李保坤 郭永存 曹毅

摘要：以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，研究Stewart并聯(lián)機構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異并進一步探討機構(gòu)的無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃方法。基于機構(gòu)的雅可比矩陣，構(gòu)建機構(gòu)給定位置的以單位四元數(shù)表征的姿態(tài)奇異軌跡的一般符號解析表達式。利用四元代數(shù)理論構(gòu)建剛體姿態(tài)運動學(xué)方程和時間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程；通過分析機構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布并利用剛體運動的時間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程，研究機構(gòu)無奇異時間最優(yōu)的姿態(tài)運動的規(guī)劃方法。研究成果進一步豐富了Stewart并聯(lián)機構(gòu)的奇異規(guī)避理論。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機構(gòu)；姿態(tài)奇異；無奇異；姿態(tài)運動規(guī)劃

中圖分類號：TP2422 文獻標(biāo)志碼：A

六自由度Stewart并聯(lián)機構(gòu)由于剛度大、承載能力強以及運動精度高等特點，已被廣泛應(yīng)用于運動模擬器、醫(yī)療器械、工業(yè)機器人、微納操作、力/力矩傳感器、空間探測、并聯(lián)機床等多個高精技術(shù)領(lǐng)域[1]。奇異位形嚴(yán)重影響并聯(lián)機構(gòu)的運動及力傳遞性能，對于并聯(lián)機構(gòu)來說，若機構(gòu)處于奇異狀態(tài)，機構(gòu)將嚴(yán)重失穩(wěn)并導(dǎo)致機構(gòu)失控甚至被損壞。因此，并聯(lián)機構(gòu)應(yīng)位于遠離奇異位形的區(qū)域工作。得到機構(gòu)的奇異軌跡是奇異規(guī)避研究的基礎(chǔ)[2]。PENDAR等[3]利用平面幾何中的Ceva定理研究三角平臺型Stewart并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形。文獻[4]研究了Stewart并聯(lián)機構(gòu)姿態(tài)固定時的位置奇異軌跡在三維空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)特性。吳洪濤等[5]以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，給出了Stewart并聯(lián)機構(gòu)奇異軌跡的三維圖形描述。文獻[6]給出了Stewart機構(gòu)的奇異軌跡，并進一步給出無奇異工作空間的確定方法。

對于并聯(lián)機構(gòu)來說，規(guī)避機構(gòu)的奇異位形的一個重要方法便是通過增加冗余驅(qū)動來實現(xiàn)[7-9]，但對于具有六自由度的Stewart機構(gòu)，采用冗余驅(qū)動無疑會帶來機構(gòu)控制的復(fù)雜性，并且會進一步限制機構(gòu)的工作空間。王玉新等[10]通過研究并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型分岔特性，提出了一種利用擾動函數(shù)來規(guī)避并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)向點奇異的方法。文獻[11-13]提出利用運動規(guī)劃的方法避開機構(gòu)的奇異位形。

由文獻[14-15]可知，六自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)動平臺的任務(wù)空間對應(yīng)于剛體運動變換群SE（3），相當(dāng)于三維姿態(tài)變換群和三維歐式空間的半直積，即：SE（3）=SO（3）R3。由于對機構(gòu)位于整個位形參數(shù)空間內(nèi)實施運動規(guī)劃具有很大的難度，而位于R3上的位置運動規(guī)劃研究已較為成熟，故本文主要對Stewart并聯(lián)機構(gòu)位于SO（3）上的姿態(tài)運動規(guī)劃進行研究。

基于機構(gòu)的雅可比矩陣，得出機構(gòu)位于SO（3）上的姿態(tài)奇異軌跡，并給出其三維圖形描述。基于機構(gòu)姿態(tài)奇異的軌跡描述，研究機構(gòu)時間最優(yōu)的無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃。

1機構(gòu)的三維姿態(tài)奇異軌跡描述

六自由度Stewart并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，其動定平臺為兩個非相似型的半對稱正六邊形B1B2…B6，C1C2…C6 （i=1，2，…，6），并通過六根相同的球副-移動副-球副（或萬向鉸）支鏈（BiCi）相連。Bi和Ci分別為動定平臺的六個頂點，Aj（j=1，3，5）為定平臺六邊形長邊的交點。

