張　巍，應(yīng)曌中，應(yīng)祖光

（1.浙江理工大學(xué)　經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院　實(shí)驗(yàn)中心，杭州310018；2.浙江大學(xué)　竺可楨學(xué)院，杭州310058；3.浙江大學(xué)　航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州310027）

非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)限界極大極小控制

張巍1，應(yīng)曌中2，應(yīng)祖光3

（1.浙江理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，杭州310018；2.浙江大學(xué)竺可楨學(xué)院，杭州310058；3.浙江大學(xué)航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州310027）

研究非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的限界極大極小最優(yōu)控制。引入調(diào)控變量放大振動(dòng)峰響應(yīng)，用高階多項(xiàng)式作為性能指標(biāo)函數(shù)，提高其中峰值占比，建立非線性隨機(jī)振動(dòng)峰響應(yīng)的極小化最優(yōu)控制問(wèn)題方程；應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立HJB方程，考慮控制作用的有界性，確定半連續(xù)與跳變型極大極小最優(yōu)控制律；最后通過(guò)數(shù)值結(jié)果，說(shuō)明該最優(yōu)控制能夠有效地抑制非線性隨機(jī)振動(dòng)，并調(diào)控變量、控制界限、跳變型控制等對(duì)于控制效果的影響。

振動(dòng)與波；最優(yōu)控制；控制飽和；非線性隨機(jī)振動(dòng)；峰響應(yīng)降低

振動(dòng)響應(yīng)峰值的降低，例如地震等強(qiáng)激勵(lì)產(chǎn)生的振動(dòng)幅值抑制，是工程結(jié)構(gòu)控制的一個(gè)重要研究主題，對(duì)于提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度具有重要意義［1-3］。振動(dòng)最大響應(yīng)的最小化控制是一個(gè)極大極小控制問(wèn)題［4］。然而，振動(dòng)響應(yīng)峰值難以解析地表達(dá)，導(dǎo)致最優(yōu)控制設(shè)計(jì)的困難，有關(guān)研究相對(duì)很少。Soong等提出對(duì)于響應(yīng)峰值的近似控制性能指標(biāo)表達(dá)［4］，文［5］發(fā)展了響應(yīng)峰值最優(yōu)控制的調(diào)控策略，并給出理論分析與數(shù)值驗(yàn)證。因?qū)嶋H的控制大小是有限的，需要考慮限界或飽和的最優(yōu)控制問(wèn)題，關(guān)于參外激系統(tǒng)響應(yīng)的限界最優(yōu)控制已有一定研究［6-10］。但非線性隨機(jī)振動(dòng)的限界極大極?。ㄗ畲箜憫?yīng)最小化）控制策略尚有待于發(fā)展。

隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理是確定非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)最優(yōu)控制的一個(gè)基本理論，響應(yīng)峰值的極小化可以設(shè)計(jì)一定的控制性能指標(biāo)通過(guò)縮放調(diào)控實(shí)現(xiàn)，控制飽和可作為一個(gè)約束結(jié)合到極大極小設(shè)計(jì)，其中限界的最優(yōu)控制包括半連續(xù)與跳變情形。本文選用高階多項(xiàng)式作為性能指標(biāo)函數(shù)，引入一個(gè)調(diào)控變量放大其中大響應(yīng)；然后基于隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃（HJB）方程，結(jié)合控制限界約束條件，確定半連續(xù)與跳變型極大極小最優(yōu)控制律；最后通過(guò)數(shù)值結(jié)果說(shuō)明控制效果。

1　非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)峰值的最優(yōu)控制問(wèn)題方程

考慮下列非線性隨機(jī)系統(tǒng)

式中X是位移向量，M、C分別是質(zhì)量與阻尼陣，K0是非線性保守力，F(xiàn)0是高斯白噪聲，U是控制力向量，B0是其位置陣，控制的限界約束為U?［U1，U2］。對(duì)于振動(dòng)峰值控制，引入一個(gè)調(diào)控變量xc，變換方程（1）并轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程［5］

系統(tǒng)（2）隨機(jī)最優(yōu)控制的目標(biāo)是極小化下列性能指標(biāo)式中E［·］是期望算符，tf是控制的終時(shí)，R是對(duì)稱權(quán)參數(shù)陣，g（Z）30，ψ是控制終值。對(duì)于半連續(xù)限界控制，R正定；對(duì)于跳變控制，R取零。響應(yīng)峰值通過(guò)變量xc放大，則g取高階多項(xiàng)式將提高指標(biāo)（4）中峰值的占比，從而使J的極小化增強(qiáng)對(duì)于峰值的抑制。關(guān)于J切近峰值的分析見(jiàn)文［5］。因此，系統(tǒng)（2）和指標(biāo)（4）組成一個(gè)限界的極大極小控制問(wèn)題。

