熊 義，魏建華，馮瑞琳，張 強(qiáng)

（浙江大學(xué) 流體傳動及機(jī)電系統(tǒng)國家重點實驗室，浙江 杭州310027）

目前，對于二／多軸電液系統(tǒng)的運動控制研究多為平行軸的同步控制，應(yīng)用于液壓機(jī)、液壓舉升裝置等領(lǐng)域［1-4］，鮮有研究涉及更為復(fù)雜的電液軸空間軌跡運動控制.

強(qiáng)力旋壓機(jī)是二軸電液系統(tǒng)空間運動控制的典型應(yīng)用場合，多屬于數(shù)控機(jī)床，對加工精度要求較高，在國防軍工方面發(fā)揮著重要作用［5-7］.因此，設(shè)計優(yōu)良的二軸電液系統(tǒng)輪廓運動控制器對于提升強(qiáng)力旋壓機(jī)的加工性能有著現(xiàn)實意義.

多軸運動輪廓控制一直是數(shù)控機(jī)床研究中的熱點領(lǐng)域，發(fā)展大致經(jīng)歷單軸無耦合，多軸簡單耦合和基于輪廓誤差估算模型的任務(wù)坐標(biāo)系3 個階段［8-11］.Yao等［12-14］提出了輪廓誤差的精確估算模型，并基于此構(gòu)建了正交全局任務(wù)坐標(biāo)系，然后直接針對該坐標(biāo)系中的輪廓誤差與跟蹤誤差設(shè)計了二軸直線電機(jī)系統(tǒng)的自適應(yīng)魯棒輪廓運動控制器，獲得了理想的控制效果.

一方面，全局任務(wù)坐標(biāo)系能夠精確計算輪廓誤差；另一方面自適應(yīng)魯棒控制器可以有效地應(yīng)對電液系統(tǒng)中存在的各種非線性、參數(shù)不確定性和不確定非線性［15-16］.基于以上考慮，本文將把基于全局任務(wù)坐標(biāo)系的自適應(yīng)魯棒控制方法擴(kuò)展應(yīng)用于具有更高階系統(tǒng)動力學(xué)的電液系統(tǒng)，并通過實驗驗證所設(shè)計控制器的輪廓控制性能.

1 正交全局任務(wù)坐標(biāo)系

如圖1所示，在笛卡爾坐標(biāo)空間中存在期望曲線

Pc0是期望曲線的起點.假設(shè)空間存在一點Po1（可以在空間任意位置），點Po1沿穿過其的期望曲線法線投影到期望曲線上的位置為點Pc1.Pc1是期望輪廓曲線上與Po1之間距離最近的點，它們之間的距離rc1即為Po1相對于期望曲線的輪廓誤差，而rm1則是Po1沿期望曲線相對于起始點Pc0的曲線長度，形象地反映了Po1的“跟蹤路程”.在Pc1處分別沿外法線方向與曲線前進(jìn)的切線方向定義單位矢量Irc1和Irm1.這是一對正交的單位矢量，并且在期望曲線上的每一點都能定義這樣的一對正交矢量，于是可以用這對矢量作為基沿著期望曲線構(gòu)造一個正交的曲線坐標(biāo)系.原來笛卡爾坐標(biāo)系中的任意一個空間點在新的曲線坐標(biāo)系中的坐標(biāo)均可以用輪廓誤差與跟蹤路程來表示，如Po1的坐標(biāo)為（rc1Irc1，rm1Irm1）.該曲線坐標(biāo)系只與期望曲線的形狀有關(guān)，其坐標(biāo)反映了輪廓任務(wù)與跟蹤任務(wù)，它在軸系對期望輪廓曲線的跟蹤過程中是時變的，并且把原來的笛卡爾坐標(biāo)耦合在一起.

圖1 正交全局任務(wù)坐標(biāo)Fig.1 Orthogonal global task coordinate

把期望輪廓曲線用變量ζ∈R 參數(shù)化表示

式中：xζ（ζ），yζ（ζ）是2個關(guān)于ζ的已知函數(shù)，

其中xζ（ζ）存在反函數(shù)

于是從輪廓起始點qζ（0）沿輪廓曲線運動到qζ（ζ）的路程為

式中：x′ζ＝?x／?ζ；y′ζ＝?y／?ζ.

