翟學超，戚鳳華，許亞芳，周興飛，金國鈞南京大學物理學院固體微結構國家重點實驗室人工微結構與量子調控協(xié)同創(chuàng)新中心 南京 210093

二維六角晶體材料中的Dirac電子

翟學超，戚鳳華，許亞芳，周興飛，金國鈞*
南京大學物理學院固體微結構國家重點實驗室人工微結構與量子調控協(xié)同創(chuàng)新中心 南京 210093

本文綜述由碳、硅、硼氮和二硫化鉬等單元素或雙元素構成的二維六角晶體材料中Dirac電子的研究成果與最新進展。文章從引言開始，接著介紹這些二維六角晶體材料的空間結構和基本電子性質；然后探討外場調控下這些材料在能譜和光吸收、量子輸運、激子凝聚和熱Josephson效應，以及拓撲量子相變等方面所表現(xiàn)出來的新奇的物理現(xiàn)象、簡要的理論處理和可能的應用前景；最后給出二維六角晶體材料相關研究的總結和展望。謹以本文獻給南京大學建立物理學科100周年。

二維六角晶體；Dirac電子；外場調控；光吸收；量子輸運；激子凝聚；Josephson效應；拓撲量子相變；Berry相位

I.引言

低維和納米結構是當前凝聚態(tài)物理學的重要研究領域［1］。其中獲得“平面國”［2］美譽的二維系統(tǒng)，因為處在臨界維數(shù)，而特別為物理研究者們所倚重。理論上早就對嚴格二維的單層石墨（graphene）進行過能譜方面的研究［3］，而實驗上成功制備這種二維六角晶體材料是在10年前的2004年，是由Manchester大學的Novoselov和Geim等人從三維石墨塊體材料中機械剝離出來的［4］。獨特的低能無質量Dirac電子的線性色散關系［5］、極高的電子遷移率［6］和熱導率［7］，以及巨大的機械強度［8］等一系列優(yōu)異的物理性質使得這種碳單層［9］迅速成為當前凝聚態(tài)物理學和材料科學領域最熱門的研究對象之一。基于碳單層的實驗、理論以及器件應用的研究工作層出不窮。因實驗工作的首創(chuàng)性和碳單層卓越的應用前景，Novoselov和Geim一起榮獲2010年的Nobel物理學獎。

由于碳單層中電子的運動遵循相對論性的Dirac方程，這為廣大科研工作者打開了一個新的研究領域—相對論性的凝聚態(tài)物理學。人們已經(jīng)知道，碳單層可以表現(xiàn)出許多奇異的物理現(xiàn)象，比如已經(jīng)被實驗所證實的Klein隧穿［10］、異常整數(shù)量子Hall效應以及分數(shù)量子Hall效應［11］等。最近幾年的研究工作主要集中在外加應變場［5，8］或強磁場［11］、改變層數(shù)［12］、構造超晶格［13］等方式來調制碳單層材料中電子的能譜結構，以及通過納米尺寸限制效應、引入缺陷等方式來誘導其磁性的產(chǎn)生［14，15］。

繼碳單層成功制備之后，許多新的二維材料相繼涌現(xiàn)，例如硅、硼氮和二硫化鉬等不同種元素構成的二維六角晶體材料［16，17］。與碳單層相比，這些材料由于在空間價鍵結構與對稱性上存在著顯著的差異，又導致出現(xiàn)許多新奇的物理性質，也揭示了許多可在未來電子學、自旋電子學、光電子學等領域中進行應用的前景。為適應目前對二維材料持續(xù)高漲的研究熱情，IOP Publishing Ltd于今年創(chuàng)刊了一本新的雜志2D Materials［18］。

基于目前的這些研究，本文主要綜述由碳（C）、硼氮（BN）、硅（Si）以及二硫化鉬（MoS2）等單元素或雙元素構成的二維六角晶體材料中Dirac電子的研究成果和最新進展，主要內容包括這些材料的空間結構和基本電子性質，外場調控下的能譜和光吸收、量子輸運、激子凝聚和熱Josephson效應，以及拓撲量子相變。

II.空間結構和基本電子性質

本節(jié)我們將重點介紹幾種典型的二維六角晶體材料的空間結構和基本電子性質。具體材料包括碳單層和雙層，以及硅、硼氮和二硫化鉬的單層和雙層材料等。雖然實驗上實際制作和進行觀測的碳單層是平面上略有起皺的結構，但將其看做嚴格的二維晶體在適當?shù)慕葡率强尚械摹?/p>

A.碳單層和雙層

由于實驗上成功地制備碳單層及碳雙層，這掀起了對二維材料研究的熱潮。為了更好地研究二維材料的性質，我們以初始的二維材料，碳單層和雙層，作為考察對象，分別從實空間和倒空間兩個方面來重點闡述二維六角材料的空間結構以及基本電子性質。

1.碳單層的實空間和倒空間描述

對于碳基材料，由于碳原子的s軌道與p軌道靠得非常近，這就導致s和p軌道可以通過不同的方式進行軌道雜化，從而形成不同的碳的同素異形體。其中，sp2雜化可以形成所謂的碳單層二維結構［19］，實驗樣品如圖1（a）所示；實空間的具體結構如圖1（b）所示，它是由兩個相互嵌套的三角格子組成的二維六角蜂巢復式晶格。碳單層的一個原胞中包含兩個不等價的碳原子（分別標記為A和B），相鄰的每兩個碳原子通過sp2雜化形成σ共價鍵緊密地結合在一起，從而使得碳單層保持穩(wěn)定的二維六角平面結構。

碳單層的兩個晶格基矢a1，a2可以寫為

　圖1.（a）實驗制備的碳單層樣品圖。單層厚度顯示為折疊區(qū)厚度13?與非折疊區(qū)厚度9?之差，約為4?。引自文獻［20］。（b）碳單層的實空間結構。它由A，B兩個三角格子嵌套而成。a1和a2為晶格基矢，δi（i=1，2，3）是鍵矢量。（c）碳單層的倒空間Brillouin區(qū)。b1和b2是倒空間的兩個基矢；Γ，M，K，K′描述的是四個高對稱點。引自文獻［5］。

　圖2.通過π電子緊束縛模型計算得到的碳單層電子色散關系。左圖代表整個能區(qū)，右圖為左圖低能區(qū)的局部放大圖。引自文獻［5］。

由于碳單層中sp2雜化，每個碳原子上剩下一個pz軌道電子，其啞鈴狀的波函數(shù)垂直于碳單層表面，與相鄰碳原子的pz軌道電子共價耦合，形成成鍵態(tài)和反鍵態(tài)，最后分別形成電子能帶中的填滿的價帶（π帶）和空的導帶（π?帶）。碳單層中的低能電子就是來自于碳原子的pz軌道貢獻的π電子。在緊束縛近似下，我們只需考慮電子在最近鄰格點間躍遷即可獲得用來描述低能電子基本性質的Hamilton量其中ci和c?i分別表示第i個原子處湮滅和產(chǎn)生一個電子的算符。

利用Fourier變換，我們可以得到與Hamilton量式（4）對應的其動量空間的形式；進一步地在對動量進行一階級數(shù)展開的近似處理下［5，20］，系統(tǒng)的低能有效Hamilton量表示為

其中σ=（σx，σy），σ?=（σx，-σy）標記的是A、B兩套子格的贗自旋矩陣。和電子真實自旋類似，贗自旋可以改變其向左或向右的方向，指示的是電子位于兩套子格中的哪一個［21］。我們可以容易地求解Hamilton量式（5）的本征方程［22～24］，得到電子的線性色散關系

以及它們的旋量波函數(shù)

其中二維波矢k=（kx，ky）的零點取在Brillouin區(qū)高對稱點K或K′兩個谷位置處，能量的符號±標記的是導帶和價帶，θk=arctan（ky/kx）是動量角，F(xiàn)ermi速度vF=3a0t/（2?）?106m/s。這表明，碳單層中自由運動的電子為無質量Dirac-Fermi子，其獨特的Klein隧穿［10］和異常整數(shù)量子Hall效應［25］的特性已經(jīng)被實驗所證實。圖2給出的就是緊束縛模型下碳單層二維晶體的電子能譜：在|E|＜1 eV的范圍內色散關系是線性的，故Hamilton量式（5）是有效的。

2.碳雙層的緊束縛近似

碳雙層是由兩個碳單層依靠層間van der Waals力耦合堆積起來的。其每個原胞中包含四個碳原子，如圖3所示，下層為A1和B1原子，上層為A2和B2原子。其Brillouin區(qū)與碳單層是一樣的。碳雙層包含四套子格，一般有AA和AB兩種堆積方式，其中頂層的兩套子格分別正對底層的兩套子格為AA堆積；頂層的一套子格正對底層的一套子格，而頂層另一套子格正對底層六角的中心為AB堆積，也叫做Bernal堆積。

圖 3.碳雙層的實空間結構（上圖）和能帶結構（下圖）。（a）AA堆積，（b）AB堆積。能帶結構改編自文獻［5］。

同樣地利用緊束縛近似，對照碳單層的Hamilton量式（4），可以把碳雙層的Hamilton量寫為

對于AA堆積的碳雙層，通過Fourier變換，我們可以得到動量空間的Hamilton量。如果以ψ= （ψA1，ψB2，ψA2，ψB1）為基矢，并在K和K′谷的位置附近進行級數(shù)展開，則得到低能有效的Hamilton量［26］

其中σ0為2×2的單位矩陣；進而得到低能情況下的四個子帶色散關系［26］

對于AB堆積的碳雙層，通過Fourier變換，我們也可以得到動量空間的Hamilton量。如果以ψ= （ψA1，ψB1，ψA2，ψB2）為基矢，則系統(tǒng)在K和K′谷附近的Hamilton量可以寫為

四個子帶的色散關系為

如圖 3（b）的計算結果所示，其中兩條能量分支在Dirac點處接觸，另外兩條分別向上或向下移動γ。

由于在一般情況下，F(xiàn)ermi面附近的電子發(fā)揮主要作用，我們可以進一步對AB堆積的四帶Hamilton量進行處理，得到低能近似下二帶模型的有效Hamilton量［28］

其中電子有效質量m?=γ/2v2F?0.054 me。由此我們可以看出，AB堆積的碳雙層的能帶結構不同于碳單層，它不再具有線性色散關系，而是具有近似拋物線型的色散關系，這給碳雙層帶來不同于碳單層的特殊物理性質，例如區(qū)別于碳單層的異常整數(shù)量子Hall效應［22］。通過求解Hamilton量式（13）的本征方程［22［28］

以及其旋量波函數(shù)

B.其它二維六角晶體材料

在碳單層和碳雙層之外，還有許多其它二維六角晶體材料。這些材料具有相同的結構特征，那就是實空間原子排列的平面投影都具有二維六角蜂巢結構，它們的倒空間結構也相同，包含K和K′兩個谷。由于構成這些六角結構新材料的原子的本身性質有差別，以及它們在實空間的排布和對稱性存在顯著的差異，這些導致不同物理性質的出現(xiàn)。下面我們具體介紹硅、硼氮、二硫化鉬的單層和雙層二維六角結構材料。

1.硅單層和雙層

由于硅原子與碳原子均為第IV主族元素，人們自然會想到，硅能否形成類似于碳單層的單原子層二維薄膜，這是一個值得考察的問題。硅原子外層電子排布為3s23p2，其構成的硅單層的硅—硅鍵比碳單層（2s22p2）的碳—碳鍵要弱，其相應的鍵長（0.23 nm）要長得多。以sp3雜化的硅—硅鍵連接構成的正四面體金剛石結構是硅最穩(wěn)定的結構，而由sp2雜化構成的完整二維平面結構并不存在。但是密度泛函理論（DFT）計算發(fā)現(xiàn)，與碳單層的平面蜂巢狀結構不同，硅傾向形成非共面的翹曲結構，即六元環(huán)中屬于同一子格的3個原子向上翹曲。如圖4（a）、（b）所示，穩(wěn)定的硅單層結構是介于Si（111）的金剛石結構（sp3）和完整平面結構（sp2）之間的低翹曲結構，其上下層原子之間的縱向間距為0.4 ?，這是sp2和sp3雜化軌道混合的結果。實驗上，可以通過分子束外延的方法在Ag（111）面上制備硅單層及多層［29～31］，見圖4（c）。

　圖4.具有低翹曲結構的硅單層的晶格結構。（a），（b）分別為硅單層的側視和俯視的晶格結構。注意A子格（紅色或灰色）和B子格（黃色或淺灰色）不共面。（c）Ag（111）表面上硅單層的高分辨STM形貌圖，顯示了完美的蜂巢狀結構。引自文獻［31］。（d）低翹曲結構硅單層的能帶結構。內嵌圖是在K點處放大的能帶結構，顯示由自旋軌道耦合導致的能隙。引自文獻［33，34］。

硅單層的晶體結構與碳單層一樣，均為蜂巢狀結構，由于較長的硅—硅鍵長使得硅單層的化學鍵比碳單層的弱，以及部分sp3雜化軌道的引入，這導致其表現(xiàn)為非共面的翹曲結構。但第一性原理計算的結果表明，硅單層的π和π?能帶在Brillouin區(qū)的K和K′點Fermi能級處交叉，在交叉處附近，能帶也近似地表現(xiàn)出線性行為［32］。因此，在K和K′處的電子行為可以用相對論性的Dirac理論來描述。然而，由于翹曲結構的存在，硅原子的自旋軌道耦合（SOC）會在Dirac點處打開一個能隙［33，34］，其大小為1.55 meV，如圖4（d）所示，這使得硅單層中的載流子應該是有質量的Dirac-Fermi子。

考慮翹曲結構中內稟自旋軌道耦合作用后，系統(tǒng)的低能有效Hamilton量可以表示為［35，36］這里第一項是Dirac電子Hamilton量，ξ=+（-）標記的是K（K′）谷，與碳單層中的一致，只是所取坐標系（x，y）有所差異；第二項是自旋軌道耦合作用。σ，s標記的是兩套子格的贗自旋和電子的真實自旋，下標x，y，z是其分量。需要注意的是，Rashba型的相互作用也存在于硅單層結構之中，但由于較弱而對能帶的影響較小，這里我們不作進一步討論。通過矩陣對角化，我們可以容易地求解出體能帶的色散關系，并確定硅單層的能隙大小為2λSO。更深入的理論處理表明，通過應力的作用控制翹曲結構的變化，可以獲得對能隙大小的調控。另外施加電場或照射偏振光，也可以對硅單層的能帶結構進行調控，實現(xiàn)許多新奇的量子效應，如量子反常Hall絕緣體，谷極化金屬等［35，36］。

由于硅單層的低翹曲結構以及硅雙層間存在的共價結合［37～39［40］，即AA底層—底層堆積（AA-bb），AA底層—頂層堆積（AA-bt），AB底層—頂層堆積（AB-bt）和AB底層—底層堆積（AB-bb）。由密度泛函理論計算發(fā)現(xiàn)，硅雙層的AB-bt堆積是最穩(wěn)定的堆積方式。其它幾種可能的硅雙層堆積最近也已經(jīng)在理論上被研究過［41］，但實驗上對硅雙層的制備報道卻尚少［42，43］，并且對于其精細的原子結構及內稟的電子性質缺乏討論。也正是實驗證據(jù)的不足，使得人們對硅雙層基本性質的研究還處在初始階段。

2.硼氮單層和雙層

我們接下來介紹二維六角極性晶體材料，那就是由極性硼氮鍵構成的硼氮單層和雙層結構。與制備石墨薄膜樣品類似，目前實驗上已經(jīng)可以通過多種方法，包括機械剝離法［17］、化學剝落法［44］以及化學氣相沉積法［45］等來成功地制備出六角硼氮薄膜材料。

　圖5.（a）硼氮單層的電子能譜。引自文獻［46］。（b）AA堆積的硼氮雙層的電子能譜。（c）AB堆積的硼氮雙層的電子能譜。引自文獻［48］。

從結構對稱性的角度來講，硼氮單層不同于碳單層的一個顯著特征就是，極性共價鍵的存在使得硼氮二元系統(tǒng)不具有空間反演對稱性，進而導致能帶在Dirac點上出現(xiàn)能隙。如圖5（a）所示，二維氮化硼顯示為一個寬帶隙半導體。π和π?帶來源于N-pz和B-pz的成鍵和反鍵軌道組合，且在K或K′點打開一個大約為Eg=4 eV的帶隙［46］。用第一性原理計算所得能帶的低能部分完全可以通過π電子緊束縛近似來描述。具體地講，要在Hamilton量式（5）式的基礎上附加一項所謂子格勢

其中ηi=+（-）分別對應于B（N）原子的格點，2?為兩種原子格點勢能差。硼氮單層緊束縛參數(shù)?和t的具體取值可見參考文獻［46］。

對于硼氮雙層晶體，硼氮極性鍵的存在也導致不同于碳雙層的能帶結構。理論和實驗都表明［47，48］，穩(wěn)定的堆積結構有兩種：一種是AA堆積結構，其底層的B（N）原子在頂層N（B）原子的正下（上）方；另一種是AB堆積的硼氮雙層結構，其底層的N原子對應頂層的B原子，底層的B原子對應頂層六角中心。圖5（b）顯示的是廣義梯度近似（GGA）從頭算和緊束縛（TB）計算的AA堆積的硼氮雙層的電子能譜［48］。圖5（c）給出的是理論計算的AB堆積的硼氮雙層在K附近的電子能譜［48］。層間距的理論優(yōu)化值大約為3 ?，基本與實驗值吻合。從圖5（b）和5（c）可以看出，AA和AB堆積的雙層結構都顯示出一個由內稟極性硼氮共價鍵導致的大約4 eV的寬帶隙，并且可以看到緊束縛模型也可以很好地擬合ab從頭算的結果。這里，硼氮雙層的緊束縛Hamilton量由碳雙層的Hamilton量式（8）附加每層的極性鍵式（17）構成。

3.二硫化鉬單層和雙層

基于實驗上對碳單層成功地從塊材石墨中剝離出來的方法，Geim研究組使用同樣的方法也成功地剝離出其它二維結構材料，二硫化鉬單層就是其中的一種［16］。圖6（a）是堆積在SiO2襯底上的二硫化鉬單層（0.65 nm）以及多層的原子力顯微鏡觀測圖［49］。二硫化鉬單層可以看作是強結合的二維S—Mo—S層組成的三明治結構［50］，即其上下兩層的S原子與中間層的Mo原子以離子鍵的方式結合，并且上下兩層存在van der Waals相互作用。當俯視二硫化鉬單層時，如圖6（b）所示，其晶體結構與碳單層的晶體結構一樣是二維六角晶格。不同的是，Mo原子周圍有3個最近鄰的S原子。理論計算確認，二硫化鉬單層和碳單層有同樣的倒空間圖。前面提到的碳單層是無能隙的半金屬，而二硫化鉬單層由于Mo原子中存在d軌道，使得材料是具有強的自旋軌道耦合的半導體［51］。

