栗永非，時(shí)保吉

（新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453006）

振動(dòng)特性是滾動(dòng)軸承的動(dòng)態(tài)性能之一，對(duì)主機(jī)的動(dòng)態(tài)性能、工作壽命及可靠性等有重大影響，其可以綜合、全面反映軸承產(chǎn)品的整體質(zhì)量水平［1-2］。為了從總體上把握軸承振動(dòng)的基本特性，需要對(duì)軸承振動(dòng)參數(shù)的真值進(jìn)行評(píng)估。由于軸承振動(dòng)特性具有乏信息特征，使得軸承振動(dòng)特性的真值估計(jì)成為難題。目前，學(xué)者們已經(jīng)研究了許多真值評(píng)估方法，如最大似然法［3-4］、最大后驗(yàn)估計(jì)［5-7］、加權(quán)平均法［8］和最小二乘逼近等［9］，但這些通常都是基于大樣本條件下進(jìn)行的。為此，提出基于小樣本的真值融合方法，該方法是對(duì)滾動(dòng)平均法、隸屬函數(shù)法、最大隸屬度法、滾動(dòng)自助法和算術(shù)平均法的多次融合。在此基礎(chǔ)上，提出了乏信息條件下基于多個(gè)估計(jì)真值的融合方法的點(diǎn)估計(jì)，通過對(duì)圓錐滾子軸承的質(zhì)量參數(shù)進(jìn)行蒙特卡洛（Monte Carlo）模擬和試驗(yàn)研究，以驗(yàn)證文中所述融合方法的適應(yīng)性和有效性。

1 真值融合模型

為解決乏信息系統(tǒng)的真值估計(jì)問題，采用多種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究，進(jìn)而從多個(gè)側(cè)面獲取整個(gè)系統(tǒng)的屬性信息。當(dāng)方法不同時(shí)，評(píng)判準(zhǔn)則各異，就會(huì)得到不同的屬性信息。將獲得的屬性信息構(gòu)成集合，就是所謂的估計(jì)真值集合。該集合從多個(gè)方面描述系統(tǒng)的屬性特征，通過融合得到的屬性信息，能更合理地對(duì)系統(tǒng)屬性真值進(jìn)行估計(jì)，即真值融合技術(shù)。

設(shè)系統(tǒng)輸出的軸承質(zhì)量數(shù)據(jù)序列為

式中：xt為原始序列X中的第t個(gè)數(shù)據(jù)；N為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

1.1 真值融合方法

由于研究的軸承質(zhì)量數(shù)據(jù)序列概率分布未知且數(shù)據(jù)量很小，提出以下5種真值估計(jì)方法。

1.1.1滾動(dòng)均值法

將（1）式中的數(shù)據(jù)由小到大排列，則

1.1.2 隸屬函數(shù)法

作為一種定量融合方法，隸屬函數(shù)法實(shí)際屬于加權(quán)均值方法，權(quán)重即為隸屬函數(shù)fi。

1.1.3 最大隸屬度法

依據(jù)隸屬函數(shù)法，設(shè)最大隸屬度為

1.1.4 滾動(dòng)自助法

設(shè)軸承質(zhì)量數(shù)據(jù)序列X為

從序列X中進(jìn)行自助抽樣，等概率可放回地抽取mD＝N個(gè)數(shù)據(jù)，則獲得自助樣本Xb，連續(xù)抽取B次，就能夠得到B個(gè)自助樣本

將自助樣本從小到大排序，并分為Q組，就可以得到各組的組中值Xmq和概率密度函數(shù)f（x）或離散頻率Fq，q＝1，2，…，Q。

以頻率Fq為權(quán)重，則估計(jì)真值為

1.1.5 算術(shù)平均法

算術(shù)平均法是第5種真值估計(jì)方法，是最常用的點(diǎn)估計(jì)方法之一。

定義系統(tǒng)的估計(jì)真值為

1.2 估計(jì)真值的融合

采用多種數(shù)學(xué)方法得到估計(jì)真值的解集X0后，將X0作為第0次融合序列，表示為

式中：X0l為采用第l種數(shù)學(xué)方法得到的真值的估計(jì)結(jié)果。

然后采用所提出的融合方法對(duì)X0Fusion0進(jìn)行計(jì)算，得到第1次融合序列

式中：X0lF1為采用第l種數(shù)學(xué)方法對(duì)第0次融合序列融合的計(jì)算結(jié)果。

依此類推，第k次融合序列為

式中：X0lFk為對(duì)采用第l種數(shù)學(xué)方法對(duì)第k-1次融合序列融合的計(jì)算結(jié)果。

定義3：存在任意小的實(shí)數(shù)ε，若極差滿足

式中：N為第k-1次融合序列融合計(jì)算結(jié)果的個(gè)數(shù)。此準(zhǔn)則稱為極差準(zhǔn)則。

1.3 約定真值

根據(jù)誤差理論和統(tǒng)計(jì)理論，如果差異很小，基于大樣本的5個(gè)估計(jì)真值可以被認(rèn)為是接近數(shù)學(xué)期望EM的，故可以被視為約定真值Xtrue，即

