苗鳳華,宋玥薔，周晨星

(1.長春師范大學 數(shù)學學院,長春 130032;2.長春師范大學 科研處,長春 130032)

?

具有臨界非線性項的p-雙調和方程無窮多小解的存在性

苗鳳華1,宋玥薔2，周晨星1

(1.長春師范大學 數(shù)學學院,長春 130032;2.長春師范大學 科研處,長春 130032)

利用一個新的對稱山路引理研究一類具有臨界非線性項的p-雙調和方程,得到了該問題無窮多個非平凡解的存在性,并證明了這些解序列趨近于零.

p-雙調和方程;對稱山路引理;無窮多解

0 引 言

考慮如下p-雙調和方程:

(1)

其中:Ω?N是一個有界光滑區(qū)域稱為p-雙調和算子,當p=2時為通常的雙調和算子;p*=Np/(N-2p)為如下Sobolev嵌入的臨界指標:

(2)

目前,關于臨界指數(shù)增長問題解的研究已取得了許多結果[1-7].但對含有p-雙調和算子問題的研究報道較少[8-10],特別是對帶有臨界非線性項的p-雙調和算子無窮多個小解存在性的研究目前尚未見報道.本文利用一個新的對稱山路引理[11]研究問題(1),獲得了問題(1)無窮多個小解的存在性,并且這些解趨近于零.利用集中緊性原理[12]克服嵌入失去緊性條件所帶來的困難,利用文獻[13]中截斷方法克服本文中非線性項是強不定的導致對稱山路引理不能直接應用的困難.

假設f(x,u)滿足下列條件:

(H1)f(x,u)∈C(Ω×,),對任意的u∈,f(x,-u)=-f(x,u);

成立,則稱u∈H是問題(1)的一個弱解.

利用標準證明方法,可以證明泛函I∈C1(H,),并且泛函I對應的臨界點正好對應問題(1)的解.

1 緊性條件

(3)

進而存在某個依賴于ε的正常數(shù)c(ε)>0,使得下列不等式成立:

(4)

引理1假設條件(H1)～(H3)成立,則對任意的λ>0,泛函I滿足(PS)c條件,這里

證明:令{un}為函數(shù)空間H中的(PS)序列,則由式(4)可得

于是,取定ε=(p*-p)/(2pp*λ)可知

(5)

其中o(1)→0,且M是某個正常數(shù).另一方面,由式(3)可得

(6)

不等式(5),(6)表明,(PS)序列{un}在空間H中有界.從而可抽取子列,不妨仍記為{un},使得un?u弱收斂于H,un→u幾乎處處收斂于Ω,

(7)

(8)

另一方面,由H?lder不等式和序列{un}的有界性可知

(9)

類似地,下列極限成立:

(10)

因此,由估計式(8)～(10)可得

(11)

這里用到I′(u)=0,從而可知序列{un}在空間H中強收斂到u.

2 主要結果

設X是一個Banach空間,記

Σ∶={A?X{0}:A是閉的并且在X中關于原點對稱}.

若A∈Σ,定義虧格γ(A)為

γ(A)∶=inf{m∈:?φ∈C(A,Rm{0}),-φ(x)=φ(-x)}.

如果對任意的m∈,不存在如上定義的φ,則約定γ(A)=+∞.令Σk為X中所有閉對稱子集A的全體,使得0?A且γ(A)≥k.

引理2(對稱山路引理)[11]設E是一個無限維空間,I∈C1(E,),如果下列條件成立:

2)對每個k∈,存在Ak∈Σk,使得

則下列結論成立:

(i)存在序列{uk},使得I′(uk)=0,I(uk)<0,并且{uk}趨于零;

其中A,B,C是某些正的常數(shù).

則易知χ(t)∈[0,1],并且χ(t)是C∞.令φ(u)=χ(‖u‖),考慮I(u)的擾動:

(12)

因此,可得:

引理3設G(u)由式(12)定義,則下列結論成立:

1)G∈C1(H,),G是偶的并且有下界;

引理4假設條件(H3)成立,則對任意的k∈,存在δ=δ(k)>0,使得γ({u∈H:G(u)≤-δ(k)}{0})≥k成立.

證明:證明方法類似于文獻[4],故略.

