李　軍，潘孟春

（1.國(guó)防科技大學(xué)　機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長(zhǎng)沙410082；2.空軍駐長(zhǎng)沙地區(qū)軍事代表室，長(zhǎng)沙410111）

基于三次Hermite插值的局部特征尺度分解方法

李軍1，2，潘孟春1

（1.國(guó)防科技大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長(zhǎng)沙410082；2.空軍駐長(zhǎng)沙地區(qū)軍事代表室，長(zhǎng)沙410111）

內(nèi)稟時(shí)間尺度分解（Intrinsic time-scale decomposition，簡(jiǎn)稱ITD）方法采用線性變換獲得基線信號(hào)，使得分解結(jié)果出現(xiàn)毛刺和瞬時(shí)頻率失真現(xiàn)象。因此，在定義瞬時(shí)頻率具有物理意義的內(nèi)稟尺度分量（Intrinsic scale component，簡(jiǎn)稱ISC）基礎(chǔ)上，提出基于三次Hermite插值的局部特征尺度分解方法（Cubic Hermite interpolation-Local characteristicscale decomposition，簡(jiǎn)稱CHLCD），該方法能夠自適應(yīng)地將一個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解為若干個(gè)瞬時(shí)頻率具有物理意義的內(nèi)稟尺度分量之和。首先對(duì)CHLCD方法的原理進(jìn)行分析，然后給出采用CHLCD對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解的詳細(xì)步驟，最后采用仿真信號(hào)和滾動(dòng)軸承信號(hào)對(duì)CHLCD進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明了CHLCD方法的有效性。

振動(dòng)與波；局部特征尺度分解；三次Hermite插值；信號(hào)處理；故障診斷

傅里葉（Fourier）變換方法作為一種經(jīng)典的信號(hào)處理方法，得到了大量的應(yīng)用，但Fourier變換僅僅可以處理線性或者平穩(wěn)信號(hào)，而實(shí)際中的大多數(shù)信號(hào)是非線性及非平穩(wěn)的。針對(duì)Fourier變換方法的不足，時(shí)頻分析得到了關(guān)注，由于其可以同時(shí)提供出非平穩(wěn)信號(hào)在頻域和時(shí)域的局部化信息，因此時(shí)頻分析常被用來處理非線性信號(hào)問題。傳統(tǒng)的時(shí)頻分析有窗口Fourier變換、Wigner-Wille分布和小波變換，但上述方法都存在一定的缺陷，如窗口Fourier變換具有一定的時(shí)頻窗口，Wigner-Wille分布有交叉項(xiàng)的干擾，而小波變換也需要小波基的選擇，缺乏自適應(yīng)［1］。因此，傳統(tǒng)的信號(hào)分析方法在應(yīng)用方面具有很大的局限性。

針對(duì)傅里葉變換和傳統(tǒng)時(shí)頻分析的不足，Mark G.Frei提出一種自適應(yīng)的時(shí)頻分析方法——內(nèi)稟時(shí)間尺度分解（Intrinsic time-scale decomposition，簡(jiǎn)稱ITD）方法［2］，該方法自適應(yīng)地將非平穩(wěn)的信號(hào)分解為若干固有旋轉(zhuǎn)分量（Proper rotation component，簡(jiǎn)稱PRC），且該分量的瞬時(shí)頻率具有一定的物理意義。在文獻(xiàn)［2］中將ITD方法和EMD方法進(jìn)行對(duì)比，分析ITD方法在端點(diǎn)效應(yīng)及計(jì)算速度上的優(yōu)勢(shì)，并且該方法克服了EMD方法的欠包絡(luò)、過包絡(luò)和LMD方法的信號(hào)突變等問題［3，4］。另外，由于ITD方法具有良好的非線性、非平穩(wěn)信號(hào)分析能力，已在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域得到了應(yīng)用［5，6］。但是該方法還是存在一定的缺陷，沒有對(duì)ITD方法及固有旋轉(zhuǎn)分量的物理意義進(jìn)行闡述，而且ITD方法中的基線是通過基于信號(hào)自身的一種線性變換得到，因此第二個(gè)單分量開始，得到的單分量和一般意義上的單分量不同，其信號(hào)具有明顯的失真現(xiàn)象，從而得到的瞬時(shí)頻率及瞬時(shí)幅值有較大的失真［7］。

