李帆，周芬芬，李興林，趙萍，袁巨龍

（1.浙江工業(yè)大學(xué) 超精密加工研究中心，杭州 310014；2.杭州軸承試驗研究中心 博士后科研工作站，杭州 310022）

1概述

目前，精密軸承已廣泛應(yīng)用于精密機床、石油化工、軍事國防、航空航天等領(lǐng)域。鋼球作為滾動軸承的關(guān)鍵零件，其球形誤差與批一致性均極大地影響軸承的運動精度和壽命［1-2］，國家標(biāo)準(zhǔn)中列出的精密鋼球精度指標(biāo)見表1［3-4］。鋼球球形誤差的實際測量通過圓度儀測量球體的3個互成90°的赤道平面的圓度誤差進(jìn)行。測量時鋼球置于圓度儀主軸的夾具上，并隨主軸作旋轉(zhuǎn)運動，通過被測球體輪廓的最大半徑和最小半徑之差確定被測截面的圓度誤差。但采用圓度儀測量圓度誤差時，由于圓度儀的精度已達(dá)納米級，而其旋轉(zhuǎn)主軸的精度約為±25 nm，兩者精度為同一數(shù)量級，導(dǎo)致主軸回轉(zhuǎn)誤差對高精度鋼球的圓度測量造成明顯干擾，必須通過圓度誤差分離技術(shù)消除主軸回轉(zhuǎn)誤差［5］。

表1 精密鋼球精度指標(biāo) μm

采用誤差分離技術(shù)測量鋼球圓度誤差的基本思路：利用被測球體輪廓不變的基本特征，采用數(shù)學(xué)算法對傳感器的輸出信號（包括被測球體的圓度形狀誤差信號及主軸回轉(zhuǎn)誤差信號等）進(jìn)行處理，最終將各信號分離以獲得所需的鋼球圓度誤差［6］。

根據(jù)傳感器數(shù)目及回轉(zhuǎn)對象的不同，圓度誤差分離技術(shù)主要分為多步法和多點法。多步法只使用一個傳感器，需要提高被測件的轉(zhuǎn)位次數(shù)以達(dá)到減少諧波抑制的目的。多點法采用多個傳感器同時對工件進(jìn)行測量，通過對多組采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理來分離主軸回轉(zhuǎn)誤差，更適合在線測量。多點法中最基礎(chǔ)且應(yīng)用較廣的是三點法，而后通過增減傳感器個數(shù)或改變輸出信號的處理算法衍生出兩點法、四點法、混合法及直徑變動量法等其他形式的圓度誤差分離技術(shù)［7-8］。

在此，從分離精度、分離效率、測量方式及成本等方面對比分析了不同圓度誤差分離技術(shù)及其應(yīng)用特點，并在此基礎(chǔ)上對其發(fā)展趨勢做進(jìn)一步展望。

2 三點法及其特點

三點法［9-10］的基本原理如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系xOy，x軸為加工誤差的敏感方向。3個位移傳感器安裝在同一測量平面內(nèi)，A與B的夾角為α，且A傳感器軸線與x軸重合，B與C的夾角為β，3個傳感器軸線的交點與主軸理論回轉(zhuǎn)中心重合于O點，O1為主軸實際回轉(zhuǎn)中心。傳感器A，B，C的輸出信號分別為A（θ），B（θ）和C（θ），r（θ）為被測件的輪廓形狀誤差，主軸的回轉(zhuǎn)誤差e（θ）在x，y方向上的分量分別為x（θ）和y（θ）。測量時，傳感器位置固定，被測件隨主軸作回轉(zhuǎn)運動，得如下關(guān)系

圖1 三點法原理圖

式中：N為工件旋轉(zhuǎn)一周的檢測點數(shù)。

三點法不僅可以分離鋼球的圓度形狀誤差與圓度儀回轉(zhuǎn)軸的運動誤差，同時還適用于鋼球的在線測量。但該方法也存在一定不足。由（3）式可知，當(dāng)權(quán)函數(shù)W（k）＝0時，將出現(xiàn)諧波抑制現(xiàn)象，無法分離出圓度誤差［11-12］。因此，使用時需綜合考慮各階諧波系數(shù)、傳感器安裝角度及靈敏度等因素，選取合適的權(quán)函數(shù)W（k）。

