劉 言 ，趙 銳 ，杜 磊 ，李 華

（1.軍事交通學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，天津 300161；2.軍事交通學(xué)院 基礎(chǔ)部，天津 300161；3.武警指揮學(xué)院 管理與后勤系，天津 300250）

0 引言

近幾年，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，全球網(wǎng)絡(luò)化概念的興起，通信網(wǎng)絡(luò)在傳輸速度、信息準(zhǔn)確性、建設(shè)成本等方面發(fā)展迅速，在國(guó)防、國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)生活中的各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮了前所未有的重要作用。通信網(wǎng)絡(luò)抗毀性（Invulnerability）作為通信網(wǎng)絡(luò)可靠性和安全性的重要方面，成為了當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃設(shè)計(jì)的研究熱點(diǎn)。

通信網(wǎng)絡(luò)抗毀性是指在自然故障或遭受攻擊的條件下，通信網(wǎng)絡(luò)仍維持正常通信的能力[1]。當(dāng)前，評(píng)估指標(biāo)研究是網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究的重要方面，國(guó)際上對(duì)抗毀性指標(biāo)的研究成果有限[2]，大多以圖論為基礎(chǔ)，提出了一些表征連通性和效率的評(píng)價(jià)指標(biāo)。例如：從連通性角度，參考文獻(xiàn)[3]提出網(wǎng)絡(luò)連通度、粘聚度指標(biāo)；參考文獻(xiàn)[4]分別研究了不同類型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)面對(duì)不同打擊條件下最大連通分支（Giant Component）節(jié)點(diǎn)數(shù)與網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點(diǎn)數(shù)之比S、最大連通分支平均最短路徑L與節(jié)點(diǎn)移除比例f的關(guān)系；從通信能力角度，參考文獻(xiàn)[5]定義了網(wǎng)絡(luò)通信效率e，用于刻畫節(jié)點(diǎn)間的信息傳輸效率。在此基礎(chǔ)上，參考文獻(xiàn)[6]綜合了連通性和通信效率兩方面的考慮，以連通分支和平均最短路徑作為測(cè)度定義了連通系數(shù)，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)抗毀性評(píng)價(jià)更加綜合全面。網(wǎng)絡(luò)的抗毀性指標(biāo)為抗毀性評(píng)估提供了標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)數(shù)值仿真結(jié)果可以對(duì)比分析各種模型的抗毀性能[7]。

規(guī)劃設(shè)計(jì)滿足一定抗毀性指標(biāo)要求的網(wǎng)絡(luò)稱為抗毀性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)（Suvrivable Network Design）?？箽跃W(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)工作往往是從網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)開始的[8]。參考文獻(xiàn)[9]探討了在跳數(shù)限制下，構(gòu)建滿足一定連通度的抗毀網(wǎng)絡(luò)模型，并采用生成樹優(yōu)化 （Spanning Tree Optimization，STO）算法求解模型。但是該算法規(guī)則復(fù)雜、不易仿真實(shí)現(xiàn)，且優(yōu)化后成本開銷較高。參考文獻(xiàn)[10]針對(duì)廣域測(cè)量系統(tǒng)通信網(wǎng)絡(luò)，以跳數(shù)和連通度指標(biāo)構(gòu)建抗毀性網(wǎng)絡(luò)模型，結(jié)合流量狀況，采用改進(jìn)的飽和割集算法求解網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但該算法提出的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)代價(jià)相對(duì)較高，且負(fù)載均衡能力有限。

本文依據(jù)通信網(wǎng)絡(luò)抗毀性需求，從網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)出發(fā)，利用圖論的方法，結(jié)合連通性和通信效率兩方面的考慮，建立了以連通性和跳數(shù)約束為抗毀性指標(biāo)的優(yōu)化模型，提出了改進(jìn)生成樹優(yōu)化（Improved Spanning Tree Optimization，ISTO）算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)預(yù)定規(guī)模的通信網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行抗毀性設(shè)計(jì)。

1 抗毀性網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

1.1 抗毀性指標(biāo)分析

在抗毀性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)前，需將網(wǎng)絡(luò)的抗毀性指標(biāo)作為一個(gè)重要的衡量因素考慮進(jìn)去，定義適合的抗毀性指標(biāo)。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)抗毀性定義，抗毀性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)是使網(wǎng)絡(luò)在自然災(zāi)害或遭受攻擊的情況下，能夠保持連通以維持正常通信，因此連通性是網(wǎng)絡(luò)抗毀性的重要方面。連通度是衡量連通性的重要指標(biāo)。