第一性原理計算發(fā)現(xiàn)，見圖 6（c），二硫化鉬在Dirac點處有直接帶隙（1.9 eV），表現(xiàn)為半導體性質，并且價帶的自旋簡并被打開［52］。從圖6（d）所示的緊束縛近似下的二硫化鉬單層的能帶結構，也可以明顯地看出，二硫化鉬單層是價帶自旋簡并被打開的有直接帶隙的半導體。此外，從圖6（b）容易看出，與碳單層具有空間反演對稱性不同，二硫化鉬單層結構的空間反演對稱性破缺了。正因為如此，二硫化鉬單層可以作為一種非常合適的材料被應用于光電子及谷電子學［50，51，53］。

　圖6.（a）置于SiO2襯底上的二硫化鉬薄膜的原子力顯微鏡圖，L表示層數(shù)。引自文獻［49］。（b）二硫化鉬單層晶體結構及俯視圖。引自文獻［50］。（c）第一性原理計算的二硫化鉬塊材、雙層、單層的能帶結構，其中隨著二硫化鉬堆積層數(shù)減少到單層，帶隙發(fā)生了從間接帶隙到直接帶隙的轉變。引自文獻［52］。（d）緊束縛近似下的二硫化鉬單層的能帶結構圖。引自文獻［51］。

理論結果表明［51］，存在于二硫化鉬單層中的低能電子態(tài)，主要是由Mo原子的d軌道來貢獻的，系統(tǒng)的低能有效Hamilton量被表示為

這里ξ=+（-）標記的是K（K′）谷；?表示子格的在位能；λSO代表由自旋軌道耦合誘導的價帶自旋劈裂；σ，s代表軌道贗自旋和電子真實自旋算符，下標x，y，z是其分量。

目前，也有研究工作討論二硫化鉬AB堆積雙層結構的電子性質［50］，即其底層的Mo原子對應頂層的S原子，底層的S原子對應頂層的六角中心。與二硫化鉬單層不同的是，二硫化鉬雙層是一種具有空間反演對稱性的間接帶隙（1.6 eV）的半導體材料。如圖6（c）所示，第一性原理計算發(fā)現(xiàn)，二硫化鉬隨著堆積層數(shù)減小到單層，其帶隙發(fā)生了從間接帶隙到直接帶隙的轉變［52，54，55］。一方面，在K點附近的能帶是由強局域的Mo原子的d軌道構成的，并且由于Mo原子在S—Mo—S原胞的中間位置，導致層間耦合對K點附近的能帶影響比較小；另一方面，由于在Γ點和間接帶隙點附近的能帶是由Mo原子的d軌道和S原子的pz反鍵軌道線性組合構成的，這導致這些能帶與層間耦合有很強的依賴關系。這也說明為什么二硫化鉬的帶隙隨著堆積層數(shù)減小到單層會有從間接帶隙到直接帶隙轉變的現(xiàn)象。對于是否存在其它形式堆積的二硫化鉬雙層，目前還尚不清楚，亟需從理論與實驗上作進一步的研究［56］。

除以上所述，還有很多其它新奇的二維晶格材料，如二硫化鎢（WS2）、二硒化鎢（WSe2），以及近來引起研究熱潮的具有褶皺蜂巢結構的黑磷（black phosphorus），它們獨特的電子性質也將帶來更多實際的應用價值，可參考相關文獻［57，58］。

III.能譜和光吸收

本節(jié)首先介紹碳、硅和二硫化鉬單層的光吸收以及碳雙層的磁光吸收，接著考察二維碳單層和雙層在其納米受限結構中的能譜和光吸收性質，以及這些性質在外場調控下如何地變化，并著重利用對稱性去分析光吸收譜的變化。

A.二維六角結構體材料的光學性質

在這個小節(jié)里，我們著重介紹二維無限大六角晶格系統(tǒng)，如碳單層、碳雙層，硅單層以及二硫化鉬單層，由于能帶結構的差異引起不同的帶間躍遷光吸收性質。

1.碳單層的光吸收

在具體考察二維六角晶體材料的光學性質之前，我們先按照光躍遷的一般理論，給出受到電極化沿α方向的光照射時的吸收譜為［59］

碳單層具有很高的遷移率和幾乎完全的光學透明度，使得它在電光裝置的應用方面有著巨大的潛力。由于帶間和帶內躍遷的存在，碳單層可以出現(xiàn)一些特殊的光吸收性質，理論上預言它的光吸收譜在紫外區(qū)域會出現(xiàn)激子吸收峰［60］；在可見光區(qū)域與頻率無關［61］；而在遠紅外區(qū)域，由于自由載流子的存在，吸收譜上會出現(xiàn)Drude吸收峰。對大塊碳單層樣品進行的實驗測量證實了理論的預言［62］。

　圖7.在不同襯底上生長的大塊碳單層（LSG）材料的光吸收譜和透射譜。（a）顯示的是襯底為藍寶石的情況，理論計算與實驗測量的紫外區(qū)域內絕對光吸收譜對比圖。（b）在沒有襯底、Si襯底和藍寶石襯底上生長的碳單層材料在中紅外至可見光區(qū)域內的吸收譜，實線和虛線分別代表考慮以及沒有考慮激子效應的情況。（c）在SiO2/Si襯底上生長的碳單層在遠紅外區(qū)域的光吸收譜，虛線代表Drude模型的擬合結果。引自文獻［62］。

圖7（a）顯示了實驗上測得的長在藍寶石襯底上的大塊碳單層在紫外區(qū)域的絕對光吸收譜A（ω），它是以入射光強度為歸一化單位的。從圖中確實能夠觀察到有明顯的激子吸收峰（?ω=4.6 eV）存在。圖7（b）顯示的是在Si襯底和在藍寶石襯底上生長的碳單層材料在中紅外至可見光區(qū)域內的吸收譜，Tr（ω）指的是相對的光透射系數(shù)，它是以襯底的透射強度為歸一化常數(shù)得到的。從圖中的實線可以看出，當激子效應被考慮進來之后，吸收（1-Tr（ω））變得和頻率弱相關。圖7（c）測量了長在SiO2/Si襯底上的碳單層在遠紅外區(qū)域的光吸收譜，可以看到在低頻區(qū)域，由于Drude吸收導致透射系數(shù)下降。對于理想的碳單層，當Fermi能級處在Dirac點處時，材料中沒有自由載流子存在。如果將碳單層放置到襯底材料上，由于襯底上可能有帶電雜質，F(xiàn)ermi能級將發(fā)生移動，這時材料中將出現(xiàn)自由載流子，從而導致Drude吸收。

2.硅單層的光吸收

硅單層與碳單層類似，也可以用低能Dirac理論來描述元激發(fā)。與碳單層不同的是，硅單層中存在較大的自旋軌道耦合能量，使得色散關系在Dirac點處出現(xiàn)了幾個毫電子伏的能隙，這個能隙可以在外加電場的調節(jié)下逐漸變小，甚至閉合，從而發(fā)生從拓撲絕緣體到能帶絕緣體的轉變。當有外電場存在的時候，自旋軌道耦合還會導致K和K′處的自旋極化不同而且相反。因此，硅單層可以表現(xiàn)出很強的圓二色性，也就是圓偏振光的吸收強烈依賴于自旋和谷自由度。

當外電場為零時，硅單層是拓撲絕緣體。隨著電場逐漸增加到臨界電場時，能帶將會發(fā)生反轉，同時伴隨著光選擇定則的改變。這時，硅單層變成了能帶絕緣體。因此，可以利用圓二色性來探測硅單層的拓撲相變［63］。

　圖8.（a）硅單層被圓偏振光輻照的示意圖，（b）四種帶間躍遷示意圖，分別用ω1，ω2，ω3，ω4來表示，（c）在K和K′處，自旋—谷相關的光選擇定則。引自文獻［63］。

考慮一束圓偏振光輻照到硅單層的表面，如圖8（a）所示，從價帶到導帶的帶間躍遷一共可分為4種，分別標記為ω1，ω2，ω3，ω4，如圖8（b）所示。另外，從圖8（c）中可以看出，光吸收遵循很強的自旋—谷耦合選擇定則，對于系統(tǒng)是拓撲絕緣體或者能帶絕緣體的情況，光吸收ω1是不同的。例如，在K點處，只有當系統(tǒng)是能帶絕緣體的時候，右圓偏振光才能被吸收；當系統(tǒng)是拓撲絕緣體的時候，左圓偏振光才可以被吸收。

3.二硫化鉬單層的光吸收

對于二硫化鉬（MoS2）單層來說，也有很類似的光吸收性質。MoS2單層的俯視圖與硅單層基本相同，它是由兩種不同原子組成的六角晶格結構。與硅單層不同的是，Mo原子與S原子的在位能相差很大，使得MoS2單層的帶隙遠遠大于硅單層。雖然MoS2單層中也有比較強的自旋軌道耦合效應，但是在位能的差別占主導地位，自旋軌道耦合產(chǎn)生的能帶劈裂只能對帶隙大小產(chǎn)生輕微的影響［51，64］。MoS2單層的光吸收性質最大的特點體現(xiàn)在，它的任一個谷對于不同旋向的光具有不同的吸收效率［53］。如圖9（a）所示，理論上K和K′點只吸收不同旋向的圓偏振光。

　圖9.（a）MoS2單層中K和K′點吸收圓偏振光的旋向示意圖。（b）MoS2單層受激發(fā)光譜的圓偏振程度測量數(shù)據(jù)。黑色是入射激光為右旋光時出射的右旋光偏振率，紅色是入射激光為左旋光時出射的左旋光偏振率。引自文獻［53］。

實驗觀測中，使用MoS2單層的受激發(fā)光譜，測量MoS2單層發(fā)出的不同旋向光的偏振程度，如圖9（b）所示，MoS2單層經(jīng)過圓偏振的HeNe激光器的照射之后，得到所放出的光譜旋向偏振度實驗數(shù)據(jù)圖，從圖中可以觀察到，在不同旋向的圓偏振光照射下，MoS2單層放出的光的旋向偏振程度可以達到32±2%，與入射激光的旋向相同。這充分說明，任何一個谷對于不同旋向的偏振光的吸收是不同的。

4.碳雙層的磁光吸收

當加上一個垂直磁場后，通常二維電子氣（2DEG）的能譜變成一系列等間距的Landau能級（LLs）。與此不同，對于有限碳層，其獨特的能量色散關系會導致不尋常的Landau能譜。實驗上，利用光學測量方法，如回旋共振［65，66］，Raman散射［67～69］，以及遠紅外磁光吸收［70～78］，碳單、雙層的Landau能譜結構已經(jīng)被仔細研究過。在所有這些實驗技術中，Landau能級間的紅外磁光吸收被認為是一種直接而準確的工具，用來探測碳單層和雙層中Dirac點附近的能帶結構。

　圖10.在（a）U=50 meV和（b）U=200 meV時的偏壓碳雙層中，前五個 Landau能級隨磁場強度 B的變化規(guī)律。（c）在 B=2 T時，碳雙層中前五個Landau能級隨層間偏壓U的變化規(guī)律。（d）近鄰Landau能級的交點對外加磁場B和層間偏壓U組合配置的依賴關系。符號Ln1n2表示帶有不同指標n1和n2的Landau能級間的交叉。引自文獻［79］。

下面我們分析在外加磁場和電場共同作用下AB堆積碳雙層中的Landau能譜和帶內磁光吸收，揭示該系統(tǒng)中的Landau能級和磁光吸收對磁場和電場組合配置的依賴關系［79］。對于相應的AA堆積碳雙層，甚至在非均勻磁場下，也可以分析其Landau能譜及有關的性質［80］。

　圖11.帶內磁光吸收隨外磁場B和光子能量?ω變化的等高圖.這里考慮兩種不同的層間偏壓U：（a）U=50 meV；（b）U=200 meV。引自文獻［79］。

從圖10（a）和10（b）可以看出，對于較小的U值，能級間的交叉幾乎看不見，對于較大的U，有明顯的Landau能級交叉和反交叉。圖10（c）表明，對于一個較小的磁場，通過改變層間偏壓U，Landau能級間的交叉也會發(fā)生。這是因為加偏壓的碳雙層Landau能級譜是隨著U的增加，可能出現(xiàn)具有不同動量值的一對簡并的能量態(tài)，從而當磁場加入后會出現(xiàn)帶有不同指標的Landau能級的簡并。在這些簡并點Landau能級發(fā)生“崩潰”（collapse），相關的能級次序也將發(fā)生改變。圖10（d）中畫了近鄰Landau能級交點對磁場和層間偏壓組合配置的依賴關系，從圖中我們能夠確定在這些交點處的U和B值。

對于兩種不同的層間偏壓U，前五個Landau能級間的帶內磁光吸收隨磁場和光子能量變化的等高圖顯示在圖11中?？梢钥闯?，對于較大的層間電勢差，光吸收中出現(xiàn)一個令人吃驚的現(xiàn)象：在一些特定的B值，典型的吸收會消失。發(fā)生這種現(xiàn)象的原因是，對于大的U，碳雙層中近鄰Landau能級會在一些滿足式（21）的特定B值處相交，這也可以從圖10（d）中看出，因此相應的光吸收會在這些交點處消失。當然固定B，對于一些特定的U值，典型的吸收能量也會消失。

B.碳單層納米結構的光吸收

接下來，我們主要介紹碳單層納米條帶和碳單層量子點這兩種受限納米結構的能譜和光吸收性質。

1.碳單層納米條帶的光吸收

碳單層納米條帶（GNR）的光學性質也已經(jīng)被許多人研究過了［81～88］。由于其寬度有限，本征態(tài)沿著橫向（y方向）是對稱或者反對稱的，因此躍遷選擇定則會發(fā)生一些變化。而且，GNR中存在的邊態(tài)對光吸收起很重要的作用，許多吸收峰都是由邊態(tài)貢獻的。描述GNR的緊束縛Hamilton量可以寫成

其中|i>是格點i處的π態(tài)，t是躍遷積分，而對第n個能級，波矢為k的本征態(tài)用|n，k>來標記。

考慮12-ZGNR代表一個寬度為12條鏈的鋸齒型碳單層納米條帶。其沿著y方向的勢是對稱的，因此它的本征態(tài)沿著y方向也是對稱或反對稱的，可以表示成<-y|n，k>=±。圖12（a）顯示了 12-ZGNR的能帶結構［89，90］。 其中黑虛線代表12-ZGNR的橫向對稱態(tài)，紅實線代表橫向反對稱態(tài)，如果 n是奇數(shù)，|n，k>是對稱的，反之則是反對稱的。當入射光束的偏振方向沿著平行于納米條帶方向，只有相同宇稱的態(tài)之間能夠發(fā)生躍遷。

　圖12.（a）12-ZGNR的能帶結構，黑虛線代表橫向對稱性，紅實線代表橫向反對稱性。在這兩種情況中，當入射光束的偏振方向沿著縱向時，只有相同顏色和線型的態(tài)之間才能發(fā)生躍遷。（b）12-ZGNR的聯(lián)合態(tài)密度，（c）12-ZGNR的吸收譜。引自文獻［81］。

圖12（b）和12（c）顯示了聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜。對于納米條帶，如果入射光的偏振沿著縱向，直接帶隙間的躍遷不能發(fā)生。在圖12（a）中，我們可以看到在k=0.714π/a處，n=11子帶（黑色虛線）和n=14子帶（紅色實線）之間存在直接帶隙，這使得聯(lián)合態(tài)密度在ω=0.0772 a.u.處有峰出現(xiàn)，如圖所示12（b）所示。但是這兩個態(tài)的宇稱不同，躍遷不能夠發(fā)生。所以圖12（c）中ω=0.0772處沒有吸收峰。盡管12-ZGNR是金屬性的，但是由于n=12和n=13的態(tài)具有不同的宇稱，躍遷不能發(fā)生，所以它的吸收譜在低頻區(qū)域仍為0。另外，鋸齒型納米條帶中有邊態(tài)存在，k＞0.74π/a，n等于12和13的態(tài)|n，k>就表示邊態(tài)。邊態(tài)對帶間躍遷起很重要的作用，在圖12（c）中，ω=0.0423，0.0834，0.1081 a.u.處的吸收峰來自于邊態(tài)。另一方面，增加條帶的寬度不會使其光學響應發(fā)生太大改變，唯一的差別是出現(xiàn)了更多的吸收峰。

2.無外場時碳單層量子點的光吸收

由于Klein隧穿，碳單層量子點不能夠像半導體量子點那樣通過靜電受限形成。然而，通過一些化學方法、物理蝕刻或者裁剪方法，不同尺寸和形狀的碳單層量子點已經(jīng)在實驗上制備出來了［91～95］。這些量子點的電子性質受尺寸和形狀的影響很大。對于一個三角鋸齒型碳單層量子點，已經(jīng)有許多課題組研究過它的性質［96～101］。它有簡并的零能態(tài)存在，簡并度正比于量子點的邊尺寸。由于對態(tài)密度的貢獻，這些零能態(tài)是非常重要的［96，98，102］。

特別重要的是，碳單層量子點的光學性質使得它在光電器件方面有著許多潛在的應用，同時其光吸收譜也是研究材料電子結構的有力工具。T.Yamamoto等人在理論上研究過邊態(tài)對三角形碳單層量子點光吸收譜的影響，從而間接反映邊態(tài)的特征［96］。圖13顯示了兩個不同尺寸的三角鋸齒型碳單層量子點的態(tài)密度（DOS）。曲線在E=0處有一個主峰，這個主峰來源于（Nz-1）個簡并的零能態(tài)，Nz是量子點邊界的原子數(shù)目。這（Nz-1）個簡并態(tài)被（Nz-1）個電子占據(jù)，而且電子的密度主要聚集在三角鋸齒型碳單層量子點的邊界原子上。因此，這些簡并態(tài)也叫做邊態(tài)。

　圖13.三角鋸齒型碳單層量子點態(tài)密度。（a）Nz=4，（b）Nz=10。虛線表示二維無限大碳單層材料的態(tài)密度。引自文獻［96］。

圖14主要表達邊態(tài)對三角鋸齒型碳單層量子點光吸收譜的影響。曲線描述了通過緊束縛模型計算的不同尺寸三角鋸齒型量子點的平均光吸收譜σ（ω）=［σx（ω）+σy（ω）］/2Ntot，這里Ntot是總的原子數(shù)。陰影區(qū)域代表了邊態(tài)對光吸收譜的貢獻?？梢钥闯?，當量子點尺寸比較小的時候，在可見光區(qū)域的光吸收主要由邊態(tài)貢獻，而隨著量子點尺寸的增大，邊態(tài)的貢獻將會變小。這些結果反映了邊態(tài)數(shù)目在所有態(tài)中占的比重，從而邊態(tài)所導致的定性特征可以從光吸收譜上看出來。