2　限界的極大極小半連續(xù)與跳變控制律

根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，建立系統(tǒng)（2）和指標(biāo)（4）的HJB方程［11］

式中V是值函數(shù)，De是白噪聲強(qiáng)度陣。由式（5）左邊第二項(xiàng)泛函極小，并考慮控制U的限界約束條件，可得極大極小控制的最優(yōu)反饋律。半連續(xù)型的限界最優(yōu)控制律為

式中Ui、U1i、U2i、UVi分別是U、U1、U2、UV的第i個(gè)元數(shù)，UV=-R-1BT?V/?Z/2。跳變型的限界最優(yōu)控制律為

將式（6）或（7）代入（5）得到關(guān)于V的方程，由此確定最優(yōu)控制U*的跳變條件。適當(dāng)選擇高階函數(shù)g，可得相應(yīng)的值函數(shù)解，式（6）中的函數(shù)UV為

其中α、N是常數(shù)，對(duì)稱常數(shù)陣P由下列Riccati方程確定

式中AL是A的線性化系數(shù)陣，S是g的二次型系數(shù)陣?？刂疲?）與（7）都是有界的，前者保留了界限內(nèi)的連續(xù)性控制律，而后者總是達(dá)到其界限，故代價(jià)也更高，兩者分別是相應(yīng)極大極小控制問(wèn)題的最優(yōu)解。由式（6）或（7）確定最優(yōu)控制，分別代入（1）可計(jì)算系統(tǒng)控制前后的響應(yīng)，比較控制效果。

3　算例與控制效果

考慮單自由度非線性隨機(jī)系統(tǒng)

式中x是位移，m、c、k分別是質(zhì)量、阻尼與線性剛度，k3是非線性剛度，f0是高斯白噪聲，u是控制力，限界約束為u?［u1，u2］。引入調(diào)控變量xc，變換方程（10）為狀態(tài)方程（2），對(duì)于指標(biāo)（4），建立HJB方程（5），得到極大極小半連續(xù)型最優(yōu)控制（6）與跳變型最優(yōu)控制（7），分別代入（10）計(jì)算系統(tǒng)控制前后的響應(yīng)。

設(shè)系統(tǒng)（10）的參數(shù)m=1 kg，c=1 Nsm-1，k=10 Nm-1，k3=10 Nm-3，u1=-5 N，u2=5 N，取xc=0.5 m，R=1 N-2，S=30 diag［1，4］m-2，α=0.3，N=1。分別按式（6）與（7）確定最優(yōu)控制，用龍格-庫(kù)塔法計(jì)算受控與未控系統(tǒng)的位移，并計(jì)算相應(yīng)的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如圖1—圖5所示。圖1是隨機(jī)激勵(lì)樣本，圖2展示半連續(xù)限界控制前后的位移樣本，其響應(yīng)峰值與標(biāo)準(zhǔn)差分別降低80.4%、82.0%（控制標(biāo)準(zhǔn)差為3.22），可見(jiàn)該限界極大極小控制達(dá)到好的非線性隨機(jī)振動(dòng)抑制效果。圖3表明調(diào)控變量的減小（xc=0.1 m）可進(jìn)一步降低振動(dòng)位移，此時(shí)響應(yīng)峰值與標(biāo)準(zhǔn)差分別降低85.8%、87.1%。圖4表明控制界限的適當(dāng)擴(kuò)大（u2=-u1=10 N）可改善振動(dòng)控制效果，此時(shí)響應(yīng)峰值與標(biāo)準(zhǔn)差分別降低84.4%、85.2%，但改進(jìn)是有限度的。圖5展示跳變限界控制前后的位移樣本，其響應(yīng)峰值與標(biāo)準(zhǔn)差分別降低87.3%、91.8%（控制標(biāo)準(zhǔn)差為5.0），可見(jiàn)在相同條件下跳變型控制效果優(yōu)于半連續(xù)型控制，但控制標(biāo)準(zhǔn)差也更大。因此控制策略需要結(jié)合效果與成本綜合確定。

圖2　半連續(xù)控制前后位移（xc=0.5，u2=5）

圖3　半連續(xù)控制前后位移（xc=0.1，u2=5）

圖4　半連續(xù)控制前后位移（xc=0.5，u2=10）

圖5　跳變控制前后位移（u2=5）

4　結(jié)語(yǔ)

