舒　峰，胡少華，況雨春，董宗正（．北京礦冶研究總院，北京0060；．中石化西北油田分公司特種工程管理中心，新疆輪臺84600；．西南石油大學(xué)機電工程學(xué)院，成都60500）

螺桿鉆具定子襯套收縮變形數(shù)值仿真方法

舒峰1，胡少華2，況雨春3，董宗正3
（1．北京礦冶研究總院，北京100160；2．中石化西北油田分公司特種工程管理中心，新疆輪臺841600；3．西南石油大學(xué)機電工程學(xué)院，成都610500）①

針對螺桿定子襯套熱成型加工中冷卻過程引起的橡膠襯套收縮問題進(jìn)行研究，分析了影響襯套截面收縮變形的關(guān)鍵因素。在傳統(tǒng)的線性收縮模型和自由收縮模型理論的基礎(chǔ)上，提出了一種新的定子襯套收縮變形數(shù)值仿真方法，建立了能夠準(zhǔn)確模擬橡膠襯套收縮變形的仿真模型。采用三坐標(biāo)測量儀獲得的實例測量數(shù)據(jù)對建立的數(shù)值模型進(jìn)行驗證，并與傳統(tǒng)收縮模型的計算結(jié)果進(jìn)行誤差對比分析。結(jié)果表明：建立的定子襯套收縮變形仿真模型計算得到的襯套廓線與實測廓線吻合情況較好，其誤差大幅降低，具有良好的應(yīng)用效果。

螺桿鉆具；定子襯套；變形；數(shù)值分析

螺桿鉆具是目前廣泛使用的一種井下動力鉆具，其核心部件馬達(dá)主要由一對嚙合的定子和轉(zhuǎn)子組成［1］。螺桿定子是由鋼制定子管與橡膠內(nèi)襯套粘接而成，其內(nèi)襯套一般采用丁晴橡膠作為材料，通過熱成型的方法加工［2-3］。在此過程中，定子由注膠和硫化高溫冷卻到常溫必然會引起其橡膠襯套發(fā)生收縮變形［4-8］，而定子襯套截面線型的變化將導(dǎo)致馬達(dá)定轉(zhuǎn)子之間的嚙合關(guān)系的變化，從而影響螺桿鉆具的工作性能［9-17］。

目前對于冷卻過程引起橡膠襯套收縮變形的分析模型多采用線性收縮模型，該模型對于規(guī)則截面形狀的橡膠制品具有較好的適用性，但對于如圖1所示非規(guī)則截面形狀的橡膠襯套，其計算誤差較大［18］。

本文提出了一種新的定子橡膠襯套收縮仿真方法，并通過三坐標(biāo)測量儀獲得的測量數(shù)據(jù)對建立的數(shù)值模型進(jìn)行驗證分析，為定子襯套的線型設(shè)計、修正和優(yōu)化奠定了理論基礎(chǔ)。

1　定子襯套收縮變形影響因素分析

1．1 幾何模型

定子襯套截面廓線目前多采用擺線線型［19-21］，以應(yīng)用最廣泛的普通內(nèi)擺線線型為例，建立平面幾何模型如圖1所示。由于多頭定子襯套截面廓線的對稱性，受溫度影響時其收縮變形規(guī)律曲線也具有對稱性，因此僅取其對稱元素作為研究對象，如圖2所示。

圖1　定子襯套完整截面

圖2　對稱部分截面

1．2 影響因素分析

由于橡膠襯套結(jié)構(gòu)和材料的復(fù)雜性，其熱成型加工中的冷卻過程引起的襯套截面變形受多方面因素影響。從襯套結(jié)構(gòu)的角度考慮，非規(guī)則截面形狀、襯套與定子管通過粘接劑膠接將對其收縮方向產(chǎn)生影響；從襯套材料和加工工藝的角度考慮，橡膠材料收縮率近似線性但非線性、硫化過程引起的殘余應(yīng)力和彈性恢復(fù)、注膠壓力不穩(wěn)定等都將引起襯套截面變形的無規(guī)律性［22］。

