正確的一樣，我們可以推理出這樣的事實(shí)：兩平行線在無(wú)限遠(yuǎn)的地方是有交點(diǎn)的。這一點(diǎn)以后有機(jī)緣再深入研究。