許佳良，許 良，曹海寧

（1.中國(guó)石油大學(xué)石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2.中國(guó)石油渤海鉆探井下作業(yè)分公司，河北任丘 062552；3.中國(guó)石油渤海鉆探第四鉆井工程分公司，河北任丘 062552）

對(duì)于低滲透致密油氣藏，僅采用水平井開(kāi)發(fā)往往達(dá)不到所預(yù)期的開(kāi)發(fā)效果，為此，常常進(jìn)行水力壓裂產(chǎn)生多條裂縫以增加水平井的產(chǎn)能[1]。郎兆新等[2]采用復(fù)位勢(shì)理論和疊加原理推導(dǎo)出壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式，使壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)的精度有較大提高，但作者假設(shè)壓裂水平井每條裂縫的產(chǎn)量都相等與實(shí)際不相符。寧正福等[3]在此基礎(chǔ)上對(duì)壓裂水平井的產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式進(jìn)行了修正，考慮了裂縫內(nèi)滲流阻力和壓力損失，但將裂縫看成恒定寬度和裂縫中的流動(dòng)假設(shè)為平面徑向流，不符合裂縫實(shí)際形態(tài)和裂縫中流體流動(dòng)形態(tài)，而且將氣藏厚度的一半直接當(dāng)作供給邊緣半徑，這些因素?zé)o疑使計(jì)算結(jié)果偏大。韓樹剛等[4]根據(jù)流體力學(xué)理論和動(dòng)量定理，結(jié)合氣體的性質(zhì)和實(shí)際氣體的狀態(tài)方程，建立了氣藏壓裂水平井地層滲流和水平井筒管流耦合的計(jì)算模型。郭建春等[5]研究了裂縫實(shí)際形態(tài)對(duì)壓裂井產(chǎn)能的影響，主要針對(duì)直井而非多段壓裂水平井。本文在考慮裂縫內(nèi)滲流阻力的基礎(chǔ)上，將裂縫形態(tài)假設(shè)為“楔形”，縫內(nèi)流動(dòng)假設(shè)為線性流動(dòng)[6-8]。通過(guò)對(duì)比計(jì)算，分析了裂縫位置、裂縫長(zhǎng)度及裂縫形態(tài)對(duì)多段壓裂水平井產(chǎn)能影響，并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證，效果良好。

1 物理模型

就壓裂水平井而言，人工水力裂縫是油氣滲流的主要通道，產(chǎn)能模型中裂縫內(nèi)流體流動(dòng)計(jì)算模型對(duì)模型計(jì)算結(jié)果具有重要影響，而計(jì)算模型的精確性則直接由裂縫物理模型決定。在裂縫閉合后，裂縫寬度不是恒定不變的，靠近井筒部分鋪砂濃度高，裂縫寬度較大，遠(yuǎn)離井筒部分鋪砂濃度較低，裂縫寬度較小，最終形成的裂縫從縫端到井筒逐漸變窄，可以將裂縫水平截面假設(shè)為楔形（見(jiàn)圖1）。

圖1 楔形裂縫模型橫截面示意圖Fig.1 The cross-sectional schematic of wedge-shaped fracture model

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型假設(shè)

（1）上下封閉的無(wú)限大非均質(zhì)地層；（2）地層中心有一口水平井；（3）裂縫等距離分布，垂直于水平井筒并完全垂直穿透儲(chǔ)層；（4）裂縫的水平剖面為梯形，垂直剖面為矩形；（5）流體僅通過(guò)裂縫流入井筒；（6）油藏中為單相氣體流動(dòng)，且滿足達(dá)西定律。

2.2 數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

2.2.1 氣藏中壓降計(jì)算 根據(jù)油藏壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式，結(jié)合壓力函數(shù)的定義和真實(shí)氣體的狀態(tài)方程，將壓裂水平井的產(chǎn)量換算為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體的產(chǎn)量，則從氣藏到壓裂水平井裂縫的壓降可以用公式[2]表示為：

式中：N-裂縫條數(shù)；Pe-供給邊界壓力，MPa；Pfj-第j 條裂縫縫口壓力，MPa；μg-氣體黏度，mPa·s；Z-氣體偏差因子，無(wú)量綱；PSC-標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，MPa；T-地層穩(wěn)溫度，K；TSC-標(biāo)準(zhǔn)狀況下溫度，K；kh-水平方向滲透率，μm2；h-地層厚度，m；L-水平井筒長(zhǎng)度，m；d-裂縫間間距，m；Re-供給半徑，m；Lf-裂縫半長(zhǎng)，m；Qgi-第i 條裂縫產(chǎn)量，m3/d；j=1，2，...，N，j 每增加1，i 從-No到No增加1（N 為奇數(shù)時(shí)）或2（N 為偶數(shù)時(shí)）。