由于ITD方法存在一些固有的缺陷，因此一些改進(jìn)的ITD方法被提出。文獻(xiàn)［8］采用三次樣條代替線性變換來包絡(luò)信號(hào)，文獻(xiàn)［9］利用三次B樣條插值代替線性變換包絡(luò)信號(hào)，均解決了毛刺和頻率失真問題。三次樣條插值法具有收斂性好、光滑度高等特點(diǎn)，但三次樣條插值會(huì)在包絡(luò)過程中產(chǎn)生過包絡(luò)或欠包絡(luò)現(xiàn)象，尤其在具有沖擊信息的強(qiáng)非平穩(wěn)信號(hào)中更加明顯。借鑒文獻(xiàn)［8，9］的思想，本文擬將三次Hermite插值應(yīng)用于ITD方法中，該方法具有保形特性，尤其適合于具有強(qiáng)非平穩(wěn)特性信號(hào)的分析。因此結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值和ITD方法的優(yōu)點(diǎn)，提出一種基于三次Hermite插值的局部特征尺度分解方法（CubicHermiteinterpolation-Local characteristic-scale decomposition，簡(jiǎn)稱CHLCD）。

1　基于Hermite插值的內(nèi)稟時(shí)間尺度分解方法

標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值法是一種工程中廣泛應(yīng)用的插值曲線構(gòu)造方法，不僅具有三次樣條插值法收斂性好，光滑度高的特點(diǎn)，相比于三次樣條插值算法效率更高，且構(gòu)造的曲線僅要求節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在保證各點(diǎn)的連續(xù)性和平滑性的同時(shí)又具有優(yōu)良的保形特性，不存在三次樣條插值產(chǎn)生的過包絡(luò)和欠包絡(luò)現(xiàn)象，更適合于具有強(qiáng)非平穩(wěn)特性的振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)擬合。

在ITD分解過程中，其均值曲線的定義是基于信號(hào)本身的線性變換，這導(dǎo)致從第二個(gè)分量開始，PRC分量信號(hào)就出現(xiàn)比較明顯的失真（即能量有泄露），這也必然會(huì)影響分量間的正交性。在均值曲線的計(jì)算中，擬用標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值代替線性變換，這樣結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值和TID的優(yōu)勢(shì)，不僅分解得到的分量沒出現(xiàn)能量泄露現(xiàn)象，而且所得的分量有很好的光滑性。除此之外，借鑒文獻(xiàn)［8］的思想，由于三次Hermite插值和三次樣條插值在ITD方法中的應(yīng)用具有一定的相似性，因此可以把文獻(xiàn)［8］中定義瞬時(shí)頻率具有物理意義的單分量信號(hào)所需條件引入到本文中。

1.1 ITD方法

ITD方法能將待分解的非線性信號(hào)分解為若干PRC及一個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)分量。設(shè)Xt為待分解的信號(hào)，分解之前先定義基線的提取算子L，從而使得從原信號(hào)中去除該基線信號(hào)后的余量成為第一個(gè)PRC。一次分解的表達(dá)式為［8］

式中假設(shè)在［0，τk］上定義了Lt和Ht，而Xt在［0，τk+2］上有定義。在連續(xù)極值點(diǎn)［τk，τk+2］區(qū)間上定義Xt的基線信號(hào)提取算子L，即

式中a是分解時(shí)的增益控制參數(shù)，0＜a＜1；Lt保留信號(hào)在每個(gè)極值點(diǎn)處的單調(diào)性，Ht提取每個(gè)極值點(diǎn)間疊加的局部高頻單分量信號(hào)—固有旋轉(zhuǎn)分量。因此，重復(fù)上述分解過程就可以得到若干PRC及單調(diào)趨勢(shì)項(xiàng)信號(hào)。

1.2 CHLCD算法

雖然ITD克服了EMD和LMD中的一些缺陷，但是文獻(xiàn)［2］中并沒有對(duì)ITD方法及PRC的物理意義做出闡述；另外，由式（2）可知，ITD算法本身是通過線性變換的方法獲取基線信號(hào)，得到的信號(hào)波形顯示毛刺現(xiàn)象而失真。因此，論文借鑒文獻(xiàn)［8］中局部特征尺度分解方法的思想，在闡述ITD分解方法的物理意義基礎(chǔ)之上對(duì)ITD方法進(jìn)行一定的改進(jìn)。