正交全局任務(wù)坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)表示為

式中：fx＝?f／?x，fy＝?f／?y，

rc（x，y）即為輪廓誤差的計算模型.對于正交全局任務(wù)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)表達(dá)式（6）的詳細(xì)推導(dǎo)過程可參見文獻(xiàn)［14］.

以圓形作為期望軌跡，其笛卡爾坐標(biāo)系表達(dá)式為

將其參數(shù)化表示為

由式（6）可計算得

式中：arctan2（y，x）為反正切函數(shù)，其值域為［0，2π］.如圖2所示是圓形期望輪廓的全局任務(wù)坐標(biāo).

圖2 圓形期望輪廓的全局任務(wù)坐標(biāo)Fig.2 Global task coordinates for circular desired contour

2 二軸電液系統(tǒng)動力學(xué)模型

本文所研究的二軸電液系統(tǒng)如圖3所示，系統(tǒng)配置有3個液壓缸：縱向缸與負(fù)載缸豎直放置，相對安裝于質(zhì)量塊mv兩側(cè)，活塞桿均與質(zhì)量塊剛性連接；橫向缸安裝于質(zhì)量塊上，隨質(zhì)量塊一起縱向運動.其中縱向缸與橫向缸受高頻響閥控制，為驅(qū)動缸；負(fù)載缸的無桿腔受溢流閥與減壓閥控制，提供負(fù)載力.

文中用下標(biāo)·h與·v分別表示·為橫向與縱向缸的參數(shù)或變量.系統(tǒng)力平衡方程為

式中：mh、mv分別為橫、縱向缸驅(qū)動負(fù)載質(zhì)量.xh、xv分別為橫、縱向缸位移.ph1、ph2分別為橫向缸兩腔壓強(qiáng).Ah1、Ah2分別為橫向缸兩腔作用面積.pv1、pv2分別為縱向缸兩腔壓強(qiáng).Av1、Av2分別為縱向缸兩腔作用面積.kfch、kfcv分別為橫、縱向建模庫倫摩擦力系數(shù).bh、bv分別為橫、縱向建模黏滯阻尼系數(shù).g 為重力加速度.pc為負(fù)載缸無桿腔壓強(qiáng).Ac為負(fù)載缸無桿腔作用面積.dh、dv分別為橫、縱向不確定干擾力.

橫、縱向缸的兩腔壓強(qiáng)動態(tài)模型為

式中：β為液壓油體積彈性模量.Cli為橫、縱向缸內(nèi)泄漏系數(shù).Li為橫、縱向缸行程.Vi01，Vi02為橫、縱向缸兩腔死容積.qVi1，qVi2為高頻響閥至橫、縱向缸兩腔流量.

高頻響閥 流量qVi1，qVi2的 映射表 達(dá)式為

式中：kq為高頻響閥綜合流量系數(shù)，ui為橫、縱向高頻響閥控制電信號，ps為油源壓強(qiáng).

綜合式（10）、（11）與（12），橫向缸與縱向缸在笛卡爾空間的動力學(xué)模型為

以上2個等式分別為系統(tǒng)的運動動力學(xué)模型與驅(qū)動力的動態(tài)模型.式中：q＝［xh，xv］T.Δ＝［dht／mh，dvt／mv］T.θ，H 分別為不確定參數(shù)矢量和矩陣，

F＝［Fh，F(xiàn)v］T＝［ph1Ah1-ph2Ah2，pv1Av1-pv2Av2］T，是橫、縱向缸的驅(qū)動力矢量.用E 表示2×2單位矩陣，β＝βE，Kq＝kqE.u＝［uh，uv］T.P＝［ph1-ph2，pv1-pv2］T.di＝dis＋dit（i＝h，v），dis和dit分別為di的慢時變分量與快時變分量.A、B、C和Cl均為2×2矩陣，表達(dá)式分別為

式中：

顯然，A、B、C 和Cl都是對角正定矩陣.

