房正華（合肥工業(yè)大學,合肥230009）

FGM空心圓筒的穩(wěn)態(tài)應力場解析解

房正華
（合肥工業(yè)大學,合肥230009）

本文主要利用微分方程的級數解法來求解FGM空心圓筒的一維應力場問題。假定圓筒的材料屬性沿徑向呈冪指乘積函數分布，并受到軸對稱的溫度荷載。最后以鉬/多鋁紅柱石合成的功能梯度圓筒為例得到有限元軟件模擬的數值解。

功能梯度材料；空心圓筒；應力場；級數解

0　引言

材料性能和組分的突變往往會導致明顯的局部應力集中，如果復合材料中不同材料間的變化是逐步連續(xù)進行的，則應力集中會大大減小。為了提高材料性能，減小材料的應力集中，功能梯度材料的出現很好地解決了這一問題。功能梯度材料是指材料在其厚度或長度方向上組分和結構呈連續(xù)梯度變化的一種新型復合材料。梯度功能材料的主要特征可以簡要概括一下有以下三點：

（1）材料的組成成份和結構呈連續(xù)性梯度變化；

（2）材料內部沒有明顯的界面；

（3）材料的性質相應地也呈連續(xù)性梯度變化。與傳統(tǒng)材料易在基層和纖維之間界面容易破壞不同，功能梯度材料可以承受更大的荷載。其實自然界中早已存在功能梯度材料，如竹子、人的骨骼、牙齒等都是典型的梯度材料，它們結構中的最強單元能承擔最大的應力。

功能梯度材料（FGM）最早的概念是由日本材料學家新野正之等[1]人提出，他們將陶瓷和金屬材料復合達到從這種材料屬性連續(xù)變化到另外一種材料。材料屬性沿圓筒徑向分布函數的形式有很多，如線性、冪函數、二次函數等等。Lutz等[2,3]對功能梯度球體和圓筒給出了一維熱應力分析，他們考慮厚壁空心圓筒受穩(wěn)態(tài)徑向熱負荷，并假設材料的熱彈性參數與圓筒或球體成線性關系。Jabbari等[4,5]在假設材料參數沿厚度隨半徑以冪函數形式變化時分析了受徑向對稱荷載下圓筒中的熱應力分布，并提出一種直接解析法來求解熱傳導和納維方程。Xiang等得到了彈性模量沿徑向線性變化且內外表面受均勻壓力的厚壁空心圓筒的位移和應力分布。Tutuncu通過冪級數解的方法求得了材料參數呈指數變化的厚壁空心圓筒的徑向位移和穩(wěn)態(tài)應力。Hosseini等給出了材料性能沿厚度呈冪律關系的FGM空心圓筒的瞬態(tài)熱傳導解析法，并用Bessel函數法得到了溫度分布。R.poultangari等假設材料性能沿厚度方向呈冪函數變化，通過能量方程得到內部溫度場分布，運用歐拉方程和勒讓德多項式求解Navier方程，給出了不同冪指數下的溫度、位移和應力分布。

1　問題描述

一有限長FGM空心圓筒，內外壁半徑為r1，r2，該圓筒的材料屬性各向同性且沿厚度方向呈線性分布，材料屬性參數如彈性模量、熱傳導系數、熱膨脹系數、熱擴散率分別為E、λ、α、k。其內壁同時受溫度荷載T1和機械荷載q1，外壁受到溫度荷載T2和機械荷載q2作用，圓筒內部無熱源。假定空心圓柱的熱彈性參數如熱傳導率λ等均沿徑向呈冪指函數(如 )分布，空心圓柱內外壁和周圍介質間的熱對流傳遞系數分別為h1和h2，在這里利用熱傳導方程可以得到溫度場，納維方程得到位移場和應力場。

1.1溫度場的求解

首先來求圓筒的溫度場，并將材料屬性參數代入熱傳導方程中為：

上式中為計算方便，全部采用參數無量綱化的方法，如R=r1/r2等等。

二階變系數微分方程常常不能用通常的解法求出，但可以用級數或數值解法。數值解法手工很難完成，要借助計算機軟件如matelab等，差分法是常見的用來解變系數微分方程的方法。二次變系數微分方程的級數解法分為在奇點處和在常點處的級數展開兩種方法，式（1）在R=1處展開就用常數點處展開的級數方法，在R=0處就用級數點處的級數展開。本文選取在R=0處級數展開，則方程的解用級數可以表示為：

利用微分方程的正則奇點處的級數解法得

其中Ak1，Ak2便可以通過遞推公式求出。β1，β2可以代入溫度邊界條件得到。

1.2位移場和應力場的求解

在得到圓筒的溫度場后需要直接通過位移-溫度關系式求解到位移分布，所以先通過本構方程和幾何方程推導出能通過求解二階微分方程的關系式（即Navier方程），該方程是二階變系數非齊次微分方程，求解起來有一定的難度，這里要先求解該方程對應的齊次方程解（同溫度場的求解方法一樣，都可以用級數解法）。然后觀察方程左右兩邊形式構造出非齊次方程的特解，并代入求其待定系數。在得到位移場的分布后，只需將其代入幾何方程和本構方程即可得到相應徑向應力和環(huán)向應力的解析解。

2　數值模擬

在這里考慮的是一個用鉬/多鋁紅柱石制成的FGM空心圓筒，其無量綱內外徑分別為：R=0.9和R=1.1。材料屬性沿徑向按冪指函數變化且參數取值為：p1=2.3,p2=p3=1.5，q1=-0.3，q2=-0.2。由于圓筒的材料性能參數隨厚度方向連續(xù)變化，在有限元模擬中要作簡化處理，采用層合模型，將空心圓筒沿徑向均勻分成100份，每個小圓環(huán)內部的材料屬性保持不變。圓筒外壁的熱傳遞系數為H=30，內外壁開始的溫度分別為：和。

圖1表示的是FGM空心圓的穩(wěn)態(tài)徑向溫度場，以此為例可以看出文中所用方法與數值結果的誤差在3%以內，驗證了方法的正確性。

3　總結

本文主要對軸對稱FGM空心圓筒的一維應力場問題進行了研究，其中通過級數解法來求解熱傳導方程得到應力場的解，而且該方法還可以推廣到材料屬性沿徑向一般分布的情況。

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房正華（1989—），男，安徽安慶人，碩士研究生，研究方向：FGM空心圓筒熱應力問題。