雷 暢,胡志根,劉 全

(武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室,湖北 武漢 430072)

基于堰前最高水位最大熵分布的施工導流風險模擬方法

雷 暢,胡志根,劉 全

(武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室,湖北 武漢 430072)

為直觀描述圍堰運行期導流風險率函數(shù),準確進行施工導流風險評估,利用洪峰和洪量聯(lián)合分布,以熵最大為原則推求最高水位分布密度函數(shù),結(jié)合導流建筑物泄流不確定性,隨機模擬堰前最高水位序列,提出了基于堰前最高水位最大熵分布的施工導流風險模擬方法,并計算導流風險率。實例分析表明,該方法模擬的施工洪水能較好地反映實測洪水系列,所推求的堰前最高水位分布密度函數(shù)合理,能彌補傳統(tǒng)施工導流風險模擬難以反映圍堰使用近期實測洪水過程真實情況的不足,在保證準確性的前提下提高了風險計算效率與普適性,可為施工導流風險分析與方案決策提供依據(jù)。關鍵詞：圍堰;施工導流;風險模擬;聯(lián)合分布;最大熵分布

施工導流風險分析是導流方案決策的重要環(huán)節(jié),國內(nèi)外許多學者對此進行了深入細致的研究。周宜紅等[1]基于調(diào)洪演算和圍堰堰前水位變化的隨機微分方程,建立與堰前水位變化直接聯(lián)系的風險率模型,較全面地反映了施工導流系統(tǒng)的影響因素,但堰前水位的分布推求困難,單純采用解析方法難以滿足精度要求。胡志根等[2-3]提出利用蒙特卡羅方法(Moute-Carlo,M-C法)仿真模擬圍堰調(diào)洪過程,確定堰前水位變化過程及其分布函數(shù)。鐘登華等[4-5]、李傳奇等[6]分別采用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖、超立方抽樣-蒙特卡羅方法(LHS-MC)提高仿真模擬的運算效率,改進仿真模型的通用性。以上研究在模擬施工洪水時僅以單一變量(洪峰或洪量)的統(tǒng)計特征值作為控制標準,往往導致模擬洪水系列洪峰與洪量的統(tǒng)計特征值不能同時與實測洪水系列保持一致,無法準確反映實測洪水過程。為此,張超等[7-8]直接根據(jù)實測洪水得到堰前年最高水位序列,采用信息熵法推求其分布函數(shù),但未考慮施工導流系統(tǒng)影響因素的隨機性,不可避免地帶來了誤差,且當實測洪水樣本容量小時,所求分布函數(shù)的精度難以保證。

本文利用Copula函數(shù)構(gòu)造峰量聯(lián)合分布模擬施工洪水過程,耦合泄流不確定性,模擬堰前最高水位序列,基于最大熵原理推求序列的密度函數(shù),提出一種新的導流風險模擬方法,并與M-C法和P-Ⅲ分布法進行比較。

1 堰前最高水位分布模擬

1.1 施工洪水的模擬

Copula函數(shù)是邊緣分布為[0,1]區(qū)間均勻分布的聯(lián)合分布函數(shù),能獨立于隨機變量的邊緣分布反映隨機變量的相關性結(jié)構(gòu),且模擬序列能較好地保持原序列的統(tǒng)計特征[9]。本文采用Gumbel-Hougaard Copula描述洪峰和洪量的相關性,模擬聯(lián)合重現(xiàn)期對應的施工洪水過程,表達式[10]如下:

(1)

式中:F(q,w)為洪峰q和洪量w的聯(lián)合分布函數(shù);Fq(q)、Fw(w)分別為q和w的邊緣分布函數(shù),假設均服從P-Ⅲ型分布;θ為Copula函數(shù)參數(shù)。

1.2 堰前最高水位序列的模擬

堰前最高水位主要由施工洪水與導流建筑物的泄流能力共同控制。其中,施工洪水峰量聯(lián)合分布服從[0,1]上的均勻分布;導流建筑物的泄流能力受泄流建筑物糙率的影響,一般服從不對稱三角形分布。堰前最高水位序列{z1，z2，…，zN}可基于M-C隨機抽樣方法通過調(diào)洪演算計算生成。

1.3 堰前最高水位分布的擬定

基于堰前最高水位序列推求其分布規(guī)律屬于不適定問題,受主觀因素和樣本數(shù)量影響較大,采用最大熵原理確定概率分布,能使數(shù)據(jù)不足引起的人為假定影響最小化,同時保證解析結(jié)果的一致性[13]。假設已得到N個堰前最高水位樣本{z1,z2,…,zN},可建立如下優(yōu)化模型:

maxS=-max∫Ωf(z)ln[f(z)]dz

(2)