令r＝［rc，rm］T表示q的曲線坐標(biāo)，有

雅克比矩陣J＝［Irc，Irm］T，Irc與Irm用式（6）計算.動力學(xué)模型（13）中的運動部分在正交全局任務(wù)坐標(biāo)系內(nèi)的表達(dá)式為

除θ 與H 外，β，Cli也作為不確定參數(shù)處理.下文中·i表示矢量·的第i個分量，·imax與·imin分別指·i的最大值與最小值.

假設(shè)1：系統(tǒng)中的不確定參數(shù)及不確定非線性的邊界是確定的，滿足

3 控制器設(shè)計

1.1 參數(shù)自適應(yīng)律

式中：χ代表各參數(shù)的自適應(yīng)函數(shù).自適應(yīng)律（20）滿足［14］

式中：Γ 為自適應(yīng)速率，為正實數(shù).

1.2 輪廓運動控制器設(shè)計

在任務(wù)空間內(nèi)規(guī)劃的期望軌跡的曲線坐標(biāo)為rd＝［rcd，rmd］T，rcd為輪廓誤差的期望，所以rcd≡0.機(jī)床的進(jìn)給速度多為恒速，所以令rmd＝fmdt，fmd是一個常數(shù)，t為時間.

定義任務(wù)空間內(nèi)的誤差矢量為er＝r-rd＝［ec，em］T，其滑模切換面為s＝＋Kc1er.Kc1是一個正定的對角反饋增益矩陣，Kc1＝diag｛［kc1r，kc1m］T｝.下文中若·表示矢量，diag｛·｝表示以矢量·的分量依次作為對角元素構(gòu)造對角矩陣的數(shù)學(xué)運算；若·表示對角矩陣，diag｛·｝表示以矩陣·的對角元素依次作為分量構(gòu)造矢量的數(shù)學(xué)運算.

引理1：一個n×n 的對角矩陣G 與一個n×1的矢量v滿足

定義半正定Lyapunov函數(shù)

式中：Wr＝diag｛［wrc，wrm］T｝，是一個對角正定常數(shù)矩陣.式（23）的時間導(dǎo)數(shù)為構(gòu)造非線性控制函數(shù)矢量Fr＝［Frh，F(xiàn)rv］T和自適應(yīng)調(diào)整函數(shù)τθ1、τh1為

式中：控制函數(shù)矢量Fr為系統(tǒng)驅(qū)動力矢量F 的期望.Fra為其中的自適應(yīng)模型補(bǔ)償項，對建模庫倫摩擦力和建模黏滯阻力等進(jìn)行補(bǔ)償，同時自適應(yīng)機(jī)制在線修正其中的不確定參數(shù)以實現(xiàn)精確補(bǔ)償.Frs為魯棒控制項，包含F(xiàn)rs1與Frs22部分.Frs1為名義鎮(zhèn)定部分，包含了任務(wù)誤差矢量er的比例反饋與微分反饋.Kc2＝Kc2c＋Kc2s，是Frs1中對角正定的反饋控制增益矩陣.Kc2c＝diag｛［kc2r，kc2m］T｝，是對角正定常數(shù)矩陣.Kc2s則滿足

式中：σmin（·）與σmax（·）分別為求矩陣·的最小與最大特征值.σmax｜·｜是求矩陣·特征值絕對值的最大值（譜半徑）.Frs2的作用是應(yīng)對系統(tǒng)中的建模偏差與不確定非線性，是光滑的函數(shù)矢量，滿足

式中：εr為正的控制器設(shè)計參數(shù)，表征了er收斂域的邊 界.Frs2可 以 以s 的 非 線 性 反 饋 實 現(xiàn)［14］.h＝diag｛H｝.令F 與Fr的偏差為eF＝F-Fr，將式（25）代入式（24）得

式（28）中等號右邊的第1項是耗散的，第2項是有界或耗散的，若要˙Vr是有界或耗散的，eF必須是收斂的.接下來綜合系統(tǒng)的實際控制輸入實現(xiàn)eF的收斂.

