楊健

【摘要】本文分析了在高校開展圖論教學的重要意義，指出現(xiàn)階段圖論教學中普遍存在的一些不足之處，并從教學內(nèi)容、教學任務、教學形式等方面進行分析，探討了圖論的教學方法和教學模式。

【關鍵詞】圖論 組合數(shù)學 教學方法

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）08-0178-02

一、前言

在計算機科學和互聯(lián)網(wǎng)技術的推動下，近幾十年里圖論取得了一系列發(fā)展成果。如今，圖論的理論和方法越來越受到各行各業(yè)的廣泛關注，它已逐漸成為解決工程、信息、交通、經(jīng)濟等各領域實際問題的重要工具之一。但不容忽視的是，在國內(nèi)的許多高等院校，圖論這門課程卻沒有因此得到足夠的重視，在高校開設圖論課程的專業(yè)很少。另外，在圖論教學上也存在課時有限，教學方法單一，重理論輕應用，學生的學習積極性不高等問題，針對這些問題，本文深入分析圖論開展的必要性及其重要意義，并對圖論的教學改革，作了詳盡的探討和分析，提出幾點教學思路和方法。

二、圖論教學的重要意義

1.有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)

相對于數(shù)學領域的其他課程，圖論具有其鮮明的特點，體現(xiàn)在圖論概念抽象深奧、研究對象結構復雜、邏輯推理嚴密、證明技巧性強，大多問題本身雖然樸素易懂，可是求解方法經(jīng)常難以想到。正因此，圖論理論的建立往往蘊含著巧妙的構造、創(chuàng)新的思維以及嚴密的邏輯推導。通過圖論的學習，學生可以深刻地體會到人類思維的深邃廣袤，領略豐富多樣的數(shù)學證明方法，見識巧妙精細的圖形構造，并有意識性地去掌握這些證明方法、構造技巧和思維方式，從而培養(yǎng)自己的數(shù)學邏輯思維能力和創(chuàng)造能力，進一步提高自己的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學悟性。

2.有助于提高分析問題和解決問題的能力

圖論是一門產(chǎn)生于實際且服務于實際的課程。特別是進入二十世紀以后，由于計算機科學技術的迅速發(fā)展，使得圖論中許多復雜問題的求解成為可能，而在生產(chǎn)活動中所出現(xiàn)的其他領域的許多大規(guī)模問題又都可以轉化成圖論問題，因此，圖論在實際生活當中的應用變得越來越廣泛，例如信息傳輸問題、交通網(wǎng)絡問題等等。學生在學習圖論過程中，可以結合現(xiàn)實生活中的問題，分析如何將其轉化成圖論問題，并設計算法加以解決，以提高自己利用理論知識解決實際問題的能力。

3.有助于提高學生的算法設計和實現(xiàn)能力

圖論中很重要的一部分內(nèi)容，就是其中的經(jīng)典問題及其有效算法，例如最短路問題的Dijsktra算法，最小生成樹的Kruskal算法和Prim算法，二部圖最大匹配的匈牙利算法，最大流的標號算法等等。在教學過程中，要求學生深刻理解這些基本算法，并嘗試去編寫算法的程序代碼。同時，在此基礎上，也可以適當?shù)靥岢鲆恍┡缮鷨栴}，啟發(fā)學生學習如何設計算法，比如在學習最小生成樹的算法時，可以要求學生設計求最小森林的算法。在現(xiàn)實生活中，解決其它實際問題的算法往往是以這些基本算法作為子算法，或在此基礎上進行適當修改而成的。因此，通過圖論的學習，可以提高學生對算法的理解和設計能力，強化程序代碼的編寫能力。

三、圖論的教學方法探析

1.基本理論與實例相結合，準確把握理論的涵義

概念豐富難懂，理論抽象深奧，是圖論的一大突出特點，學生常常因此望而生畏。要學好圖論，必須首先要準確深刻地理解圖論的基本理論。為了讓學生做到這一點，在教學時，應堅持理論與實例相結合。講解概念時，應首先讓學生掌握概念的本質涵義，然后通過一些具體的圖，讓學生直觀上就能準確理解概念。例如，若連通圖 的頂子集 使得 不連通，則稱 是 的點截集，僅僅掌握這個定義遠不能深刻理解點截集的涵義，應通過圖示的方法進一步說明，若 是 的點截集， 是 的所有連通分支，則當 時， 與 無邊相連，而每個 與 之間必有邊相連；倘若 是 的最小點截集，則抓住極小性，可知 中的每一頂點在每 個中必有鄰點。