在ITD分解時(shí)，對(duì)于較為理想的PRC，其如式（2）所表示的基線分量在所有區(qū)間［τk，τk+2］中都應(yīng)該為零，式（3）所示的Lk+1也應(yīng)該為零。因此，ITD方法對(duì)原信號(hào)分解獲到的PRC應(yīng)滿足基線分量控制點(diǎn)Lk+1為零。在此基礎(chǔ)之上定義具有物理含義的分量—內(nèi)稟尺度分量（Intrinsic scale component，簡(jiǎn)稱ISC）。所示的ISC分量滿足以下條件：

（1）在所有數(shù)據(jù)段之內(nèi)，任意相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)的符號(hào)互異。

（2）在所有數(shù)據(jù)段之內(nèi)，數(shù)據(jù)波形的極值點(diǎn)是Xk，（k=1，2，???，M），每個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)時(shí)刻是τk，（k=1，2，…，M），由兩個(gè)任意極大或者極小值點(diǎn)（τk，Xk）、（τk+2，Xk+2）連接而成的數(shù)據(jù)段在其中間位置極大或者極小值點(diǎn)（τk+1，Xk+1）所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻τk+1函數(shù)值和該極大（?。┲礨k+1之間的比值保持不變，即可以滿足

上述的兩個(gè)條件能保證ISC分量?jī)蓚€(gè)任意相鄰的極值點(diǎn)間有單一模態(tài)，且在極值點(diǎn)和相鄰零交叉點(diǎn)間近似符合標(biāo)準(zhǔn)的正弦曲線圖形，因此其瞬時(shí)頻率有一定的物理意義。

CHLCD算法是假設(shè)任意復(fù)雜的信號(hào)是不同ISC分量組合而成，任何兩個(gè)ISC分量間是相互獨(dú)立的，這樣就能將該復(fù)雜的信號(hào)分解成若干個(gè)ISC分量，其具體的步驟方法如下：

①確定X（t）所有的極值點(diǎn)Xk，（k=1，2，???，M）和其所對(duì)應(yīng)時(shí)刻τk，（k=1，2，…，M），并且設(shè)置好參數(shù)a，接著計(jì)算每個(gè)基線信號(hào)控制點(diǎn)Lk，即式（3）；然后對(duì)所有Lk進(jìn)行三次Hermite插值，能獲得基線信號(hào)L1。

②將L1從原信號(hào)中進(jìn)行分離，即一次插值獲得的信號(hào)另保存為P1。可以認(rèn)為P1是一個(gè)ISC分量，則P1為信號(hào)x（t）的第1個(gè)單分量。另外，理想的ISC分量必須滿足Lk+1為零，實(shí)際上可以設(shè)置變動(dòng)量Δ，當(dāng)||Lk+1≤Δ時(shí)迭代終止。

③如獲得的信號(hào)P1不滿足上述ISC條件，就會(huì)將P1作為原信號(hào)重復(fù)上述步驟①和②，再循環(huán)k次，直到獲得單分量Pk，并且分量Pk滿足ISC的條件，即為信號(hào)x（t）的第1個(gè)分量ISC1。

④將ISC1從x（t）中進(jìn)行分離，剩下的則成為一個(gè)全新的信號(hào)r1，將r1視為原信號(hào)重復(fù)上述步驟①、②和③，獲得x（t）的第二個(gè)滿足ISC條件的單分量ISC2。重復(fù)步驟循環(huán)n次，可以得到信號(hào)x（t）的n個(gè)滿足ISC條件的單分量，直至rn是一單調(diào)性函數(shù)結(jié)束。這樣就可以將x（t）分解為n個(gè)ISC和一個(gè)單調(diào)性函數(shù)rn之和，即

2　仿真信號(hào)分析

考察如式（5）所示的仿真信號(hào)

x（t）由一個(gè)調(diào)幅調(diào)頻分量和一個(gè)正弦分量組成。如圖1所示。

圖1仿真信號(hào)時(shí)域波形圖

圖2為待分析信號(hào)的FFT頻譜和信號(hào)功率譜。為比較分解效果，在端點(diǎn)效應(yīng)處理后采用ITD和CHLCD方法對(duì)其進(jìn)行分解。其中端點(diǎn)效應(yīng)處理方法都采用G Rilling提出的鏡像對(duì)稱延拓方法［10］。首先將信號(hào)通過端點(diǎn)延拓處理，接著采用ITD和CHLCD方法分別對(duì)延拓后的信號(hào)進(jìn)行分解，得到單分量信號(hào)，如圖3和圖4所示。兩種方法都可以將各單分量成分分解出來，但是ITD分解的結(jié)果呈現(xiàn)出明顯的毛刺現(xiàn)象，使得信號(hào)失真；CHLCD分解的結(jié)果較為光滑，避免了出現(xiàn)毛刺現(xiàn)象。