鑒于影響程度不同，認(rèn)為非規(guī)則截面形狀及襯套受粘接作用對其收縮方向的影響為關(guān)鍵影響因素。忽略加工工藝的影響，假設(shè)橡膠材料均質(zhì)，各向同性，同時在該溫度范圍內(nèi)橡膠材料受溫度影響呈線性變化，本文僅從結(jié)構(gòu)的角度對定子襯套的收縮變形進(jìn)行分析。

不同于規(guī)則形狀的帶金屬嵌件的橡膠制品有確定的收縮方向，如圖2所示的非規(guī)則截面形狀橡膠襯套不同相角對應(yīng)的厚度不同，除了靠近定子管壁的橡膠層受膠接影響產(chǎn)生受迫變形，離定子管壁相對較遠(yuǎn)的橡膠層具有自由收縮的趨勢。而傳統(tǒng)的線性收縮模型（如圖3所示）忽略了定子襯套非規(guī)則截面形狀所引起的橡膠層自由收縮影響，僅考慮為沿其截面的徑向方向收縮變形。文獻(xiàn)［23-24］中針對自由收縮狀態(tài)下非規(guī)則截面形狀的零件受溫度影響產(chǎn)生的變形進(jìn)行了比對研究，確定了一種有效的收縮應(yīng)用模型，認(rèn)為非規(guī)則截面上每個點都沿法向收縮，以其內(nèi)切圓圓心作為收縮中心。如圖4所示，橡膠襯套自由收縮的方向沿定子內(nèi)廓線的法線方向。

圖3　傳統(tǒng)的線性收縮模型

圖4　本文提出的收縮模型

橡膠襯套與定子管粘接將引起襯套收縮方向的改變，橡膠襯套的變形不完全是自由收縮過程，靠近定子管壁的橡膠層受膠接影響形成受迫變形，橡膠襯套有向定子管壁收縮的趨勢，此時其收縮方向沿定子管截面的徑向，如圖4所示的方向。

2　定子襯套收縮仿真方法

針對影響橡膠襯套變形的關(guān)鍵因素，綜合考慮襯套與定子管壁粘接和非規(guī)則截面形狀對于其收縮方向的影響，在傳統(tǒng)的線性收縮模型和自由收縮模型理論的基礎(chǔ)上，建立一種能夠準(zhǔn)確模擬螺桿定子橡膠襯套收縮變形的仿真模型。

2．1 建立數(shù)值仿真模型

定子襯套廓線多以一組離散點的形式而非確定的方程來表達(dá)的，使用解析法比較困難。本文采用數(shù)值算法，通過循環(huán)迭代，計算每一廓形離散點徑向和法向的綜合收縮量，逐點得到收縮變形后的襯套截面廓線［25-26］。該方法具有數(shù)學(xué)原理簡單，易于編程實現(xiàn)的特點。

如圖4所示，定子襯套廓形點A沿A-O-B路徑收縮，點O為定子襯套廓線與定子管截面圓弧在離散點A處對應(yīng)的內(nèi)切圓圓心。即定子襯套廓形點沿法向向其內(nèi)切圓圓心收縮，而對應(yīng)該廓形點的內(nèi)切圓圓心沿定子管徑向收縮，廓線離散點法向收縮量與徑向收縮量的向量和為襯套廓形點的總收縮量。

廓線離散點A與內(nèi)切圓圓心O、圓弧切點B均是一一對應(yīng)的關(guān)系。假設(shè)橡膠收縮率為μ，向量A→O的方向為離散點處的法線方向，則沿法線方向的收縮量用向量表示：

如圖5所示，定子襯套廓形點的收縮量可用向量和表示為：

圖5　定子襯套廓形點收縮向量

此時P點坐標(biāo)即為廓形點A經(jīng)收縮變形后的位置坐標(biāo)。通過逐點迭代循環(huán)，對所有的廓形離散點數(shù)組A＝［A1，A2，…，An］進(jìn)行上述仿真計算，將得到所有廓形點收縮變化后的位置坐標(biāo)數(shù)組P＝［P1，P2，…，Pn］，由此得到經(jīng)收縮仿真計算后的橡膠襯套廓線。