緊接著，又有人利用緊束縛模型研究了六角碳單層量子點的電子結構和光學性質［103］。圖15（a）和15（b）分別顯示了不同尺寸鋸齒型和扶手椅型的六角量子點態(tài)密度。可以看出，尺寸小的鋸齒型量子點中沒有邊態(tài)出現(xiàn)，隨著尺寸的增大，零能處的邊態(tài)開始出現(xiàn)。而對于扶手椅型量子點，不管尺寸如何變化，始終沒有邊態(tài)出現(xiàn)。為了說明邊態(tài)是如何出現(xiàn)的，圖15（c）畫了能隙隨量子點尺寸變化的曲線?？梢钥闯?，隨著尺寸的增大，能隙一直在減小，比較有趣地是，鋸齒型量子點的能隙很快就降到零，而扶手椅型的則很慢，只有當扶手椅型量子點的尺寸達到無窮大的時候，能隙才能降到零。

圖16顯示了六角量子點系統(tǒng)的光吸收譜。利用對稱性可以對吸收峰進行分析［104，105］，動量算符px和py有E2對稱性。E2和C6v群的直積結果如下：

　圖14.利用緊束縛計算得到的三角鋸齒型碳單層量子點光吸收譜。（a）Nz=4，（b）Nz=10。虛線表示二維無限大碳單層材料的態(tài)密度。內嵌圖表示利用時間相關的密度泛函理論求得的Nz=4量子點吸收譜。引自文獻［96］。

　圖15.（a）鋸齒型和（b）扶手椅型各三個不同尺寸量子點的態(tài)密度。（c）鋸齒型和扶手椅型量子點的能隙作為量子點尺寸的函數(shù)。引自文獻［103］。

然后將量子點能級所屬的對稱性分成兩組，分別為 A1，A3，E1∈?1，A2，A4，E2∈?2。對稱性要求只有屬于不同組的價帶和導帶之間才能夠發(fā)生躍遷，注意到躍遷中的初態(tài)或者末態(tài)屬于E1或者E2表示。圖16（a）和16（d）對Nz=12和Na=9的碳單層量子點在Dirac點附近的能級結構進行了標注。導帶Ci和價帶能級Vi屬于不同分組?1和?2。對于Nz為偶數(shù)的鋸齒型量子點，從下至上導帶能級分別為E2，A3，E1，A2等，而相應的價帶能級分別為E1，A4，E2，A1等。而如果Nz為奇數(shù)，導帶能級的對稱性為E1，A4，E2，A1，這與Nz為偶數(shù)時的導帶能級對稱性相反。對于扶手椅型碳單層量子點，最低導帶能級的對稱性總是E1，A4，A2，E2等，而且這個順序和量子點的尺寸Na無關。

　圖16.（a）和（d）分別是Nz=12鋸齒型量子點和Na=9扶手椅型量子點的能譜圖。不同的顏色和線型代表不同的對稱性。（b）和（c）分別是Nz=12鋸齒型量子點的聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜。（e）和（f）分別是Na=9扶手椅型量子點的聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜。引自文獻［103］。

對于Nz=12的鋸齒型六角量子點，最低的光吸收峰A對應于有E2對稱性的最低導帶能級C1和有E1對稱性的最高價帶能級V1之間的躍遷。第二個吸收峰B來自有A3（E1）對稱性的能級C2（C3）和有E2（A4）對稱性的能級V3（V2）之間的躍遷，第三個吸收峰C來自于能級C1（C4）和V4（V1）之間的躍遷。強的吸收峰D出現(xiàn)在E=0.26 eV處，對應于有E1對稱性的C3和有E2對稱性的V3之間的躍遷。

對于Na=9的扶手椅型量子點，最低的吸收峰A類似于鋸齒型的情況，來自于C1和V1之間的躍遷；第二個吸收峰B來自有A4（E2）對稱性的能級C2（C4）和有E1（A3）對稱性的能級V4（V2）之間的躍遷；第三個強的吸收峰C來自于有E2對稱性的能級C4和有E1對稱性的能級V4之間的躍遷。可見當初態(tài)Ci和末態(tài)Vi有E1或者E2對稱性時，會出現(xiàn)強的吸收。無論是扶手椅型還是鋸齒型的量子點，隨著量子點的尺寸增大，吸收峰都會移到長波范圍，而且鋸齒型的峰移比扶手椅型的更快。

3.應變調控下碳單層量子點的光吸收

對于碳單層受限結構，如量子環(huán)和量子點，我們可以仍然像III.A4中那樣采用磁場來調控它們的能譜及其光學性質［106，107］。作為另一種手段，應變也是碳單層實驗研究中十分有效的。它來源于晶格的拉伸或者壓縮［108～111］，通過改變原子間的距離來改變碳單層的能帶結構，從而影響碳單層的電子輸運、熱輸運和光吸收性質［112～116］。在這里我們主要關注應變對碳單層量子點能譜結構和光學性質的影響［116］。

　圖17.一個碳單層量子點的結構圖。δl（l=1，2，3）代表最近鄰矢量。實心和空心圓分別代表蜂巢晶格中兩種不同的子格。Nz等于6。A表示一個邊界原子。

單軸應變可以通過控制彈性襯底獲得［110］：將一個碳單層量子點放置在彈性襯底上（例如，可拉伸的低密度聚乙烯襯底），再通過機械裝置拉伸襯底。因為碳單層是非常薄的，而在彈性襯底和量子點之間的van der Waals力是足夠強的，能夠將應變施加到碳單層量子點上，也就是在拉伸過程中碳單層量子點沒有發(fā)生滑移［111］。而且，相對于大尺寸的碳單層量子點而言，小尺寸的碳單層量子點能夠更完全地吸附到襯底上，所以單軸應變可以很容易地施加到碳單層量子點上。通過對角化方程（24）中的Hamilton量，我們可以得到發(fā)生應變的碳單層量子點能級結構，進而可以再利用方程（19）得到相應光吸收譜的變化。

能譜及其與對稱性的關系 從群論的角度可以對光吸收譜作一個分析［104］。以尺寸為 Nz=6（總的碳原子數(shù)為61）的碳單層量子點為例進行討論。圖18（a），18（b），18（c）顯示了未發(fā)生應變的碳單層量子點和發(fā)生應變的碳單層量子點的部分能譜。很明顯，未發(fā)生應變的碳單層量子點屬于C3v群，它的群元有不變操作E，兩個三度旋轉操作2C3和三個鏡面反射操作3σv。很方便地可以得到每個能級的特征標。

根據(jù)C3v群的特征標表（104），我們能將每個能級的表示寫成不可約表示的形式：C4→A1⊕E，C3→E，C2→A2，C1→A1，C0→2E⊕A2，V1→A1，V2→A2，V3→E，V4→A1⊕E。另外，動量算符px和py具有E對稱。E和每個能級表示的直積結果如下：

從方程（25）可以看出，對于未發(fā)生應變的碳單層量子點，躍遷 C0→ C1，2，3，4，V1，2→ C0，3，4，V3，4→C0，1，2，3，4是允許的，V1，2→ C1，2是禁止的。 在圖18（e）中，第一個吸收峰對應于C0→ C2，V2→C0的躍遷。 這里由于吸收峰存在展寬，來自躍遷C0→ C1和V1→ C0的吸收峰在吸收譜上找不到。類似地，我們也可以知道其它吸收峰的來源。

如果沿著鋸齒方向施加一個單軸應變，系統(tǒng)屬于Cs群，這是C3v群的子群，只有兩個群元E和σv。因為系統(tǒng)的對稱性降低，能級簡并度也會下降。圖18（b）是應變η=0.06的能級圖。同樣地，我們先計算出每個能級的特征標，再根據(jù)群Cs的特征標表，給出每個能級的表示：C1，3→Γ1，C2，4→Γ2，C0→3Γ2⊕2Γ1，V1，3→Γ1，V2，4→Γ2。值得注意的是，在這種情況中動量算符 px有Γ2對稱性，而py有Γ1對稱性，所以吸收譜σx和σy不同。下面我們列出Γ1，Γ2和每個能級表示的直積結果為

　圖18.（a）～（c）分別是Nz=6的碳單層量子點未受到單軸應變，受到沿鋸齒方向的單軸應變η=0.06，以及受到沿扶手椅方向的單軸應變η=0.06的能級結構圖，這里η是發(fā)生形變之后，晶格距離的變化量與發(fā)生形變前晶格距離的比值。能級所屬的不可約表示在圖中已經(jīng)標注出來。（d），（e）是未發(fā)生應變的碳單層量子點的聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜σx（y）。（f）～（h）是受到沿鋸齒方向的單軸應變η=0.06后，聯(lián)合態(tài)密度以及光吸收譜σx和σy。（i）～（k）和（f）～（h）類似，只不過對應于單軸應變η=0.06沿扶手椅方向的情況。這里我們利用了展寬因子為0.05 eV的Lorentz函數(shù)。為了清楚地顯示，一些能級用虛線標出。引自文獻［116］。

和

從方程（27）我們可以看出，對于吸收譜σx，躍遷C0→ C1，2，3，4，V1，3→ C0，2，4，V2，4→ C0，1，3是允許的，V1，3→ C1，3，V2，4→ C2，4是禁止的；而對于σy，情況會變得不一樣， 躍遷 C0→ C1，2，3，4，V1，3→C0，1，3，V2，4→ C0，2，4是允許的，V1，3→ C2，4，V2，4→C1，3是禁止的。在圖18（g）所示的吸收譜σx以及圖 18（h）所示的吸收譜 σy中， 前四個峰來源于躍遷 C0→ C1，2，3，4和 V1，2，3，4→ C0。在兩幅圖中的峰5，6，7，8都來自于零能態(tài)和其它態(tài)（能譜中沒有畫出來）的躍遷。 在圖 18（g）中的峰 9對應于有Γ2對稱性的V2和有Γ1對稱性的C3之間的躍遷，而在圖18（h）中，第9個峰對應于有 Γ1對稱性的V1和有 Γ1對稱性的 C3之間的躍遷。圖18（c），18（i）～18（k）中展現(xiàn)的是外加應變沿著扶手椅方向的情況。相關的分析和前面類似，所以在這里不再作細節(jié)上的討論。

　圖19.（a）和（b）分別表示單軸應變沿著鋸齒方向和扶手椅方向時，Nz=6的碳單層量子點的能譜隨著單軸應變η的變化。（c）和（d）則分別對應于（a），（b）中的能隙作為η的函數(shù)。引自文獻［116］。

　圖 20.（a）～（c）分別給出 Nz=6的碳單層量子點受到沿鋸齒方向不同應變后的聯(lián)合態(tài)密度 JDOS， 光吸收譜σx和σy。（d）～（f）和（a）～（c）類似，只是單軸應變沿著扶手椅方向。在（b），（c），（e），（f）中，隨著拉伸應變的增加，能夠觀察到紅移，隨著壓縮應變的增加能夠觀察到藍移。在這些圖中，為便于觀察，每條曲線的基準線都進行了豎直方向的平移。引自文獻［116］。

應變傳感器 圖19顯示了Nz=6的碳單層量子點能譜隨應變的變化曲線，可以清楚地看出，拉伸應變（正值）和壓縮應變（負值）都能夠很有效地調控能級結構。應該注意到，碳單層裝置的應變工程只在很小的應變范圍內有效，所以我們在這里變化的應變范圍從-0.06到0.06。

　圖21.Nz=10的碳單層量子點光吸收譜σx。（a）對應于應變?yōu)?，εF=0，（b）和（c）分別對應于扶手椅方向受到單軸拉伸應變η=0.06，εF=0以及εF=1.185 eV。（d）～（f）是對應于（a）～（c）的能譜圖。能級的不可約表示已標注在圖中。（f）中的虛線代表Fermi能級的位置。引自文獻［116］。

圖20顯示了Nz=6的碳單層量子點在受到不同應力作用下的聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜。從圖中可以看出，單軸應變可以很明顯地調控光吸收譜。當應力沿著鋸齒方向時，如圖20（b）和20（c）所示，隨著單軸拉伸應變從0變到0.06，σx和σy的主吸收峰都有紅移現(xiàn)象，而隨著壓縮應變從0增大到-0.06，主吸收峰有藍移現(xiàn)象。類似地，當應力沿著扶手椅方向時，如圖20（e）和20（f）所示，σx和σy的吸收峰也有紅移或者藍移出現(xiàn)。紅移（藍移）的出現(xiàn)是由于當一個拉伸（壓縮）應力不論沿著鋸齒方向還是扶手椅方向施加到碳單層量子點上時，能譜的范圍都會變窄（變寬），相應地，所允許的初態(tài)和末態(tài)之間的吸收能變低（高）。

研究不同尺寸的碳單層量子點在應變下的光吸收譜可以發(fā)現(xiàn)，對于較小尺寸的量子點，主吸收峰的紅移和藍移會變得模糊；而對于較大尺寸的量子點，紅移和藍移現(xiàn)象將被清楚地觀察到。因此，可以設計一個基于應變調控的碳單層量子點傳感器，通過監(jiān)測其光吸收譜上峰的移動來判斷應力（拉伸應力或者壓縮應力）的大小和種類。

遠紅外吸收 從圖21（a）可以看出，對于Nz= 10且沒有發(fā)生應變的碳單層量子點，吸收譜σx上的第一個主吸收峰出現(xiàn)在能量為?ω=1.29 eV（波長為0.96μm）處。如果我們施加扶手椅方向的單軸應變η=0.06，第一個主吸收峰將移到能量為?ω= 1.187 eV（波長為1.05μm）處，如圖21（b）所示。緊接著我們又調節(jié)Fermi能級，在遠紅外區(qū)域可以發(fā)現(xiàn)，能量為?ω=0.003 eV（波長為414μm）處有明顯的吸收峰，如圖21（c）所示。

利用群論分析可以知道，對于未發(fā)生應變的情況，第一個峰對應于能級C0到C1（=1.29 eV）之間的躍遷，以及能級V1（=-1.29 eV）到C0之間的躍遷，所以吸收能處在?ω=1.29 eV處，如圖21（d）所示。當應變η=0.06施加到量子點上，吸收譜上的第一個吸收峰來自于C0到C2（=1.187 eV）之間的躍遷，和V2（= -1.187 eV）到C0之間的躍遷，因此吸收能變?yōu)?ω= 1.187 eV。當Fermi能級調到1.185 eV處，第一個吸收峰來自于C1（=1.184 eV）到C2（=1.187 eV）之間的躍遷，這導致一個非常低的吸收能?ω=0.003 eV，如圖21（f）所示。因此，通過移動發(fā)生應變的量子點的Fermi能級，我們可以在遠紅外區(qū)域獲得很明顯的吸收峰，這意味著實現(xiàn)基于調控應變的碳單層量子點的光探測器是可行的。

IV.量子輸運

自從碳單層被成功制備以來，相對論性Dirac電子在低維系統(tǒng)的輸運行為一直是凝聚態(tài)物理的研究熱點之一。在本節(jié)中，我們將詳細討論Dirac電子在靜電勢壘作用下一些新奇的隧穿現(xiàn)象和類光輸運行為，以及外場驅動下有限尺寸納米條帶的輸運性質，但不準備涉及量子Hall效應［111］。

A.靜電勢壘的Dirac電子隧穿

由于碳單層是二維零帶隙半導體，具有線性的色散關系，電子在傳播過程中理應顯示出不同于普通非相對論性電子的行為。至今，無論在p-n結，雙勢壘，甚至超晶格等結構中，Dirac電子的輸運性質已經(jīng)被廣泛地研究。在處理這類問題時，波函數(shù)銜接方法仍然被認為是最簡單也是最直接的量子力學研究方法。它直接體現(xiàn)了粒子穿過某個勢壘（勢阱）的透射幾率。在隧穿過程中，除了Klein隧穿［23］，還可以發(fā)現(xiàn)有許多有趣的類光現(xiàn)象，如負折射［117］，電子超準直［118］，Goos-H¨anchen位移［119］，波導［120］等。如考慮自旋軌道耦合、鐵磁交換場、應力等因素，則會產(chǎn)生和電子自旋或谷相關的量子輸運行為［121～123］。接下來我們將重點介紹單和雙靜電勢壘下Dirac電子的Klein隧穿、Veselago透鏡、Goos-H¨anchen位移，以及周期和準周期多勢壘下電子的輸運性質。通過靜電勢壘的調節(jié)，Dirac電子的透射可以被有效地控制，對構造電荷、自旋、谷相關的過濾器、電子束分離器等提供了可能。

1.Klein隧穿

我們知道，相對論性粒子無阻礙地穿透一個既高又寬的勢壘的過程被稱為Klein佯謬，它是奇異并且反直覺的量子電動力學結果。這種現(xiàn)象在一些粒子物理、核物理的著作中被討論過，但在碳單層上第一次完成從理論的預言到實驗的驗證工作［10，23，124，125］。

　圖22.碳單層中Dirac電子的Klein隧穿。（a）三個區(qū)域的能譜示意圖；（b）電子以能量E入射一靜電勢壘的示意圖，勢壘高度為V0，寬度為D；（c）電子透射幾率與入射角關系圖。其中入射能量E=80 meV，勢壘寬度D=100 nm，高度V0=200 meV（紅色實線）或V0=285 meV（藍色虛線）。引自文獻［23］。

我們首先從贗自旋守恒的角度對這一現(xiàn)象進行理解［126］。對于碳單層，當存在沿 x方向的靜電勢壘V（x）時，系統(tǒng)的Hamilton量為H=?vFσ·k+V（x）。圖22（a）給出了n-p-n結三個區(qū)的能帶圖，陰影（藍色填充）區(qū)表示電子占據(jù)態(tài)。因此，勢壘區(qū)的電子處于價帶，勢壘外的電子處于導帶。紅色實線和綠色虛線表示兩條線性的能量分支，每條能量分支上的贗自旋方向相反，σ=±1為贗自旋σ的兩個本征值，分別對應于A、B兩套子格。在正入射時，ky=0，x方向贗自旋守恒，［σx，H］=0。利用Heisenberg運動方程，電子的速度算符為?vx=［x，H］/i?=vFσx，也是一個守恒量。也就是說，一個初態(tài)向右運動的電子會一直向右運動，而不會發(fā)生背散射，即n區(qū)紅色實線能帶上的載流子只能散射成為p區(qū)同一紅色實線上的載流子，而不能成為綠色虛線所示能帶上的載流子。由以上的分析可知，勢壘內部和外部準粒子贗自旋的守恒保證了電子完美的Klein隧穿。

接下來，我們再用解析的方法對單勢壘透射情況進行簡要的說明。假設一入射角度為φ，入射能量為E的電子束通過勢壘區(qū)，如圖22（b）所示，其中V0為勢壘高度，D為勢壘寬度。假設D遠大于碳單層晶格常數(shù)a，谷間散射被抑制，所以只需要考慮單個谷上的電子輸運。從碳單層的Schr¨odinger方程出發(fā)，在入射區(qū)，波函數(shù)可以寫成入射部分與反射部分的疊加，