P、O、βm、βb、Rm、Rb的含義分別如下：

P為機構(gòu)動平臺幾何中心點；O為機構(gòu)定平臺幾何中心點；

βm為動平臺上邊B4B5對應(yīng)中心角，0°≤βm≤120°；

βb為定平臺上邊 C1C2對應(yīng)中心角，0°≤βb≤120°；

Rm為動平臺外接圓半徑；Rb為定平臺外接圓半徑。

圖1Stewart并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

為分析并得到機構(gòu)的奇異軌跡方程，在機構(gòu)動平臺上建立固連坐標(biāo)系P-xyz，在定平臺上建立固定參考系O-XYZ。將動平臺中心點P作為動平臺運動的位置參考點，設(shè)點P在固定參考系O-XYZ中的位置矢量記為P=[X， Y， Z]T；記動平臺各鉸點Bi在動坐標(biāo)系P-xyz中的位置矢量為bi（i=1， 2， …， 6），記Bi在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的位置矢量為Bi（i=1， 2， …， 6）；定平臺各個鉸點Ci在固定參考系O-XYZ中的位置矢量記為Ci（i=1， 2， …， 6）。

定義機構(gòu)的初始姿態(tài)，其滿足如下條件：

① 給定機構(gòu)動平臺參考點P 的位置；② 動定坐標(biāo)系的相應(yīng)坐標(biāo)軸相互平行。

在此，以具有三個獨立參數(shù)的單位四元數(shù)Q=q0+q1i+q2 j+q3k（q20+q21+q22+q23=1）描述該機構(gòu)動平臺的姿態(tài)。其表示機構(gòu)動平臺以初始姿態(tài)繞通過P點且相對于固定坐標(biāo)系矢量方向q1i+q2 j+q3k的軸旋轉(zhuǎn)角度θ=2arccosq0所形成的姿態(tài)。此外，規(guī)定q0≥0，這樣該單位四元數(shù)與剛體的姿態(tài)為一一對應(yīng)關(guān)系，且避免了以歐拉角等描述姿態(tài)時所引起的以旋轉(zhuǎn)矩陣求解歐拉角逆問題時無全局光滑解的問題[16]?；趩挝凰脑獢?shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣如下式所示：

R=q20+q21-q22-q232（q1q2-q0q3）2（q1q3+q0q2）

2（q1q2+q0q3）q20+q22-q21-q232（q2q3-q0q1）

2（q1q3-q0q2）2（q2q3+q0q1）q20+q23-q21-q22 （1）

由坐標(biāo)變換原理不難得到Bi與bi滿足

Bi=Rbi+P （2）

將式（1）帶入機構(gòu)奇異位形判別矩陣

JT=B1-C1|B1-C1|B2-C2|B2-C2|B3-C3|B3-C3|B4-C4|B4-C4|B5-C5|B5-C5|B6-C6|B6-C6|C1×B1|B1-C1|C2×B2|B2-C2|C3×B3|B3-C3|C4×B4|B4-C4|C5×B5|B5-C5|C6×B6|B6-C6| （3）

若令式（3）所示矩陣的行列式等于零，即可得到機構(gòu)奇異位形關(guān)于位姿參數(shù)的解析表達式endprint

F（A， B）=0

式中：A表示機構(gòu)動平臺的位置參數(shù)，B表示機構(gòu)動平臺的姿態(tài)參數(shù)。

將式（1）、（2）帶入式（3），并注意到q0=1-q21-q22-q23 ，展開并化簡矩陣[JT]的行列式，并令其等于0，得到該機構(gòu)位置參數(shù)P（X，Y，Z）給定時的姿態(tài)奇異軌跡一般符號解析表達式

f1q61+f2q51 q2+f3q51 q3+f4q51 1-q21-q221-q23 +

…+f69q22+f70q2q3+f711-q21-q221-q23 +f72q23+f73=0（4）

式中：fi（i=1， 2， …， 73）均是機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)Rm、Rb、βm、βb以及位置參數(shù)（X， Y， Z）的顯示表示。進一步觀察發(fā)現(xiàn)，式中多項含有1-q21-q22-q23 ，姿態(tài)參數(shù)q1、q2最高達6次，q3的最高次達4次。

當(dāng)給定機構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)Rm=1、Rb=2、βm=75°、βb=105°，機構(gòu)位于給定位置（0， 0， 4）時關(guān)于姿態(tài)參數(shù)（q1， q2， q3）的姿態(tài)奇異軌跡在笛卡爾坐標(biāo)系中的三維圖形化描述如圖2所示。

