杜傳陽(yáng) 鄭東健

（1.河海大學(xué) 水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098；2.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，南京

210098）

大壩的安全運(yùn)行關(guān)乎人民生命財(cái)產(chǎn)安全，其變形情況能夠比較直接客觀地反映出大壩運(yùn)行狀況，因此，建立有效的安全監(jiān)測(cè)模型并及時(shí)分析和處理實(shí)測(cè)資料，發(fā)現(xiàn)異常及時(shí)處理，對(duì)大壩健康穩(wěn)定運(yùn)行至關(guān)重要［1－2］.目前，根據(jù)研究進(jìn)展及現(xiàn)狀，常用的有支持向量機(jī)（Support Vector Machines，SVM）、統(tǒng)計(jì)模型、時(shí)間序列模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等模型，這些模型各有利弊［3］.其中SVM模型在大壩安全監(jiān)測(cè)中應(yīng)用廣泛，適用于處理一些高維數(shù)、非線性的問(wèn)題，且有良好的泛化能力［4］，懲罰因子c和核參數(shù)σ的選擇對(duì)模型性能有較大影響.本文在SVM理論的基礎(chǔ)上對(duì)模型加以改進(jìn)，并對(duì)各改進(jìn)方法進(jìn)行比較.利用粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）對(duì)SVM 模型的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，以提高預(yù)測(cè)效果.同時(shí)考慮到PSO算法容易陷入局部最優(yōu)，引入速度因子和位置因子對(duì)標(biāo)準(zhǔn)PSO算法進(jìn)行改進(jìn)，一旦發(fā)現(xiàn)粒子存在陷入局部最優(yōu)的趨勢(shì)，則立即對(duì)粒子的位置進(jìn)行初始化，稱改進(jìn)算法為自適應(yīng)位置PSO（Adaptive Position PSO，APPSO）算法［5］；同時(shí)，馬爾科夫鏈模型具有適用于數(shù)據(jù)波動(dòng)較大的特點(diǎn)，可以用來(lái)克服由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)波動(dòng)較大影響擬合和預(yù)報(bào)精度的缺點(diǎn)，以提高殘差分析的準(zhǔn)確度［6］.通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)各種改進(jìn)方法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果顯示改進(jìn)方法均能夠明顯提高預(yù)測(cè)的精度.

1 支持向量機(jī)

支持向量機(jī)SVM能夠有效解決復(fù)雜的非線性問(wèn)題，以統(tǒng)計(jì)學(xué)理論為理論基礎(chǔ).其基本思想是利用內(nèi)內(nèi)積函數(shù)將非線性變量映射到一個(gè)高維特征空間，以結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)化最小為原則構(gòu)造最優(yōu)決策函數(shù)，然后在高維空間內(nèi)線性回歸［7］.

設(shè)一組訓(xùn)練樣本：（x1，y1），（x2，y2），…，（xi，yi）∈（Rn×R），對(duì)輸入樣本做如下處理，利用非線性映射φ（x）從原低維空間映射到更高維的特征空間，并構(gòu)造最優(yōu)線性擬合函數(shù)f（x）＝［ω，φ（x）］＋b，其中［，］表示內(nèi)積.以結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化為原則尋找ω，b，綜合考慮模型復(fù)雜程度以及泛化能力，尋優(yōu)過(guò)程等價(jià)于

式中，ω為權(quán)向量，ξ為松弛變量，ξ≥0；C為懲罰參數(shù)，C＞0，表示在模型復(fù)雜和經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)取一折中，b為一常數(shù)，l訓(xùn)練為樣本數(shù).

建立Lagrange函數(shù)以實(shí)現(xiàn)上述優(yōu)化問(wèn)題：

式中，αi為L(zhǎng)agrange乘子.

根據(jù) KKT（Karush－Kuhn－Tucker）條件可得

定義核函數(shù)k（x，xi）滿足 Mercer條件，消去ξi和ω后，得到線性方程組：

式中：e＝［1，1，…，1］T；I為單位矩陣；α＝［α1，α2，…，αl］T；Qij＝K（xi，xj）；i，j＝1，2，…，l.

關(guān)于核函數(shù)，滿足Mercer條件即可為核函數(shù)，其中徑向基核函數(shù)（RBF）最為常用：

最終可以得到回歸模型：

2 馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫過(guò)程［8］是一種具有無(wú)后效性的隨機(jī)過(guò)程，馬爾科夫鏈［8］則指的是狀態(tài)和時(shí)間參數(shù)均離散的馬爾科夫過(guò)程.在大壩安全監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，各個(gè)測(cè)點(diǎn)位移的數(shù)值是與時(shí)間有關(guān)的狀態(tài)函數(shù)，且時(shí)間、狀態(tài)均為離散，可認(rèn)為是典型的馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程.