通過波函數(shù)銜接方法，ψI（0）=ψII（0）和ψII（D）= ψIII（D），四個方程可以求出四個系數(shù)r，a，b和t。透射系數(shù)則可以寫作T=tt?，即

其中χ（φ）=ss′secφsecθ-tanφtanθ。從圖22（c）和上面的表達式都可以看出，T（φ）=T（-φ），透射系數(shù)關于入射角度對稱。對于正入射（φ→0，θ→0）的電子可以明顯地看出，T（0）=1，勢壘是完全透明的，不依賴于電子的入射能量、勢壘高度。這個結果同樣地證實了著名的Klein隧穿。對于Dqx的不同取值，只需要滿足Dqx=nπ，n為整數(shù)，T（φ）=1就成立，勢壘都是完全透明的。這個結果對應于電子的共振隧穿。

然而，對于外加不均勻的靜磁場如磁勢壘或磁臺階的情況，碳單層中Dirac電子的Klein隧穿可以被有效地限制［127，128］。另外，對于AB堆積的碳雙層結構，能譜為各向同性的拋物型。類似的計算結果表明，雙層系統(tǒng)表現(xiàn)出完全不同的隧穿性質，特別是正入射時，碳雙層表現(xiàn)為完全的電子反射［23］。

硅單層p-n結和n-p-n結具有與碳單層不同的電荷輸運性質［129］。在硅單層中，自旋軌道耦合相互作用的存在使得電子的低能激發(fā)譜出現(xiàn)帶隙，無質量的Dirac-Fermi子變成有質量的，Klein隧穿現(xiàn)象也隨之消失。當外加垂直電場時，帶隙可以被調節(jié)［130，131］，這和碳雙層中電場調控的帶隙非常類似［12，132，133］，使得它們在電子器件如場效應晶體管等應用方面非常有利。在硅單層中，外加電場可以誘導其發(fā)生拓撲相變，p-n結作為場效應晶體管時具有量子化的電導［129］，這為拓撲場效應晶體管開拓了一個新的方向。

2.電子負折射和Veselago透鏡

在1968年Veselago建議，光在介質中傳播時群速度可以和相速度方向相反，首次從理論上探討了光學負折射率的本質［134］。后來在2000年，Pendry等人在左手超構材料中實現(xiàn)了負折射現(xiàn)象［135～137］。當有負折射存在時，光線經(jīng)過介質后會產(chǎn)生完美的聚焦，而且不受波長的影響，這種透鏡效果被稱為Veselago透鏡，有時也被稱作完美透鏡。而對于碳單層中的Dirac電子，當電子處于導帶時，利用波函數(shù)公式（7）對速度算符求平均值可以得到vc=vFk/k，傳播的群速速和相速度方向一致，當電子處于價帶時，vv=-vFk/k，傳播的群速度和相速度方向恰好相反。這正好類似于光學中的負折射效應，是Dirac電子特有的性質。

　圖23.對稱p-n結中電子聚焦的經(jīng)典軌跡，從距離-a處的一個點源發(fā)射之后經(jīng)過折射重新匯聚到a處。引自文獻［117］。

在傳統(tǒng)的半導體p-n結中，兩個半導體接觸處存在耗盡區(qū)，不利于電荷量的精密控制。而碳單層作為無能隙的半導體材料，可以通過調節(jié)柵電壓或者襯底的摻雜濃度精確調節(jié)載流子密度，成為可控彈道p-n結的首選材料。另外，碳單層的p-n結對于載流子是透明的，電子穿過p-n結界面和光穿過具有負折射的透明介質非常類似。這樣，碳單層中一個簡單的p-n結就可以實現(xiàn)類似光學的Veselago透鏡功能，使發(fā)散的電子束匯聚到一點上實現(xiàn)電子的聚焦，如圖23所示。聚焦的精確度可以通過調節(jié)p區(qū)或者n區(qū)的載流子濃度控制，當兩邊載流子濃度相等時，即純凈的、無摻雜的碳單層，可以實現(xiàn)電子束的完美聚焦。這一新奇的物理現(xiàn)象首次被Cheiano等人發(fā)現(xiàn)［117］。

我們可以這樣考慮其物理過程，一個電子束以速度為 v= （vFcosφ，vFsinφ）和波矢為 k= （kccosφ，kcsinφ）從p-n結的n區(qū)向p區(qū)傳播。在界面處，一部分波以波矢為k=（-kccosφ，kcsinφ）被反射回去，一部分波傳播到p區(qū)的價帶，波矢變?yōu)閗= （-kvcosθ，-kvsinθ），速度則為v=（vFcosθ，vFsinθ）沿著界面方向，動量分量ky守恒，可以得到電子透射的Snell定律

折射率n為負的，這就預示了在n區(qū)出射的電子源可以匯聚到p區(qū)。對于一個對稱的p-n結，n=-1，在n區(qū)（-a，0）處出射的電子可以恰好匯聚到p區(qū)對稱的位置（a，0）。

在光學中，另外一個和聚焦相關的有趣的課題就是焦散線。焦散主要是由于界面兩邊不對稱或界面不平整導致的。焦散曲線可以利用Snell定律結合負折射率求出。在Cheianov小組的研究基礎上，Cserti等人研究了圓形碳單層和雙層p-n結焦散線形成的問題，發(fā)現(xiàn)由于Klein隧穿的消失，強烈的電子聚焦效果并不出現(xiàn)在碳雙層結構中［138，139］。隨著對Dirac電子自旋輸運性質的研究變得越來越深入，決定自旋電子學的一個重要的因素就是自旋軌道耦合。Asmar等人則研究了具有Rashba自旋軌道耦合作用調節(jié)的圓形p-n結的電子散射問題，可以發(fā)現(xiàn)電子在傳輸過程中發(fā)生了雙折射，不同的自旋形成不同的焦散線，為電子束的自旋過濾和分離提供了可能［140］。由于碳單層中電子的自旋相干長度較長，在短距離傳播中可以確保磁信息不丟失，Moghaddam等人通過設計一個正常―鐵磁―正常碳單層結，使一電子束通過鐵磁區(qū)域時只有一種自旋的電子具有負折射率，從而實現(xiàn)了電子自旋透鏡［141］。在谷電子學方面，人們發(fā)現(xiàn)碳雙層的三角翹曲可以誘導不同谷上的電子聚焦［142］，甚至當兩個結中的電子處于同一導帶或價帶，通過改變加在n-p-n結上的柵電壓可以實現(xiàn)完全谷極化的電子束［143，144］。

3.雙勢壘的量子Goos-H¨anchen位移

在光學中，光從光密介質入射到光疏介質時，光線被全部反射回原介質的現(xiàn)象被稱作全反射。Goos和H¨anchen發(fā)現(xiàn)，當出現(xiàn)全反射時，在反射界面處反射光實際上并不是在入射點處進行反射，而是偏離了一個小的位移，這個非常有趣的現(xiàn)象后來被命名為Goos—H¨anchen（GH）效應［145］。

為了計算GH位移，我們考慮一入射電子束，波函數(shù)為

圖24.上圖為勢壘輪廓圖，兩邊為p摻雜區(qū)域，中間為n摻雜區(qū)域的電子通道。下圖為通道的頂視圖。藍色實線為A子格電子束中心的軌跡，紅色虛線則表示B子格電子束中心的軌跡，δ0為兩電子束中心的相對位移。電子一旦被反射，每一個贗自旋產(chǎn)生交替的位移σ±，W為通道寬度。引自文獻［119］。

這就是GH位移。

在二硫化鉬單層材料上，Sun等人也研究了p-np結的GH效應［150］。他們發(fā)現(xiàn)，受時間反演對稱性保護的K谷中自旋向上（向下）電子的透射和K′谷中自旋向下（向上）的電子透射一致，然而K和K′谷中電子的GH位移方向相反。由于不同自旋的電子群速度不同，使得每一個谷上自旋向上和自旋向下的電子GH位移的大小也不同，因此通過一個足夠長的p-n-p通道，自旋向上和自旋向下的電子可以被有效的分開。這些特征為二硫化鉬單層產(chǎn)生完全自旋或谷極化的電流提供了可能。

B.超晶格結構上Dirac電子輸運

通過對單和雙勢壘的研究，人們很容易聯(lián)想到多勢壘的情況，而多個勢壘不同的排列方式也會對電子的能譜和輸運性質帶來很重要的影響。接下來，我們將分別介紹周期和準周期排列的超晶格勢對Dirac電子的影響。

1.周期超晶格

　圖25.（a）x-y平面內外加周期方勢壘的示意圖?；疑珔^(qū)域表示加在碳單層上的電極，θ0（θe）表示電子透過碳單層超晶格的入射（出射）角，dA和dB分別表示A區(qū)和B區(qū)的寬度，內嵌圖中的θA和θB分別表示電子在A區(qū)和B區(qū)的出射角。（b）x方向上外加周期勢VA和VB的輪廓圖。引自文獻［151］。

我們假設能量為E的電子以入射角θ0從x＜0的區(qū)域入射。在出射區(qū)，波函數(shù)為

其中

為一系列轉移矩陣的乘積。通過詳細的解析計算，可以得出反射和透射振幅的表達式為

對于無限多個周期勢壘，根據(jù)Bloch理論，可以得到能量—波矢的具體色散關系

圖26.碳單層周期超晶格中電子的能帶結構圖，分別對應（a）dA/dB=1；（b）dA/dB=3/2；（c）dA/dB=2。其它參數(shù)為VA=50 meV，VB=0，dB=50 nm。虛線表示Dirac點的位置。引自文獻［151］。

利用Landauer-B¨uttiker公式可以對系統(tǒng)的電導進行計算［161］。在零溫下，總的電導為

其中G0=（2e2/?）（l/π?vF）為電導單位，l為系統(tǒng)在y方向上的長度，θ為入射角，而T=|t|2為透射系數(shù)。還可以研究系統(tǒng)的Fano因子（噪聲功率和平均電流的比值），它是表征電噪聲的一個物理量［162］。其計算公式為

計算結果表明，電導在新的Dirac點處取得最小值，而Fano因子在Dirac點處存在一個峰值為1/3［162，163］。

2.準周期超晶格

基于周期超晶格的研究，人們也研究了準周期勢對碳單層中Dirac電子能譜及輸運性質的影響，如Fibonacci序列、Thue-Morse（TM）序列等［164～167］。在周期結構中，電子波為Bloch波，表現(xiàn)出擴展態(tài)的特征。而準周期是介于周期和無序之間的一種中間態(tài)，平移不變性的喪失意味著不能再采用Bloch理論，因此帶來了研究上的困難。為了表征Dirac電子系統(tǒng)中準周期的一些基本特性，如三分叉、自相似行為等，我們以Thue-Morse序列為例建立模型，TM序列的迭代規(guī)律為A→AB，B→BA。如果從A開始，該TM序列為A→AB→ABBA→ABBABAAB→ABBABAABBAABABBA→···。

利用波函數(shù)銜接方法，可以推導出射端與入射端波函數(shù)之間的轉移矩陣為

m=1，2，3，...為TM序列的代指標，N=2m為總的勢壘個數(shù)。另一個重要的表達式是TM序列的跡映射

和

而這些方程的解恰好對應著系統(tǒng)的本征能量值。

圖27.碳單層上第5代TM序列超晶格中電子的透射譜，其它參數(shù)為VA=50 meV，VB=0，dA=10 nm，dB=20 nm。引自文獻［167］。

通過數(shù)值計算，不同代數(shù)的TM序列對應著不同的分立能譜?？梢园l(fā)現(xiàn)，低代數(shù)TM序列的本征能量值總是保留到高代數(shù)序列中，而且能譜在Dirac電子系統(tǒng)中同樣遵循三分叉的規(guī)律［167］。電子透過一個碳單層TM超晶格的透射振幅為

其中θe為出射角。圖27給出了透射譜隨入射能量和入射角的變化，該角度相關的透射展現(xiàn)了電子輸運的各向異性。更有趣的是，在垂直入射時，由于贗自旋守恒，Klein隧穿一直存在，準周期性表現(xiàn)不出來。而在偏離垂直方向入射時，準周期性才會體現(xiàn)出來，這是

和滿足傳統(tǒng)的拋物線型色散關系的粒子非常明顯的一個區(qū)別。

對于每一代TM超晶格，從方程（50）可以看出，χ2=1總是成立的，這是一個非常顯著的特征。它能夠很好地解釋當準周期序列的代數(shù)變化時，額外的Dirac點為什么是魯棒性的。關于TM超晶格中額外Dirac點的位置，我們可以推導一個一般表達式

當入射角θ0=0，也就是正入射時，假設-2qAdA= 2qBdB，原始Dirac點的位置為

和

這和周期超晶格中新的Dirac點是一樣的。當θ0≠0，也就是斜入射時，在新 Dirac點附近出現(xiàn)額外的Dirac點，其位置滿足-2qAdA=2qBdB=nπ（n為正整數(shù)）?？梢钥闯?，TM序列中額外Dirac點的數(shù)目是周期超晶格的2倍，且數(shù)目和位置只取決于第二代TM序列［167］。在實驗上，這些額外的Dirac點可以通過電子束的超準直來進行測量，反過來也為電子的超準直提供更多的角度選擇。隨后，人們也研究了碳雙層上Thue-Morse序列下電子的能譜和輸運性質［168］，發(fā)現(xiàn)零平均波數(shù)帶隙的中心位置同樣不依賴晶格常數(shù)，但是卻和層間耦合γ有關。

C.磁性納米條帶中的熱自旋輸運

我們已經(jīng)探討了靜電勢壘對塊體碳單層材料Dirac電子輸運性質的影響，很多新奇的物理現(xiàn)象都源于其特殊的零能隙線性色散關系及Dirac電子所具有的手征性。正如前面已經(jīng)提到的，碳單層六角晶體結構具有兩種重要的晶向，一種是沿著鋸齒型方向，另一種是沿著扶手椅型方向。沿著這兩個方向分別進行裁剪可以產(chǎn)生扶手椅型和鋸齒型納米條帶。由于邊界的存在和量子尺寸受限效應，導致這些納米結構表現(xiàn)出與體材料不同的性質；也因為載流子色散關系的顯著差別，與常規(guī)量子點和環(huán)中的結果迥然有別［169］。在本小節(jié)中，我們將考慮受限鋸齒型碳單層納米條帶上的電子輸運性質，重點介紹近年來比較受關注的溫度驅動的電子輸運。

1.第一性原理計算

理論研究表明，碳單層納米條帶具有豐富的能帶結構和優(yōu)異的電子性能，被廣泛地認為是未來碳基納米電子學和自旋電子學的基石。根據(jù)傳統(tǒng)的場效應管原理［170，171］，目前已經(jīng)有很多基于碳層材料的器件被設計出來。前期的第一性原理計算結果已表明［172，173］，鋸齒型碳單層納米條帶（ZGNR）具有反鐵磁（AFM）的基態(tài)。這種構型在能帶結構上顯示出一個帶隙，通過施加一個橫向電場，其基態(tài)可以被調制成半金屬態(tài)［172］。對加一個小的磁場或者采用鐵磁絕緣體襯底（例如EuO）可以激發(fā)鋸齒型碳單層納米條帶處于鐵磁激發(fā)態(tài)［175］。鋸齒型碳單層納米條帶的磁性特征是由電子間Coulomb作用導致的，可以通過邊界電子自旋密度分布顯示出來。更直觀地講，其磁性起源于鋸齒型邊界強的局域電子能力；而扶手椅型邊界則不容易局域電子，也就不會出現(xiàn)磁性?；阡忼X型碳單層納米條帶的磁性性質，我們可以通過外場來調控其電子的自旋自由度。理論預言，局域柵極電壓控制的鋸齒型碳單層條帶顯示出負微分電阻的有趣現(xiàn)象［176，177］。

求出，這里 h是普朗克常數(shù)，fS（D）（E）是源（漏）極的Fermi分布函數(shù)，Tσ（E）是自旋為σ的透射系數(shù)。

　圖28.（a）基于鐵磁性鋸齒型邊界碳單層納米條帶的熱自旋裝置。TS和TD分別表示源極和漏極的溫度。襯底上柵壓用來控制熱自旋極化電流。（b）源極和漏極的Fermi分布函數(shù)，電子電流Ie和空穴電流Ih由于兩個電極載流子濃度差而產(chǎn)生。（c）自旋相關的透射譜和鐵磁性納米條帶的能量色散關系圖。改編自文獻［178］。

然而，如圖28（c）左圖所示，自旋依賴的透射譜在能區(qū)-0.323 eV＜E-EF＜-0.213 eV（上自旋）和 0.156 eV＜E-EF＜0.168 eV（下自旋）處有峰值。透射峰的出現(xiàn)歸因于鐵磁納米條帶的特征能譜，如圖28（c）右圖所示，上自旋電子的能帶結構在近X點表現(xiàn)出雙簡并的帶尾，這是電子間Coulomb作用誘導的強自旋極化邊態(tài)。因此，上自旋電子輸運通道數(shù)目在能區(qū)-0.323 eV＜E-EF＜-0.213 eV上為3；而下自旋電子的π和π?帶在窄能區(qū)0.156 eV＜E-EF＜0.168 eV相互交叉，從而導致這個能區(qū)下自旋透射系數(shù)的振蕩。這些輸運峰破壞了輸運譜中的電子—空穴對稱，導致了非零的熱自旋流。此外，即使下自旋電子的透射峰比上自旋電子的更窄，下自旋流仍然會比上自旋流大，這歸因于下自旋電子的透射峰比上自旋電子的透射峰更靠近Fermi能級。由于Fermi分布函數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)衰減的性質，并且透射峰相對遠離Fermi能級，源極需要足夠的高溫使得Fermi分布函數(shù)展寬到起作用的能區(qū)，從而打開自旋流。從線性響應的觀點來看，偏壓和溫差誘導的電流是由系統(tǒng)的載流子透射系數(shù)來控制的。前者是由不同的Fermi分布函數(shù)即兩個電極的電勢差引起的，而后者是由于溫度差引起的。

2.平均場理論處理

除了用第一性原理計算鋸齒型碳單層納米條帶的電子性質外，我們也可以采用平均場自洽計算的方式來得到相一致的系統(tǒng)的性質［174，179］。利用非平衡Green函數(shù)方法和Landauer-B¨uttiker公式［14，174］，我們研究通過局域柵極電壓控制的鋸齒型碳單層納米條帶中的熱自旋輸運［180］。圖29（a）給出的晶體管裝置可以分成三部分：半無限長的左電極（源極S），有局域電壓控制的中間散射區(qū)域（柵極C），半無限長的右電極（漏極D）。鋸齒型碳單層納米條帶的寬度用鋸齒鏈的數(shù)目N來表示，除非特別說明，計算中寬度N一般取為6。在源極（溫度為TS）和漏極（溫度為TD）之間加一個溫度差TSD。這種器件是典型的溫度控制的場效應晶體管。

