蔣建新，李艷艷(文山學院數理系，云南文山663000)

非奇異M矩陣Hadamard積的特征值界的新序列*

蔣建新，李艷艷
(文山學院數理系，云南文山663000)

利用非奇異M矩陣A的逆矩陣A－1元素單調的上下界序列和改進的圓盤定理，得到了M矩陣B與A－1的Hadamard積以及最小特征值下界單調遞減的新估計式.

M矩陣;Hadamard積;最小特征值;下界

關于非奇異M矩陣A的逆矩陣A－1與M矩陣B的Hadamard積的最小特征值下界的研究，已得到許多估計式［1－6］.但這些估計式有些涉及矩陣的特征值，有些涉及A－1的元素，有些又涉及A的譜半徑，當矩陣階數較大時計算比較困難.此處利用非奇異M矩陣A的逆矩陣A－1元素單調的上下界序列和改進的圓盤定理，得到了下界單調遞減的一系列新估計式.這些估計式只與矩陣的元素有關，當迭代次數較高時，幾乎可以逼近真值.

1　預備知識

首先引入一些記號:

其次，給出一些定義和引理.

定義1［1］設，如果則稱A為Z矩陣.

定義2［1］設為Z矩陣，若A可表示為，其中，則稱A為M矩陣，當α＞ρ(P)時，稱A為非奇異M矩陣，非奇異M矩陣的集合用Mn表示.

定義3［1］σ(A)={λ1，λ2，…，λn}表示矩陣A=(aij)∈Cn×n的n個特征值λ1，λ2，…，λn組成的集合，稱為A的譜，A的最小特征值記作τ(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)}.

定義4［1］設稱為A和B的Hadamard積.

引理1［1］若A=(aij)∈Rn×n是M矩陣，則存在正對角矩陣D，使D－1AD是嚴格對角占優(yōu)矩陣，也是M矩陣.

引理2［1］設A，B，C，D∈Rn×n，其中C，D是對角矩陣，則

引理3［2］設A=(aij)∈Cn×n，x1，x2，…，xn是一組正實數，則A的所有特征值包含在復平面C的如下區(qū)域中:

引理4［3］設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)的M矩陣，則i，j∈N，j≠i，t=1，2，…，有式(1)(2)成立:

引理5［3］設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)M矩陣，則A－1=(βij)存在且有下列不等式(3)成立:

2　主要結果

又因為

則有

化簡整理得

2)若A，B有一個可約，類似文獻［5］中定理2.2.2的證明知此時定理1也成立.

3　數值例子

假設

此例進一步說明了所得結果的有效性.

［1］陳景良，陳向暉.特殊矩陣［M］.北京:清華大學出版社，2000

［2］王德鳳.矩陣Hadamard積與Fan積的最小特征值與譜半徑界的估計［D］.昆明:云南大學，2011

［3］趙建興.M-矩陣最小特征值估計及其相關問題研究［D］.昆明:云南大學，2014

The New Sequence of the Eigenvalue Bounds of the Hadamard Product of Nonsingular Matrix

JIANG Jian-xin，LIYan-yan
(Department of Mathematics and Physics，Wenshan University，Wenshan 663000，China)

By using the upper and lower bounds on themonotone sequence for inversematrix A－1elements of nonsingular M matrix A and improved disk theorem ofmatrix，this paper obtains the new estimator of theminimum eigenvalue bounds decreasingmonotonically of Hadamard product of M matrix B and A－1.

matrix;Hadamard product;minimum eigenvalue;lower bound

O151.2

A

1672－058X(2015)09－0020－03

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.005

2015－03－13;

2015－04－02.

云南省教育廳科學研究基金項目(2013Y585);文山學院重點學科數學建設項目(12WSXK01).

蔣建新(1981-)，男，講師，碩士，從事矩陣理論及其應用研究.