圖2　仿真信號(hào)FFT頻譜和信號(hào)功率譜

圖3　 ITD分解結(jié)果

圖4　 CHLCD分解結(jié)果

從以上分解結(jié)果可知，兩種方法都可以把各單分量分解出來，下面再從兩個(gè)分量的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值加以分析，結(jié)果分別如圖5和圖6所示。圖5和圖6所求得的瞬時(shí)特征信息中，比較第1個(gè)分量的瞬時(shí)包絡(luò)幅值和瞬時(shí)頻率，ITD和CHLCD方法的結(jié)果很接近，效果都比較好，但是ISC1的效果也明顯優(yōu)于PRC1；比較第2個(gè)分量可以發(fā)現(xiàn)，無論是瞬時(shí)頻率還是瞬時(shí)包絡(luò)幅值，ISC2的效果都比PRC2的更準(zhǔn)確，波動(dòng)性更小，而且差別更加明顯。因此，說明CHLCD是一種有效可行的分解方法。

圖5　 ITD分解單分量的瞬時(shí)包絡(luò)幅值和瞬時(shí)頻率

圖6　 CHLCD分解單分量的瞬時(shí)包絡(luò)幅值和瞬時(shí)頻率

分析單分量信號(hào)的瞬時(shí)包絡(luò)幅值和瞬時(shí)頻率后，然后再通過Hilbert譜和邊際譜來比較分析，經(jīng)過上述幾種分解方法分解后進(jìn)行Hilbert變換，得到的Hilbert-Huang時(shí)頻圖如圖7—圖8所示。由于ITD分解采用線性變換，得到的Hilbert譜出現(xiàn)較大失真，使相應(yīng)的時(shí)頻譜圖失去了原有的物理意義，無法準(zhǔn)確地反映出原信號(hào)的瞬時(shí)幅值和隨時(shí)間變化的頻率規(guī)律；CHLCD得到的Hilbert時(shí)頻圖很好地反映了原信號(hào)的基本信息，沒有出現(xiàn)較大偏差。圖9—圖10為兩種方法的邊際譜，ITD中心頻率處出現(xiàn)較多虛假成分，而CHLCD方法得到的邊際譜明顯改善不少。因此，CHLCD分解方法和其它分解方法相比具有明顯的優(yōu)越性。

綜上所述，從各方面比較兩種方法的效果，在時(shí)域圖方面，CHLCD沒有出現(xiàn)毛刺，解決了ITD毛刺問題；分量瞬時(shí)幅值和頻率方面，CHLCD改善了ITD方法的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值失真問題，具有較好的效果；從Hilbert-Huang時(shí)頻圖和邊際譜方面，CHLCD分解分量的頻率更加集中，能準(zhǔn)確地反映出原信號(hào)的瞬時(shí)幅值和隨時(shí)間變化的頻率規(guī)律。因此，從各方面都證明了CHLCD方法比ITD方法更具優(yōu)越性。

圖7　 ITD分解得到的Hilbert-Huang時(shí)頻圖

圖8　 CHLCD分解得到的Hilbert-Huang時(shí)頻圖

圖9　 ITD分解得到的邊際譜

圖10　 CHLCD分解得到的邊際譜

3　實(shí)例應(yīng)用

為驗(yàn)證CHLCD方法的有效性，將該方法應(yīng)用到滾動(dòng)軸承的故障診斷中。在滾動(dòng)軸承發(fā)生機(jī)構(gòu)損傷時(shí)，其運(yùn)行的過程中會(huì)出現(xiàn)周期性的沖擊，同時(shí)激發(fā)軸承中元件的固有頻率，從而導(dǎo)致高頻衰減振動(dòng)，其中高頻衰減的振動(dòng)幅值會(huì)被周期沖擊振動(dòng)所調(diào)制。因此，為了更好的提取滾動(dòng)軸承相應(yīng)的故障特征，需要對(duì)軸承的故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行解調(diào)分析。包絡(luò)解調(diào)方法是一種基于Hilbert變換的解調(diào)分析方法，可以對(duì)軸承的故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行解調(diào)分析，得到相應(yīng)的故障特征信息，因此將CHLCD方法與包絡(luò)解調(diào)相結(jié)合應(yīng)用到滾動(dòng)軸承的故障診斷中。