系統(tǒng)的Hamilton量可以簡單地使用平均場下的Hubbard模型進行有效地描述，具體形式為

這里e是電子電荷。

這個器件的輸運性質可以利用非平衡Green函數(shù)方法得到。器件中的推遲Green函數(shù)Gσ可以通過下式

進行計算，此處Hσ代表自旋為σ的電子的Hamilton量；ΣS（D），σ是電極的自能函數(shù)，可以由ΣS（D），σ= τS（D），σgS（D），στ?S（D），σ計算得到；τ代表中間散射區(qū)域和電極之間的耦合；gS（D），σ是無耦合時源（漏）極Green函數(shù)，可以通過標準的遞推Green函數(shù)計算得到［174］。根據(jù)Green函數(shù)理論，圖29（a）裝置中依賴于電子能量和柵極電壓的透射系數(shù)Tσ（E，Vg）的計算表達式為

　圖29.（a）鋸齒型碳單層納米條帶熱自旋器件截面圖。位于源極和漏極之間的散射區(qū)域用局域柵極電壓進行控制，其中TS，TD分別為源極和漏極的溫度，整個器件以碳化硅作為襯底。（b）源（漏）極和中間區(qū)域的能帶結構以及相應的Vg=0.2 V時的透射系數(shù)。在最右邊的圖中，Vg=0的透射系數(shù)為參考值，陰影區(qū)域代表輸運函數(shù)阻塞的能量區(qū)域，邊界為E0，↑=-0.49 eV， E1，↑=-0.35 eV， E0，↓= 0.13 eV，E1，↓=0.32 eV。（c）和（d）分別為不同的柵極電壓Vg=0 V和0.2 V時，不同的溫差TSD=30，60，90 K情況下自旋相關的電流與源極溫度之間的關系，其中的內嵌圖顯示的是自旋相關電流的方向。引自參考文獻［180］。

通過分析方程（55）可以看出，電流由所研究的能量區(qū)域中透射系數(shù)和源—漏極之間的載流子濃度差的乘積決定。自旋相關的電流主要來自于兩部分的貢獻：能量高于Fermi能級的電子流Ie從源極（高溫區(qū)域）流向漏極（低溫區(qū)域），能量低于Fermi能級的空穴流Ih流向相反的方向。圖29（b）顯示了這個系統(tǒng)在不同的柵極電壓Vg的透射系數(shù)，這與前人的研究結果相一致［179］。在這里我們要注意，分布函數(shù)隨著能量呈現(xiàn)指數(shù)衰減。當沒有柵極電壓時，自旋向上和向下的輸運子帶幾乎對稱地分布在Fermi能級的兩邊，并且離Fermi能級很遠，因此，需要一個比較高的閾值溫度來展寬分布函數(shù)使之與輸運子帶產(chǎn)生交疊，才能產(chǎn)生電流。當柵極電壓為Vg=0.2 V時，透射系數(shù)在Fermi能級附近出現(xiàn)非對稱性，自旋向下的電子比自旋向上的電子更接近Fermi能級，分布函數(shù)和輸運函數(shù)比較大的重疊區(qū)域產(chǎn)生了比較大的電流，相應的閾值溫度也明顯減小，相反自旋向上的電流幾乎消失。

圖29（c）顯示的是TSD=30 K，60 K，90 K時自旋相關的電流與源極溫度TS之間的函數(shù)關系。要產(chǎn)生自旋向上或者自旋向下的電流，存在一個TS的閾值（大約280 K）。當TS超過閾值時，器件顯示出雙極自旋輸運行為［178］：自旋向上的電流和自旋向下的電流流向相反的方向。這種情況下，幾乎沒有凈電荷流產(chǎn)生，但是有純的自旋流可以觀測到。隨著溫度偏壓的增加，自旋向上或者自旋向下的電流的幅度增加。然而，當我們調節(jié)柵極電壓Vg=0.2 V時，單極的自旋輸運現(xiàn)象出現(xiàn)，如圖29（d）所示。自旋向下的電流翻轉，并且隨著源極溫度和溫度偏壓的增加而快速增加。閾值電壓也隨之下降。與自旋向下的電流相比，自旋向上的電流不依賴于源極溫度和溫度偏壓，并且總是接近于零。因此凈的電荷流就是自旋向下的電流?？梢?，自旋輸運發(fā)生了從雙極到單極的轉變。

進一步的理論結果表明，通過調節(jié)橫向偏壓也可以控制鋸齒型碳單層納米帶中源極和漏極之間產(chǎn)生的熱自旋極化流［181］。改變電場、源極溫度和條帶的寬度，我們可以控制器件得到高自旋極化電流。這些結果開拓了碳單層納米條帶的潛在應用，提供了在基于碳單層納米條帶的自旋電子學器件中控制自旋極化電流的可能性應用。此外，基于碳單層納米條帶的磁性，有關理論方面的工作也提出了一個簡易的自旋整流場效應管裝置［182］，這個裝置包含一個鋸齒型邊界的源極、一個扶手椅型邊界的漏極以及耦合兩個電極的彎曲的結區(qū)。通過自洽計算發(fā)現(xiàn)，由于磁疇結區(qū)的存在使得這個裝置可以用作一個雙極型自旋整流裝置，條件是兩個具有橫向對稱性的電極的寬度要非常接近。此裝置最明顯的一個優(yōu)點就是它僅僅需要一個很小的磁場驅動源極處在鐵磁亞穩(wěn)態(tài)上就可以實現(xiàn)顯著的自旋整流效應。

對于最近一段時間發(fā)展起來的硅單層，除了通過調節(jié)外部電場，可以出現(xiàn)多種豐富的拓撲相變之外［35，36］，在量子輸運方面的研究也取得了一些進展。最近的研究結果顯示，由于局域交換場的存在導致了時間反演對稱性破缺，在硅單層條帶中一個邊界上利用交換場可以獲得自旋極化電流［183］。

V.激子凝聚和熱JOSEPHSON效應

在本節(jié)里，我們考察被薄的絕緣層隔開的兩個碳單層組成的碳雙層中激子的產(chǎn)生、激子的凝聚，以及由兩個碳雙層激子凝聚體構成的隧道結中的熱Josephson效應。

A.激子研究的背景

用能量略低于帶隙寬度的入射光來激發(fā)半導體時，發(fā)現(xiàn)吸收譜中出現(xiàn)峰值，這說明在帶隙中有能量本征態(tài)存在。這是粒子間的相互作用導致的，它是導帶的電子與價帶的空穴通過Coulomb吸引相互作用形成的電子—空穴對，是一種準粒子，被稱作激子。

1.個別激子

下面我們通過一個簡單的模型來討論激子［1］。利用有效質量近似，我們可以把電子—空穴對的Schr¨odinger方程寫為

其中me（mh）和re（rh）分別是電子（空穴）的有效質量和空間坐標，?為半導體的介電常數(shù)。

對于這樣的二體問題，引入質心坐標R和相對坐標r，有

把式（61）代入方程（60）中，通過微商運算，我們得到質心和相對坐標表示下的Schr¨odinger方程

其中M=me+mh和m=memh/（me+mh）分別代表激子的總質量和折合質量。采用分離變量法，令

再把式（63）代入式（62）中，得到

和

其中ER和Er分別表示質心和相對運動的能量。

從式（64）中可以看出，質心部分相當于自由粒子的運動，那么它的波函數(shù)就是平面波，能量就可以表示為?2k2/2M。對于相對運動部分，如式（65）所反映的，相當于一個粒子在中心Coulomb勢場中的運動，跟氫原子問題很像，可以套用氫原子能級公式，得到能量為-me4/2n2?2?2，其中n為主量子數(shù)。這樣就獲得了激子的總能量

通過式（66），就能夠很容易解釋前面提到的實驗結果。由于相對運動部分描述的是電子—空穴對，它降低了系統(tǒng)的能量，所以會在帶隙中出現(xiàn)吸收峰。此外，這里激子是以束縛態(tài)存在的，在帶隙中出現(xiàn)分立的能級。

2.量子阱中的激子凝聚

在1957年，J.Bardeen，L.N.Cooper以及J.R. Schrieffer根據(jù)電子對的概念提出了超導的微觀機制［184］，并很好地解釋了許多實驗現(xiàn)象。電子的集體行為會導致宏觀的量子態(tài)，因此人們可以通過超導異質結中的Josephson效應來驗證這種微觀機制［185］。在1963年，P.W.Anderson［186］和S.Shapiro［187］從不同的角度用實驗驗證了這種宏觀量子態(tài)，也確認了超導的微觀機制。緊接著，在1968年，L.V.Keldysh就提出了激子凝聚的問題［188］，此后有大量的研究工作討論了這個現(xiàn)象，并且把Bardeen-Cooper-Schrieffer（BCS）的理論運用在這個問題上。在這些工作中，有一些實驗研究討論了激子凝聚，但是沒有一個工作給出了直接的實驗證據(jù)來證明存在凝聚現(xiàn)象。對于一個凝聚體，最直接的證據(jù)就是干涉圖像的出現(xiàn)［189］。前面的實驗都沒有給出干涉圖像，只是得到了一些間接的證據(jù)。實驗中，大多數(shù)用的是半導體的體材料或單個量子阱（QW），通過光來激發(fā)。由于在這些系統(tǒng)中激子的壽命很短，還沒來得及凝聚就復合了，實驗上也就無法觀測到。要想觀測到激子凝聚，必須延長激子的壽命。

經(jīng)過很多年的探索，人們發(fā)現(xiàn)在耦合的量子阱中，激子的壽命很長。如圖30所示，在這個系統(tǒng)中，電子型的量子阱與空穴型的量子阱通過電介質隔開，較大的間距d使得電子與空穴的復合幾率很小，因此壽命較長。但是d不能太大，要讓電子與空穴間的Coulomb相互作用較大，從而形成激子。沿著這個思路，終于在2012年，實驗上得到了清晰的激子凝聚體的干涉圖樣［190］，解決了人們多年來的困惑。這個現(xiàn)象也不難理解，當激子的密度比較低時，激子間的距離比激子中電子—空穴的距離要大很多，這時，激子就表現(xiàn)出Bose子的特征。在適當?shù)臈l件下，激子就會發(fā)生凝聚，顯現(xiàn)出宏觀的相位。進一步，人們還可以在這個系統(tǒng)中討論激子的超流［191］、渦旋［192］以及相應的Josephson效應［193］等現(xiàn)象。

圖30.耦合的量子阱的示意圖。兩個量子阱的間距為d。

在耦合的量子阱中，激子凝聚的臨界溫度一般是幾K，非常不利于實際的應用。要想提高臨界溫度，減小激子的有效質量是最可靠的方法。自從2004年碳單層在實驗上分離出來后［4］，無質量的Dirac電子的研究變得非常熱，并表現(xiàn)出豐富的奇異性質［5，194］。利用兩個碳單層，就可以構造出耦合的碳雙層，從而形成激子凝聚體［195，196］。碳雙層中的凝聚體不僅有耦合量子阱中的一些性質［197］，而且臨界溫度相當高［198］。因此，碳雙層是研究激子凝聚非常好的平臺，也能給出反常的性質［199］。此外，拓撲絕緣體也是一個非常吸引人的研究對象，在表面態(tài)上具有Dirac電子的性質［200，201］。利用拓撲絕緣體的表面態(tài)，也可形成激子凝聚體［202～204］，同樣也可獲得很高的臨界溫度

3.激子凝聚的BCS理論

在超導體中，由于聲子的參與，電子間存在有效的吸引相互作用。這樣，電子會配對，形成超導體中的Cooper對。而在半導體材料中，有電子和空穴，二者之間本身就存在Coulomb吸引相互作用，不需要外界的參與，就可以形成激子。對比激子與Cooper對，它們有很多的相似性，因此可以將超導中的BCS理論運用到激子凝聚中來。

我們利用BCS理論來討論半導體量子阱中的激子凝聚，從而可以平行地推廣到碳雙層相應的問題中去。系統(tǒng)的Hamilton量表示為

利用平均場方法，在電子與電子（空穴與空穴）間的排斥相互作用中，讓q=k′-k；在電子與空穴的吸引相互作用中，讓 k′=-k。在一些常見的半導體量子阱中，電子與空穴的有效質量是不相等的，即me≠mh。為了反映出BCS理論的核心概念，而避免復雜的數(shù)學形式，我們假定me=mh=m，μe=μh=μ。這樣就獲得了下面的Hamilton量

以及能譜

從中可以看出電子-空穴對的一些信息。在方程（68）和（69）中，n為每一層的粒子密度，

并且E-（k）=-E+（k），而能隙函數(shù)

考慮s波配對，對式（68）進行對角化，我們就得到激子的激發(fā)能

從式（70）可以看出，激發(fā)能與能隙函數(shù)是聯(lián)系在一起的，并且能隙函數(shù)能直接地反映出對凝聚的情況。為了獲得能隙函數(shù)，類似超導基態(tài)波函數(shù)，我們構造半導體中的激子波函數(shù)

到這里，通過對式（69），（70）以及（72）進行求解，就可以討論激子凝聚現(xiàn)象了，也能夠得到許多有意義的物理結果。此外，利用上面的耦合方程，我們還得到每個激子的平均能量

在半導體量子阱中，利用BCS理論，我們得到激子凝聚的激發(fā)能以及能隙函數(shù)等重要的物理量。通過自洽求解，就能獲得激子凝聚體的主要性質。因此，上面的理論分析是我們進一步研究激子凝聚的基礎。

B.碳雙層中的激子凝聚

自從2004年碳單層在實驗上被制備出來后［4］，它在研究電子的奇特性質方面成為熱門的對象，這是由于它的低能電子是無質量的Dirac-Fermi子。在碳單層中載流子之間存在Coulomb相互作用，這種相互作用可以實現(xiàn)對Fermi速度的重正化［205］，并且它會對電子的物理性質產(chǎn)生很大的影響，例如電導率［206，207］和磁致電阻率［208］。如果考慮把碳單層置于兩個電介質之間，則可以用來研究其界面電子行為［209］。反過來，我們也可以構造由電介質隔離成有一定間距的碳雙層，其中每一碳單層的極性可以通過外加柵電壓調節(jié)，那么兩層載流子之間的相互作用就可以實現(xiàn)從排斥到吸引的轉變。因此，電子—空穴對就可以在這個有相反極性的碳雙層中形成［210］。

1.耦合方程及基態(tài)保真度

在碳雙層中，電子—空穴對的凝聚是一種很有趣的現(xiàn)象，并且受到很多研究工作的關注［196［199］、渦旋、零模，以及電荷分數(shù)化［213］。此外，也考慮過無序對電子—空穴對凝聚的影響［214］。所有上面的結果激發(fā)了研究者在碳單層和多層中對這一問題進行實驗研究?；鶓B(tài)保真度開始被用于研究量子相變［215］，后來，在連續(xù)體或格點模型中，這一概念被證明能夠有效地處理Bose-Einstein凝聚態(tài)（BEC）和BCS態(tài)的交疊問題［216］。

在許多凝聚態(tài)物質中，特別是在碳雙層系統(tǒng)中［217［223，224］。這里我們可以期望，碳雙層中電子-空穴對凝聚體在低溫下的Coulomb拖動效應具有獨特的物理性質。

在接下來的討論中［225］，我們采用基態(tài)保真度來反映碳雙層中電子—空穴對凝聚體的相圖，并推導出在零溫下電子—空穴對發(fā)生凝聚的臨界密度；接著在有限溫下研究凝聚體中的Coulomb拖動效應，發(fā)現(xiàn)拖動電導存在極小值，這可以作為實驗上探測電子—空穴對凝聚體的依據(jù)。

　圖31.（a）中間有電介質插層的碳雙層。外加的電壓可以調節(jié)每一碳單層中粒子濃度。（b）兩個碳單層的Fermi面，分別處在導帶c和價帶v上。

如圖31（a）所示，在有電介質插層的碳雙層結構中，電子和空穴能夠通過Coulomb相互作用形成電子—空穴對（激子）。這種準粒子在低密度情況下可以看成是Bose子，在一定條件下發(fā)生凝聚。在這個結構中，上一碳單層的Fermi面處在導帶上（用c來標記），下一層處在價帶上（用v來標記），如圖31（b）所示。這兩層的Fermi面可以通過垂直于平面的外加電場進行調節(jié)。兩層的間距d應該足夠大以阻止層間的隧穿，但是它也不能太大，防止電子與空穴間的Coulomb相互作用過小。我們設定電子和空穴的密度是一樣的，使得整個系統(tǒng)是電中性的。

當我們充分考慮電子和空穴的層間和層內的相互作用時，這個二維電子—空穴系統(tǒng)的Hamilton量可以寫成

在平均場近似下，經(jīng)過復雜的推導，我們得到下面的耦合方程

其中 ?（k）和 ε（k）分別表示能隙函數(shù)和對激發(fā)能，?（k）可以看成是實函數(shù)，ε是介質層的介電常數(shù)。在每一層粒子的密度可以表示為

其中占據(jù)幾率

分布函數(shù)f（ε（k））表示為1/｛exp［ε（k）/kBT］+1｝，其中 kB和 T分別是Boltzmann常數(shù)和溫度。在方程（75）中，2πe2nd/?這一項是Hartree項，它來自于電荷的積累。耦合方程（75）至（79）是我們研究電子—空穴對凝聚的理論基礎，它們可以自洽地進行求解。

在碳雙層中，波函數(shù)交疊會導致影響Coulomb相互作用的一個因子［228］，這個因子可表示為

其中λ和λ′是能帶的標記，θk，k′是波矢 k和 k′的夾角。這樣我們就得到相互作用

及

根據(jù)已有文獻，碳雙層的準確堆積方式，如AA或AB堆積，對電子—空穴對凝聚影響很?。?96］，這里所有的結果對某種特定的堆積方式不敏感。

在量子相變中，不同的基態(tài)波函數(shù)之間有躍變，而基態(tài)保真度就能夠反映這一躍變［215］。如果不同的波函數(shù)之間沒有躍變，有交疊部分，保真度就不會發(fā)生躍變。保真度率會在波函數(shù)交疊區(qū)域出現(xiàn)一個峰［216］。為了描述電子—空穴對BEC和BCS的交疊問題，我們在碳雙層中寫出保真度率χ為

利用上面的式（80），我們就能給出激子凝聚體中的準確相圖。

2.零溫下電子—空穴對的凝聚

在絕對零度時，通過方程（75）～（79）的數(shù)值計算可以得到電子—空穴對的能譜、能隙函數(shù)和占據(jù)幾率，如圖32所示。在這里，我們定義兩個物理量?m和km，它們分別表示能隙函數(shù)的極大值和相對應的波矢，即

從圖32（a）可以看出，激發(fā)能ε（k）有一個極小值。當k＞km時，ε（k）隨著k呈現(xiàn)出線性地增長，這個結果與以前的文獻結果一致［196］。如果增大平均間距rs，km就會減小，實際上，?m也在變小。在km附近，從方程（77）中我們可以得到E+（k）≈0及|vk|2≈0.5，這與圖32（b）的數(shù)值結果一致。