定義半正定Lyapunov函數(shù)

式中：WF＝diag｛［wFh，wFv］T｝，是一個對角正定常數(shù)矩陣.式（29）的時間導(dǎo)數(shù)為

設(shè)計系統(tǒng)的實際控制輸入u，以及自適應(yīng)調(diào)整函數(shù)τθ2，τh2，τβ和τcl為

與Fr類似，控制函數(shù)矢量u 也包含模型補(bǔ)償項ua與魯棒控制項us.ua在自適應(yīng)機(jī)制的作用下精確補(bǔ)償了液壓缸容腔在運動中因體積變化、泄漏和壓強(qiáng)動態(tài)變化而產(chǎn)生的流量.us中的us1為名義鎮(zhèn)定項，包括控制力偏差和任務(wù)誤差滑模的比例反饋.其中Kc3＝Kc3c＋Kc3s，為反饋控制增益，為對角正定矩陣.Kc3c＝diag｛［kc3h，kc3v］T｝，為對角正定常數(shù)矩陣.Kc3s滿足

us2控制了˙Fr中的不確定非線性，為光滑的函數(shù)矢量，滿足

式中：εF為正的控制器設(shè)計參數(shù)，表征eF收斂域的邊界.us2可以是eF的非線性反饋.cl＝diag｛Cl｝.將式（32）代入式（30）得到

系統(tǒng)的自適應(yīng)律為

式中：Γθ、Γh、Γcl分別為8×8，2×2和2×2對角正定的自適應(yīng)速率矩陣.γβ為的自適應(yīng)速率，為正值.自適應(yīng)函數(shù)τθ＝τθ1＋τθ2，τh＝τh1＋τh2.如圖4所示為控制器的原理框圖.

定理：對于二軸電液系統(tǒng)（13），在假設(shè)1成立的前提下，控制輸入用式（32）綜合并且采用自適應(yīng)律（36），可以得到如下結(jié)果：

1）系統(tǒng)的全局Lyapunov函數(shù)V＝Vr＋VF是指數(shù)收斂的，輪廓誤差將會被控制在一個確定的范圍內(nèi).

圖4 控制器原理框圖Fig.4 Principle diagram of controller

2）如果不存在瞬變的不確定非線性，即Δ＝0，系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對輪廓誤差的漸進(jìn)控制，即當(dāng)t→∞，rc→0.

證明：將式（28）、（35）代入˙V，并考慮式（27）、（34），可以得到

根據(jù)式（26）、（33），可推出

式中：λ＝2min｛σmin（Kc2c），σmin（Kc3c）｝，

ε＝σmax（Wr）εr＋σmax（WF）εF.

式（37）中的矩陣均為正定矩陣，所以λ 與ε 均為正數(shù).利用比較定理可推知

V 將會指數(shù)收斂于ε／λ 表征的邊界范圍內(nèi)，亦即s，er與eF是有界的，結(jié)論（1）得證.假設(shè)Δ＝0，重新選擇半正定Lyapunov函數(shù)

其對時間的導(dǎo)數(shù)為

將式（28）、（35）、（36）代入上式，并考慮式（21）、（27）與（34），可以推出

由于s與eF是一致連續(xù)的，所以當(dāng)t→∞時，它們終將趨近于零，結(jié)論（2）得證.

說明：在計算式（32）中u 時，可根據(jù)AKqu 分量的符號計算矩陣A 從而計算u.

4 實驗研究

4.1 實驗系統(tǒng)

實驗系統(tǒng)的照片如圖5所示，原理框架見圖6.控制程序在Simulink Real-Time環(huán)境下編寫并執(zhí)行，程序運行周期為1 ms.控制信號及傳感器信號分別通過NI公司PCI 6259 數(shù)據(jù)采集卡生成和采集，其數(shù)／模與模／數(shù)轉(zhuǎn)換器分辨率均為16位.橫、縱向缸的位移用磁柵尺測量，分辨率為1μm.泵源壓強(qiáng)ps＝7 MPa.2個控制閥均是REXROTH 公司制造的高頻響閥，型號為4WRREH6VB40L，其單邊壓差3.5MPa下的額定流量為40L／min，正弦頻響不低于80Hz.