式中：Xm為5個(gè)真值的平均值；Xtrue為約定真值；Atrue為系統(tǒng)屬性的真值集合。

2 試驗(yàn)研究

試驗(yàn)對(duì)象為30204圓錐滾子軸承，隨機(jī)抽取30套軸承，利用B1010振動(dòng)儀采集軸承徑向振動(dòng)速度信號(hào)（包括低頻、中頻和高頻）。圖1所示為軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)序列。需進(jìn)行5個(gè)測(cè)試系列的試驗(yàn)研究，其中每個(gè)測(cè)試序列有30個(gè)數(shù)據(jù)。

圖1 軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)序列

2.1 大樣本條件下的約定真值

如上所述，平均值Xm可用于描述大樣本條件下的約定真值Xtrue。在此基礎(chǔ)上，將30個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本，即Ntest＝30，則分別采用5種真值融合方法計(jì)算出5個(gè)估計(jì)真值，結(jié)果見表1。

表1 軸承振動(dòng)速度在大樣本N test＝30下的估計(jì)真值

由表1可知，在大樣本條件下軸承低頻、中頻和高頻速度的5個(gè)估計(jì)真值差別均很小，最大相對(duì)誤差分別為1.2%，2.2%和0.7%，則5個(gè)估計(jì)真值的平均值即為低、中、高頻振動(dòng)速度的約定真值Xtrue，即低頻XmL＝197.7μm／s＝XLtrue，中頻XmM＝169.7μm／s＝XMtrue，高頻XmH＝84.9 μm／s＝XHtrue。

2.2 小樣本條件下軸承振動(dòng)速度的評(píng)估

從圖1中分別選取低、中、高頻振動(dòng)速度測(cè)試序列的前5個(gè)數(shù)據(jù)，即小樣本個(gè)數(shù)N＝5，形成新的測(cè)試序列X，

低頻XL＝（262，180，202，195，225），

中頻XM＝（202，150，128，172，165），

高頻XH＝（90，98，120，75，90）。

采用上述5種融合方法，基于小樣本的軸承振動(dòng)速度估計(jì)真值及與約定真值的相對(duì)誤差見表2。

表2 小樣本條件下振動(dòng)速度的估計(jì)真值（N＝5）

從表2可以看出，在小樣本條件下，這5種方法得到的估計(jì)真值有明顯不同，與約定真值的相對(duì)誤差也很大。

根據(jù)誤差理論對(duì)有效數(shù)據(jù)的控制原理，分別采用滾動(dòng)平均法、隸屬函數(shù)法、最大隸屬度法、滾動(dòng)自助法和算術(shù)平均法對(duì)對(duì)低頻、中頻和高頻振動(dòng)估計(jì)真值進(jìn)行3次融合，結(jié)果見表3。

表3 軸承振動(dòng)速度的估計(jì)真值的融合序列（N＝5）

取ω＝0.5，根據(jù)極限準(zhǔn)則，最終估計(jì)真值見表4。

表4 小樣本條件下的最終估計(jì)真值（N＝5）

3 Monte Carlo仿真

采用Monte Carlo法模擬任意概率分布（本文為均勻分布）的隨機(jī)過程，區(qū)間為［0，1］，則得到隨機(jī)過程的測(cè)試序列Xtrue（圖2），測(cè)試序列數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為Ntest＝1 024。顯然，測(cè)試序列服從均勻分布。根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論，均勻分布的數(shù)學(xué)期望為0.5，則測(cè)試序列的約定真值為U＝0.5μm／s。

圖2 基于Monte Carlo仿真的均布測(cè)試序列（N test＝1 024）

從圖1中選取測(cè)試序列的前5個(gè)數(shù)據(jù)，即小樣本個(gè)數(shù)N＝5，形成新的測(cè)試序列X＝（0.773 74，0.406 97，0.724 49，0.557 77，0.387 96）。

采用上述方法，基于小樣本的Monte Carlo仿真均布估計(jì)真值見表5。從表5很容易看出，這5種方法得到的估計(jì)真值明顯不同，其與約定真值U的最大相對(duì)誤差為20.51%，最小相對(duì)誤差為10.62%。

表5 基于小樣本的均布估計(jì)真值（N＝5）

對(duì)均布估計(jì)真值進(jìn)行融合，結(jié)果見表6，取ε＝0．005，根據(jù)極限準(zhǔn)則，最終估計(jì)真值為

表6 均勻分布估計(jì)真值的融合序列

為便于觀察，將這4個(gè)測(cè)試序列最后的結(jié)果總結(jié)于表7中，由表可知，在小樣本條件下，傳統(tǒng)估計(jì)真值和最終估計(jì)真值的相對(duì)誤差范圍為3.19%～10.13%。采用融合方法進(jìn)行多次融合后，最大相對(duì)誤差為10.13%，而采用單一方法的最大誤差則達(dá)20.51%。

4 結(jié)束語(yǔ)

建立了真值融合模型，并通過圓錐滾子軸承振動(dòng)試驗(yàn)研究證明，基于小樣本的真值融合模型具有更高的評(píng)估精度，最大相對(duì)誤差僅有9.19%，誤差較?。欢捎脝我环椒ǖ玫降淖畲笙鄬?duì)誤差通常較大。

通過Monte Carlo仿真進(jìn)一步證明了真值融合模型評(píng)估的有效性，真值融合方法對(duì)于解決小樣本和概率分布未知的問題具有可靠的估計(jì)結(jié)果。