　圖32.電子—空穴對激發(fā)能ε（k），能隙函數(shù)?（k），和占據(jù)幾率|vk|2隨動量k的變化。圖中溫度T=0 K，β=0.6。引自文獻［225］。

為了確認圖32中數(shù)值結果的合理性，我們從方程（75）和（76）中推導出關于km的近似表達式

值得注意的是，在碳雙層中這個式子在有效結構常數(shù)和粒子密度都很小的時候才成立。我們發(fā)現(xiàn)，km是與層間距d和激子平均間距rs相聯(lián)系的。這時把相應的參數(shù)代入方程（81）中，得到km的值與圖32（a）中的結果一致。更重要的是，從這個方程中我們得到了電子—空穴對凝聚的條件

它與數(shù)值結果也是一致的。這樣在零溫下，就得到電子—空穴對開始發(fā)生凝聚的臨界平均間距rsc，即rsc= 2dβ，它取決于介電常數(shù)和電介質層厚度。當rs＜rsc時，存在電子和空穴的等離子體［232］，當rs＞rsc時，對凝聚就出現(xiàn)了。

計算結果顯示，在對凝聚體中，當粒子間平均間距比較小時，帶隙的極大值隨著rs增大而急劇減小。也就是說，在這種狀態(tài)下對rs很敏感，電子—空穴對間的關聯(lián)很弱，這就是BCS態(tài)。然而，當rs比較大時，?m幾乎不受rs的影響。這時束縛的激子態(tài)就形成了，激子之間的相互作用較弱，但電子與空穴之間的關聯(lián)就很強，這反映出激子的BEC態(tài)。從?m的變化來看，我們發(fā)現(xiàn)在碳雙層中電子—空穴對的BEC態(tài)到BCS態(tài)是連續(xù)變化的，即存在BEC和BCS態(tài)的交疊區(qū)。這點與耦合的半導體量子阱中的情形類似［227，232］。

　圖33.（a）保真度率χ隨平均間距rs的變化；（b）電子—空穴對凝聚的相圖。在（a）中β=0.6，整個圖中溫度T=0 K。引自文獻［225］。

為了反映出這個交疊的區(qū)域，我們在圖33（a）中給出了保真度率 χ的變化情況。隨著rs增加，出現(xiàn)了一個峰，而這個峰的半寬度就代表這個交疊區(qū)域［216］。例如，當β=0.6，BEC和 BCS態(tài)的交疊區(qū)域就出現(xiàn)在 40＜rs＜200 nm這個范圍內。這樣我們就得到了電子—空穴對凝聚的相圖，圖33（b）準確地反映出這一特征。圖中實線表示對凝聚的臨界平均間距 rsc，也就是從正常相到凝聚相的邊界。

3.有限溫下的超流

我們接著討論在有限溫下電子—空穴對的凝聚及其相關性質。這個有限溫是指粒子處于0 K和臨界溫度Tc之間。隨著溫度上升，能隙函數(shù)的極大值先是幾乎不變，接著迅速減小直到變?yōu)榱恪τ诓煌牧Ｗ用芏龋@種變化趨勢是一樣的，如圖34（a）所示。在這里我們分別選擇處于BCS態(tài)、BEC態(tài)，以及交疊區(qū)域的三個密度值。盡管能隙函數(shù)的極大值在這三種態(tài)中是不一樣的，它隨溫度的變化趨勢卻是相同的。在臨界溫度處，可以得到?m=0，電子—空穴對就沒有發(fā)生凝聚。如果我們把公式（76）與超導中的能隙函數(shù)相比較，就可以得到一個近似的關系式，?m（0）/（kBTc）≈1.76，其中?m（0）是零溫時的能隙函數(shù)極大值。在常規(guī)超導體中，這個關系是普適的，與材料無關。在這里，我們運用BCS理論來處理電子—空穴對凝聚，這種普適關系是可以預料到的，盡管方程（74）中的相互作用與超導體中的不一樣。同時我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)值結果與上面的近似關系符合得很好，故這個關系可以用來估計對凝聚體的臨界溫度。

　圖34.（a）能隙函數(shù)的極大值?m和（b）超流密度ns隨著溫度T的變化。圖中β=0.6。引自文獻［225］。

在臨界溫度以下，在電子—空穴對凝聚體中出現(xiàn)超流，它對凝聚體中的輸運性質有很大的影響［210］。因此，有必要給出超流密度ns隨不同參數(shù)的變化。我們可以寫出ns為（198）

利用公式（83），我們在圖34（b）中畫出了ns隨溫度的變化。在計算中，當系統(tǒng)溫度為1 K時，就有kBT= 0.013 ?vFku。在圖34（b）中，對于不同的柵電壓，超流密度在低溫區(qū)幾乎不變，隨著溫度上升，它會很快減小至零。在超流密度ns=0處所對應的溫度就是臨界溫度Tc。容易看出，能隙函數(shù)和超流密度隨著溫度從零增加的變化關系是一致的。

在電子—空穴對凝聚相中，由于準粒子能譜ε（k）及其態(tài)密度得到重整，關系式 n=n（Vg）與正常相中的是否相同值得我們考慮，并且這點對實驗很重要。我們知道，在平均場處理中，粒子密度可以表示為公式（78），其中uk，vk，及ε（k）都是參數(shù)Vg的函數(shù)。在這個情況下，從上式中很難得到凝聚體中n=n（Vg）的準確關系。但是，數(shù)值方法能夠解決這個問題。通過對每個確定的Vg做自洽計算，我們發(fā)現(xiàn)密度在兩個不同的相中幾乎是一樣的，差別在10%以內，即近似關系式n≈CVg/e在兩個相中都成立。當溫度上升時，超流密度ns減小，如圖34（b），但是對于確定的Vg，總的密度n是不變的。

C.激子凝聚體的熱Josephson效應

多年來，量子微結構中的Josephson效應一直是受人關注的研究對象［114，233，234］。最近，固態(tài)納米系統(tǒng)中的熱輸運吸引了很多研究者的注意［235］。特別是，在由被絕緣薄層隔開的兩個超導體所構成的Josephson結中，由溫度差引起的熱輸運成為熱門的研究對象。這里有一些潛在的應用，如熱晶體管和熱分離器［236］。理論上，在有溫度差的超導Josephson結中的熱流得到充分的討論［237［236］。

1.隧穿矩陣元和能隙函數(shù)

我們繼續(xù)前一小節(jié)的討論，在空間隔開的碳雙層中，一層的電子與另一層的空穴產(chǎn)生Coulomb吸引作用，這樣激子就形成了。當兩個碳雙層中的激子凝聚體由一個薄的絕緣層隔開，由于空間相干性，超流的激子就有可能流過這個絕緣層，這就是激子的Josephson效應，它反映出宏觀的量子現(xiàn)象。這個有趣的效應最先在超導結中提出的［185］，接著研究擴展到激光阱中的稀釋原子氣體［240］以及半導體微腔中的電磁激子［241，242］。在碳雙層中討論通過激子凝聚體間隔層的熱流是很有價值的。

這里我們考察有溫度差的激子Josephson結中的熱輸運［243］。在兩個碳雙層中研究熱流有三個顯著的優(yōu)點：（1）標志著從正常態(tài)轉變?yōu)槟蹜B(tài)的臨界溫度很高［225］，這是由于碳雙層中激子的有效質量很小，激子之間在較高的溫度下就已經(jīng)出現(xiàn)相干性；（2）在碳雙層中熱導非常高［7，244］，這有利于熱輸運；（3）這個裝置容易在實驗上實現(xiàn)，像溫度和粒子密度這些參數(shù)可以在目前的實驗條件下調節(jié)，理論設想可以用實驗驗證。

　圖35.有溫度差的激子凝聚體Josephson結的示意圖。在絕緣層的每一邊，兩個碳單層間用厚度為 d的電介質層隔開。

這個系統(tǒng)有兩個碳雙層，通過薄的絕緣層連接在一起，每一個碳雙層含有兩個碳單層，中間由介質層隔開，如圖35所示。每一碳單層的粒子密度表示為1/（πr2），其中r為粒子間的平均間距，這個密度可以通過外加的電場來調節(jié)。假設兩個激子凝聚體都處在臨界溫度以下，密度是相同的，但有不同的溫度（TL和TR）。當兩個凝聚體空間相干性建立后，由于存在隧穿過程，Josephson效應就可能發(fā)生。根據(jù)前面的計算可知［225］，層內電子或空穴的相互作用對激子的激發(fā)譜影響很小，因此我們在這里只考慮層間粒子的相互作用。對于在碳雙層系統(tǒng)中的激子Josephson結，它的Hamilton量可以寫成

當Γkk′=0時，上面的Hamilton量描述的是兩個獨立的激子凝聚體。在每個凝聚體中，平均場理論給出了自洽的能隙函數(shù)［225］，它就是常說的對勢

其中φkk′是波矢 k和 k′之間的角度，∈是介電常數(shù)，能譜表示為

　圖36.能隙函數(shù)的極大值?m隨粒子平均間距r和溫度T的變化。在 ?m=0處所對應的溫度為臨界溫度，它與r的關系在圖中表現(xiàn)出來。引自文獻［243］。

在凝聚體中能隙函數(shù)是非常重要的，它可以用來判斷系統(tǒng)是否具有宏觀相干性。通過自洽計算可以得到關于波矢 k的能隙函數(shù)。在激子凝聚體中能隙函數(shù)和臨界溫度的關系與傳統(tǒng)超導體中的情形相似。定義能隙函數(shù)的極大值?m=max［?（k）］，它依賴于溫度和粒子間的平均間距，如圖36所示。在給定溫度下，?m隨著平均間距r的增加而減??；隨著溫度上升，?m先是緩慢地減小，接著迅速減小至零。在?m=0處對應的溫度就是臨界溫度，它隨平均間距的增加而減小。也就是說，粒子密度越大，所對應凝聚體的臨界溫度越高。

2.準粒子流和干涉流

在方程 （84）中，考慮非零而有限的隧穿矩陣元 Γkk′，并利用運動方程，可以推導出通過激子Josephson結的平均熱流IQ為

采用一級微擾理論［245］，計算一個算符的平均值，可以寫出

如果選擇隔開兩個碳單層的電介質為SiO2，它的介電常數(shù)ε大約為3.9。這個常數(shù)會影響碳層中電子和空穴的相互作用［229］，因為在碳單層中相互作用強度用β=e2/（??vF）來表征。我們仍采用?vFku（≈6.6 meV，其中ku=107/m）作為能量單位。在整個計算中，選取的合理參數(shù)為β=1，d=3 nm，以及vF=106m/s。

　圖37.熱流 Iqp（單調增加的曲線）和Iin（先增加后減小的曲線）隨左邊激子凝聚體溫度TL的變化。在 （a）與（b）中r分別為20和5 nm。所有圖中TL＞TR及?=0。這里我們定義常數(shù)η=32|Γ|2k4u/π作為熱流的單位。引自文獻［243］

當溫度TL和TR都很低時，由方程（87）和（88）可以推出關于IQ在 ?=0處的表達式為

從方程（89）中可以看出，熱流 IQ與TR和 TL-TR有關，IQ的大小隨著|TL-TR|的增加而變大；而且，當粒子的平均間距r減小時，對于給定的TR和 TL，IQ增大，因此大的粒子密度有利于熱輸運。

當溫度TL（或TR）較大時，需要通過數(shù)值求解方程（87）和（88），來給出熱流隨溫度的變化。在 ?= 0處，所得的數(shù)值結果如圖37所示，其在低溫區(qū)與方程（89）符合得很好。對于給定的粒子密度，例如在圖37（a）中，準粒子流Iqp隨著TL上升而不斷變大，這是由于兩個激子凝聚體的溫度差不斷增大。但是，干涉流Iin先是增加，隨后減小，逐步減為零，這是由凝聚體的溫差和左邊凝聚體的能隙函數(shù)共同作用的結果。另外，如果TL-TR→0，就可以得到Iqp≈Iin→0，這一點也可從方程（87）和（88）中看出。當左邊激子凝聚體處在臨界溫度時，如圖中的垂直線，有?L=0，這時就沒有干涉流。在臨界溫度附近，熱流IQ主要由準粒子流貢獻，并隨TL增加而變大。

隨著平均間距r變小，如圖36所示，能隙函數(shù)變大，相應的臨界溫度上升。這樣凝聚體溫度的變化范圍就擴大，通過對比圖37中的兩幅圖，可以看出熱流 Iqp和 Iin的變化范圍也擴大。對于給定的TL和TR，IQ對于小的平均間距有更大的變化范圍，這樣有利于熱輸運。這個結果與公式（89）符合得很好。

3.熱整流器和熱邏輯門

在固態(tài)材料的正常態(tài)中，熱流總是從高溫端流向低溫區(qū)，流的大小與溫差有關，但是熱整流系統(tǒng)就有點不同。熱整流在熱納米器件中是很重要的，如熱二極管，它表示熱流很容易地在一個方向上流動，當改變溫度差方向時，熱流就不易在相反方向上流動［246，247］。根據(jù)這個描述，定義熱整流比為

我們設定兩個溫度 Thot和 Tcold（Thot＞Tcold）。ILR表示從左邊流向右邊的總熱流，且TL=Thot和TR= Tcold，IRL代表溫差反向后從相反方向流過的熱流。與超導隧道結［239］和聲子裝置［248］中的熱整流相比，我們在激子凝聚體間考慮這一效應，并得到非常高的整流比。

由于干涉流Iin的方向由凝聚體相位差決定，與溫度無關，利用激子Josephson結的這一特征，可以在激子凝聚體間實現(xiàn)熱整流器。通過方程（87），（88），以及（90）得到整流比κ的表達式為

　圖 38.熱整流比κ分別隨溫度Thot的變化（a）和隨相位差?的變化（b）。在（a）中?=π，粒子平均間距r有四個不同值。在（b）中r=5 nm。所有圖中Tcold=20 K。引自文獻［243］。

通過上面的分析可以看出，凝聚體間的相位差在熱整流效應中起著非常重要的作用。實驗上，可以利用磁場來調節(jié)這個相位差［191］。當磁場垂直于激子的電偶極距時，凝聚體的相位受規(guī)范勢梯度的影響而發(fā)生改變。這樣就可以用相位差來調節(jié)熱整流比，如圖38（b）所示。給定Thot和Tcold，κ在?=（2l+1）π（l為整數(shù)）處有最大值，而在?=2lπ處有最小值。隨著Thot的上升，在2lπ的附近有-1＜κ＜0，這點可以從方程（91）中得到驗證，并且κ的變化很小。然而，在靠近（2l+1）π處，κ受溫度Thot的影響很大，隨Thot的上升而很快減小。當Thot=200 K時，κ對于任意的?都趨于零。這個現(xiàn)象是由于凝聚體的能隙函數(shù)在200 K處變得很小，使得公式（91）中的分子趨于零。值得注意的是，κ在Thot=30 K處的值高達3.3×104%，這個值超過超導Josephson結中的40倍［239］。

熱邏輯門也是熱器件中不可缺少的，它提供了開和關的狀態(tài)。在上面所討論的結構中，進行熱調控也會出現(xiàn)這個邏輯門特征。我們保持右邊激子凝聚體的溫度不變，如TR=10 K，而調節(jié)左邊溫度按TL=（80-70cosα）K變化。這時TL處在10 K到150 K之間，都在臨界溫度之下。實驗上，可以利用激發(fā)光的強度來調節(jié)TL，激發(fā)光的波長取在紫外的區(qū)域，這樣有利于樣品的加熱，例如325 nm［7，244］。在這種安排下，有TL≥TR，總的熱流IQ在凝聚體中總是從左邊流向右邊。把參數(shù)TL和TR代入方程（87）和（88），我們就得到總的熱流的具體結果。

　圖39.總的熱流IQ隨參數(shù)α的變化。TL=（80-70cosα）K，TR=10 K，以及 r=5 nm。引自文獻［243］。

在圖39中，IQ在低的TL下是很小的，這是由于凝聚體的能隙函數(shù)和分布函數(shù)在低溫區(qū)都幾乎不受TL和TR的影響，因此IQ趨于零。這個態(tài)就可以看成是關的，IQ近似用方程（89）來描述。當TL上升時，IQ迅速增加，并在α=（2l+1）π處達到最大值，這看成是開的狀態(tài)。在這個態(tài)中，凝聚體的能隙函數(shù)和分布函數(shù)受溫度的影響很大，以至于IQ的變化就很大。容易發(fā)現(xiàn)，稍微改變α的值就能夠讓熱流從開的狀態(tài)變到關的狀態(tài)，或是反過來。利用這兩個態(tài)，簡單的邏輯操作就能通過不同的結構來實現(xiàn)，這類似于電學的邏輯門。因此，我們能夠利用激發(fā)光來改變α，實現(xiàn)開和關的狀態(tài)之間的轉換。這個性質可以通過實驗來探測，而且其工作溫度是很高的，故對設計熱器件中的熱邏輯門將是有用的。

總之，由弱連接的兩個碳雙層結構，可以實現(xiàn)溫度偏置下的激子凝聚體Josephson結中的熱輸運。這個激子凝聚體Josephson結可以用來設計熱整流器和熱邏輯門，且容易通過實驗來驗證，并可望在熱納米器件中得到應用。

VI.拓撲量子相變

相變是凝聚態(tài)物理學前沿領域關注的一個重要課題。在通常情況下，我們把相變分為熱相變和量子相變［1］：溫度驅動的相變?yōu)闊嵯嘧儯湫偷睦尤绯Ｒ?guī)的超導相變，在臨界溫度以上為正常金屬態(tài)，臨界溫度以下為超導態(tài)；而在零溫下，由一些確定的非熱變量（如壓強、磁場或成分等）誘導的相變?yōu)榱孔酉嘧?，相互作用參量之間的競爭作用是其主要原因，例如橫場控制下Ising模型的鐵磁—順磁相變。近些年來，一個新的概念“拓撲”的引入，使得傳統(tǒng)的晶體能帶理論得以拓寬，發(fā)展出能帶拓撲理論［200，201］，有關相變方面的研究也逐漸地發(fā)展出來拓撲相變理論。這些拓撲相的存在需要通過量子輸運實驗來驗證，例如整數(shù)量子Hall效應［249］，分數(shù)量子Hall效應［250］，量子自旋Hall效應［251］，以及量子反常Hall效應［252］等。

A.二維六角結構中的拓撲量子相變

本小節(jié)將介紹用Z2拓撲指數(shù)表征的，具有時間反演對稱性的二維六角晶體中的拓撲絕緣體相，包括碳單層、碳雙層以及硼氮雙層中的拓撲相，其機制均源于自旋軌道耦合作用所導致的導帶和價帶間的反轉。體能隙中存在無能隙的邊態(tài)是這類二維拓撲絕緣體所表現(xiàn)出的基本的能帶特征。