圖2機構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異軌跡圖

2無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃

21姿態(tài)運動軌跡的四元數(shù)描述

單位四元數(shù)描述剛體的旋轉(zhuǎn)變換也可表示成如下形式

Q=cosθ2+ξ sinθ2=exp（ξθ2）（5）

式中：ξ=1q21+q22+q23 （q1，q2，q3）

其共軛四元數(shù)可表示成

=cosθ2-ξ sinθ2=exp（-ξθ2）（6）

故

ΔQ（t）=exp（12ω（t+εΔt）Δt）（7）

式中：ε∈[0，1]，角速度在時間區(qū)間[t， t+.Δt]被假定為為常值ω（t+εΔt），當(dāng)Δt趨向于零時，便可得到四元數(shù)增量的精確值

dQ（t）=exp（12ω（t）dt）（8）

將整個時間區(qū)間[0， T]分成N個間隔Δti

Δti=ti+1-ti， max|Δti|≤kTN （i， i+1=1， 2， …， N）

在ti+1時刻的單位四元數(shù)，將通過如式（5）所示的無限小變換四元數(shù)以及在ti時刻的數(shù)值確定

Q（ti+1）=ΔQ（ti）Q（ti）=

exp（12ω（ti+εi+1Δti+1） Δti+1）Q（ti）

εi∈[0， 1]（9）

若剛體在t=T0時刻從單位四元數(shù)Q0開始進行旋轉(zhuǎn)運動，則近似有

Q（ti+1）=ΔQ（ti）Q（ti）=

exp（12ω（ti+εi+1Δti+1） Δti+1）…

exp（12ω（t1+ε2Δt2） Δt2）exp（12ω（ε1Δt1） Δt1）Q0=

exp（ξi+1Δθi+12）…

exp（ξ2Δθ22）exp（ξ1Δθ12）Q0 （10）

上式可用圖3說明。

圖3剛體姿態(tài)運動學(xué)方程的球面弧表示

22時間最優(yōu)姿態(tài)運動的四元數(shù)描述

圖4剛體時間最優(yōu)姿態(tài)運動的球面描述

如圖4所示，若使剛體由姿態(tài)Λ變換到N，除經(jīng)M作用的旋轉(zhuǎn)外，亦可經(jīng)變換ΣP實現(xiàn)。但是，不難發(fā)現(xiàn)，由于弧長P與弧長Σ之和一定大于弧長M，也即剛體經(jīng)姿態(tài)變換ΣP所轉(zhuǎn)過的角度要大于姿態(tài)變換M所轉(zhuǎn)過的角度。因此，若使剛體從姿態(tài)Λ快速變換到N，M所對應(yīng)的姿態(tài)變換應(yīng)是最短姿態(tài)變換路徑，由于

N=MΛ（11）

M可根據(jù)下式求解

M=NΛ-1（12）

若由式（12）計算得

M=（μ0，μ）=cos2+μsin2 （13）

不難得到剛體從姿態(tài)Λ變換到N時，相對于固定坐標(biāo)系的姿態(tài)軌跡為

Q（t）=M（t）Λ（14）

式中：Μ（t）=cos∫t0ω（t）2dt+μsin∫t0ω（t）2dt， =∫t0ω（t）2dt，ω（t）為剛體在t時刻轉(zhuǎn)動的角速度大小。式（9）便是剛體從單位四元數(shù)Λ描述的姿態(tài)經(jīng)快速姿態(tài)變換到姿態(tài)N的以單位四元數(shù)描述的姿態(tài)軌跡計算公式。

將上述得到的姿態(tài)軌跡表達式（14）離散化處理。將時間區(qū)間[0， T]分成N個間隔Δti，在每個等分內(nèi)的角速度可以看成是定值，則有

Q（ti+1）=M（ti+1）M（ti）…M（t1）Λ（15）

其中，

M（ti+1）=cos（12∑ik=0ω（ti+εiΔt）Δti）+

μsin（12∑ik=0ω（ti+εiΔt）Δti）

（i=0， 1， 2， …）（16）

式中：t0=0，εi∈[0， 1]。若剛體從起始0時刻的姿態(tài)Λ快速旋轉(zhuǎn)到最終姿態(tài)N，由式（15）和式（16）可計算出剛體時間最優(yōu)的姿態(tài)運動在ti+1時刻的姿態(tài)Q（ti+1），如圖5所示。利用歐拉公式，式（15）亦可寫成形如式（10）所示的指數(shù)積形式