文獻(xiàn)［13］對三點法的分離技術(shù)原理進(jìn)行驗證的結(jié)果表明：盡管失去一階諧波分量，但相對于精密回轉(zhuǎn)主軸，該分量并不直接影響圓度評定；3個傳感器的安裝角度不宜均布，即夾角α和β不能同時為120°。此外，針對三點法中需要進(jìn)行正反2次快速Fourier變換的問題，文獻(xiàn)［14］提出了一種精確的時域三點法圓度誤差分離技術(shù)，即通過在時域上直接對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行代數(shù)式遞推，從而將誤差分離。試驗結(jié)果表明該方法與傳統(tǒng)三點法得到的圓度值基本一致。

根據(jù)被測圓輪廓幾何特征不變且具有周期性的特點，文獻(xiàn)［15］對三點法誤差分離算法進(jìn)行改進(jìn)，得到一種矩陣算法。應(yīng)用該算法分離鋼球圓度誤差時，無需對傳感器的輸出信號進(jìn)行Fourier變換，直接構(gòu)建并求解權(quán)函數(shù)系數(shù)矩陣即可分離出主軸回轉(zhuǎn)誤差及鋼球赤道圓截面最小二乘圓圓心的偏心誤差。

文獻(xiàn)［16］分析了三點法中3個傳感器的安裝角度對傳遞函數(shù)諧波系數(shù)的影響。其將旋轉(zhuǎn)主軸劃分為32個等角，A傳感器固定于零度，B傳感器固定在9／32的位置處，C傳感器則在剩余區(qū)域內(nèi)按等分角度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。試驗表明：當(dāng)C傳感器旋轉(zhuǎn)至與A傳感器或B傳感器的夾角為180°時，將存在諧波抑制問題。

3 三點法的演化形式

3.1 序列三點法

序列三點法［17-18］的基本原理如圖2所示。3個傳感器A，B，C順序排布，且兩兩間的安裝夾角相等，傳感器的輸出為

圖2 序列三點法原理圖

采用該方法測量精密鋼球的圓度誤差時，必須保證采樣點間隔與傳感器安裝角度相等，否則將無法大量采集有效數(shù)據(jù)點，限制了圓度輪廓信息的捕捉。

3.2 平行三點法

傳統(tǒng)的三點法要求測量系統(tǒng)中的傳感器按照一定角度環(huán)繞鋼球的赤道圓布置，不僅要求各傳感器的敏感方向（軸線）同時指向鋼球赤道圓圓心，還需要各傳感器間的安裝夾角保證一定精度，增加了操作難度。針對這一問題，文獻(xiàn)［19-20］提出平行三點法，其基本原理如圖3所示。3個傳感器平行布置，依靠回轉(zhuǎn)臺的直線基準(zhǔn)與平行軸之間的尺寸定位，增強了測試的靈活性與實用性。

圖3 平行三點法原理圖

通過分析所建立的頻域誤差傳播方程可知，測量裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)、傳感器初始調(diào)零誤差、傳感器隨機誤差和標(biāo)定誤差均會對圓度誤差分離精度造成一定影響。采用平行三點法測試精密鋼球圓度誤差時，只有當(dāng)傳感器間距誤差引起的各當(dāng)量夾角變化控制在0.1°內(nèi)時，才能忽略該間距誤差對分離精度造成的影響。同時，為獲得較好的鋼球圓度形狀誤差，還應(yīng)盡可能提高有效頻段內(nèi)圓度誤差各諧波分量的信噪比。