為驗(yàn)證上述方法的有效性，選用美國(guó)凱撒西儲(chǔ)大學(xué)電氣工程實(shí)驗(yàn)室公開的軸承數(shù)據(jù)。采樣頻率為12 kHz，轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，負(fù)載為0 HP，故障點(diǎn)的直徑為0.177 8 mm，故障深度為0.279 4 mm。計(jì)算的轉(zhuǎn)頻fr≈29.95Hz，外圈故障特征頻率fo≈107.3 Hz，內(nèi)圈故障特征頻率fi≈166.4Hz。

首先任意選擇一個(gè)具有外圈故障的振動(dòng)加速度信號(hào)，其時(shí)域圖如圖11所示，用CHLCD方法對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)分解，得到的分量圖如圖12所示。

圖11　外圈故障狀態(tài)信號(hào)時(shí)域圖

圖12　外圈故障信號(hào)CHLCD分解后的分量

滾動(dòng)軸承在發(fā)生故障時(shí)，其故障特征往往集中在高頻部分，因此選取CHLCD分解的前兩個(gè)分量作Hilbert解調(diào)分析，得到其包絡(luò)信號(hào)，然后對(duì)包絡(luò)信號(hào)進(jìn)行譜分析得到其包絡(luò)譜。圖13和圖14分別為前兩個(gè)分量的包絡(luò)譜。

圖13　外圈故障第一個(gè)分量包絡(luò)譜

圖14　外圈故障第二個(gè)分量包絡(luò)譜

從圖13和圖14分量的包絡(luò)譜中可以看出，在故障頻率fo及其倍頻處出現(xiàn)明顯峰值，驗(yàn)證了此時(shí)軸承的外圈出現(xiàn)故障。

為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性，再任意選取一個(gè)具有內(nèi)圈故障的振動(dòng)加速度信號(hào)，其時(shí)域圖如圖15所示，經(jīng)過CHLCD分解后得到的分量時(shí)域圖如圖16所示。

圖15　內(nèi)圈故障狀態(tài)信號(hào)時(shí)域圖

圖16　內(nèi)圈故障信號(hào)CHLCD分解后的分量

同樣選擇其分解得到的前兩個(gè)分量作Hilbert變換，然后得到相應(yīng)的包絡(luò)譜如圖17和圖18所示。

圖17　內(nèi)圈故障第一個(gè)分量包絡(luò)譜

從圖17和圖18分量的包絡(luò)譜中可以看出，在故障頻率fi及其倍頻處出現(xiàn)明顯峰值，驗(yàn)證了此時(shí)軸承的內(nèi)圈出現(xiàn)故障。

圖18　內(nèi)圈故障第二個(gè)分量包絡(luò)譜

4　結(jié)語

本文在ITD的基礎(chǔ)上，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值的優(yōu)點(diǎn)，提出一種基于三次Hermite插值的特征

尺度分解方法（CHLCD），并給出該方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解的詳細(xì)步驟。對(duì)CHLCD方法和ITD方法進(jìn)行對(duì)比分析，從多個(gè)層面比較兩種分解方法，結(jié)果表明CHLCD方法能夠改善ITD方法分解得到的分量出現(xiàn)波形失真的缺點(diǎn)。

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Local Characteristic-scale Decomposition Method Based on Cubic Hermite Interpolation

LIJun1，2，PAN Meng-chun1
（1.College of Mechatronics Engineering andAutomation，National University of Defense Technology，Changsha 410082，China；2.Air Force Military Representative Office in Changsha，Changsha 410082，China）

Since linear transformation is used to obtain baseline signal in intrinsic time scale decomposition（ITD）method，burr and instantaneous frequency distortion will appear in the decomposition results.Therefore，a rational Cubic Hermite interpolation—Local characteristic-scale decomposition（CHLCD）method is presented.In this method，any complex signal can be adaptively decomposed into a sum of several independent rational intrinsic scale components（ISCs），whose instantaneous frequencies have obvious physical meanings.Firstly，the principle of the CHLCD method was analyzed.Then，the detailed steps of CHLCD of signal were given.Finally，a simulation signal was adopted to verify the CHLCD method.Experimental results show that the CHLCD method can effectively decompose signals.

vibration and wave；local characteristic-scale decomposition；cubic Hermite interpolation；signal processing；fault diagnosis

TH113

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.033

1006-1355（2015）05-0159-05+175

2015－03－30

李軍（1984－），男，碩士研究生。E-mail:pansea1989@163.com

潘孟春（1963－），男，教授。