張 維，嚴(yán)春梅，文 進(jìn)

(成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610059)

0 引 言

Ω 是Rn上的一個有界域，n ≥1，并且具有光滑的邊界Ω.考慮如下初邊值問題，

其中，Γ 為Gamma 函數(shù)，滿足，

如果α ＞0，則滿足?－1 ＜α ＜?，? ∈N.當(dāng)α= 1，2 時，此算子相當(dāng)于拋物線和雙曲線方程.

式(1)是非均勻介質(zhì)中的反常擴(kuò)散模型，可以由連續(xù)時間隨機(jī)游動得到.有研究認(rèn)為，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程是不常用的，它包括了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的一個參數(shù)階α.顯然，它違反了高斯在實(shí)驗中的普遍情況，不遵循高斯預(yù)測［1］.文獻(xiàn)［2－ 5］對初邊值問題(1)～(3)也有所研究，例如，在p ∈C(Ω—)和p ≤0 在Ω 上的條件下，有如下結(jié)論:

1)當(dāng)0 ＜α ＜1 時，如果a ∈H2(Ω)∩(Ω)，方 程 存 在 唯 一 解，u ∈ C(［0，∞);H2(Ω) ∩(Ω)).此外u ∈C(［0，∞);L2(Ω)).

2)當(dāng)1 ＜α ＜2 時，如果a ∈H2(Ω)∩(Ω)，方程存在唯一解，u ∈C(［0，∞);H2(Ω)∩(Ω)∩C1(［0，∞);L2(Ω)).此 外，u ∈C(［0，∞);L2(Ω)).

固定a ∈H2(Ω)∩(Ω)，由u(p，α)= u(p，α)(x，t)表示為式(1)～(3)的解.所給系數(shù)p 的初邊值問題稱為正問題.實(shí)踐中，系數(shù)p 和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階α 經(jīng)常是未知的，必須通過解的可用數(shù)據(jù)來確定.這就是一個系數(shù)反問題.

對于當(dāng)α = 1，2 時的系數(shù)反問題，即雙曲線和拋物線類型的偏微分方程，可利用由Bukhgeim 和Klibanov 創(chuàng)建的方法［6］，其方法是求解偏微分方程反問題的常用方法，其基于Carleman 估計的加權(quán)L2-估計.然而，對于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，αN 并不適合分部積分法的一般步驟，所以對于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(1)，不能直接證明Carleman 估計.當(dāng)α = 1/2，1/3時，在一維的情況下，可以減少偏微分方程(1)中導(dǎo)數(shù)x，t 是自然數(shù)的階數(shù)，建立Carleman 估計.Cheng［7］證明了在一般情況下，當(dāng)α = 1/2 時的Carleman 估計，但是對于一般的α，Carleman 估計的證明仍然是很難的.因此，除α = 1/2 時或其他特殊的α 值以外，即使在一維情況下，系數(shù)反問題都沒有結(jié)果.

本研究的目的是通過數(shù)據(jù)u |w×(0，T)(T ＞0，w?Ω 是恰當(dāng)?shù)淖佑?來證明式(1)中系數(shù)反問題，p(x)，x ∈Ω 和α ∈(0，1)∪(1，2)，的唯一性.所提供的數(shù)據(jù)，u|w×(0，T)不僅能夠確定p(x)，還能確定階數(shù)α.

1 符號與引理

對于任意給的常數(shù)M ＞0，光滑函數(shù)η，有，

引理1 如果A 隨著增長階，‖Cos(s)‖?(x)≤Meθs，s ≥0，生成一個余弦算子函數(shù)Cos，對于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問題，α

t φ(t)= Aφ(t)，t ＞0，φ(0)= a，α∈(0，2)，是適定的，其解算子滿足增長階‖Sα(t)‖?(X)≤Mαeθ2/αt，t ≥0，表達(dá)式為，

這里的內(nèi)核Kα定義是依賴以下的Wright 函數(shù)Φγ，

引理2 α ∈(0，2)，f(t)，t ≥0 是在Banach 空間X 中的函數(shù)且滿足，‖f(t)‖≤Meθt，t ≥0.f 隨著式(8)定義的核Kα轉(zhuǎn)換，定義為，

引理3［9］如果0 ＜α ＜2，β 是任意的常數(shù)，μ是任意的實(shí)數(shù)，滿足則對于任意的p ≥1，有以下展開式，

2 定理與證明

定理1 α，β ∈(0，1)∪(1，2)，假定式(5)、(6)成立，且p，q ∈UM.

1)如果在w ×(0，T)中，u(p，α)= u(q，α)，則在Ω 中，p = q.

2)假設(shè)a ≤0，或者a ≥0，或者a ≠0.如果在w ×(0，T)中，有u(p，α)= u(q，β)，則在Ω 中，有α= β 且p = q.

證明 令w = w(p)是以下方程的解:

由式(5)和p ∈W1，∞(Ω)，可以得到，

由引理1，當(dāng)x ∈Ω 且t ＞0 時得，

和

假設(shè)，

由解t 的解析性［10］，可得，

因此，

對任意的x ∈w，由引理2 得，

由式(13)和p，q ∈W1，∞(Ω)，在Ω 中可以得到p = q.因此定理1 的第一部分得到證明.

假設(shè)在w × (0，T)中，u(p，α)= u(q，β).由解t 的解析性可得，

因 為，p ∈ W1，∞(Ω)， 通 過(Apu)(x) =－△u(x)－ p(x)u(x)和D(Ap)= H2(Ω)∩(Ω)，定義一個算子，Ap∈L2(Ω).設(shè){λk}k∈N和{μk}k∈N是算子Ap和Aq所有特征值的集.注意λk，μk＞0，且從L2(Ω)到 它 自 身 是 有 界 的.則，{φkj}1≤j≤mk和{Ψkj}1≤j≤nk，k ∈N 是Ker(Ap－ λk)和Ker(Aq－ μk)的標(biāo)準(zhǔn)正交基，每一個{φkj}k∈N，1≤j≤mk和{Ψkj}1≤j≤nk在L2(Ω)中都是標(biāo)準(zhǔn)正交基.(·，·)是L2(Ω)中的內(nèi)積.則有，

u(p，α)(x，t)

和，

由式(5)知級數(shù)在C(［0，∞);H2(Ω)∩(Ω))中是收斂的.

由引理3，當(dāng)t →∞時可得，

和，

其中，Γ(1－α)≠0，且－1 ＜1－α ＜1，1－α ≠0.

此外，在Ω 中易得，

和，

由式(14)，當(dāng)t →∞時有，

| (A－1pa)(x)| =| b(x)| ＞0，x ∈Ω.

同理，對于x ∈Ω，有| (A－1qa)(x)| ＞0.固定，和且cp≠0，cq≠0.由式(15)，當(dāng)t →∞時得，

若α ≠β，不失一般性，假設(shè)α ＜β，等式兩邊同乘以tα得，

當(dāng)t →∞時，由tα－β，tα－2β→0 可得cp= 0，矛盾.因此，α = β.由此，定理1 第二部分的證明簡化為第一部分的證明，即定理得證.

3 結(jié) 論

本研究考慮分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程系數(shù)反問題，討論了空間系數(shù)p(x)，x ∈Ω 的反問題并通過數(shù)據(jù)u|ω×(0，T)確定分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α，并證明了p(x)，x∈Ω 和α ∈(0，1)∪(1，2)的唯一性.

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