定理1假設條件(H1)～(H3)成立,則存在λ*>0,使得對任意的λ∈(0,λ*),問題(1)有一列非平凡解{un},且當n→∞時,un→0.

注1如果定理1中沒有對稱性條件(即f(x,-u)=-f(x,u)),則可利用本文方法得到至少一個非平凡解的存在性.

[1] Brezis H,Nirenberg L.Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Equations Involving Critical Exponents [J].Commun Pure Appl Math,1983,36(4):437-477.

[2] LI Shujie,ZOU Wenming.Remarks on a Class of Elliptic Problems with Critical Exponents [J].Nonlinear Anal,1998,32(6):769-774.

[3] CHEN Jianqing,LI Shujie.On Multiple Solutions of a Singular Quasilinear Equation on Unbounded Domain [J].J Math Anal Appl,2002,275(2):733-746.

[4] HE Xiaoming,ZOU Wenming.Infinitely Many Arbitrarily Small Solutions for Sigular Elliptic Problems with Critical Sobolev-Hardy Exponents [J].Proc Edinb Math Soc,2009,52(1):97-108.

[5] Silva E A B,Xavier M S.Multiplicity of Solutions for Quasilinear Elliptic Problems Involving Critical Sobolev Exponents [J].Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire,2003,20(2):341-358.

[6] Ghoussoub N,Yuan C.Multiple Solutions for Quasi-linear PDEs Involving the Critical Sobolev and Hardy Exponents [J].Trans Amer Math Soc,2000,352:5703-5743.

[7] Chabrowski J.On Multiple Solutions for the Nonhomogeneousp-Laplacian with a Critical Sobolev Exponent [J].Differ Integ Equ,1995,8(4):705-716.

[8] Candito P,Li L,Livrea R.Infinitely Many Solutions for a Perturbed Nonlinear Navier Boundary Value Problem Involving thep-Biharmonic [J].Nonlinear Anal,2012,75(17):6360-6369.

[9] LI Chun,TANG Chunlei.Three Solutions for a Navier Boundary Value Problem Involving thep-Biharmonic [J].Nonlinear Anal,2010,72(3/4):1339-1347.

[10] WANG Weihua,ZHAO Peihao.Nonuniformly Nonlinear Elliptic Equations ofp-Biharmonic Type [J].J Math Anal Appl,2008,348(2):730-738.

[11] Kajikiya R.A Critical Point Theorem Related to the Symmetric Mountain Pass Lemma and Its Applications to Elliptic Equations [J].J Funct Analysis,2005,225(2):352-370.

[12] Lions P L.The Concentration Compactness Principle in the Calculus of Variations.The Locally Compact Case Ⅰ [J].Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire,1984,1(2):109-145.

[13] Garcia A J,Peral A I.Multiplicity of Solutions for Elliptic Problems with Critical Exponent or with a Nonsymmetric Term [J].Trans Amer Math Soc,1991,323(2):877-895.

[14] Willem M.Minimax Theorems [M].Boston:Birkh?luser Boston,Inc,1996.

(責任編輯：趙立芹)

ExistenceofInfinitelyManySmallSolutionsforp-BiharmonicEquationwithCriticalNonlinearity

MIAO Fenghua1,SONG Yueqiang2，ZHOU Chenxing1

(1.CollegeofMathematics,ChangchunNormalUniversity,Changchun130032,China;2.DepartmentofScientificResearch,ChangchunNormalUniversity,Changchun130032,China)

A class ofp-biharmonic equations with critical nonlinearity to obtain infinitely many solutions by means of a version of the symmetric mountain pass theorem.Finally,we showed that this sequence of solutions converge to zero.

p-biharmonic equation;symmetric mountain pass theorem;infinitely many solutions

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.04

2014-08-04.

苗鳳華(1968—),女,漢族,碩士,副教授,從事微分方程的研究,E-mail:mathfhmiao@163.com.通信作者:宋玥薔(1980—),女,漢族,碩士,從事微分方程的研究,E-mail:songyueqiang@sohu.com.

國家自然科學基金(批準號:11301038)、吉林省科技廳青年基金(批準號:20130522100JH)、吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目(批準號:吉教科合字[2013]第252號)和吉林大學符號計算與知識工程教育部重點實驗室開放課題基金(批準號:93K172013K03).

O175.2

：A

：1671-5489(2015)03-0367-05