此外，網(wǎng)絡(luò)在受攻擊后信息的通信效率是決定網(wǎng)絡(luò)性能的關(guān)鍵因素之一，也是網(wǎng)絡(luò)抗毀性指標(biāo)建立中需要考慮的。通信網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)間信息傳輸一部分是通過(guò)跳傳實(shí)現(xiàn)，傳輸時(shí)延與服務(wù)質(zhì)量與經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量有關(guān)。跳數(shù)是衡量節(jié)點(diǎn)間信息傳輸經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量的指標(biāo)。例如，以無(wú)線電波和光作為傳輸介質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)，傳輸時(shí)延主要集中在節(jié)點(diǎn)設(shè)備上，如果節(jié)點(diǎn)間的跳數(shù)太多，就會(huì)增加通信設(shè)備的中轉(zhuǎn)及路由開銷，延長(zhǎng)數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間，降低傳輸質(zhì)量。因此，在抗毀性通信網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)時(shí)，兩節(jié)點(diǎn)間跳數(shù)需要有一定的限制，以滿足其傳輸需求，確保網(wǎng)絡(luò)通信效率。

1.2 抗毀性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)模型

通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)首先要確定各節(jié)點(diǎn)地理位置、各節(jié)點(diǎn)間構(gòu)建線路的復(fù)雜情況以及節(jié)點(diǎn)間通信業(yè)務(wù)量，以此作為構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的成本開銷。將其抽象為成本開銷w。將通信網(wǎng)絡(luò)的各子網(wǎng)、路由交換設(shè)備、調(diào)度中心等抽象為點(diǎn)集V，兩點(diǎn)間構(gòu)建鏈路所需的成本開銷抽象為邊集E，由此共同構(gòu)成了通信網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的成本開銷網(wǎng)絡(luò)G（V，E）。

通信網(wǎng)絡(luò)的抗毀性設(shè)計(jì)目標(biāo)就是要設(shè)計(jì)出滿足一定抗毀性指標(biāo)要求，且成本開銷最小化的網(wǎng)絡(luò)[10]。針對(duì)一般通信網(wǎng)絡(luò)的特性，抗毀性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)模型需要滿足以下抗毀性指標(biāo)條件：

（1）網(wǎng)絡(luò)連通度至少為2。連通度為2的要求能夠保證網(wǎng)絡(luò)在任意單條鏈路中斷的情況下仍保持連通。

（2）任意兩節(jié)點(diǎn)最小跳數(shù)不大于K。跳數(shù)約束可確保網(wǎng)絡(luò)正常狀態(tài)的時(shí)延要求，而在兩點(diǎn)間最小跳數(shù)鏈路遭遇毀傷后，用戶可能不在乎時(shí)延是否有所延長(zhǎng)，而更加關(guān)心信息能否順利送達(dá)。因此，最小跳數(shù)不大于K的要求能夠確保通信網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)傳輸?shù)目箽浴?/p>

基于此，本文構(gòu)建的抗毀性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)模型如下：

其中，xij是所求拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的鄰接矩陣X的元素，滿足：

wij為節(jié)點(diǎn)間建立鏈路的成本開銷矩陣W中的元素，代表在節(jié)點(diǎn) vi、vj的成本開銷；N為節(jié)點(diǎn)總數(shù)；κ為節(jié)點(diǎn)連通度；Dij是節(jié)點(diǎn) vi與 vj最短路徑的跳數(shù)。

2 改進(jìn)生成樹優(yōu)化算法

2.1 算法步驟

本文在求解模型的過(guò)程中，利用圖論的相關(guān)理論，基于生成樹增加邊的設(shè)計(jì)思想，對(duì)模型的部分指標(biāo)進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步提出了ISTO算法。

算法的基本流程如圖1所示。

圖1 ISTO算法基本流程

首先在已知的成本開銷網(wǎng)絡(luò)中選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為根節(jié)點(diǎn)，然后構(gòu)建一棵深度為D=K/2（若K是奇數(shù)，則D=（K-1）/2）的最小生成樹，其中K是任意兩點(diǎn)之間的跳數(shù)上限，生成樹能夠滿足網(wǎng)絡(luò)連通度為1的要求；然后在生成樹基礎(chǔ)上進(jìn)行加邊優(yōu)化，使其能夠滿足連通度為2的要求；最后得到最小跳數(shù)不大于K的2-連通最小開銷網(wǎng)絡(luò)。