1.碳單層Kane-Mele模型

Kane和Mele于2005年從理論上首次證明，如果碳單層中存在內稟的自旋軌道耦合作用，那么系統(tǒng)就會打開一個體能隙，并在體能隙中出現(xiàn)無能隙的邊態(tài)［253］，如圖40所示。Kane-Mele（KM）模型Hamilton量的具體形式為

圖40.鋸齒型碳單層納米條帶的量子自旋Hall相（QSH）。左圖是能譜，參數(shù)取值為λν=0.1t，λSO=0.1t，λR=0.05t，其中t=3.0 eV。右圖顯示體能隙中邊態(tài)的實空間分布，位于上下邊界上的拓撲態(tài)能帶也相應地給出。計算參數(shù)取自文獻［253］。

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，常規(guī)狀態(tài)下的碳單層材料，由于其內稟的自旋軌道耦合作用非常弱因而遠非一種實際的拓撲絕緣體材料，自旋軌道耦合所打開的體能隙基本上可以忽略［255］。第一個實際的二維拓撲絕緣體材料 HgTe/CdTe量子阱是由2006年張守晟等在理論上預言［256］，隨后于2007年被實驗［251］所證實的。然而，樣品制備難的問題限制了HgTe/CdTe量子阱材料工業(yè)化上的應用。因此，利用外場調控的手段在較易大規(guī)模生產(chǎn)的碳單層以及其它二維六角晶體材料中誘導出拓撲絕緣體相這個目標極具吸引力。

2.碳雙層中的拓撲相

基于碳單層上的KM模型，我們可以很自然地將其推廣到六角雙層系統(tǒng)中去探討拓撲相的實現(xiàn)［257～259］。此時緊束縛Hamilton量可以寫成

下面我們來具體介紹碳雙層中的拓撲相變。研究表明，外加層間偏壓可以使AB堆積碳雙層在大的Rashba自旋軌道耦合的作用下表現(xiàn)出一個強的拓撲絕緣體相［258，260］，用拓撲指數(shù)Z2來表征。層間偏壓的作用就是通過誘導層間電荷極性來打開一個體帶隙。計算Z2的表達式可使用［258］

圖41給出的是以λR和?為參變量的相圖，參數(shù)λSO=0，Z2拓撲指數(shù)作為相變判據(jù)。當Z2=1時，系統(tǒng)是一個強拓撲絕緣體。從相圖中我們可以看到，碳雙層的拓撲絕緣體相完全可以通過層間偏壓進行打開和關閉。相圖上A，B，C三點的能帶也相應地在圖41中給出：和A點的拓撲邊態(tài)相比，C點的體能隙中無能隙邊態(tài)的數(shù)目加倍，對應于一個特殊的拓撲相，稱為量子谷Hall絕緣體相；相界上的B點體能隙剛好關閉。事實上，對于相界上的每一點，體帶隙剛好在高對稱性的K和K′點上關閉，由此可以得到相界滿足的解析關系式

在碳三層系統(tǒng)中，先前的研究也證明了 Rashba自旋軌道耦合和偏壓共同作用下會出現(xiàn)強拓撲相［257］?？傊?，碳薄膜材料中所得到的這些鼓舞人心的結果進一步點燃了人們在二維六角晶體中尋找拓撲相的希望與激情。

3.硼氮雙層中的拓撲相變

圖41.兩參量 ?和 λR控制的 AB堆積碳雙層納米條帶的相圖，其它三幅圖給出的是相圖中點A，B，C的能帶。TI代表拓撲絕緣體，QVHI代表量子谷 Hall絕緣體?？蓞⒖嘉墨I［258，260］。

圖42.左列?。╝），（c），（e）給出的是AA堆積　硼氮雙層的結果，右列?。╞），（d），（f）顯示的是 AB堆積硼氮雙層的結果。（a）和（b）給出的是體能帶結構圖，（c）和（d）是Wannier函數(shù)心的演化圖，（e）和（f）顯示的是受限鋸齒型邊界納米條帶能帶圖。（a），（c），（e）的層間偏壓勢能參數(shù)取值　?=λαν；（b），（d），（f）的取值為 ?=λβν。（a）圖中實線和虛線自旋軌道耦合 （λSO，λR）分別取為（0，0）和（0.05tα，0.2tα）；（b）圖中實線和虛線 （λSO，λR）取值分別為（0，0）和（0.05tβ，0.2tβ）。（c）和（e）取值參數(shù)與（a）中虛線所示一致，（d）和（f）取值參數(shù)與（b）中虛線所示一致。改編自文獻［259，260］。

驗中實現(xiàn)［133］，可以判斷硼氮雙層中所需的同量級的電場完全能夠通過選擇氧化層絕緣體的材料以及控制其厚度來實現(xiàn)。另外一種可行的方式就是利用界面極化注入大量的電荷［263］從而改變硼氮雙層的層間極性。不同偏壓下硼氮雙層能隙的具體變化結果可參考文獻［260，264］。

只有當系統(tǒng)滿足Z2=1時才是一個強拓撲絕緣體相。

通過Z2拓撲判據(jù)，我們可以從相圖參數(shù)計算下得到的圖42（c），（e）來確認AA堆積硼氮雙層為拓撲絕緣體相。同樣地，從圖42（d），（f）中我們可以判斷，AB堆積硼氮雙層為普通絕緣體相。

我們進一步來探討AA堆積硼氮雙層納米條帶中出現(xiàn)拓撲邊態(tài)的條件。與碳雙層中拓撲相出現(xiàn)條件相同，當AA堆積硼氮雙層的最高占據(jù)價帶和最低非占據(jù)導帶在K和K′剛好接觸時，拓撲相變發(fā)生。相變的臨界點滿足方程［259］

圖43.左上圖給出的是參量坐標 （?，λR）下AA堆積硼氮雙層納米條帶相圖，固定參數(shù) λSO=0.035tα。對應于相圖上A，B，C三點，其能帶結構也相應地在其它三幅插圖中給出。引自文獻［260］。

使用 Z2拓撲不變量的判據(jù)，圖 43給出的是λR和?控制的相圖，內稟自旋軌道耦合作用固定為λSO=0.035tα。我們可以看到，與等式（98）相一致的兩個相界把整個區(qū)域分成三塊。隨著偏壓增加，系統(tǒng)表現(xiàn)出重入相變的現(xiàn)象，先從普通絕緣體相轉變到拓撲絕緣體相，然后從拓撲絕緣體相重新轉變到普通絕緣體相。在兩個臨界點P1和P2上，系統(tǒng)的體態(tài)在K點上表現(xiàn)出帶隙的關閉。這樣一個重入相變的行為起源于層間偏壓誘導的能帶的變化。當我們固定λR=0.1tα，如圖43所示，取A，B，C三個點，從普通絕緣體態(tài)A到拓撲絕緣體態(tài)B，體帶隙從打開到關閉，這對應著導帶和價帶的翻轉過程，出現(xiàn)了邊態(tài)。根據(jù)A點經(jīng)B點到C點能帶的整體變化，我們可以進一步判斷，在低能區(qū)［-0.5 eV，0.5 eV］上，隨著偏壓增加，能帶向Brillouin區(qū)邊界展寬。在自旋軌道耦合作用不改變的情況下，增大偏壓也就相對地弱化了自旋軌道耦合作用，能帶展寬也就相應地增加了導帶和價帶反轉的困難。因此，系統(tǒng)重新進入普通絕緣體相。另外一點需要指出的是，穿過臨界點P的兩個相界與等式（98）在ζ=0條件下給出的一致。臨界勢?c滿足［259］

B.碳單層和雙層中Rashba自旋軌道耦合的作用

拓撲性質反映的是物理系統(tǒng)的一種整體行為。事實上，表征系統(tǒng)拓撲性質的方式有很多，依賴于具體物理系統(tǒng)的空間對稱性以及相互作用的形式。前面所采用的Z2拓撲指數(shù)只是表征具有時間反演對稱性系統(tǒng)中是否存在無能隙邊態(tài)這一拓撲性質。這里將介紹另外一種使用Berry相位表征的拓撲性質，重點闡述Rashba自旋軌道耦合作用下碳單層和雙層中拓撲性質的變化，以及與之相關聯(lián)的量子輸運現(xiàn)象。

1.Berry相位

這樣我們得到，碳單層Berry相位為π。

對于AB堆積的碳雙層，我們也已經(jīng)在動量空間下求解出Hamilton量式（13）的旋量波函數(shù)（15），從而可以求得其Berry相位為

可見碳雙層的Berry相位是2π。

　圖44.Rashba自旋軌道作用下 （a）碳單層和 （b）碳雙層在K谷（同樣地對K′谷）附近的能帶，分別通過關系式（103）和（107）給出。每個子帶能量用 Eμν來標記，μ和ν取符號 ±。（a）中 2λR標記的是K（K′）點處的能量劈裂，（a）和（b）中帶箭頭的回路示意的是（kx，ky）平面中等能面的自旋螺旋結構。引自文獻［268］。

對于由A、B兩套三角子格構成的碳單層Rashba自旋軌道相互作用系統(tǒng)，以｛ψA↑，ψA↓，ψB↑，ψB↓｝為基矢，在非摻雜條件下的低能近似Hamilton量為［268］

通過求解定態(tài)方程，我們可以獲得Hξ的本征值

這里上標T代表轉置，c0=1/√ 2是歸一化常數(shù)，θ= arctan（ky/kx）是波矢k的角度。真實自旋算符σ0?s和贗自旋算符σ?s0的平均值為

為了表征Rashba作用下碳單層中贗自旋和真實自旋的整體性質，我們計算波函數(shù)的Berry相位得到

可以證明，使用另外的一個規(guī)范，如用ψξμν乘以e-iθ，等式（105）中的ΦB變成2π。因為規(guī)范只是改變了贗自旋的繞數(shù)，這意味著Berry相位0和2π在拓撲上是等價的。對于沒有Rashba自旋軌道耦合的碳單層，物理上來講是Dirac節(jié)點，即導帶和價帶的交叉點，這一奇異性導致了π的Berry相位。在Rashba自旋軌道耦合的驅動下，節(jié)點去除，因為關系式（103）中的Eμν對k的依賴關系由原先的線性奇函數(shù)Eμν（-k）=-Eμν（k）突變?yōu)榕己瘮?shù)Eμν（-k）=Eμν（k）。圖44（a）中的子帶 E++，E-+只是在零能處相切但并不交叉。因此，拓撲轉變發(fā)生，Berry相位從π（λR=0）變?yōu)?π（λR≠0）。

對于由兩個耦合的碳單層構成的Bernal堆積的碳雙層，不等價的子格A、B與、分別位于頂層和底層。層間耦合γ=0.39 eV存在于A和之間。在Rashba作用下，由兩個4×4單層單谷Hamilton量矩陣（102）構成一個8×8的雙層單谷Hamilton量矩陣。使用低能條件E＜γ下的微擾理論，得到一個有效的4×4的Hamilton量來描述四個低能子帶［268］，

通過求解碳雙層的定態(tài)方程，得到本征值這里μ，ν=±區(qū)分的是四個子帶，已標記在圖44（b）中。動量空間的旋量波函數(shù)為

其中仍有 ?=cos（?/2），?′=sin（?/2）， 但 ?= arctan（?vFk/λR）。自旋算符σ0?s和贗自旋算符σ?s0的平均值為

這里自旋螺旋性和贗自旋極化分別與ν和μ的符號相關。在Rashba自旋軌道耦合作用下，碳雙層的自旋螺旋性質見圖44（b），基本上與圖44（a）中碳單層表現(xiàn)出類似的性質。

對于Rashba自旋軌道耦合作用下的碳雙層，可以分別得到兩個谷的Berry相位為

這不同于沒有 Rashba自旋軌道耦合時碳雙層的 Berry相位 2π，因為沒有節(jié)點存在于二次偶函數(shù) E（k）的關系中。 在 Rashba自旋軌道耦合作用下，零能處節(jié)點的出現(xiàn)是由于關系式 （107）中的Eμν是k的奇函數(shù)。數(shù)據(jù)分析顯示，圖44（b）的子帶E++，E-+（E+-，E--）相互交叉。因此，Rashba自旋軌道耦合作用驅動了一個拓撲上重要的轉變，Berry相位從2π（對于λR=0）變?yōu)棣校▽τ讦薘≠0）。

2.Andreev反射

在常規(guī)的正常導體（N）—超導體（S）界面上，一般會發(fā)生Andreev反射［270］。即當從正常區(qū)入射一個電子，引起在這個區(qū)域回射一個空穴。這樣正常區(qū)就損失兩倍的電子電荷，損失的電荷進入超導區(qū)以Cooper對的形式向前傳輸。

在2006年，Beenakker將傳統(tǒng)的求解Andreev反射過程的Bogoliubov-de Gennes（BdG）方程運用到碳單層上，根據(jù)谷的簡并性得到了谷去耦的Dirac電子的BdG方程（271）

　圖45.（a）碳單層的激發(fā)譜，左右兩圖Fermi能級不同。淺（黃）色線指的是電子激發(fā)（一個谷在Fermi能級EF以上的填充態(tài)），深（藍）色線指的是空穴激發(fā)（另一個谷在Fermi能級EF以下的空態(tài)）；實線和點線分別來源于EF= 0時電子的導帶和價帶；基于界面反射的電子—空穴轉換用箭頭標記，在正入射（k=kx，ky=0）的情況下，當一個導帶的電子被轉換成一個價帶的空穴時，鏡面 Andreev反射（右圖）發(fā)生；回射情況下（左圖），電子和空穴都是由EF=0處電子的導帶貢獻的。 （b）入射角固定時不同激發(fā)能ε（相對于Fermi能級EF）的入射電子和Andreev反射空穴的路徑。（c）微分電導—偏壓依賴關系。改編自 Beenakker的工作［194，271］。

其中 ?0，φ分別代表 s-波超導體的能隙和相位，階躍函數(shù) Θ（x）表示正常導體區(qū)（x＜0）與超導體區(qū)（x＞0）在 x=0處過渡，（μ，υ）T描述的是準粒子態(tài)。Beenakker發(fā)現(xiàn)，在弱摻雜的碳單層中Dirac-Fermi子的Andreev反射是由鏡面反射主導的，NS結上的可測量微分電導信號很強。

我們來具體分析碳單層Andreev反射過程，見圖45。圖45（a）給出的是矩陣（110）嚴格對角化后給出的碳單層的激發(fā)譜

Fermi能級的兩個值在左圖取強摻雜值EF??0，右圖取弱摻雜值EF=0。可見在普通情況下（左圖），電子和空穴都是由EF=0處導帶貢獻的，發(fā)生的是Andreev回射，而當一個導帶的電子被轉換成一個價帶的空穴時，鏡面Andreev反射（右圖）發(fā)生。圖45（b）給出的是入射角固定時不同激發(fā)能ε（相對于Fermi能級EF）上，入射電子和Andreev反射空穴的路徑。對于ε≤EF，反射空穴位于導帶上（實線）；對于ε＞EF，空穴位于價帶上（虛線）。

使用Blonder-Tinkham-Klapwijk（BTK）公式，碳單層亞帶隙（eV＜?0）微分電導可以寫為

這里標度系數(shù)G

0

=（4e

2

/h）N（eV），對于寬度為W的碳單層樣品，通道模式數(shù)N（ε）=（E

F

+ε）W/（π?v

F

）；常規(guī)反射幾率R和Andreev反射幾率R

A

可由波函數(shù)界面銜接條件來確定。圖45（c）顯示的是微分電導—偏壓依賴關系：E

F

=0處的曲線代表的是弱摻雜條件下鏡面Andreev反射主導的電導；E

F

/?

0

=500處的曲線代表的是強摻雜條件下Andreev回射主導的電導?；厣渑c鏡面反射之間在輸運測量結果上表現(xiàn)出顯著的差異。碳單層上關于Andreev反射現(xiàn)象的有關實驗已經(jīng)在2007年通過超導鄰近效應得以觀測

［272］

。

圖46.（a）基于碳單層或碳雙層的NS結示意圖。N區(qū)存在Rashba自旋軌道相互作用，實驗上可以通過把樣品放在Ni（111）襯底上，在樣品和襯底間插入一層Au來實現(xiàn)，S區(qū)是通過與s-波超導體襯底鄰近產(chǎn)生的?？赡馨l(fā)生的界面散射過程已標出，包括（1）鏡面Andreev反射，（2）Andreev回射，以及超導區(qū)（3）類電子及（4）類空穴準粒子的透射。（b）碳單層和（c）碳雙層的微分電導—偏壓依賴關系。EF/?0=0，0.5，50下的結果都是在選定λR/?0=20時計算得到的。（b）中λR=0的曲線作為參考。改編自文獻［268］。

我們知道，由于碳單層的π-Berry相位決定了入射電子態(tài)與反射空穴態(tài)之間匹配程度高，使得空間幾率波干涉增強效應顯著，從而導致鏡面Andreev反射的信號在碳單層中會表現(xiàn)得很強［271］；而由于2π-Berry相位決定的是電子—空穴相消干涉，因此鏡面Andreev反射的信號在碳雙層中會表現(xiàn)得很弱［273］。在λR≠0的情況下，鏡面Andreev反射在具有2π-Berry相位的碳單層中降低，而在具有π-Berry相位的碳雙層中增強。下面我們將具體討論Rashba自旋軌道耦合作用下的碳單層和雙層系統(tǒng)中Andreev反射的情況?？紤]到Andreev反射對能帶拓撲的強依賴性［268］，存在Rashba自旋軌道耦合作用時NS結上的電子—空穴轉換過程是值得弄清楚的。NS結裝置如圖46（a）所示，強度在10 meV量級上的Rashba自旋軌道耦合可以加在N區(qū)上：實驗上可以通過把碳單層（碳雙層）放在Ni（111）襯底上，中間插入一層Au，靠其提供的5d軌道強電勢能梯度來實現(xiàn)［274］；或者通過理論所提出的襯底重原子摻雜引入Rashba自旋軌道耦合［258，262］。

在Rashba相互作用下，碳單層和雙層系統(tǒng)仍具有時間反演對稱性，谷的簡并性也沒有被破壞。通過把具有Rashba相互作用下的 Hamilton量代入BdG方程中，我們就可以來處理NS結上的Andreev反射問題［268］。我們發(fā)現(xiàn)，當N區(qū)弱電荷摻雜時，鏡面Andreev反射在碳單層中被Rashba自旋軌道耦合作用強烈地抑制，而在碳雙層中大幅度地增強，這是Berry相位決定的入射態(tài)與反射態(tài)之間的干涉導致的。這種反常的Andreev反射會進一步導致一個電學上可測量的效應，那就是亞帶隙微分電導在存在Rashba自旋軌道耦合作用的碳單層中大幅度下降，計算結果見圖46（b）；而在碳雙層中會顯著提升，計算結果見圖46（c）。需要指出的是，由于Rashba自旋軌道耦合導致了電子自旋簡并能帶的劈裂，計算時需要將單帶入射情況下的BTK理論拓展到位于不同子帶上兩個入射態(tài)并存的情況［268］。我們所得到的反常Andreev反射的結果本質上起源于Rashba自旋軌道耦合驅動的Berry相位的拓撲上非平庸的轉變。