(3)

式中:S為堰前最高水位z的信息熵;f(z)為z的概率分布的密度函數(shù);rz,i為z的第i階原點矩；m為z的原點矩的階數(shù),一般取3～5;Ω為z所在的集合{z1,z2,…，zN}。

引進Lagrange乘子λi,令其對f(z)的變分為0,并用λ0替代λ0+1,導出熵S最大時f(z)的表達式為

(4)

參數(shù)λ1、λ2、…、λm可采用極大似然估計法進行求解,λ0為λ1、λ2、…、λm的函數(shù):

(5)

該密度函數(shù)的極大似然估計如下:

(6)

將極大似然估計函數(shù)取對數(shù),對λi求偏導,并令其為0,可得

(7)

求解該m次非線性方程組得λ1、λ2、…、λm,代入式(5)可求λ0。

2 基于最大熵原理的施工導流風險模擬

按最大熵原理推求概率密度函數(shù)的精度取決于樣本容量及其上下界值的選定。為同時保證計算精度與效率,計算過程逐步增大樣本容量,當改變樣本容量對頻率值沒有影響,即頻率值收斂時,選定該樣本容量作為計算樣本容量。

本文風險率計算的主要步驟如下:

a. 按照峰量聯(lián)合分布函數(shù)、泄流能力分布產(chǎn)生隨機數(shù),擬合n1組施工洪水過程線和泄流過程線。

b. 仿真計算圍堰堰前最高水位序列{z1，z2,…,zN}。

c. 計算每一個堰前水位樣本落入各個指定區(qū)間的頻率Pn1,k(k=1,2,…,s),s為劃分的區(qū)間數(shù)。

d. 重復步驟a～c,再次生成大于n1的樣本容量為n2的堰前水位序列,并計算Pn2,k,按式(8)計算判斷,若δ<1則認為所選取的樣本容量滿足計算精度要求;否則需增大樣本容量值,重復步驟a～d,直至滿足要求為止,并將最終選定的樣本容量計為N。

(8)

e. 對N個堰前最高水位樣本{z1,z2,…,zN},計算其m階原點矩(一般為3～5階,根據(jù)擬合結(jié)果選擇),由式(2)～(4)計算其分布密度函數(shù)f(z)。

f. 假定圍堰設計擋水位為Z0,計算導流風險率:

(9)

3 實例分析

3.1 工程概況

某航電樞紐工程正常蓄水位183 m,總庫容3.72億m3。大壩采用混凝土重力壩,壩頂高程205.5 m,工程等別為二等,工程規(guī)模為大(2)型。根據(jù)各個導流時期導流建筑物保護對象的級別,自身的使用年限以及圍堰的高度和堰前庫容等指標,參考DL/T 5397—2007《水電工程施工組織設計規(guī)范》,選定的導流建筑物級別為4級臨時建筑物,明渠泄流,土石圍堰全年擋水,導流標準為全年10年一遇,洪峰流量為20 900 m3/s,上游圍堰設計擋水位為188.5 m。洪峰流量均值及其Cv、Cs/Cv分別為13 700 m3/s、0.38、3.5；7天洪量均值及其Cv、Cs/Cv分別為46.2億m3、0.48、3.5；泄流能力隨機參數(shù)的上、中、下限值分別為1.05、1.00、0.95。

3.2 施工洪水分析與擬定

根據(jù)壩址提供的54年洪水過程資料,計算洪峰序列與年最大7 d洪量序列的kendall秩相關系數(shù)τ=0.771 5,Copula函數(shù)參數(shù)θ=4.376,可知其具有較高的相關性,統(tǒng)計量D=0.0713,通過K-S檢驗。聯(lián)合分布函數(shù)表達式為

C(u,v)=exp{-[(-lnu)4.376+(-lnv)4.376]1/4.376}

(10)

3.3 堰前最高水位概率分布擬定

通過調(diào)洪演算生成大量樣本數(shù)據(jù),模擬800次后,樣本容量滿足計算精度要求,密度函數(shù)經(jīng)過K-S檢驗,滿足置信度0.05的要求,其表達式為

f(z)=exp(-18 678+405.66z-3.309z2+

0.012z3-0.000 05z4)

(11)