將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)按照馬爾科夫鏈的基本原理分成若干狀態(tài)，分別用E1，E2，E3，…，En表示，按時(shí)序依次取t1，t2，t3，…，tn為轉(zhuǎn)移時(shí)間，指數(shù)列由Ei經(jīng)k步轉(zhuǎn)為Ej的概率，即

設(shè)E1的初始向量V（0），經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移得到的向量V（k）可由下式求得：

本文根據(jù)轉(zhuǎn)移概率在各個(gè)狀態(tài)區(qū)間內(nèi)所占的比重對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)修正，詳細(xì)過(guò)程如下：首先利用APPSO－SVM模型（或SVM模型）求出擬合值和預(yù)測(cè)值，實(shí)測(cè)值減去擬合值得殘差序列，根據(jù)其取值范圍劃分概率區(qū)間，可以通過(guò)每個(gè)狀態(tài)向下一時(shí)刻的轉(zhuǎn)移概率算出轉(zhuǎn)移概率，進(jìn)而得到轉(zhuǎn)移概率矩陣［9］.預(yù)測(cè)過(guò)程中，選取預(yù)測(cè)值前面最近的幾個(gè)（本文取4個(gè)）已知所屬狀態(tài)的測(cè)值，然后對(duì)通過(guò)已知狀態(tài)測(cè)值轉(zhuǎn)移到要預(yù)測(cè)值需要的時(shí)步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并算得相應(yīng)的Ei（i＝1，2，…）步轉(zhuǎn)移概率矩陣，從相應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣中找到相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率，然后統(tǒng)計(jì)處于各個(gè)狀態(tài) 的概率，根據(jù)計(jì)算的概率在不同狀態(tài)區(qū)間內(nèi)的所占比重按式（11）加權(quán)修正：

3 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法［10］中的粒子通過(guò)對(duì)自身以及對(duì)群體的認(rèn)識(shí)不斷對(duì)自身的位置進(jìn)行更新，進(jìn)而在全局范圍內(nèi)搜索最優(yōu)解.由于粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)點(diǎn)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)：

1）對(duì)慣性因子ω采用線型遞減策略［11］：

式中，maxω、minω為最大、最小權(quán)重值；i為當(dāng)前迭代次數(shù)；j為最大迭代次數(shù).ω的取值范圍常取［0.3－0.9］.

2）對(duì)學(xué)習(xí)因子c1、c2采用線性學(xué)習(xí)的方法，c1先大后小，c2先小后大［12］：

式中，c1s、c2s為c1、c2的迭代初始值；c1e、c2e為c1、c2的迭代終值；i為當(dāng)前迭代次數(shù)；j為最大迭代次數(shù)，c1表示變化范圍［2.5，1］，c2表示變化范圍［1.5，2.75］.

3）由公式（1）易看出，在進(jìn)行迭代時(shí)，其自身的歷史最優(yōu)值Pi會(huì)隨著粒子i的位置接近全局最優(yōu)值Pg而不斷接近Pg，從而（1）式后兩項(xiàng)近似為0，若粒子的速度也近似為0，由（2）式能夠看出粒子的位置不能得到更新，如果此時(shí)的“全局最優(yōu)點(diǎn)”恰為局部最優(yōu)點(diǎn)，則粒子就會(huì)陷入局部最優(yōu).因此，引入速度因子υ和位置因子γ（υ，γ≥0），dij＝‖Xij－Pgj‖2，表示第i個(gè)粒子的第j維的當(dāng)前位置與全局最優(yōu)位置的距離.粒子迭代過(guò)程中，進(jìn)行位置和速度更新前進(jìn)行判斷，一旦發(fā)現(xiàn)粒子的位置dij＜γ，且飛行速度Vij＜υ，就可判定粒子出現(xiàn)停滯，立即對(duì)粒子的位置進(jìn)行初始化，防止陷入局部最優(yōu).本文利用該改進(jìn)的PSO算法尋優(yōu)參數(shù)σ和C，達(dá)到對(duì)SVM模型改進(jìn)的目的，其中一個(gè)粒子代表一個(gè)SVM模型.

4 大壩變形預(yù)警模型建立

綜合前述各理論，大壩變形預(yù)警模型流程圖如圖1，其中適應(yīng)度的計(jì)算在交叉驗(yàn)證（cross validation，CV）意義下的準(zhǔn)確率為個(gè)體適應(yīng)度［13］.分別按下述流程圖求得各改進(jìn)方法預(yù)測(cè)值①、②、③、④，然后進(jìn)行比較分析.

圖1 流程圖

5 工程應(yīng)用實(shí)例分析

以某水電站實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例，每隔一周選取一組數(shù)據(jù)，選取2010年7月1日～2012年12月13日實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)共130組作為訓(xùn)練樣本，選取2012年12月20日～2013年2月21日共10組實(shí)測(cè)值用以預(yù)測(cè).