圖5 實驗系統(tǒng)照片F(xiàn)ig.5 Picture of experiment set

實驗對控制器進(jìn)行了簡化：非線性控制函數(shù)Frs2與us2被省略，Kc2、Kc3只保留其中的常數(shù)部分.在實際應(yīng)用中并不需要定理中全局收斂的結(jié)論，只要保證一定的穩(wěn)定工作范圍即可.在期望輪廓上，曲線任務(wù)坐標(biāo)rc和rm的單位方向矢量分別與期望輪廓上單位法向矢量和單位切向矢量相同，故在期望輪廓附近，雅克比矩陣J 近似簡化為［14］

圖6 實驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框架Fig.6 Frame structure of experiment set

以上簡化使控制器更具有實用性.控制器的參數(shù)見表1.控制器中估計參數(shù)的名義值為θ＝［29.096m／s2，4 579.38s-1，0m／s2，6.3m／s2，379.15s-1，9.8 m／s2，1.122×10-5m2／kg，0 m／s2］T；h＝［0.091 408 kg-1，0.005 714 3 kg-1］T；β＝700 MPa；cl＝［2.123 8×10-4m3／s，2.333 3×10-4m3／s］T.估計參數(shù)的上界為θmax＝［37m／s2，5 500 s-1，5m／s2，7m／s2，500s-1，9.8m／s2，1.122×10-5m2／kg，10 m／s2］T；hmax＝［0.1kg-1，0.006 kg-1］T；βmax＝800 MPa；clmax＝［2.3×10-4m3／s，2.5×10-4m3／s］T.估計參數(shù)下界為θmin＝［20 m／s2，3 900s-1，5 m／s2，5 m／s2，200s-1，9.8 m／s2，1.122×10-5m2／kg，-10 m／s2］T；hmin＝［0.082kg-1，0.005 2kg-1］T；βmin＝600 MPa；clmin＝［1.9×10-4m3／s，2.1×10-4m3／s］T.

控制器中并未對所有的不確定參數(shù)進(jìn)行估計，未在線估計參數(shù)對應(yīng)的自適應(yīng)速率設(shè)為0.各參數(shù)的自適應(yīng)速率為Γθ＝diag｛［0，1.3×107，4×104，0，5×105，0，0，3×104］T｝；Γh＝diag｛［0.070，0.008］T｝；γβ＝3 000；Γcl＝diag｛［4×10-15，7×10-15］T｝.

表1 控制器參數(shù)Tab.1 Controller parameters

4.2 性能指標(biāo)

為了量化評價控制器的性能，實驗分析采用了如下指標(biāo)評估實驗結(jié)果：

4.3 實驗結(jié)果分析

為測試所提輪廓控制器的性能，比較了如下2種輪廓控制方法：

C1：本文所提的基于全局任務(wù)坐標(biāo)系自適應(yīng)魯棒輪廓運動控制器.

C2：基于交叉耦合［17-18］的自適應(yīng)魯棒輪廓運動控制器.C2的原理框圖如圖7所示，Cx＝sinαex／2R 與Cy＝cosα-ey／2R 分別是橫軸與縱軸的耦合控制增益.其中，ex和ey分別是橫軸與縱軸的單軸跟蹤誤差，erc是估算的輪廓誤差.α 是輪廓曲線上指令點處切線（沿曲線前進(jìn)方向）與橫坐標(biāo)軸的夾角（此夾角即為式（6）中單位切向矢量Irm在輪廓曲線上指令點處的方向角）.R 為期望圓輪廓的半徑.xd與yd則是橫軸與縱軸的期望軌跡.CCC 為交叉耦合控制器，其傳遞函數(shù)為

ARC是每一單軸的自適應(yīng)魯棒控制器，其細(xì)節(jié)可參見文獻(xiàn)［15］.

圖7 C2原理框圖Fig.7 Principle diagram of C2

實驗中期望輪廓為圓形，半徑為0.04 m，角速度為0.04πrad／s.任務(wù)坐標(biāo)系內(nèi)期望輪廓任務(wù)與期望跟蹤任務(wù)，以及笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)的期望輪廓與橫、縱軸的期望軌跡見圖8.如圖9 所示對比了C1與C2的輪廓誤差與單軸跟蹤誤差，實驗結(jié)果見表2.如圖10所示為期望輪廓與C1、C2跟蹤軌跡的局部放大圖.