3.4 風險率計算

根據(jù)導流風險模型對堰前最高水位分布密度函數(shù)積分得到風險率,并與M-C法以及P-Ⅲ分布法進行對比分析,各方法得到的導流風險率如圖1和表1所示。

圖1 堰前最高水位-導流風險率關系曲線

計算方法圍堰擬合擋水高程/m圍堰設計擋水高程/m當量重現(xiàn)期/a風險率/%最大熵法188.3188.510.29.80M-C法188.1188.510.89.26P-Ⅲ分布法188.9188.59.810.21

采用M-C法計算施工導流風險時,計算結(jié)果隨模擬次數(shù)的增加緩慢收斂,如表2所示。

表2 基于M-C法的風險率

3.5 結(jié)果分析

a. M-C法的計算精度在一定程度上取決于模擬次數(shù),由表2可知M-C法模擬20 000次后結(jié)果才收斂,最大熵法僅需800次,計算效率優(yōu)于M-C法。

b. 由表1和圖1可知最大熵法較M-C法與P-Ⅲ分布法得到的導流風險率更為接近,對圍堰使用近期堰前最高水位序列及其分布的模擬效果更優(yōu)。這主要是因為最大熵法和P-Ⅲ分布法均基于近期實測洪水資料,且前者利用峰量聯(lián)合分布模擬施工洪水,可保證峰和量的統(tǒng)計特征值同時與實測系列保持一致,M-C法使用的是考慮歷史洪水影響的設計洪水且僅以洪峰統(tǒng)計特征值作為隨機模擬的控制參數(shù),難以反映圍堰運行期施工洪水的真實情況。

c. 雖均基于實測洪水信息,最大熵法和P-Ⅲ分布法得到的風險率也存在差異。一是因為最大熵法考慮了洪峰和洪量的相關性、峰量組合的隨機性以及泄流的隨機性對施工洪水、泄流能力進行模擬,P-Ⅲ分布法直接根據(jù)實測洪水樣本和單一泄流曲線進行調(diào)洪演算,未考慮施工導流過程中的不確定性因素;二是因為堰前水位是受人工影響和干預后的非自然序列,其概率分布是一個隨機系統(tǒng),因假定的分布函數(shù)形式不同而有所差異。

4 結(jié) 語

本文提出基于最大熵原理構(gòu)建堰前最高水位分布的導流風險模擬方法。該方法利用峰量聯(lián)合分布隨機模擬施工洪水過程,能較好地反映實測洪水系列,彌補了單一變量描述施工洪水過程的局限性;隨機模擬堰前最高水位序列,克服了直接根據(jù)實測洪水得到堰前最高水位的樣本容量小、概率分布函數(shù)精度難以保證的缺點,且對風險影響因素考慮得更為全面;應用最大熵原理推求概率分布函數(shù),提高了風險計算效率并避免了傳統(tǒng)堰前最高水位概率分布函數(shù)確定的隨意性。實例分析表明,該方法的計算結(jié)果是準確和合理的,可應用于施工導流風險計算與方案決策。

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Construction diversion risk simulation method based on maximum entropy distribution of the highest water level in weir//

LEI Chang, HU Zhigen, LIU Quan

(StateKeyLaboratoryofWaterResourcesandHydropowerEngineeringScience,WuhanUniversity,Wuhan430072,China)

Based on maximum entropy distribution of the highest water level in weir, in this paper we present a simulation method of construction diversion risk that intuitively describes the diversion risk rate function of operational cofferdam and accurately assess construction diversion risk. In our method, the highest water level distribution density function is derived by using the distribution of flood peak and flood volume with the maximum entropy principle. Meanwhile, combining the discharge uncertainty of diversion buildings, the method stochastically simulates the highest water level sequence in weir. Then the method is employed to calculate diversion risk rate. The analysis shows that the simulated construction flood can well reflect the measured flood series. Moreover, the derived distribution density function of the highest water level in weir is reasonable, which can fully reflect true situation of recent measured flood in weir compared with traditional methods. On the premise of accuracy, this method improves risk calculation efficiency and applicability. Therefore, the method provides support for risk analysis and program decisions of construction diversion.

weir; construction diversion; risk simulation; joint distribution; maximum entropy distribution

國家自然科學基金(51279137,51379164)

雷暢(1990—),女,湖北松滋人,碩士研究生,主要從事施工導流風險分析與決策研究。E-mail:aimeelei@whu.edu.cn

10.3880/j.issn.1006-7647.2015.03.006

TV551.1

A

1006-7647(2015)03-0030-04

2014-03-10 編輯：鄭孝宇)