訓(xùn)練樣本標(biāo)準(zhǔn)化，設(shè)Xmin、Xmax為各組樣本數(shù)據(jù)的最值，標(biāo)準(zhǔn)化后變量：

種群初始化［15］：粒子個(gè)數(shù)取20個(gè)、迭代次數(shù)取100，慣性因子ω范圍為［0.9，0.3］，學(xué)習(xí)因子c1、c2變化范圍分別為［2.5，1］、［1.5，2.75］，懲罰因子C與核參數(shù)σ范圍各為［0.1，100］、［0.01，10］.γ＝0.1和υ＝0.001為核參數(shù)σ的位置因子、速度因子，γ＝5和υ＝0.05為懲罰因子C的位置因子、速度因子.

通過(guò)均方差FMSE（式（17））的比較，能更加直觀地看出改進(jìn)方法優(yōu)越性，SVM模型的擬合均方差為1.907mm，APPSO－SVM 模型的擬合均方差為1.023 mm，SVM－MC模型的擬合均方差為0.968mm，APPSO－SVM－MC模型的擬合均方差為0.578mm.

式中，n為樣本數(shù)；yi為監(jiān)測(cè)實(shí)值為模型計(jì)算值.

下面詳細(xì)介紹APPSO－SVM－MC預(yù)測(cè)值④計(jì)算過(guò)程：首先可求得APPSO－SVM模型預(yù)測(cè)值②以及模型擬合值，將實(shí)測(cè)值與APPSO－SVM模型擬合值相減可得殘差序列，最小值與最大值分別為－1.68 mm、1.86mm，分為4個(gè)區(qū)間，見(jiàn)表1.利用馬爾科夫鏈進(jìn)行殘差分析，得到轉(zhuǎn)移概率矩陣，見(jiàn)式（18）.預(yù)測(cè)過(guò)程中，模型的殘差取值若超出所定義區(qū)間范圍，如果殘差大于1.86mm，則歸屬于狀態(tài)Ⅳ，如果殘差小于－1.67mm，則歸屬于狀態(tài)Ⅰ.

表1 概率狀態(tài)劃分

下面預(yù)測(cè)2012年12月20日位移，以驗(yàn)證其可行性.取預(yù)測(cè)日期前面4組APPSO－SVM擬合值，進(jìn)行馬爾科夫修正，2012年12月20日所屬各狀態(tài)的概率統(tǒng)計(jì)值見(jiàn)表2.

表2 20121220位移所屬狀態(tài)

由APPSO－SVM模型得到20121220的預(yù)測(cè)值為78.82mm，由公式（11）可計(jì)算出經(jīng)過(guò)殘差修正后的預(yù)測(cè)值為79.04mm.

其余日期預(yù)測(cè)結(jié)果依次類推，各改進(jìn)模型預(yù)測(cè)結(jié)果以及參差值分別見(jiàn)表3和表4.

表3 不同改進(jìn)模型預(yù)測(cè)值對(duì)比

表4 不同改進(jìn)模型殘差對(duì)比

SVM－MC模型預(yù)測(cè)值③的求算方法類似于上述過(guò)程，僅需將APPSO－SVM擬合值改為SVM擬合值，其余過(guò)程相同.

將不同改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)值與部分?jǐn)M合圖同基本SVM模型的擬合值與預(yù)測(cè)值更直觀的進(jìn)行比較，如圖2～3所示.由擬合圖可以明顯看出APPSO－SVMMC模型的擬合精度高于基本的SVM模型；由殘差比較與模型預(yù)測(cè)曲線圖可以看出：APPSO－SVM－MC模型的精度最高，APPSO－SVM與SVM－MC模型精度次之，但明顯高于基本SVM模型精度，基本SVM模型精度最低.

圖2 不同模型擬合曲線圖

圖3 不同模型預(yù)測(cè)值曲線圖

6 結(jié) 論

本文以SVM理論為基礎(chǔ)，對(duì)其改進(jìn)方法進(jìn)行比較研究，充分利用粒子群算法快速全局尋優(yōu)的特點(diǎn)，同時(shí)為克服粒子群尋優(yōu)過(guò)程易陷入局部最優(yōu)點(diǎn)的不足，引入了位置因子和速度因子；利用馬爾科夫鏈模型適用于描述隨機(jī)波動(dòng)數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)來(lái)提高殘差辨識(shí)的精確性.由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知本文所提出的改進(jìn)方法均能有效提高模型的預(yù)測(cè)精度，將改進(jìn)PSO算法與馬爾科夫鏈綜合對(duì)SVM模型進(jìn)行改進(jìn)可以大大提高預(yù)測(cè)精度，而APPSO－SVM模型與SVM－MC模型的預(yù)測(cè)精度也有較大提高，實(shí)際工程中應(yīng)根據(jù)精度需要進(jìn)行適當(dāng)選擇.綜上所述，本文研究的變形預(yù)警模型擁有一定的應(yīng)用價(jià)值，可在大壩安全監(jiān)測(cè)領(lǐng)域推廣應(yīng)用.

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