2.2.2 裂縫中壓降計(jì)算 在建模過(guò)程中，利用對(duì)稱性，取氣藏的1/4 來(lái)建立模型（見(jiàn)圖2）。將裂縫的一翼視作由n 部分組成，裂縫模型以井眼坐標(biāo)為原點(diǎn)，裂縫延伸方向?yàn)榉謝 軸方向。

圖2 裂縫建模示意圖Fig.2 The schematic of fracture model

圖4 裂縫劃分示意圖Fig.4 The schematic of wedge-shaped fracture and segment dividing

模型中假設(shè)裂縫的水平剖面為直角梯形（見(jiàn)圖3），建模過(guò)程中將裂縫劃分為n 個(gè)微元段（見(jiàn)圖4），以計(jì)算各段裂縫寬度和壓降。以井眼為原點(diǎn)，距井眼xoi處的oi 裂縫寬度為：

點(diǎn)oi 與oi+1 之間的平均裂縫寬度為：

式中：Wave.i-第i 段平均寬度，m；xoi-oi 點(diǎn)距井筒距離，m；Wheel-縫端寬度，m；Wtoe-縫口寬度，m；Wo（i+1）-o（i+1）點(diǎn)處寬度，m；Woi-oi 點(diǎn)處寬度，m。

根據(jù)達(dá)西定律可以得到縫端到井筒壓力降為：

流體為天然氣，根據(jù)壓力函數(shù)的定義和真實(shí)氣體的狀態(tài)方程，并將裂縫產(chǎn)量換算為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體產(chǎn)量，則上式可寫為：

式中：Pwfj-第j 條裂縫縫端壓力，MPa；kf-水平滲透率，μm2。

設(shè)所有裂縫縫端壓力都等于井底壓力，即Pwf=Pwfj，由式（1）和式（5）疊加可得：

由上式聯(lián)立可以得到一個(gè)有N 個(gè)未知數(shù)N 個(gè)方程的線性方程組（式7）：

其中：

利用高斯消元法進(jìn)行求解得到每條裂縫產(chǎn)量Qgi，則壓裂水平井產(chǎn)量為各條裂縫產(chǎn)量之和為：

氣藏直井產(chǎn)量公式為：

定義無(wú)因次增產(chǎn)倍數(shù)JD為：

式中：Qg-各裂縫產(chǎn)量之和，m3/d；Qv-直井產(chǎn)量，m3/d；JD-無(wú)因次增產(chǎn)倍數(shù)。

3 實(shí)例計(jì)算及模型分析

3.1 實(shí)例計(jì)算

國(guó)內(nèi)某氣田地層厚度為8 m，縫口寬度為8.4 mm，縫端寬度為0.6 mm（平均縫寬為4.5 mm）氣體黏度0.023 mPa·s，水平段長(zhǎng)度500 m，裂縫半長(zhǎng)40 m，氣層厚度8 m，水平方向滲透率0.83×10-3μm2，裂縫滲透率30 D，地層壓力27.53 MPa，井底壓力23.53 MPa，地層穩(wěn)定100 ℃，井筒半徑0.1 m，供給半徑為400 m，相應(yīng)的產(chǎn)量為3.24×104m3/d。楔形模型計(jì)算產(chǎn)量為3.29×104m3/d，與實(shí)際產(chǎn)量誤差為7.16 %，“寧正福”模型產(chǎn)量（按平均縫寬計(jì)算）與實(shí)際產(chǎn)量誤差為11.28 %。

水平井壓裂后各裂縫之間不進(jìn)行補(bǔ)孔，計(jì)算不同裂縫位置對(duì)水平井產(chǎn)能的影響，以7 條裂縫壓裂水平井為例，計(jì)算結(jié)果（見(jiàn)表1）。

表1 每條裂縫產(chǎn)量Tab.1 The production of each fracture

3.2 壓裂水平井產(chǎn)能分析

3.2.1 裂縫位置對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響 水平井壓裂后各裂縫之間不進(jìn)行補(bǔ)孔，計(jì)算不同裂縫位置對(duì)水平井產(chǎn)能的影響，以7 條裂縫壓裂水平井為例，計(jì)算結(jié)果（見(jiàn)表1）。