3.3 動態(tài)三點法

根據(jù)傳感器與被測圓截面的運動關(guān)系，文獻(xiàn)［21］提出了一種基于動態(tài)測量模型的圓度誤差分離方法。該方法分離鋼球圓度誤差時，需要在鋼球的赤道圓截面貼一個磁性金屬標(biāo)記作為測量基準(zhǔn)，并以此基準(zhǔn)確定周期采樣點數(shù)及角度值。以?40 mm的圓截面進(jìn)行測試，結(jié)果表明：當(dāng)回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速為200 r／min，采樣頻率為2 000 Hz時，獲得了相對精確的測試角度（α＝118.21°，β＝123.37°），此時分離出的圓度誤差值為41.85μm，與圓度儀的測量結(jié)果相差0.48μm。

3.4 兩點法

在傳統(tǒng)三點法中，當(dāng)α＝90°，β≈90°時，傳感器B的輸出量在組合信號中占比很小（＜10%），可忽略不計。因此，去掉傳感器B便可將三點法演化為兩點法［22］，如圖4所示。此時傳感器A與C的角度關(guān)系為

圖4 兩點法原理圖

兩點法簡化了測試裝置，使其不受空間限制，因此非常適合對精密鋼球進(jìn)行在線或在位圓度誤差分離。結(jié)合文獻(xiàn)［23］可知：當(dāng)采用兩點法分離鋼球圓度誤差時，應(yīng)使兩傳感器間的夾角盡可能接近但不等于180°；當(dāng)采樣點數(shù)較多（N≥128）時，由被忽略的傳感器B輸出信號（＜10%）帶來的原理性誤差僅為2%左右。

與三點法的對比結(jié)果驗證了兩點法在實際圓度測試中的可靠性［24-25］。與時域三點法類似，文獻(xiàn)［26］通過改進(jìn)兩點法的誤差分離算法，提出了時域兩點法圓度誤差分離技術(shù)，試驗結(jié)果表明：所引入的原理性誤差與采樣點數(shù)成反比，當(dāng)采樣點數(shù)N＝256時，原理誤差可減小至1.2%。另外，時域兩點法與傳統(tǒng)三點法得到的圓度誤差分離結(jié)果相差2.5%左右。

3.5 四點法

針對傳統(tǒng)三點法中存在的諧波抑制問題，文獻(xiàn)［27］提出了四點法圓度誤差分離技術(shù)，即在三點法的基礎(chǔ)上添加一個傳感器，其原理如圖5所示。該分離技術(shù)的本質(zhì)是在圓度誤差測試系統(tǒng)中增設(shè)一個可用于調(diào)節(jié)權(quán)函數(shù)的附加變量。

圖5 四點法原理圖

由于四點法比傳統(tǒng)三點法增加了一個諧波系數(shù)，因此可以提高精密鋼球的圓度誤差分離精度，通過對四點法中的3個諧波系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化組合，得到一種各階權(quán)函數(shù)都較大的組合方式，從而最大程度地減小鋼球圓度形狀誤差的諧波失真。與Talyrond 200圓度儀分離出的圓度誤差值相差0.12μm。

此外，研究結(jié)果還表明：從三點法到四點法的轉(zhuǎn)變對圓度誤差分離精度有較大的改善，但若再增加傳感器數(shù)目，則不能明顯提高分離精度。同時，傳感器數(shù)量過多將導(dǎo)致靈敏度標(biāo)定誤差的增加，也加大了安裝及調(diào)整的難度。

3.6 混合法

傳統(tǒng)三點法采用的傳感器均為線位移傳感器，不利于抑制測量噪聲對圓度誤差分離精度造成的影響［28］。因此，延伸出可測量高頻信號范圍的誤差分離方法——混合法［29］。其基本原理是將頻域三點法中的3個線位移傳感器替換成1個線位移傳感器與1個線位移和角位移組合的混合傳感器，如圖6所示。

圖6 混合法原理圖

結(jié)合相關(guān)分析結(jié)果可知：采用混合法分離精密鋼球的圓度誤差時，高頻信號的獲取與2個傳感器間的夾角無關(guān)；同時，混合法的權(quán)函數(shù)不存在零點，可將主軸回轉(zhuǎn)誤差從圓度誤差中完全分離出來。