C.襯底與光控作用下六角單層的拓撲性質

這里我們要關心的二維六角晶體中的拓撲性質，與6A和6B中所介紹的電子自旋軌道耦合作用反轉能帶機制不同，而是將與六角復式晶格中贗自旋及谷自由度有關。我們重點探討襯底、光控等手段來調節(jié)系統(tǒng)的拓撲性質，并使用Berry曲率進行拓撲分析。

1.碳單層中襯底和光控的分別作用

碳單層的一個有趣的性質就是體能帶在第一Brillouin區(qū)中存在兩個不等價的谷。在沒有任何外場作用時，具有空間反演對稱性的碳單層是一個半金屬，低能 Hamilton量為公式（5），可改寫為

　圖47.兩種作用方式下碳單層的能帶。（a）SiC襯底作用。堆積子格勢參數(shù)取值?=0.1t，左側圖顯示的是低能體能帶，右側圖中實線對應的是價帶的Berry曲率；改編自文獻［277］；（b）非共振圓偏振光照射。光矢勢取值為A=0.3，左側圖表示的是體能帶，右側插圖顯示的是扶手椅型碳單層納米條帶的能帶。改編自文獻［278］

對于外延生長在SiC襯底上的碳單層，大約可以被打開幾個meV至上百個meV的帶隙［275，276］（帶隙大小依賴于樣品細節(jié)），歸因于襯底提供的勢能導致空間反演對稱性的破缺。低能的有效Hamilton量表示為

這里2?表示兩套子格間的靜電勢能差。如圖47（a）所示，盡管沒有邊態(tài)存在于體能隙中，這樣的碳單層絕緣態(tài)卻可以表現(xiàn)出谷依賴的 Berry曲率效應，進而導致谷Hall效應，即不同的兩個谷上的電子在電場的驅動下會向相反的邊界運動。Berry曲率一般通過關系式 ?λ（k）=▽k×來定義，這里uλ（k）是Bloch函數(shù)的周期部分，可以通過求解eik·（Ri-Rj）［Hs，ξ（k）］ij的本征矢來獲得，Ri（j）標記的是原子的位置。Berry曲率實際上是一個局部規(guī)范不變的量，物理上被理解為 Bloch電子感受到的贗磁場。這里價帶的 Berry曲率可以推導而得為［277］與圖47（a）中的數(shù)值結果一致。

對于碳單層上照射非共振圓偏振光的情況，運動的電子會感受到一個時間周期的矢勢作用，矢勢可以表示為 A（t）=Ax（t）ex+Ay（t）ey=A［ηsin（ωt）ex+ cos（ωt）ey］，其中η=+（-）標記的是右（左）旋圓偏振光。此時，系統(tǒng)的 Hamilton量寫為

在Floquet圖像下，當偏振光滿足eAvF??ω時我們只需要考慮兩個低階過程，包含單個虛光子的先發(fā)射后吸收過程及其反過程。因此，Hamilton量可以簡化成

其中HF，ξ（k）被稱為Floquet Hamilton量，Hm，ξ（k）（m= -1，0，1））可以表示為［278］

這里T=2π/ω是時間的周期。系統(tǒng)最后的有效Hamilton量表示為

這里光照參數(shù)Fη（ω）=η（eAvF）2/?ω。可以看到，光照的作用是誘導出可以破壞半金屬相的Haldane質量項［279］，從而使得碳單層打開體能隙并表現(xiàn)出無能隙的邊態(tài)，如圖47（b）所示，這就實現(xiàn)了在無磁場下的量子 Hall效應，也被稱為Floquet拓撲絕緣體態(tài)。體能隙的大小為Eξ，g=2|ξFη（ω）|=2（eAvF）2/?ω。當一束非共振的圓偏振光照射到碳單層時，這樣的拓撲態(tài)也可以通過外界極化電場來驅動。值得指出的是，F(xiàn)loquet-Bloch態(tài)目前已經(jīng)在三維拓撲絕緣體表面上被觀測到［280］。

2.碳單層中襯底和光控的聯(lián)合作用

很自然地我們會問，如果非共振圓偏振光照射到外延生長在SiC襯底上的碳單層時，會有什么新的物理效應出現(xiàn)呢？圖48（a）示意的是圓偏振光和SiC襯底共同作用下的碳單層系統(tǒng)。同樣地使用Floquet理論，在低能近似下處理時間的周期性，我們可以得到系統(tǒng)的準平衡有效Hamilton量［281］/

這里需要說明的是，非共振光并不直接激發(fā)電子，而是通過虛光子吸收過程對電子能帶進行有效的調制，這與共振光是不同的。在通常情況下，共振光是通過激發(fā)電子導致不同能量上電子占據(jù)數(shù)變化而起作用，并不改變能帶結構。為了研究能帶的拓撲變化，我們需要使用滿足?ω?t這一條件的非共振光。最低光頻大約達到1015Hz，處于軟X-射線的范圍。當然，為了清晰地顯示數(shù)值結果，?和F被人為地選在了100 meV量級上；但在較小的能量尺度上，理論結果的實驗可測量性并不發(fā)生本質的改變，解析結果的普適性可以體現(xiàn)這一點。

通過求解Hamilton量式（120）的準定態(tài)方程，我們可以獲得本征值

這一結果與圖48（b）所示的在一定參數(shù)下計算的結果相符。

當?和Fη共存于碳單層時，我們得到占據(jù)價帶的Berry曲率為

圖48.（a）右旋圓偏振光照射下外延生長在SiC襯底上的碳單層示意圖。（b）動力學帶隙Eg-光照參數(shù)F+依賴關系圖。兩個內嵌圖給出的是對應于箭頭所指位置的低能能帶圖。（c）緊束縛模型計算的價帶Berry曲率?。使用的光是右旋偏振的。（d）參數(shù)坐標（F+，?）下碳單層相圖。FTI表示的是Floquet拓撲絕緣相，BI表示的是能帶絕緣體相。內嵌圖示意的是任一相界點上帶隙關閉點K′附近的能帶。改編自文獻［281］。

通過把?-（k）對整個第一Brillouin區(qū)進行積分，我們可以得到一個拓撲不變量

這里 CF被稱為Floquet Chern數(shù)。對于相圖48（d）中的 FTI相，CF=-1。當我們把光的偏振方向反轉的時候，CF=1。對于相圖中的BI相，我們有CF=0。

根據(jù)圖48（d）獲得的相圖，理論上可以設計一個由圓偏振光控制的拓撲型場效應晶體管裝置，如圖49所示。這一場效應管裝置是由三個部分組成的，包含源極、漏極和中心區(qū)。這一裝置可以類比于當前集成電路的最重要的構成單元，即傳統(tǒng)的半導體場效應管裝置。不同于傳統(tǒng)的電控方式，我們所設想的圖49中的拓撲型裝置主要依賴于調節(jié)光的強度和偏振方向進行工作。

　圖49.左上圖給出的是光控拓撲型晶體管示意圖。其它圖給出的是Floquet能帶結構：左下圖對應于臨界態(tài)F+=?，右側對應于關態(tài)F+=0.5?（上圖）和開態(tài)F+=1.2?（下圖）。引自文獻［281］。

為了實現(xiàn)Floquet拓撲型場效應管裝置，從相圖48（d）中我們得知，光的強度需要一個閾值。這一閾值對于控制場效應管的開和關以及實現(xiàn)一個高的開關比是不可或缺的。圖49中的左下圖給出的是相變臨界點F+=?處鋸齒型邊界碳單層納米條帶的 Floquet能帶，右邊插圖顯示的是關態(tài) F+=0.5?（上圖）和開態(tài)F+=1.2?（下圖）的能帶。在襯底提供一典型的子格勢?=100 meV的情況下，實驗上如果采用頻率為ω=3500 THz的圓偏振光，理論上估計臨界態(tài)所需光的強度為 I=（eAω）2/（8πα）?1013W/cm2（α是精細結構常數(shù)）。因此我們可以得到這樣一個結論，通過改變偏振光的強度，我們可以關閉或者打開拓撲場效應晶體管裝置。當然，除了光控之外，我們也完全可以通過電荷摻雜或是加偏壓來改變中心區(qū)的化學勢來控制這一裝置。如果我們在源極和漏極之間加一小的偏壓，實驗上將會探測到由一個邊態(tài)貢獻的非平衡的電流。進一步地，如果反轉光的偏振方向，邊態(tài)的手征性也會反轉，因此將導致非平衡電流由另外一條邊來貢獻。通過調節(jié)光的偏振方向，從而改變邊態(tài)的螺旋方向，可以用于設計量子比特。

3.硅單層的拓撲相變

與光照下外延碳單層系統(tǒng)相比較，在垂直于硅單層平面的電場和非共振圓偏振光聯(lián)合調控下，硅單層結構的Hamilton量［36］實際上也包含了這里的Hamilton量式（120）。事實上，硅單層結構中層間電場的作用與碳單層中使用SiC基底的作用相同，本質上都破壞了晶體的空間反演對稱性。由于翹曲結構的存在使得硅單層的Hamilton量需要附加一個自旋軌道耦合作用項，見公式（16）。自旋軌道耦合作用在硅單層所有的拓撲相中都發(fā)揮著非常重要的作用。

　圖50.電場Ez（垂直于硅單層平面）和光照A2/ω共同作用下硅單層系統(tǒng)的相圖（左圖）?？招膱A只是用來標記相圖上的一些點，粗線是用谷標記K或K′和自旋分量sz=↑或↓來表征的相界。單Dirac錐態(tài)（SDC）出現(xiàn)在相界上。拓撲指數(shù)（C，Cs）在不同的相區(qū)也被標出。硅納米條帶有界系統(tǒng)中的量子自旋Hall絕緣體相（QSHI），自旋極化的金屬相（SPM），自旋各項異性（邊界不同自旋電子態(tài)的群速度不同）的量子Hall絕緣體相（P-QHI）的邊態(tài)特征在右圖中給出。拓撲平帶相出現(xiàn)在SPM中。用T標記的實線給出的是上邊界傳播的邊模式，用B標記的點線給出的是下邊界傳播的邊模式。改編自文獻［36］。

VII.總結和展望

自從Novoselov和Geim等人發(fā)表那篇實驗上制備碳單層并進行電學測量的經(jīng)典論文（文獻［4］，從網(wǎng)上數(shù)據(jù)可知，至今已被引用至少21000次以上）以來，在過去的十年內，二維六角晶體中Dirac電子的物理性質得到廣泛的關注和深入的研究。已經(jīng)發(fā)表的大量科學論文，汗牛充棟，令人目不暇接，所以要對這一領域有一個全面的了解是非常困難的。本文是在我們課題組近幾年關注這一領域的發(fā)展，研讀一些引起我們興趣的文獻，以及開展初步的理論研究工作的基礎上寫就的。

本文主要著重在外場調控下碳、硅、硼氮、二硫化鉬等幾種二維六角晶體材料的Dirac電子性質，包括空間結構和基本電子性質、能譜和光吸收、量子輸運、激子凝聚和熱Josephson效應，以及拓撲量子相變，管窺之見，掛一漏萬，在所難免。在一般性的介紹之外，我們對碳單層和碳雙層給出了單電子圖像下動量空間的Hamilton量、色散關系和波函數(shù)；用群論的對稱性分析方法處理了單軸應變作用下的碳單層量子點，提出了應變傳感器和遠紅外光探測器的機制；用非平衡Green函數(shù)方法和Hubbard模型處理碳單層納米條帶存在電子關聯(lián)的問題，得到溫度調控的自旋極化輸運，以及雙極性到單極性的轉變；用波函數(shù)銜接方法處理準周期勢對碳單層的調制，得到了加倍的額外Dirac點，超準直性的透射；用BCS理論來探討空間分離的碳雙層中的激子凝聚，以及兩個激子凝聚體間的熱Josephson效應，構造了熱整流器和熱邏輯門；利用電偏壓抑制硼氮雙層的帶隙，實現(xiàn)能帶絕緣相到拓撲絕緣相的轉變；根據(jù)BdG方程，考察Rashba自旋軌道耦合調制碳單層和碳雙層的色散關系，實現(xiàn)Berry相位的反轉，預言在Adreev反射上的反常行為以及實驗上亞帶隙微分電導的可測量性等。

由碳單層引發(fā)的對二維原子晶體材料的研究已經(jīng)有十年的發(fā)展歷史，但依然是一個方興未艾的重要研究領域。從文獻中反映出當前人們所關心的主題大概可以歸結為三個方面，而且它們之間是相互聯(lián)系的。

在碳單層的啟發(fā)下，人們設計和開拓各種二維新材料。除機械剝離之外，材料合成是重要的手段。值得關注的有，a.層狀堆積二維六角晶格材料，包括碳、硅、鍺、硼氮單層和多層，它們的衍生物，以及把不同種分離的二維原子平面通過層間 van der Waals作用組裝成多層甚至超晶格的異質結構材料［284］；b.過渡金屬元素硫族化合物系列的二維材料，至少有40多種由分子式MX2標記的這類化合物，其中M為過渡金屬元素，X代表S、Se、Te，由六角層狀的金屬原子夾在兩層硫屬原子之間。除討論過的MoS2，還有如HfS2、NbSe2、WS2、WSe2等，每一種都提供一些特殊的性質。除了過渡金屬二硫化物，III、IV、V族元素的硫化物，也顯示如碳單層的層狀結構［285］；c.前過渡金屬碳化物和碳氮化物構成的一個超過60個成員的新二維材料大家族，其分子式可記為Mn+1Xn（n=1，2，3），M為前過渡金屬元素，而X代表C或CN，對M2X、M3X2和M4X3，分別構成3、5、7個原子層。代表性的成員有Ti2C、Ti3C2、Nb2C、V2C、（Ti0.5，Nb0.5）2C、（V0.5，Cr0.5）3C2、Ti3CN和Ta4C3等［286］。

面對大量已有的和新發(fā)現(xiàn)的二維原子材料，可以利用各種實驗儀器進行樣品制備與測量、利用物理模型進行解析處理，及利用第一性原理進行數(shù)值計算，來開發(fā)它們的物理性質。a.對由大量新材料構成的低維量子結構，可以考察在電場、磁場、應力場、光場、溫度場等一個或多個外場的協(xié)作調控下電子的輸運性質，關注電子間Coulomb相互作用、電子自旋，及襯底或摻雜誘導的自旋軌道耦合作用對材料整體性質的影響，特別是能帶結構的調制，如間接帶隙到直接帶隙的轉換，找到更好調節(jié)這類材料電子性質的方式；b.探討二維六角晶體材料中由結構和參量調節(jié)形成新相如超導相的問題［284，287］，由熱驅動或電子關聯(lián)驅動的相變，以及重要的拓撲量子相變等問題；c.值得繼續(xù)關注碳、硅、硼氮和二硫化鉬單層、雙層制作成的量子點、量子環(huán)、納米條帶等受限量子結構以及耦合雙量子點和量子點陣列，探討它們的電、光、熱、磁方面的性質。

新的材料和新的物理性質將對形成技術發(fā)揮關鍵作用。在研究低維結構的新奇物理現(xiàn)象以及新的物理機制上，期望在設計新型高性能低維固態(tài)電子裝置的領域得到一些有特色的應用［288，289］。基于其特殊的電、力、光的性質，在碳單層的應用方面雖然已經(jīng)跨出一大步，但因為缺乏內稟的帶隙，限制了某些方面的應用，比如數(shù)字電子學，這方面需要高的開關比。碳單層型的其它二維材料，如過渡金屬二硫化物，擁有一些顯著的性質，可應用于大量器件中，對p-n-p晶體管和集成電路，光子學、傳感器，以及能量收集等新技術方面，可以期望開拓新的局面。

凝聚態(tài)物理學的發(fā)展有其不可預測性的特點。試問十年前誰能設想，Science上的一篇文章“Electric field effect in atomically thin carbon films”掀起的一點涓涓細流，在隨后的幾年里會匯成萬丈巨瀾，改變了凝聚態(tài)物理學研究領域的版圖，同時和材料科學、化學，甚至和粒子物理發(fā)生交叉和互動。從碳單層到二維量子Hall效應，到三維拓撲絕緣體，顯示出何等創(chuàng)新性的氣魄。可以設想，在二維六角晶體材料這塊豐饒的土地上會有更為壯觀的發(fā)現(xiàn)。

根據(jù)南京大學檔案館的資料顯示，南京大學的前身南京高等師范學校在 1915年建立物理學科，故2015年將是南京大學建立物理學科100周年。本文為慶祝這一盛事而作。本文由五位作者合作完成，金國鈞提出寫作計劃、實施分工和進行指導，并修改全文。具體責任如下：引言（翟學超、金國鈞），空間結構和基本電子性質（周興飛），能譜和光吸收（戚鳳華），量子輸運（許亞芳），激子凝聚和熱Josephson效應（金國鈞），拓撲量子相變（翟學超），總結和展望（金國鈞）。所有作者都閱讀過全文，相互討論和提出修改意見。在寫作過程中，我們參考了過去幾年課題組成員王大理（安徽師范大學）、鄒劍飛（河海大學）、張傳意（河南大學）、趙志云（南通大學）、戚鳳華（南京曉莊學院）和翟學超（南京郵電大學）在南京大學攻讀博士學位期間完成的研究工作。

本文的工作得到國家重大基礎研究計劃（批準號：2009CB929504，2011CB922102，2015CB921202），國家自然科學基金（批準號：10674058，60876065，11074108）和江蘇省優(yōu)勢學科發(fā)展工程（PAPD）的資助。

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We review here the research results and latest progress in studying Dirac electrons in twodimensional hexagonal crystalline materials composed of single element or double elements like carbon，silicon，boron nitride and molybdenum disulfide.Following a short introduction，the paper discusses the spatial structures and elementary electronic properties of the two-dimensional hexagonal crystalline materials，and analyzes the novel physical phenomena，provides simple theoretical treatments and shows possible applications in near future，involved in the energy spectra and optical absorption，quantum transport，exciton condensation and thermal Josephson effect，as well as topological quantum phase transitions under external fields；finally it gives a summary and perspective for the field.We would like to present this paper to the 100 anniversary of physical discipline in Nanjing University.

Dirac Electrons in Two-Dimensional Hexagonal Crystalline Materials

Zhai Xue-Chao，Qi Feng-Hua，Xu Ya-Fang，Zhou Xing-Fei，Jin Guo-Jun*
Collaborative Innovation Center of Advanced Microstructures
National Laboratory of Solid State Microstructures
Department of Physics，Nanjing University，Nanjing 210093

Two-dimensional hexagonal crystalline material；Dirac electron；Modulation by external field；Optical absorption；Quantum transport；Exciton condensation；Josephson effect；Topological quantum phase transition；Berry phase

date：2014-12-12

O469

A

10.13725/j.cnki.pip.2015.01.001

*gjin@nju.edu.cn

1000-0542（2015）01-0001-49 1