2.注重啟發(fā)式教學，提高學生的主動性

由于圖論理論抽象，結構復雜，又受到課時的限制，在課堂上，老師難以面面俱到。因此，在教學方式上，應當采用啟發(fā)式教學，教師引導學生自覺思考。這一方面可以增加學生的學習興趣，提高主觀能動性，培養(yǎng)學生的自學能力；另一方面讓學生自己深入學習各個知識點，在掌握好這些基本理論后，老師對原教學內(nèi)容進行加深和拓展，從而進一步開拓學生視野，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。例如，在學完二部圖求最大匹配的匈牙利算法后，提示學生一般圖中的 -可增廣鏈會出現(xiàn)什么情況，啟發(fā)學生思考能否用匈牙利算法求一般圖的最大匹配，然后自然地引出開花算法。通過這種啟發(fā)式教學的方式，將學生的思維不斷引向深處，并順理成章地增加教學內(nèi)容，能使學生更連貫更有條理地掌握圖論知識，學習圖論基本思想，理解圖論的發(fā)展規(guī)律。

3.課堂講授與上機操作相結合，培養(yǎng)學生實踐操作能力

圖論與實際應用聯(lián)系非常緊密，而實際問題的解決依賴于算法的設計和實現(xiàn)，針對圖論的基本問題及其算法，現(xiàn)已開發(fā)出一些相應的軟件，如Lingo軟件，Matlab軟件的優(yōu)化工具箱。在理論教學之余，應適當安排一些上機實驗課，讓學生熟悉這些軟件的操作應用，并能解決一些實際問題。另外，在圖論的教學過程中，還應兼顧培養(yǎng)學生獨立設計算法及編寫算法程序代碼的能力，這既可以加深學生對基本算法的理解，同時也培養(yǎng)了學生分析實際問題和解決實際問題的能力。

4.圖論與數(shù)學建模相結合，增加圖論的應用性

傳統(tǒng)的圖論教學中，理論與實際脫離，學生在課堂上掌握了一大堆概念和理論，但是缺乏動手能力。促使學生將學到的知識用到實處，是圖論教學的目的之一。數(shù)學建模是將數(shù)學知識應用于社會生產(chǎn)中的重要手段，在歷年全國大學生數(shù)學建模競賽中，有關圖論的競賽試題曾多次出現(xiàn)，例如1992年B題是求最小生成樹，1994年B題是關于最大獨立頂點集和最小覆蓋等問題?？梢哉f，圖論現(xiàn)已成為解決實際問題的重要工具之一，在圖論教學中將數(shù)學建模的思想、方法和技巧滲透其中是十分必要的，這樣既可以激發(fā)學生的學習興趣，又能啟發(fā)學生自覺思考，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。

5. 板書講授與多媒體課件相結合，讓圖論更加直觀形象

由于圖論的內(nèi)容繁多，結論證明復雜，有時一個定理的證明需要很長的時間，所以在一學期內(nèi)完成圖論的教學，課時十分有限。圖論的學習，最為重要的就是學習掌握圖論的思維方式。傳統(tǒng)的板書教學費時費力，需要花太多的時間書寫文字，若能夠制作成熟的多媒體課件，配合板書進行教學，不僅減少了老師的板書書寫內(nèi)容，同時還可以為學生呈現(xiàn)圖論中各種各樣精美絕倫的圖，增強圖論內(nèi)容的直觀性，讓學生更容易理解。

四、結束語

圖論在國內(nèi)是一門相對年輕的課程，做好圖論的教學工作任重道遠?？偟膩碚f，各個院校各個專業(yè)應結合本身實際情況因材施教，以提高學生的數(shù)學素養(yǎng)為宗旨，以培養(yǎng)學生的思維能力、創(chuàng)新能力和動手能力為目標，選擇適合的教學方法和模式。

參考文獻：

[1]田豐，馬仲蕃.圖與網(wǎng)絡流理論[M].科學出版社，1965.

[2]王樹禾.圖論[M].科學出版社，2004.

[3]謝政，戴麗，陳摯.關于圖論課教學的思考[J].數(shù)學理論與應用，2005，25（4）：139-140.

[4]張清華，陳六新，李永紅.圖論教育教學改革與實踐[J].電腦知識與技術，2012，8（34）： 8235-8237.

[5]向定峰.將數(shù)學建模的思想和方法融入圖論課程教學中的一點嘗試[J].重慶教育學院學報，2006，19（6）：28-31.