具體步驟如下：

輸入：帶權(quán)網(wǎng)絡(luò)W，跳數(shù)上限K。

輸出：優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣B；權(quán)值w。

（1）令 i=1；

（2）構(gòu)建以vi為根節(jié)點(diǎn)，帶跳數(shù)限制的最小生成樹Ti；

（3）基于 Ti進(jìn)行加邊優(yōu)化，得到優(yōu)化后網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣Bi；

（4）求 Bi邊的權(quán)值和 wi，若 i＜N，i++，則執(zhí)行步驟（2）；若 i=N，則執(zhí)行下一步；

（5）選出 B1到 BN中連接邊權(quán)和最小的結(jié)構(gòu) Bj，令其為B。

2.2 帶跳數(shù)約束的最小生成樹構(gòu)建

構(gòu)建最小生成樹是在已知一個(gè)加權(quán)無(wú)向圖G（V，E）的前提下，求出以節(jié)點(diǎn)n為根節(jié)點(diǎn)，深度為 D的最小生成樹。構(gòu)造過(guò)程采用改進(jìn)的Prim算法。改進(jìn)的Prim算法與標(biāo)準(zhǔn)Prim算法的區(qū)別在于，在待入選邊染成藍(lán)色的選擇過(guò)程中，引入了與待入選邊相連的未入選節(jié)點(diǎn)與根節(jié)點(diǎn)的跳數(shù)判斷。若滿足跳數(shù)限制D的要求，則按標(biāo)準(zhǔn)Prim算法步驟繼續(xù)執(zhí)行；若超出了跳數(shù)限制，則將與該入選節(jié)點(diǎn)相連的所有未入選邊染成紅色。

具體步驟如下：

輸入：G（V，E，L）的鄰接矩陣 A；所選根節(jié)點(diǎn) n；最大跳數(shù)限制D；

輸出：帶跳數(shù)約束的最小生成樹T。

（1）取 G（V，E，L）節(jié)點(diǎn) n 作為初始藍(lán)子樹 T，初始淺藍(lán)與藍(lán)子樹的集合C，置i=0；并把與T關(guān)聯(lián)的長(zhǎng)度邊（n，j）著以淺藍(lán)色，其中 j?T，C=C∪（n，j）；

（2）在所有淺藍(lán)色邊中，選擇最小長(zhǎng)度邊（i，j）（其中，i∈T，j?T），將其著成藍(lán)色，置 T=T∪（i，j）；

（3）若節(jié)點(diǎn) p?C，且在圖 T中，j到 n點(diǎn)的跳數(shù)＜D，則把（j，p）著為淺藍(lán)色；否則將與點(diǎn) j關(guān)聯(lián)的?T的邊都著紅色，重新執(zhí)行步驟（3）；

（4）如果存在與 p關(guān)聯(lián)的一條淺藍(lán)色邊（w，p），且（j，p）為淺藍(lán)色，l（w，p）＞l（j，p），則把邊（w，p）著成紅色，C=C∪（j，p）；否則，不作任何處理；

（5）置 i=i+1；

（6）如果 i=N-1，則算法終止；若 i＜N-1，則返回步驟（2）。

最后得到的藍(lán)子樹T即為任意兩節(jié)點(diǎn)跳數(shù)不大于K的最小生成樹。

對(duì)于跳數(shù)的計(jì)算，采用的是將所有邊的權(quán)賦值為1，然后應(yīng)用 Dijkstra算法求兩點(diǎn)的最短路徑，所得到的結(jié)果即為該兩點(diǎn)間的跳數(shù)。

2.3 基于最小生成樹的加邊優(yōu)化

由于最小生成樹已滿足跳數(shù)約束要求，因此加邊優(yōu)化的目標(biāo)是增加盡可能少的邊，使優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)連通度為2。由圖論可知，一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)量大于2的網(wǎng)絡(luò)的連通度至少為2（當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中不存在割點(diǎn)）。而一棵樹除了葉子節(jié)點(diǎn)（度為1的節(jié)點(diǎn)），其他所有節(jié)點(diǎn)都是割點(diǎn)。因此要使生成樹通過(guò)加邊優(yōu)化達(dá)到2-連通網(wǎng)絡(luò)要求，首先要消除其割點(diǎn)。本文采用葉子節(jié)點(diǎn)之間增加邊的方式，能夠利用盡可能少的邊，消除更多的割點(diǎn)，從而用更少的開銷，達(dá)到連通度為2的目的。

