薛道飛

絕對值不等式

例1 如圖，一條公路的兩側(cè)有六個村莊，要建一個車站，要求到六個村莊的路程之和最小，應該選在哪里最合適？如果在[P]的地方增加了一個村莊，并且沿著地圖的虛線修了一條小路，那么這時車站設(shè)在什么地方好？

證明 以公路為數(shù)軸，設(shè)六個村莊在數(shù)軸上的坐標分別為[a1，a2，a3，a4，a5，a6].如果車站建在[x]處，由絕對值不等式得，

[S（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a6|]

[≥|（x-a1）+（x-a2）+（x-a3）-（x-a4）-（x-a5）-（x-a6）|]

[=|a4+a5+a6-a1-a2-a3|].

等號在[x∈[a3 ，a4]]時取到，所以應在第三個或第四個村莊之間建造車站.如果在[P]處再增加一個村莊，同理知建在[D]處較好.

點撥 本題顯然是一道實際應用問題，其中所用的數(shù)學知識不多，但注重分析能力.所謂分析問題，就是把事實看清楚，把道理說明白，說得有頭緒，說得恰到好處.把問題解決以后，可以再想一想，如果有[n]個村莊怎樣？如果還是六個村莊，但是要考慮乘車人數(shù)又怎樣？這類問題叫做原題的推廣.為了提高我們分析問題和解決問題的能力，積累我們的知識，應當注意用這種推廣的方法來進行學習.

基本不等式

例2 若正數(shù)[a，b，c]滿足[a+b+c=1]，

求證：[（a+1a）（b+1b）+（c+1c）≥100027].

分析 在學習“不等式的證明”時，大多都證明過這樣的習題：若正數(shù)[a，b]滿足[a+b=1]，求證：[（a+1a）（b+1b）≥254].解決這道習題并不困難，現(xiàn)簡證如下：先得到[0

證明 因為本題的不等式，當且僅當[a=b=c=13]時取等號，為了使[a+1a=a+1ma+1ma+…+1ma]（共[m]個[1ma]）能使用平均值不等式且等號能夠取到，須[a=1ma]且[a=13]，得[m]=9.所以有如下證法：

[a+1a=a+19a+19a+…+19a]（共9個[19a]）

[≥10a（9a）910].

同理，有[b+1b≥10?b（9b）910，c+1c≥10?c（9c）910] .

所以[（a+1a）（b+1b）（c+1c）≥103?abc（93abc）910].

再由[0

[（a+1a）（b+1b）（c+1c）≥100027]（當且僅當[a=b=c=13]時取等號）.

柯西不等式

例3 設(shè)[a1>a2>…>an>an+1]，求證：[1a1-a2+][1a2-a3+…+1an-an+1+1an+1-a1>0].

分析 前[n]個式子都大于零，第[n+1]個式子小于零，可將原不等式化為[1a1-a2+1a2-a3+…+][1an-an+1>1a1-an+1]，即[（a1-an+1）（1a1-a2+1a2-a3+…][+1an-an+1）>1]. 再由[a1-an+1=（a1-a2）+（a2-a3）+…+][（an-an+1）]結(jié)合柯西不等式證明.

證明 原不等式可化為

[（a1-an+1）?（1a1-a2+1a2-a3+…+1an-an+1）>1]，

又[a1-an+1=（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+1）]，

于是[[（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+1）]?（1a1-a2+][1a2-a3+…+1an-an+1）≥n2>1]，

[即（a1-an+1）?（1a1-a2+1a2-a3+…+1an-an+1）>1，]

∴[1a1-a2+1a2-a3+…+1an-an+1>1a1-an+1].

故[1a1-a2+1a2-a3+…+1an-an+1+1an+1-a1>0].

點撥 使用柯西不等式時，既要注意它的數(shù)學意義，又要注意它的外在形式.當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可以考慮使用柯西不等式對這個式子進行縮小或放大.

排序不等式

例4 有10個人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第[i]（[i]=1，2，…，10）個人的水桶需要[ti]分鐘，假定這些[ti]各不相同.問只有一只水龍頭時，應如何安排10個人的順序，使他們等候的總時間最少？這個最少的總時間等于多少？

解析 這是一個實際問題，需要將它數(shù)學化.若第一個接水的人需[t1]分鐘，接這桶水時10人所需等候的總時間是[10t1]分鐘；第二人接水的人需[t2]分鐘，接這桶水時9人所需等候的總時間是[9t2]分鐘；如此繼續(xù)下去，到第10個人接水時，只有他一個人在等，需要[t10]分鐘.所以，按這個順序，10個人都接滿水等待的總時間（分）是[10t1+9t2+…+2t9+t10].

根據(jù)排序不等式，當[t1

點撥 掌握順序和、亂序和、反序和的概念，明確反序和≤亂序和≤順序和.根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)形式觀察是否排序不等式的結(jié)構(gòu)形式或有相似之處. 構(gòu)造適當?shù)膬山M數(shù)將其配成相關(guān)結(jié)構(gòu)形式是解決問題的突破口，這時往往要進行添項、拆項、重組、配方等方法的處理，逐步調(diào)整著去構(gòu)造. 排序不等式也是基本而重要的不等式. 一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式[a2+b2≥2ab].