文獻(xiàn)［30-31］中還對2個角位移傳感器和1個線位移傳感器的組合（1D2A）與1個角位移傳感器和2個線位移傳感器的組合（2D1A）進(jìn)行比較，結(jié)果表明：當(dāng)采樣點數(shù)N≤7時，1D2A組合方式可獲得更高的圓度誤差分離精度；當(dāng)被測鋼球所包含的高頻信號成分較多時，2D1A組合方式則是更佳的選擇。

另外，文獻(xiàn)［32］通過對2D1A組合方式下的權(quán)函數(shù)與其傳感器夾角間的關(guān)系進(jìn)行分析，得到僅利用1個位移傳感器和1個角度傳感器正交分布的正交混合法，該原理如圖7所示。以?25.4 mm的精密鋼球為試驗對象對該方法進(jìn)行驗證，結(jié)果表明：當(dāng)采樣點數(shù)N＝512時，圓度誤差大約為60 nm，重復(fù)誤差約為5 nm。

圖7 正交混合法原理圖

3.7 直徑變動量法

根據(jù)文獻(xiàn)［33-34］可知，當(dāng)鋼球球形精度較高時，其直徑變動量與圓度誤差值近似相等。為簡化精密鋼球圓度誤差分離算法且盡可能避免對所測球體造成表面損傷，文獻(xiàn)［35］提出用直徑變動量等效圓度誤差的誤差分離技術(shù)，其具體方法為：如圖8所示，將2個相同的光學(xué)位移傳感器間隔180°對置，以2個傳感器的輸出建立直徑變動量的相關(guān)誤差分離方程，保留所有偶數(shù)階諧波分量，從而分離出主軸回轉(zhuǎn)誤差及一些非同步系統(tǒng)誤差，得等效圓度誤差。

圖8 直徑變動量法裝置圖

以?50 mm的精密鋼球為例，試驗結(jié)果表明：由直徑變動量法得到的等效圓度誤差值為58 nm，與由單點多步法誤差分離技術(shù)得到的圓度誤差值相差7 nm，證明該裝置及相應(yīng)的誤差分離算法具有一定可行性。此外，該測試系統(tǒng)還具有檢測速度快、重復(fù)精度高及動態(tài)測試范圍大等優(yōu)點。

4 總結(jié)與展望

4.1 總結(jié)

綜上所述，應(yīng)用多點法分離精密鋼球圓度誤差時，一般是對鋼球的赤道圓輪廓進(jìn)行離散采樣，建立并計算誤差分離方程，最終得到鋼球圓度誤差及主軸的回轉(zhuǎn)誤差。三點法作為多點法圓度誤差分離技術(shù)的基礎(chǔ)方法，在應(yīng)用時具有精度較高、操作簡單等優(yōu)點，但同時也存在諧波抑制問題。針對該問題，前文所述的各類多點法圓度誤差分離技術(shù)主要是從以下幾方面演化得到：

（1）增減傳感器個數(shù)或改變傳感器放置方式（平行或環(huán)繞）、間隔角度、采樣點數(shù)等，從而避免諧波抑制。

（2）將傳統(tǒng)三點法中部分位移傳感器替換成角度傳感器，改變輸出信號類型以提高圓度誤差分離精度。

（3）采用新的誤差分離算法，如矩陣算法、時域內(nèi)直接對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行代數(shù)式遞推的方式、直徑變動量等效算法等。

因此，采用誤差分離技術(shù)對精密鋼球進(jìn)行圓度誤差測量時，需綜合考慮分離精度、分離效率、測量方式及成本等因素加以選取。經(jīng)總結(jié)分析，將各圓度誤差分離技術(shù)的特點列于表2。

表2 多點法圓度誤差分離技術(shù)的比較

4.2 展望

對精密鋼球圓度測量的誤差分離技術(shù)提出如下幾點展望：

（1）為保證精密鋼球圓度測量后表面質(zhì)量無損傷，可將接觸式測量改進(jìn)為非接觸式測量，如采用光學(xué)傳感器等。

（2）為提高圓度誤差分離算法的計算效率，可從精密鋼球自身特點出發(fā)，改進(jìn)圓度誤差分離算法，如用直徑變動量算法等效圓度誤差等。