如圖2所示，TA與TB為連接了同一棵樹中的葉子節(jié)點(diǎn)后的網(wǎng)絡(luò)，且TA與TB均增加了兩條邊。TA與TB的不同之處在于，TA仍是一個(gè)1-連通網(wǎng)絡(luò)，而 TB是 2-連通的。顯然TB達(dá)到了優(yōu)化目標(biāo)。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，TA與TB的區(qū)別是TA中選擇相連的葉子節(jié)點(diǎn)v4與v5以及v6與v7，在原樹中的通路v4-v2-v5沒有經(jīng)過(guò)根節(jié)點(diǎn) v1，v6-v3-v7也沒有經(jīng)過(guò) v1，而 TB中 v5與 v6在原樹中通路為 v5-v2-v1-v3-v6經(jīng)過(guò)了根節(jié)點(diǎn)v1，同理，v4與v7的通路也經(jīng)過(guò)了v1。

圖2 兩種懸掛點(diǎn)增加邊的方式

因此，在加邊優(yōu)化之前，需判定兩葉子節(jié)點(diǎn)在原樹中的通路是否經(jīng)過(guò)根節(jié)點(diǎn)。只有經(jīng)過(guò)了根節(jié)點(diǎn)的兩點(diǎn)才進(jìn)行加邊優(yōu)化。例如圖2的TB中，優(yōu)化前因v5與v6之間的通路經(jīng)過(guò)了 v1，因此可以為 v5與v6增加邊。此外，若葉子節(jié)點(diǎn)數(shù)量為奇數(shù)，則在兩兩加邊優(yōu)化后還剩余一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)選擇該葉子節(jié)點(diǎn)與旁支的節(jié)點(diǎn)加邊。

加邊優(yōu)化具體步驟如下：

假設(shè)T（V，E）是一棵無(wú)權(quán)最小生成樹，其鄰接矩陣為A，節(jié)點(diǎn)數(shù)量為N。

輸入：最小生成樹的鄰接矩陣A，生成樹根節(jié)點(diǎn)n；

輸出：優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)圖鄰接矩陣B；

（1）初始化 TB=T，求出網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的度，按度從小到大的順序?qū)⒐?jié)點(diǎn)進(jìn)行排序，其節(jié)點(diǎn)分別為 v1，v2，…，vN，統(tǒng)計(jì)度 d=1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 L；置 i=1；執(zhí)行下一步；

（2）置 j=i+1，執(zhí)行下一步；

（3）分下列 4種情況：

①若 di＜2，dj＜2，且節(jié)點(diǎn) vj與 vi在 T 中的路徑經(jīng)過(guò)根 節(jié) 點(diǎn) vn，則增加邊（vi，vj） （di與 dj均+1），TB=TB∪（vi，vj），執(zhí)行下一步；

②若 di＜2，dj＜2，但節(jié)點(diǎn) vj與 vi的路徑不經(jīng)過(guò)根節(jié)點(diǎn) vn，或是 di＜2，dj≥2，j＜L，則 j=j+1，重新執(zhí)行步驟（3）；

③若 di＜2，dj≥2，j≥L，且節(jié)點(diǎn) vj與 vi在T中的路徑經(jīng)過(guò)根節(jié)點(diǎn) vn，則增加邊（vi，v1），TB=TB∪（vi，v1），執(zhí) 行下一步；

④若 di≥2，則執(zhí)行下一步；

（4）若 i＜L，置 i=i+1，返回步驟（2）；否則執(zhí)行下一步；

（5）返回結(jié)果圖 B。

3 算法分析

3.1 實(shí)例分析

以某智能園區(qū)通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)為例，該園區(qū)有14個(gè)主要通信節(jié)點(diǎn)，其主干網(wǎng)采用萬(wàn)兆光纜，因此可認(rèn)為該園區(qū)網(wǎng)有足夠的鏈路冗余，不考慮流量。根據(jù)14個(gè)節(jié)點(diǎn)建設(shè)的地理位置、通信線路的建設(shè)成本以及建設(shè)難度等，對(duì)成本開銷進(jìn)行了評(píng)估，其成本開銷網(wǎng)絡(luò)以鄰接矩陣表示，如圖3。抗毀性網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)要求滿足至少2-連通，任意兩點(diǎn)間最小跳數(shù)不超過(guò)4跳，且總建設(shè)成本開銷盡可能小。