從表1 可以得出，壓裂水平井中每條裂縫的產(chǎn)量并不相同，從趾端到跟端產(chǎn)能呈現(xiàn)“U”型（見(jiàn)圖5）。因此，在實(shí)際生產(chǎn)采取增產(chǎn)措施過(guò)程中應(yīng)該注意提高壓裂水平井趾端和跟端處裂縫的生產(chǎn)能力，以獲得良好的增產(chǎn)效果。

圖5 裂縫位置對(duì)水平井產(chǎn)量的影響Fig.5 The position of fracture vs a horizontal well productivity

3.2.2 裂縫條數(shù)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響 隨著裂縫條數(shù)的增加（見(jiàn)圖6），壓裂水平井產(chǎn)量不斷升高，裂縫條數(shù)為4～6 條時(shí)，壓裂水平井產(chǎn)量達(dá)到最大值。裂縫條數(shù)大于6 條時(shí)，壓裂水平井產(chǎn)量隨裂縫條數(shù)的增加不再明顯。

圖6 裂縫條數(shù)對(duì)水平井產(chǎn)能的影響Fig.6 The numbers of fracture vs a horizontal well productivity

3.3 新舊模型對(duì)比

從圖7 可以看出，文獻(xiàn)[3]中公式計(jì)算的壓裂水平井產(chǎn)能與“楔形”模型計(jì)算結(jié)果相比明顯偏大。文獻(xiàn)[2]采用復(fù)位勢(shì)理論和疊加原理推導(dǎo)了壓裂水平井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能公式，但假設(shè)每條裂縫產(chǎn)能相同與實(shí)際情況明顯不符。從圖5 可知，中間裂縫與兩端裂縫相比產(chǎn)能偏小。文獻(xiàn)[3]在此基礎(chǔ)上考慮裂縫中的滲流阻力和壓力損失，將裂縫中的流動(dòng)假設(shè)為平面徑向流動(dòng)，使預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性有一定提高。但是將壓裂水平井裂縫中的流動(dòng)假設(shè)為徑向流動(dòng)與實(shí)際情況不符，造成計(jì)算產(chǎn)能偏高?！靶ㄐ巍蹦Ｐ蛯⒘芽p中的流動(dòng)考慮為線性流動(dòng)，并考慮實(shí)際裂縫形態(tài)對(duì)氣體在裂縫各段中流動(dòng)造成壓降不同，“楔形”裂縫越靠近井眼，裂縫寬度越大，流動(dòng)阻力增幅減小，更加符合氣藏裂縫中實(shí)際流動(dòng)。因此采用“楔形”裂縫模型計(jì)算產(chǎn)量誤差更小。

圖7 新舊模型對(duì)比Fig.7 The comparison of the new and old model

圖8 不同滲透率條件下裂縫長(zhǎng)度對(duì)產(chǎn)能的影響Fig.8 The impact of the length of fracture on a horizontal well productivity under different permeability conditions

從圖8 可知，kh＜0.1 mD 時(shí)楔形模型與舊模型計(jì)算的壓裂水平井增產(chǎn)倍數(shù)非常接近（兩模型平均縫寬相同），隨著裂縫長(zhǎng)度增加，增產(chǎn)倍數(shù)開(kāi)始增加較快然后變慢最后趨于平緩。由于kh＜0.1 mD 地層向裂縫供液能力相對(duì)弱，裂縫寬度能夠滿足隨著裂縫長(zhǎng)度增加導(dǎo)致的水平產(chǎn)量增加的流動(dòng)需要，所以裂縫越長(zhǎng)產(chǎn)量越高增產(chǎn)倍數(shù)越大。在滲透率一定時(shí)，地層向水平井供液的能力是一定的，所以隨裂縫長(zhǎng)度增加水平井產(chǎn)能不再增加曲線趨于平緩。

