（天津科技大學(xué)電子信息與自動化學(xué)院，天津 300222）

（天津科技大學(xué)電子信息與自動化學(xué)院，天津 300222）

討論一種基于敏感傳遞函數(shù)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的參數(shù)整定方法.根據(jù)敏感傳遞函數(shù)的定義，采用代數(shù)方法，對固定的PIλ控制器的積分階次，在比例增益和積分增益參數(shù)平面上，按敏感傳遞函數(shù)的界進(jìn)行PIλ控制器的參數(shù)整定.該敏感傳遞函數(shù)的界與系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度直接相關(guān)，給出了系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的信息.仿真實例表明，利用該方法設(shè)計的PIλ控制器具有良好的動態(tài)性能和魯棒性.

分?jǐn)?shù)階PIλ控制器；敏感傳遞函數(shù)；參數(shù)整定

分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的相關(guān)研究近年來受到廣泛的關(guān)注［1-2］，特別是分?jǐn)?shù)階PID控制器的研究［3-5］具有明顯的工程實際意義.眾所周知，常規(guī)（整數(shù)階）PID控制器在工業(yè)過程控制領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用.采用分?jǐn)?shù)階PID控制器，由于增加了設(shè)計的自由度，可以取得比整數(shù)階PID更好的動態(tài)性能和對參數(shù)變化的魯棒性.幅值裕度和相角裕度作為相對穩(wěn)定性的度量，在經(jīng)典控制理論中已進(jìn)行了大量的討論.相角裕度與時域動態(tài)性能（超調(diào)量）直接相關(guān)，而幅值裕度則反映系統(tǒng)對參數(shù)變化的魯棒性.

本文討論基于敏感傳遞函數(shù)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的參數(shù)整定方法.該敏感傳遞函數(shù)的界給出了幅值裕度和相角裕度的信息.通過一種代數(shù)方法求解PIλ控制器的參數(shù)，并用仿真實例進(jìn)行驗證.

1 敏感傳遞函數(shù)

考慮圖 1所示SISO單位反饋系統(tǒng)，其中 G（s）為被控對象，C （s）為控制器，R （s）為參考輸入，Y（s）為輸出，E （s）為跟蹤誤差.敏感傳遞函數(shù) S（s）定義為

它代表系統(tǒng)對參考輸入信號的跟蹤精度.考慮頻率特性 （j）Sω的最大值

其物理意義是，開環(huán) Nyquist曲線到系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點（-1，j0）的最短距離的倒數(shù)，典型取值范圍為（1，2）［6］.進(jìn)一步，文獻(xiàn)［7］將式（2）的極大化問題轉(zhuǎn)換為在整個頻率范圍內(nèi)對敏感傳遞函數(shù)進(jìn)行約束

圖1 單位反饋系統(tǒng)Fig. 1 Unity feedback system

式中 1M＞ .根據(jù)這一條件，當(dāng)M→∞時，式（3）成為閉環(huán)特征方程

事實上，式（3）的敏感傳遞函數(shù)不等式約束與系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度直接相關(guān)［7］：

式中 1K≥ 為系統(tǒng)的開環(huán)增益.因此，式（3）不等式是對系統(tǒng)魯棒性的一種比幅值裕度和相角裕度更強(qiáng)的度量，因為它不只是在 2個穿越頻率（相角穿越頻率和幅值穿越頻率）處對敏感傳遞函數(shù)進(jìn)行界定，而是在所有頻率處對其進(jìn)行約束.

2 控制器參數(shù)整定

設(shè)圖1中被控對象的傳遞函數(shù)為?

式中：D （s）和 N（s）為整數(shù)階或分?jǐn)?shù)階多項式；L ≥0為時滯因子.控制器為如下分?jǐn)?shù)階PIλ形式

式中：pk和ik分別為比例增益和積分增益；0 2λ＜ ＜為積分階次.為設(shè)計方便，對式（8）的控制器進(jìn)行如下變換

代入式（10），有

由式（3）可得

定義函數(shù)

.再由式（11），f1（ω）可寫為

其中

式（13）定義了一個極值問題，當(dāng)在某一頻率下，等號成立時，1（）fω達(dá)到極小值.由極值條件可得

其中

聯(lián)立求解方程組

消去2x后，得到

其中

將式（15）代入式（13）中的 f1（ω）= 0，整理得關(guān)于參數(shù)y的6次方程

其中

可按如下方法求解參數(shù)對（x，y）：在適當(dāng)選取的頻率ω下，解關(guān)于y的6次方程（16），得出6個解，分別代入式（15），得相應(yīng)的x.然后，根據(jù)參數(shù)變換公式kp= x，ki= xy解得參數(shù)對 （kp，ki）.所需要的解應(yīng)該是落在參數(shù)穩(wěn)定域（令M→∞可得）內(nèi)的實數(shù)解.對適當(dāng)選取的頻率范圍，參數(shù)對（kp（ω） ，ki（ω））在穩(wěn)定域內(nèi)描繪出一條滿足敏感傳遞函數(shù)界 M＞1的曲線.

