黃卿征
《全日制義務教育數(shù)學課程標準》對數(shù)學建模提出了明確要求,強調(diào)“從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā),讓學生親自經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程,進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展”。由此可見,在教學中不斷滲透數(shù)學建模思想,回歸實踐原野,追尋數(shù)學本真,促使學生逐步了解利用數(shù)學建模的思想和方法分析和解決問題的全過程,不斷提高他們建模聯(lián)想的能力,以及應用數(shù)學的意識與能力顯得尤其重要。下面我結合自己在初一數(shù)學課堂教學中對學生數(shù)學建模意識的培養(yǎng)談幾點做法。
一、創(chuàng)設問題情境,滲透建模意識
在教學過程中,時常能遇到一些創(chuàng)設有關知識情境的問題,這些問題大多數(shù)可以結合數(shù)學思想、數(shù)學方法進行教學。在這個教學過程中進行數(shù)學建模思想的滲透,不僅可以使學生體會到數(shù)學并非只是一門抽象的學科,而且可以使學生感悟利用數(shù)學建模的思想結合數(shù)學方法解決實際問題的妙處,進而對數(shù)學產(chǎn)生更濃厚的興趣。
【案例】在教義務教育課程標準實驗教科書(華師大版)數(shù)學初中一年級(七年級)(上)教材中,“有理數(shù)的加法”這一節(jié)的第一部分就是學習有理數(shù)的加法法則,課文是按提出問題……進行實驗……探索、概括的步驟得出法則的。教學中先給學生提出問題:“一位同學在一條東西向的跑道上,先走了20米,又走了30米,能否確定他現(xiàn)在位于原來位置的哪個方向?與原來位置相距多少?”然后讓學生回答出這個問題的答案。(結果在實際教學中我發(fā)現(xiàn)學生所回答的答案中包括了全部可能的答案,這時我趁勢提問回答出答案的同學是如何想出來的,并把他們的回答一一寫在黑板上,用1、2、3、4……區(qū)分出不同的分類情況。)在學生回答完之后,就可以順勢介紹數(shù)學建模的數(shù)學思想和分類討論的數(shù)學方法,并結合這個問題介紹數(shù)學建模的一般步驟:首先,由問題的意思可以知道求兩次運動的總結果,是用加法解答的;然后對這個問題進行適當假設:①先向東走,再向東走;②先向東走,再向西走;③先向西走,再向東走;④先向西走,再向西走。接下來根據(jù)四種假設的條件規(guī)定向東為正,向西為負,列出算式分別進行計算,根據(jù)實際意思求出這個問題的結果。
最后引導學生觀察上述四個算式,歸納出有理數(shù)的加法法則。這樣一來,不僅可以使學生學習有理數(shù)的加法法則,理解有理數(shù)的加法法則,而且在這個過程中使學生學習到了分類討論的數(shù)學方法,并且對數(shù)學建模有了初步印象,為今后進一步學習數(shù)學建模打下了堅實的基礎。利用課本知識的教學,在學生學習知識的過程中滲透數(shù)學建模的思想,能夠使學生初步體會數(shù)學建模的思想,了解數(shù)學建模的一般步驟,進而培養(yǎng)學生用數(shù)學建模思想處理實際中的某些問題,提高解決問題的能力,促進數(shù)學素質的提高。
二、挖掘教材資源,強化建模意識
數(shù)學概念、公式、方程式和算法系統(tǒng)等都是數(shù)學專家從現(xiàn)實生活實踐中總結出來的數(shù)學模型,數(shù)學模型不同于一般的模型,它是用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實的一種模型,即把一個實際問題中某些事物的主要特征、主要關系抽象成數(shù)學語言,近似地反映客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化過程,可以說,根據(jù)數(shù)學建模的思想一直貫穿在數(shù)學教材中。只要我們深入鉆研教材,挖掘教材所蘊涵的數(shù)學建模與應用數(shù)學的內(nèi)容,從中總結提煉,就能找到數(shù)學建模教學的良好素材及最佳滲透時機。
【案例】華氏溫度=攝氏溫度×1.8+32,86℉相當于多少℃?這是一道簡單的列方程解應用題,教學時對習題進行了改造,簡要教學過程如下:
(一)創(chuàng)設問題情境
1.出示攝氏溫度和華氏溫度對照表。
2.猜一猜,你知道它們是如何換算的嗎?
(二)建立數(shù)學模型
1.填表:4℃相當于多少℉?10℃呢?
2.交流:探索換算規(guī)律,用自己的語言說一說。
(每增加1℃,就增加1.8℉;華氏溫度比攝氏溫度的1.8倍還多32;華氏溫度=攝氏溫度×1.8+32)
3.建模:如果用x表示攝氏溫度,華氏溫度該怎么表示?(1.8x+32)
(三)應用數(shù)學模型
1.應用:86℉相當于多少℃?學生根據(jù)等量關系,列出方程并解答。(1.8x+32=86)
2.拓展:還有哪些問題可以用這樣的方法解決?