Q（ti+1）=M（ti+1）Λ0=

exp（12ω（ti+εi+1Δti+1） Δti+1）…

exp（12ω（t1+ε2Δt2） Δt2）

exp（12ω（ε1Δt1） Δt1）Λ0=

exp（μΔθi+12）…exp（μΔθ22）

exp（μΔθ12）Q0（17）

若剛體起始姿態(tài)Λ=（λ0， λ1， λ2， λ3），目標(biāo)姿態(tài)N=（ν0， ν1， ν2， ν3），計算得到的姿態(tài)軌跡Q（t）=（q0，q1，q2，q3），若以四元數(shù)的矢量部分作為獨立參數(shù)，可得到在三維笛卡爾坐標(biāo)系中的姿態(tài)軌跡曲線qi（i=1， 2， 3），稱該軌跡曲線即是剛體時間最優(yōu)姿態(tài)運功的姿態(tài)軌跡曲線。該軌跡曲線的起始點為（λ1， λ2， λ3），終點為（μ1， μ2， μ3），由四元數(shù)運算法則可知，姿態(tài)變換軌跡一般情況下應(yīng)是一條曲線，當(dāng)且僅當(dāng)λ與μ共線或其中一個為0時，姿態(tài)軌跡為一條連接起始姿態(tài)點（λ1， λ2， λ3）到目標(biāo)姿態(tài)點（ν1， ν2， ν3）的直線。endprint

23機構(gòu)時間最優(yōu)的無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃

Stewart并聯(lián)機構(gòu)動平臺的三維姿態(tài)變換對應(yīng)于剛體位于SO（3）上的姿態(tài)變換，因此，可將剛體時間最優(yōu)姿態(tài)運動的姿態(tài)軌跡求解結(jié)果應(yīng)用于該類型并聯(lián)機器人機構(gòu)的基于任務(wù)空間描述的時間最優(yōu)姿態(tài)運動規(guī)劃。但是，如前所述，該類型并聯(lián)機器人機構(gòu)存在復(fù)雜的奇異位形，而機構(gòu)在運動過程中應(yīng)規(guī)避奇異位形。若直接將內(nèi)容21～22的剛體時間最優(yōu)姿態(tài)運動軌跡求解結(jié)果應(yīng)用于機構(gòu)的時間最優(yōu)姿態(tài)運動規(guī)劃，則機構(gòu)的姿態(tài)運動路徑可能存在奇異點。因此，有必要基于論文關(guān)于機構(gòu)的奇異位形研究內(nèi)容特別是機構(gòu)位于SO（3）上的姿態(tài)奇異研究成果，結(jié)合上述剛體時間最優(yōu)姿態(tài)軌跡求解方法，對機構(gòu)實施時間最優(yōu)的無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃。為便于闡述，現(xiàn)通過數(shù)值實例來說明具體操作方法。

數(shù)值實例 給定機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)Rb=2、Rm=1、βb=105°、βm=105°，不考慮機構(gòu)運動副運動范圍限制，若機構(gòu)動平臺位于給定位置點（0， 0， 4），若要求機構(gòu)動平臺從起始姿態(tài)Λ=（1， 0， 0， 0）經(jīng)快速旋轉(zhuǎn)作用到目標(biāo)姿態(tài)N=（10/10， 0，-9/10， 3/10），對機構(gòu)實施時間最優(yōu)的姿態(tài)運動規(guī)劃。

若不考慮機構(gòu)位于位置（0， 0， 4）的姿態(tài)奇異軌跡影響，由式（7）得到機構(gòu)快速姿態(tài)變換對應(yīng)的單位四元數(shù)為

M=ΝΛ-1=（2/2， 0，-1/2， 1/2）

機構(gòu)動平臺轉(zhuǎn)過的角度為

θ=2arccos μ0=2arccos （2/2）=π/2

將姿態(tài)軌跡曲線近似無限小等分成N等份，由式（11）得到動平臺姿態(tài)軌跡

Q（ti）=[cos （i·Δθ2N）+μsin（i·Δθ2N）]（1， 0， 0， 0）

（i=0， 1， …， N）

式中：單位方向矢量μj由式（5）得到。

姿態(tài)軌跡（q1， q2， q3）中始終有q2=0。得到機構(gòu)時間最優(yōu)的姿態(tài)運動軌跡Q如圖5所示。

圖5剛體姿態(tài)軌跡離散化的球面描述

有文獻[1]可知，機構(gòu)力雅可比矩陣的條件數(shù)可以定量描述矩陣求逆的精確度和穩(wěn)定性，也是反映機構(gòu)位于相應(yīng)位形時的運動及力傳遞性能的一個重要指標(biāo)，可反映機構(gòu)遠離奇異位形的程度。故此處用雅可比矩陣的條件數(shù)來描述機構(gòu)的操作性能隨姿態(tài)軌跡的變化情況。圖6描述了機構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)隨圖5所示姿態(tài)軌跡的變化趨勢。