本文提出非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的限界極大極小最優(yōu)控制策略。通過(guò)引入調(diào)控變量，放大振動(dòng)峰響應(yīng)，用高階多項(xiàng)式作為性能指標(biāo)函數(shù)，并考慮控制作用的有界性，建立非線性隨機(jī)振動(dòng)峰響應(yīng)的極小化最優(yōu)限界控制問(wèn)題方程。應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立HJB方程，結(jié)合控制限界約束條件，對(duì)半連續(xù)與跳變型限界控制分別得到兩類非線性隨機(jī)振動(dòng)的極大極小最優(yōu)控制律。數(shù)值結(jié)果表明，該最優(yōu)控制能夠有效地抑制非線性隨機(jī)振動(dòng)，通過(guò)減小調(diào)控變量可進(jìn)一步提高控制效果，增大控制界限可有限度地改善控制效果，跳變型控制比半連續(xù)型控制更有效，但總控制作用耗費(fèi)也更高。

［1］Housner G W，Bergman L A，Caughey T K，et al. Structural control:past，present，and future［J］.ASCE Journal of Engineering Mechanics，1997，123:897-971.

［2］Spencer B F，Nagarajaiah S.State of the art of structural control［J］.ASCE Journal of Structural Engineering，2003，129:845-856.

［3］Soong T T，Cimellaro G P.Future directions in structural control［J］.Structural Control Health Monitoring，2009，16:7-16.

［4］Wu Z，Lin R C，Soong T T.Non-linear feedback control forimprovedpeakresponsereduction［J］.Smart Materials and Structures，1995，4:A140-147.

［5］Ying Z G，Ni Y Q.Optimal control for vibration peak reduction via minimizing large responses［J］.Structural Control Health Monitoring，2015，22:826-846.

［6］Maurer H，Osmolovskii N P.Second order optimality conditions for bang-bang control problems［J］.Control and Cybernetics，2003，32:555-584.

［7］Dimentberg M F，Iourtchenko D V，Bratus A S.Optimal bounded control of steady-state random vibrations［J］，Probabilistic Engineering Mechanics，2000，15:381-386.

［8］Potter J N，Neild S A，Wagg D J.Generalisation and optimization of semi-active，on-off switching controllers for single degree-of-freedom systems［J］，Journal of Sound and Vibration，2010，329:2450-2462.

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［1］馬大猷.噪聲與振動(dòng)控制工程手冊(cè)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

［2］哈里斯（Harris，C.M.），皮索爾（Piersol，A.G.）著；劉樹林等譯.沖擊與振動(dòng)手冊(cè)（第5版）［M］.北京：中國(guó)石化出版社，2007.

［3］張欣.低壓載水型油船的總體振動(dòng)性能研究［D］.大連：大連理工大學(xué)，2013.

［4］王娜.半潛式起重生活平臺(tái)總體振動(dòng)特性預(yù)測(cè)［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2013，33（3）：34-37.

［5］林哲，趙德有.大型及超大型油船振動(dòng)分析方法研究［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，（4）：88-92.

［6］王顯正.船舶總振動(dòng)特性研究［D］.大連：大連理工大學(xué)，2006.

［9］Ying Z G，Ni Y Q，Duan Y F.Parametric optimal bounded feedbackcontrolforsmartparameter-controllable compositestructures［J］.JournalofSoundand Vibration，2015，339:38-55.

［10］張巍，應(yīng)祖光，胡榮春.拉索非線性隨機(jī)振動(dòng)的最優(yōu)有界半連續(xù)控制［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2014，34（2）：133-135.

［11］Stengel R F.Optimal Control and Estimation［M］.New York:John Wiley&Sons，1994.

Optimal Bounded Control of Large Random Vibration Responses in Nonlinear Systems

ZHANGWei1，YING Zhao-zhong2，YING Zu-guang3
（1.Laboratory Center，School of Economics and Management，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China；2.Chu Kochen Honors College，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China；3.Department of Mechanics，School ofAeronautics andAstronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

The optimal bounded minimum-maximum control for random vibration of nonlinear systems was studied.A variable was employed for rescaling system responses and a high-order power polynomial was used as the cost function of performance index for magnifying large vibration responses.The optimal bounded minimum-maximum control problem for nonlinear random vibration was expressed by a transformed differential equation and a performance index of the system. Then，the HJB equation was derived based on the random dynamical programming principle.The optimal bounded semicontinuous and switching control laws were obtained by solving the equation with the consideration of the control bound. The control effects for different variable values，control bounds，semi-continuous control and switching control were compared one-another.Numerical results show that the proposed control can effectively suppress the nonlinear random vibration.

vibration and wave；optimal control；control saturation；nonlinear random vibration；peak response reduction

O32；TB53

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.010

1006-1355（2015）05-0053-03+59

2015－02－28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11432012）；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（LY15A020001）

張?。?965－），女，江蘇南通人，高級(jí)工程師，學(xué)士，主要從事信息系統(tǒng)與控制研究。

E-mail:zhweihz@zstu.edu.cn