當(dāng)kh＞0.1 mD 時(shí)，楔形模型增產(chǎn)倍數(shù)曲線與舊模型呈現(xiàn)截然不同的形狀，增產(chǎn)倍數(shù)隨著裂縫長(zhǎng)度的增加先增加后下降且明顯低于舊模型增產(chǎn)倍數(shù)曲線。地層滲透率相對(duì)高，地層向裂縫供液能力強(qiáng)，氣體在裂縫中滲流阻力明顯增加。在縫口寬度Wtoe不變的情況下，裂縫長(zhǎng)度越大，距縫口較近縫寬小的裂縫長(zhǎng)度增加，同時(shí)地層供液能力強(qiáng)，造成在這段縫寬小的裂縫中滲流的壓降劇烈增加，出現(xiàn)隨裂縫長(zhǎng)度增加增產(chǎn)倍數(shù)反而減小的現(xiàn)象。所以在實(shí)際采取增產(chǎn)措施過(guò)程中，對(duì)于滲透率相對(duì)高，供液能力充足的地層，在增加裂縫長(zhǎng)度的同時(shí)一定要保證縫口寬度。如果縫口寬度過(guò)小會(huì)造成裂縫長(zhǎng)度越長(zhǎng)增產(chǎn)倍數(shù)反而下降。

與楔形模型相比，舊模型未考慮實(shí)際壓裂產(chǎn)生的裂縫形狀對(duì)流體在裂縫中流動(dòng)影響，造成增產(chǎn)倍數(shù)計(jì)算結(jié)果總體偏高。

3.4 裂縫參數(shù)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能的影響

不同滲透率條件下楔形模型無(wú)因次增產(chǎn)倍數(shù)隨縫口寬度變化曲線（見(jiàn)圖9）。kh＜0.1 mD 及裂縫長(zhǎng)度一定時(shí)，縫口寬度從0.006 m 變化到0.054 m 時(shí)，增產(chǎn)倍數(shù)增加不明顯。由于地層滲透率小，供液能力差，裂縫寬度能夠滿足流動(dòng)需要。當(dāng)kh＞0.1 mD 時(shí)，縫口寬度從0.006 m 到0.038 m 時(shí)，增產(chǎn)倍數(shù)迅速增加。由于在縫口寬度較小時(shí)，靠近裂縫前段滲流阻力很大，因此隨著縫寬增加，增產(chǎn)倍數(shù)迅速增加。但當(dāng)縫口寬度大于0.038 后，增產(chǎn)倍數(shù)增加變慢，曲線趨于平緩。所以可以確定0.022 為在此油藏條件下最優(yōu)平均縫寬。從圖5可知，在其他滲透率條件下，同樣表現(xiàn)出這種規(guī)律。所以從圖5 可以得到最優(yōu)平均縫寬。

圖9 不同滲透率條件下縫口寬度對(duì)產(chǎn)能的影響Fig.9 The impact of the width of fracture tip on a horizontal well productivity under different permeability conditions

不同裂縫長(zhǎng)度下楔形模型無(wú)因次增產(chǎn)倍數(shù)隨縫口寬度變化曲線（見(jiàn)圖10）。由圖10 可知，無(wú)因次增產(chǎn)倍數(shù)隨著縫口寬度增加而變大；長(zhǎng)裂縫比短裂縫增產(chǎn)倍數(shù)增加率明顯要大，說(shuō)明縫口寬度對(duì)長(zhǎng)裂縫影響更大。在壓裂施工過(guò)程中，不僅要使裂縫延伸較長(zhǎng)，而且要特別注意長(zhǎng)裂縫縫口寬度，才能得到較高的增產(chǎn)倍數(shù)。

圖10 不同裂縫長(zhǎng)度條件下縫口寬度對(duì)產(chǎn)能影響Fig.10 The impact of the width of fracture tip on a horizontal well productivity under different fracture length conditions

4 結(jié)論

（1）本文考慮裂縫中流動(dòng)形態(tài)及裂縫形狀，建立了“楔形”裂縫壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，以更加真實(shí)的裂縫形態(tài)預(yù)測(cè)壓后產(chǎn)能，計(jì)算結(jié)果精度更高。

（2）壓裂水平井裂縫產(chǎn)量由端部向中部逐漸減小，同時(shí)由于裂縫間的相互干擾，對(duì)壓裂水平井來(lái)說(shuō)，裂縫條數(shù)并不是越多越好；縫口寬度對(duì)裂縫段滲流阻力的影響，裂縫長(zhǎng)度并不是簡(jiǎn)單的越長(zhǎng)越好，而是應(yīng)該滿足一定縫口寬度。

（3）地層滲透率較小時(shí)，供液能力差，縫口寬度對(duì)增產(chǎn)倍數(shù)影響較小。當(dāng)?shù)貙訚B透率較大時(shí)，隨著縫口寬度增加，增產(chǎn)倍數(shù)迅速增加。無(wú)因次增產(chǎn)倍數(shù)隨著縫口寬度增加而變大，長(zhǎng)裂縫比短裂縫增產(chǎn)倍數(shù)增加率更大。

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