q2

圖6不考慮奇異時的機構(gòu)時間最優(yōu)姿態(tài)軌跡

q2

圖7不考慮奇異的機構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)變化

從圖6與圖7可以看出，若根據(jù)機構(gòu)運動起始姿態(tài)和目標(biāo)姿態(tài)直接求解時間最優(yōu)的姿態(tài)運動軌跡，機構(gòu)在運動過程中可能會通過奇異點，而并聯(lián)機器人機構(gòu)在實際工作過程中應(yīng)避開奇異點，因此，有必要使機構(gòu)在不發(fā)生奇異位形的情況下，對機構(gòu)實施無奇異的姿態(tài)運動規(guī)劃。

綜合機構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布情況，可將機構(gòu)的姿態(tài)運動分為兩步：第一步，機構(gòu)從起始姿態(tài)Λ=（1， 0， 0， 0）快速旋轉(zhuǎn)到Qmid=（2/2， 0，-1/2， 1/2）；第二步，機構(gòu)從姿態(tài)Qmid快速作用到目標(biāo)姿態(tài)N=（10/10， 0，-9/10， 3/10）。由式（7）得到這兩步姿態(tài)變換對應(yīng)的單位四元數(shù)分別為

M1=QmidΛ-1=（2/2， 0，-1/2， 1/2）

M2=NQ-1mid=（20/20，3/10，10/20-92/20，32/20-10/20）機構(gòu)動平臺轉(zhuǎn)過的角度分別為

θ1=2arccos （2/2）=π/2

θ2=2arccos （20/20）

對應(yīng)于動平臺的姿態(tài)軌跡為

Q1=[cos （i·Δθ12N1）+μ1sin （i·Δθ12N1）]（1， 0， 0， 0）

（i=0， 1， …， N1）

Q2=[cos（i·Δθ22N2）+μ1sin （i·Δθ22N2）]（2/2， 0，-1/2， 1/2）

（i=0， 1， …， N2）

重新規(guī)劃的無奇異時間最優(yōu)姿態(tài)運動軌跡如圖8所示，圖9描述了機構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)大小隨重新規(guī)劃后的姿態(tài)軌跡的變化趨勢。

q2

圖8機構(gòu)旋轉(zhuǎn)運動的無奇異時間最優(yōu)姿態(tài)軌跡

q2

圖9無奇異時間最優(yōu)姿態(tài)運動時的雅可比矩陣條件數(shù)隨時間變化

從圖8與圖9可以看出，重新規(guī)劃的機構(gòu)姿態(tài)運動軌跡不包含奇異點，該姿態(tài)運動軌跡是機構(gòu)由起始姿態(tài)Λ=（1， 0， 0， 0）經(jīng)快速旋轉(zhuǎn)作用到目標(biāo)姿態(tài)N=（10/10， 0，.-9/10， 3/10）的無奇異時間最優(yōu)姿態(tài)運動軌跡。

3結(jié)論

1） 以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，描述了Stewart并聯(lián)機構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異軌跡，對機構(gòu)的位于給定位置時的奇異規(guī)避研究奠定了前期基礎(chǔ)。

2） 基于四元代數(shù)運算法則，構(gòu)建剛體姿態(tài)運動學(xué)方程，得到剛體運動的時間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程。

3） 綜合（1）和（2）研究內(nèi)容得到Stewart并聯(lián)機構(gòu)基于任務(wù)空間描述的時間最優(yōu)的無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃方法，其能夠確保機構(gòu)在不會出現(xiàn)奇異位形的條件下，以時間最優(yōu)為目標(biāo)運動到目標(biāo)姿態(tài)。

4） 上述無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃很大程度上依賴于對機構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布情況的觀察，作者下一步將集中于研究三維姿態(tài)空間內(nèi)的自動搜尋并得到時間最優(yōu)無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃方法。

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