2．2 計算內(nèi)切圓圓心

按上述方法建立收縮仿真模型的關(guān)鍵是確定每一廓形離散點對應(yīng)的收縮中心（內(nèi)切圓圓心）。由于定子廓線是以離散點的形式而非確定的方程來表達(dá)的，仍采用數(shù)值法通過循環(huán)迭代計算各廓形點對應(yīng)的內(nèi)切圓圓心。

仿真策略如下：對于定子截面廓線上的任一離散點A，沿其法線方向進(jìn)行迭代，假設(shè)第一次迭代至O′點，通過循環(huán)搜索點O到定子管內(nèi)壁圓弧段的最小距離點B′，則直線O′B′為圓弧段上的點B的近似法線，圓弧段離散點越密集，越接近其真實法線。然后判斷是否有線段，若不滿足則繼續(xù)下一次迭代至O″的計算，假設(shè)點A迭代至點O時剛好滿足，則停止迭代，此時有或近似有O點即為所求點A的內(nèi)切圓圓心。迭代步長越小精度越高，則值越接近，但計算效率會降低。迭代示意圖如圖6所示。

圖6　計算內(nèi)切圓圓心迭代示意

根據(jù)上述仿真策略在MATLAB環(huán)境下編制程序，計算得襯套廓形離散點對應(yīng)的內(nèi)切圓圓心如圖7所示。為了將計算結(jié)果直觀清晰地顯示出來，僅繪制了部分廓形點對應(yīng)的內(nèi)切圓及其圓心。

圖7　部分廓形點對應(yīng)的內(nèi)切圓及圓心

3　仿真模型的誤差分析

測量定子襯套收縮前和收縮后的截面廓形，應(yīng)用本文建立的仿真模型對收縮前的測量廓形進(jìn)行計算，將仿真計算結(jié)果與收縮后的測量廓形對比分析，評估該仿真模型的誤差情況。

3．1 定子襯套的測量數(shù)據(jù)提取

螺桿截面廓形的測量一般使用三坐標(biāo)測量儀，應(yīng)用某公司的三坐標(biāo)測量儀對該公司的?172型號螺桿鉆具的定子襯套和芯軸截面廓形進(jìn)行測量，測量數(shù)據(jù)分為兩組，其中定子襯套截面測量數(shù)據(jù)即為冷卻收縮后處于常溫時的廓形數(shù)據(jù)。由于定子襯套是通過芯軸脫模而成的，忽略溫度對鋼制芯軸的影響，可認(rèn)為芯軸的截面測量數(shù)據(jù)即為襯套冷卻收縮之前的廓形數(shù)據(jù)。分別將定子襯套和芯軸的測量數(shù)據(jù)在MATLAB軟件中繪圖，如圖8～9所示。

圖8　芯軸測量數(shù)據(jù)

圖9　定子襯套測量數(shù)據(jù)

圖8～9中測量廓形數(shù)據(jù)不完整，其原因是螺桿面向測量臺面的部分操作不便造成的，但并不影響，計算和分析只需取其對稱元素即可。

三坐標(biāo)測量儀輸出的螺桿廓形的位置是隨機的，需要對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整處理，使其中心與坐標(biāo)原點重合，并旋轉(zhuǎn)圖形數(shù)據(jù)使其對稱線與坐標(biāo)軸重合，盡可能消除二者對比分析時的位置誤差。利用MATLAB編制程序?qū)山M測量數(shù)據(jù)進(jìn)行上述處理后，取其廓形的對稱元素，輸出二者的對比如圖10所示，可看出定子橡膠襯套冷卻收縮前后的廓形變化。

圖10　橡膠襯套收縮前后的廓形對比

3．2 實測定子廓形的仿真計算及誤差分析

對收縮前的襯套測量廓形應(yīng)用本文建立的收縮仿真模型計算，將計算得到的襯套廓形與收縮后的襯套測量廓形對比如圖11所示。

圖11　仿真與實測廓形對比

計算圖11中仿真廓線與測量廓線的誤差時，應(yīng)計算二者的法向誤差而非徑向誤差。對于基準(zhǔn)廓線上的某一離散點，采用數(shù)值方法計算該點對應(yīng)的法向誤差時，較簡捷的策略是以該點到被對比廓線的最小距離作為二者的近似法向誤差。可采用樣條插值的方法增大被對比廓線的離散點密度，提高計算精度。