上述案例中,教者以建模的思想組織數(shù)學材料,讓學生在材料的引領下構建數(shù)學模型,為學生提供了充分的探索與實踐的機會,帶領學生經(jīng)歷了分析問題(找等量關系)—列出方程表示—解方程等過程。這樣的分解處理,既考慮到學生的建模意識和建模能力還處在啟蒙階段,避免“越位”和增加負擔,又發(fā)揮了教師的主導作用,及時“補位”,提升了探索效益。學生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中,較好地達到了“經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學問題(方程)的過程,積累將現(xiàn)實問題‘數(shù)學化’的經(jīng)驗,感受方程的思想方法及價值,發(fā)展抽象能力和符號感”這一過程性目標。
三、歸納總結教材,提高建模能力
只要教師是有心人,經(jīng)過精心設計,課本中的數(shù)學問題大都可挖掘出生活模型,生活模型又可關聯(lián)數(shù)學模型,選擇緊貼社會實際的典型問題深入分析,逐漸開展初中數(shù)學建模教學。通過歸納總結,逐步擴展到讓學生用已有的數(shù)學知識解釋一些實際結果,描述一些實際現(xiàn)象,模仿地解決一些比較確定的應用問題,進而提升到能獨立地解決數(shù)學應用問題(建模問題等),最后發(fā)展成能獨立地發(fā)現(xiàn)、提出一些實際問題,并能用數(shù)學建模的方法解決它。
【案例】在義務教育課程標準實驗教科書(華師大版)數(shù)學初中一年級(七年級)(下)第6章《一元一次方程》教材中,為了在方程的應用中體現(xiàn)數(shù)學模型思想,在教學中我讓學生完成3個問題:
1.尋找教材中編寫模型(方程)相同,但背景不同的應用題。
如教材第11頁例7:學校團委組織65名團員為學校建花壇搬磚,初一同學每人搬6塊,其他年級同學每人搬8塊,總共搬了400塊.問初一同學有多少人參加了搬磚?與本文提到的第11頁練習3;還有第16頁問題3與第17頁練習1:為慶祝校運會開幕,初一(2)班學生接受了制作小旗的任務.原計劃一半同學參加制作,每天制作40面。完成了三分之一以后,全班同學一起參加,結果比原計劃提前一天半完成任務,假設每人的制作效率相同,問共制作小旗多少面?顯然,若采用直接設元,則它們列出的方程相同.
2.給出模型(方程),讓學生添背景編題。
如第17頁練習3:編一道聯(lián)系實際的數(shù)學問題,使所列的方程是3x+4(45-x)=150.對于這一模型的應用題,上文中提到的第11頁例7可以算是它的一個原形,學生若能根據(jù)生活經(jīng)驗及所學的知識進行編題,則可讓學生自由創(chuàng)作;若不能達到這一程度,則可以讓學生先模仿第11頁例7編題.
3.讓學生改換背景編題。
如第19頁習題6.3,3的第1題:試將下題內(nèi)容改為與我們?nèi)粘I?、學習有關的問題,使所列的方程相同或相似:食堂存煤若干噸,原來每天燒煤3噸,用去15噸后,改進設備,耗煤量改為原來的一半,結果多燒了10天,求原存煤量.
通過以上三個層次的編寫使學生更深刻地領會模型思想,懂得從千變?nèi)f化的問題中尋找出共同點——數(shù)學模型。
總之,在數(shù)學建模活動教學中,我們的教學設計要注重從生活實際出發(fā),強調(diào)學生的參與性。對于許多讓學生感到無從入手的問題,我們不能急于一時,要一步一步把這“建”的意識培養(yǎng)起來。因為學生出現(xiàn)的這些困難并不都是數(shù)學上的,更多的往往是生活經(jīng)驗及相關知識的缺乏、或對問題的興趣和專注程度等。因此,我們在數(shù)學建模教學的活動設計中,要注意以下幾點:(1)注意從學生已有的認知水平出發(fā),小步子、低要求、分層遞進。(2)注意結合正常教學的教材內(nèi)容。(3)注意建模過程的構建,培養(yǎng)學生思考的過程。(4)注意培養(yǎng)學生用建模的眼光看問題。(5)選題要適當,要有科學性、實用性、趣味性,要符合中學生的認知特點,與生活實際相聯(lián)系。在建模過程中要善于引導學生透過實際問題的現(xiàn)象,抓住數(shù)學問題的本質,尋求問題的內(nèi)在聯(lián)系,綜合運用數(shù)學知識。