3 仿真實例

考慮單容水箱傳遞函數(shù)［9］

在圖 1所示控制系統(tǒng)中，采用式（8）給定的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，文獻(xiàn)［8］討論了PIλ控制器分?jǐn)?shù)階次λ與（kp，ki）平面上參數(shù)穩(wěn)定域的面積大小之間的關(guān)系，結(jié)論是λ越小，穩(wěn)定域面積越大.選取 λ= 0.2，根據(jù)前兩節(jié)的討論，選取足夠大的M值，可得（kp，ki）平面上的參數(shù)穩(wěn)定域，如圖2中的虛線所示.再分別取 M=8和 M= 1.46，落在穩(wěn)定域內(nèi)的實數(shù)解描繪出的曲線分別如圖 2中兩條實線所示.根據(jù)式（5）和式（6），M = 1.46對應(yīng)的相角裕度約為 40°，幅值裕度約為11，dB.沿 M= 1.46的曲線取點A（見圖3），再在曲線內(nèi)部取點 B，分別作階躍響應(yīng)，如圖 4所示.由于B點對應(yīng)的相角裕度大，相應(yīng)的階躍響應(yīng)的超調(diào)小.另外，由于控制器的積分階次較?。?λ= 0.2），階躍響應(yīng)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用其他方法進(jìn)行補(bǔ)償.

圖2 不同M對應(yīng)的敏感約束Fig. 2 Sensitivity constraint for different M

圖3 M=1.46對應(yīng)的敏感約束Fig. 3 Sensitivity constraint for M=1.46

圖4 A、B 兩點對應(yīng)的階躍響應(yīng)Fig. 4 Step responses corresponding to A and B

4 結(jié) 語

本文給出了一種分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的圖解參數(shù)整定方法，即基于敏感傳遞函數(shù)界的參數(shù)整定方法.該方法的特點是控制器的參數(shù)選擇靈活，所設(shè)計的控制器能同時滿足相角裕度和幅值裕度的要求，可以直接應(yīng)用于過程控制領(lǐng)域.

［1］ Podlubny I. Fractional Differential Equations［M］. San Diego：Academic Press，1999.

［2］ 薛定宇，趙春娜. 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階 PID控制器設(shè)計［J］. 控制理論與應(yīng)用，2007，24（5）：771-776.

［3］ Podlubny I. Fractional-order systems and PIDλμcontrollers［J］. IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44（1）：208-214.

［4］ Hamamci S E. An algorithm for stabilization of fractional order time-delay systems using fractional order PID controllers［J］. IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52（10）：1964-1969.

［5］ Lou Y，Chen Y Q，Wang C Y，et al. Tuning fractional order proportional integral controllers for fractional order systems［J］. Journal of Process Control，2010，20（7）：823-832.

［6］ Astrom K J，Panagopoulas H，Hagglund T. Design of PI controllers based on non-convex optimization［J］. Automatica，1998，34（5）：585-601.

［7］ Yaniv O，Nagurka M. Design of PID controllers satisfying gain margin and sensitivity constraints on a set of plants［J］. Automatica，2004，40（1）：111-116.

［8］ Wang D，Zhang J. A graphical tuning of PIλcontrollers for fractional order systems［J］. Journal of Control Theory and Applications，2011，9（4）：599-603.

［9］ 蔡國娟. 液位控制系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器設(shè)計及實驗［D］. 天津：天津科技大學(xué)，2012.

基于敏感傳遞函數(shù)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的參數(shù)整定

楊征穎，王德進(jìn)，史萬祺

Parameter Tuning of Fractional-order PIλControllers Based on Sensitivity Constraint

YANG Zhengying，WANG Dejin，SHI Wanqi
（College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China）

This paper discusses the parameter tuning method of fractional-order PIλcontrollers based on sensitivity transfer function constraint.According to the definition of sensitivity transfer function，in the plane of proportional-integral gains of PIλcontroller，for fixed integral-order，the parameters of the controller are tuned by plotting the sensitivity bound obtained via an algebraic derivation. The bound of sensitivity transfer function is directly related to the gain-margin and the phase-margin of the system，which gives the information on the relative stability of the system. Simulation examplesprove that the designed PIλcontroller can achieve better dynamic performances and robustness.

fractional-order PIλcontrollers；sensitivity transfer functions；parameter tuning

TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1672-6510（2015）02-0057-03

10.13364/j.issn.1672-6510.20140106

2014-07-11；

2014-09-17

國家自然科學(xué)基金資助項目（60874028）

楊征穎（1988—），女，河北廊坊人，碩士研究生；通信作者：王德進(jìn)，教授，wdejin56@sina.com.

常濤