劉海霞

判別式法

若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可聯(lián)想到二次函數(shù)圖象結(jié)合判別式解題.一般地，對于二次函數(shù)[f（x）=ax2+bx+c（a≠0，x∈R）]，則有：（1）[f（x）>0]對[x∈R]恒成立[?a>0，Δ<0；]（2）[f（x）<0]對[x∈R]恒成立[?a<0，Δ<0.]

例1 已知函數(shù)[y=lg[x2+（a-1）x+a2]]的定義域為[R]，求實數(shù)[a]的取值范圍.

解析 由題設可將問題轉(zhuǎn)化為[x2+（a-1）x+a2>0]對[x∈R]恒成立，

即有[Δ=（a-1）2-4a2<0]，解得[a<-1或a>13].

所以實數(shù)[a]的取值范圍為[（-∞，-1）?（13，+∞）].

函數(shù)與方程法

不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化. 求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.

例2 設[f（x）=x2-2mx+2]，當[x∈[-1，+∞）]時，[f（x）≥m]恒成立，求實數(shù)[m]的取值范圍.

解析 設[F（x）=x2-2mx+2-m]，

則當[x∈[-1，+∞）]時，[F（x）≥0]恒成立.

（1）[Δ=4（m-1）（m+2）<0， 即-20]顯然成立.

（2）[Δ≥0]時，如圖，[F（x）≥0]恒成立的充要條件為：

[Δ≥0，F(xiàn)（-1）≥0，--2m2≤-1，]解得[-3≤m≤-2].

綜上，實數(shù)[m]的取值范圍為[[-3，1）].

最值法

將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：（1）[f（x）>a]恒成立[?af（x）max].

例3 已知[f（x）=7x2-28x-a，g（x）=2x3+4x2-40x]，當[x∈[-3，3]]時，[f（x）≤g（x）]恒成立，求實數(shù)[a]的取值范圍.

解析 設[F（x）=f（x）-g（x）=-2x3+3x2+12x-c]，

則由題意可知，[F（x）≤0]對任意[x∈[-3，3]]恒成立.

令[F（x）=-6x2+6x+12=0]得，[x=-1或x=2].

而[F（-1）=-7a，F(xiàn)（2）=20-a，]

[F（-3）=45-a，F(xiàn)（3）=9-a，]

∴[F（x）max=45-a≤0]，∴[a≥45].

即實數(shù)[a]的取值范圍為[[45，+∞）].

分離參數(shù)法

若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，將問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，從而求出參數(shù)范圍. 這種方法本質(zhì)還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強. 一般地有：（1）[f（x）f（x）max]；（2）[f（x）>a（a為參數(shù)）]恒成立[?a

例4 已知函數(shù)[f（x）=ax-4x-x2，x∈（0，4]]時[f（x）<0]恒成立，實數(shù)[a]的取值范圍.

解析 分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為[a<4x-x2x]對[x∈（0，4]]恒成立.

令[g（x）=4x-x2x]，則[a

由[g（x）=4x-x2x=4x-1]可知，[g（x）]在[（0，4]]上為減函數(shù)，故[g（x）min=g（4）=0].

∴[a<0]，即[a]的取值范圍為[（-∞，0）].

變換主元法

處理含參不等式恒成立的某些問題時，能適時地把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化. 一般來說常將其變換為一次式. 一次函數(shù)[f（x）=kx+b（k≠0）]在[[α，β]]上恒有[f（x）>0]的充要條件為[f（α）>0，f（β）>0.]

例5 對任意[a∈[-1，1]]，不等式[x2+（a-4）x+4-][2a>0]恒成立，求[x]的取值范圍.

解析 令[f（a）=（x-2）a+x2-4x+4]，則原問題轉(zhuǎn)化為[f（a）>0]恒成立（[a∈[-1，1]]）.

當[x=2]時，可得[f（a）=0]，不合題意.

當[x≠2]時，應有[f（1）>0，f（-1）>0，]解之得[x<1或x>3].

故[x]的取值范圍為[（-∞，1）?（3，+∞）].

數(shù)形結(jié)合法

數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用. 我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：（1）[f（x）>g（x）?]函數(shù)[f（x）]圖象恒在函數(shù)[g（x）]圖象上方；（2）[f（x）

例6 設[f（x）=-x2-4x] ， [g（x）=43x+1-a]，若恒有[f（x）≤g（x）]成立，求實數(shù)[a]的取值范圍.

解析 在同一直角坐標系中作出[f（x）]及[g（x）]的圖象.

如圖所示，[f（x）]的圖象是半圓[（x+2）2+y2=4（y≥0），][g（x）]的圖象是平行的直線系[4x-3y+3-3a=0].

要使[f（x）≤g（x）]恒成立，

則圓心[（-2，0）]到直線[4x-3y+3-3a=0]的距離滿足[d=-8+3-3a5≥2].

解得[a≤-5或a≥53]（舍去）.

由上可見，含參不等式恒成立問題覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉(zhuǎn)化. 抓住了這點，就能以“不變應萬變”.