采用上述策略計算仿真廓形與實測廓形的法向誤差，得到誤差分布曲線如圖12中實線所示，圖中橫坐標(biāo)為定子襯套廓線離散點序號，同時也是廓線離散點對應(yīng)的相角，縱坐標(biāo)為對應(yīng)的法向誤差。最大誤差分布在曲率變化劇烈的擺線與圓弧交界點附近，最大誤差值為0．065mm，根據(jù)該位置襯套廓線離散點的實際總收縮量，計算得相對誤差為7．5%，相對于目前國內(nèi)的加工精度而言，該誤差在允許的范圍內(nèi)。

3．3 兩種收縮模型的誤差對比

對收縮前的襯套測量廓形應(yīng)用圖3所示傳統(tǒng)的線性收縮模型計算，將得到的襯套仿真廓形與收縮后的測量廓形對比，計算二者的法向誤差，其誤差分布曲線如圖12中虛線所示，最大誤差達(dá)到0．193mm，仍分布在構(gòu)成螺桿廓線的擺線與圓弧交界點附近。

圖12　仿真廓形的誤差分布曲線

對比二者的誤差曲線發(fā)現(xiàn)，相對于傳統(tǒng)的線性收縮模型，采用本文建立的仿真模型計算得到的襯套廓線與實測廓線吻合情況較好，其誤差大幅降低。

4　結(jié)論

1） 分析了影響定子橡膠襯套收縮變形的關(guān)鍵因素，在傳統(tǒng)的線性收縮模型和自由收縮模型理論的基礎(chǔ)上，建立了定子襯套收縮的數(shù)值仿真模型，并確定了一種計算非規(guī)則截面內(nèi)切圓圓心的數(shù)值方法。

2） 通過應(yīng)用實例中將測量廓形與仿真廓形進(jìn)行對比分析，得到了仿真模型誤差分布曲線，其最大相對誤差為7．5%，與實際的襯套收縮變形情況吻合較好。

3） 通過與傳統(tǒng)收縮模型的計算結(jié)果進(jìn)行誤差對比表明，采用本文建立的仿真模型計算得到的定子襯套內(nèi)廓線誤差大幅降低，具有較好的應(yīng)用效果。

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A Numerical Simulation Method for Shrinkage of Screw Stator Bushing

SHU Feng1，HU Shaohua2，KUANG Yuchun3，DONG Zongzheng3
（1．Beijing General Research Institute of Mining，Beijing 100160，China；
2．Special Project Management Center，Northwest Constituent Company of Sinopec，Luntai 841600，China；3．College of Mechatronic Engineering，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China）

Aiming at the problem of rubber bushing’s shrinkage which caused by cooling process in thermoforming of screw stator bushing，through the analysis of the key factors affecting the bush-ing section’s shrinkage，based on the theory of traditional linear shrinkagemodel and free shrink-agemodel，this paper presents a new numerical simulationmethod，and establish the simulationmodel that can accurately simulate the shrinkage deformation of rubber bushing，then verify the numericalmodel bymeasurement data that are obtained by CMM．Compared with the convention-al shrinkagemodel，the results that computed by the simulationmodel established in this paper aremuch better agreement with the actual situation，it’s indicated that the error is greatly re-duced，thus it has good application effect．

screw drill tool；stator bushing；deformation；numerical simulation

TE921．202

A

10．3969／j．issn．1001-3842．2015．08．004

1001－3482（2015）08－0016－05

①2015－01－20

國家自然科學(xué)基金項目資助（51174273）

舒 峰（1987-），男，湖北黃岡人，工程師，碩士，2013年畢業(yè)于西南石油大學(xué)機械制造及其自動化專業(yè)，研究方向為井下工具及鉆頭，計算機仿真等，Email：shufeng＠bgrimm．com。