圖8 期望輪廓軌跡Fig.8 Desired contour trajectories

圖9 輪廓誤差與單軸跟蹤誤差曲線Fig.9 Contour error and single axis tracking error

表2 圖9中的實驗誤差Tab.2 Experimental errors in Fig.9

圖10 C1與C2跟蹤曲線的局部軌跡放大圖Fig.10 Partial contours in tracking curves of C1and C2

如圖7所示，C2輪廓控制的基本原理是首先通過單軸跟蹤誤差估計計算輪廓誤差，然后依靠對估計輪廓誤差的反饋控制以調(diào)節(jié)兩軸的輪廓運動.C2中輪廓誤差的估算依賴于單軸跟蹤誤差，不具備C1對輪廓控制任務(wù)與跟蹤控制任務(wù)的協(xié)調(diào)能力.因此，從圖9以及表2中的數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，雖然C2實現(xiàn)了優(yōu)于C1的單軸跟蹤控制效果，但其輪廓控制性能卻不如C1，協(xié)調(diào)性較差.如圖10所示，在橫軸換向運動時，C2輪廓控制性能有更為明顯的退化.另外，從C1的設(shè)計過程可知，其在運動控制部分的反饋控制參數(shù)與控制任務(wù)的剛度是直接對應(yīng)的，與C2相比C1在實際應(yīng)用中對控制參數(shù)整定的指導(dǎo)性更強(qiáng).

對于C1而言，輪廓控制任務(wù)與跟蹤控制任務(wù)是解耦的，輪廓控制剛度與跟蹤控制剛度可以獨立調(diào)節(jié).為了說明這個特性，實驗中測試了具有不同控制參數(shù)的C1-2與C1-3控制器，與C1控制器形成對比.C1-2和C1-3控制器中僅參數(shù)kc1m與C1不同，其余控制器參數(shù)與C1相同.根據(jù)前文定義可知參數(shù)kc1m是跟蹤誤差的反饋增益，與跟蹤控制剛度 相 關(guān) 聯(lián).C1-2 中kc1m＝500，C1-3 中kc1m＝2 000.C1，C1-2與C1-3跟蹤期望輪廓的實驗結(jié)果見表3.

從表3可知，調(diào)節(jié)kc1m的大小僅僅影響到了跟蹤控制的效果，輪廓控制性能與之呈現(xiàn)了不相關(guān)性，換言之，在正交任務(wù)坐標(biāo)系內(nèi)輪廓控制與跟蹤控制是一對“正交任務(wù)”，它們是高度解耦的，因此在調(diào)節(jié)系統(tǒng)增益時，輪廓控制與跟蹤控制可以分別單獨考慮，尤其是當(dāng)需要降低系統(tǒng)增益以換取穩(wěn)定性時，可以優(yōu)先減小跟蹤控制的增益，這樣既可以得到穩(wěn)定的效果又可以避免輪廓精度的下降.如圖11所示為部分參數(shù)的自適應(yīng)估計結(jié)果，控制器中的自適應(yīng)機(jī)制增進(jìn)了控制精度，降低控制器的保守性.

表3 C1，C1-2與C1-3的實驗結(jié)果Tab.3 Experimental results of C1，C1-2and C1-3

圖11 參數(shù)估計Fig.11 Parameter estimation

5 結(jié) 語

對于二軸電液系統(tǒng)的輪廓運動控制，設(shè)計了基于正交全局任務(wù)坐標(biāo)系的非線性自適應(yīng)魯棒控制器.與以往的輪廓運動控制器不同，所設(shè)計控制器能夠在任務(wù)空間內(nèi)精確計算輪廓誤差，并在此基礎(chǔ)上直接針對輪廓誤差與跟蹤誤差的動力學(xué)綜合控制律.該控制器把輪廓控制任務(wù)與跟蹤控制任務(wù)高度解耦，因而輪廓控制剛度與跟蹤控制剛度可以根據(jù)需要獨立調(diào)節(jié).不僅如此，控制器還融合了自適應(yīng)控制與魯棒控制的優(yōu)點，有效地應(yīng)對了電液系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定性與不確定非線性.該控制器在實驗中輪廓控制性能良好、協(xié)調(diào)性強(qiáng)，實驗條件下輪廓誤差的均方根值始終保持在15μm 以內(nèi).

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