圖3 某智能園區(qū)通信網(wǎng)絡(luò)成本開銷矩陣

其中，矩陣中i行j列對(duì)應(yīng)的是wij的值。

首先，任意取節(jié)點(diǎn)（假設(shè)是節(jié)點(diǎn)4）作為初始樹的根節(jié)點(diǎn)，通過(guò)改進(jìn)的Prim算法生成帶跳數(shù)限制的最小生成樹，如圖4所示。

圖4 節(jié)點(diǎn)間跳數(shù)不大于4的最小生成樹

圖5 是通過(guò)加邊優(yōu)化后生成的網(wǎng)絡(luò)G1，圖中虛線是在最小生成樹基礎(chǔ)上增加的邊，可以看出，G1滿足2-連通且最小跳數(shù)為4的要求，且有18條邊。

圖5 加邊優(yōu)化后生成的抗毀性網(wǎng)絡(luò)G1

依次選擇每一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為初始樹的根節(jié)點(diǎn)，按照算法進(jìn)行抗毀網(wǎng)絡(luò)生成后，得到網(wǎng)絡(luò)開銷比較，如表1所示。

表1 選取不同根節(jié)點(diǎn)生成的抗毀網(wǎng)絡(luò)開銷列表

由表1可見，當(dāng)以節(jié)點(diǎn)4為初始樹根節(jié)點(diǎn)時(shí)，生成后的網(wǎng)絡(luò)總開銷最小，為60。因此，G1是滿足抗毀性指標(biāo)且成本開銷最少的抗毀性網(wǎng)絡(luò)，達(dá)到了設(shè)計(jì)目的。

3.2 比較分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法性能，將ISTO算法與參考文獻(xiàn)[9]提出的STO算法進(jìn)行比較。STO算法的基本流程同樣是在成本開銷矩陣的基礎(chǔ)上構(gòu)建一個(gè)帶跳數(shù)約束的最小生成樹，再通過(guò)加邊優(yōu)化構(gòu)建2-連通的網(wǎng)絡(luò)。

兩者區(qū)別在于，在加邊優(yōu)化過(guò)程中，ISTO算法不要求最后生成的網(wǎng)絡(luò)在最小跳數(shù)路徑中斷后，備用路徑也滿足跳數(shù)限制要求。這是基于兩個(gè)方面的考慮。一是在網(wǎng)絡(luò)發(fā)生故障后，重點(diǎn)不是保證網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延一定與毀傷前一致，而是要求網(wǎng)絡(luò)連通，重要信息能夠順利通達(dá)。二是STO算法因過(guò)于要求跳數(shù)限制，導(dǎo)致算法規(guī)則復(fù)雜、不易仿真實(shí)現(xiàn)，且優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)成本開銷過(guò)大。

以圖4中智能園區(qū)通信網(wǎng)絡(luò)為例，若采用參考文獻(xiàn)[9]中的 STO算法，同樣以節(jié)點(diǎn) 4為根節(jié)點(diǎn)，優(yōu)化后得到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) G2（圖6）。其中，G2有 24條邊，成本開銷為166。兩算法生成網(wǎng)絡(luò)的性能比較如表2所示。

圖6 基于STO算法構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G2

比較后發(fā)現(xiàn)，G1的成本開銷僅是 G2的 36.2%，即使以最大的v1為根節(jié)點(diǎn)，以ISTO算法生成的智能園區(qū)網(wǎng)絡(luò)也僅是G2的79.5%。因此，本文提出的ISTO算法更具有易于實(shí)現(xiàn)、成本開銷低的優(yōu)點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

通信網(wǎng)絡(luò)抗毀性是目前通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)發(fā)展過(guò)程中需要重視和亟待解決的問題，連通性和通信效率尤其重要。本文提出的ISTO算法能夠用于求解連通度和跳數(shù)約束的抗毀性模型，并為抗毀性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)提供了一個(gè)定量標(biāo)準(zhǔn)和有效的計(jì)算方法。實(shí)際通信網(wǎng)絡(luò)中情況較為復(fù)雜，抗毀性通信網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)應(yīng)與具體工程需求密切相關(guān)。而ISTO算法默認(rèn)鏈路容量足夠大，不會(huì)出現(xiàn)信息擁塞，沒有考慮流量狀況。

下一步可以結(jié)合具體業(yè)務(wù)流量與鏈路帶寬等因素，從通信網(wǎng)絡(luò)路由算法入手，制定適合的路由策略，使網(wǎng)絡(luò)在毀傷前后都能順利選擇最優(yōu)路徑傳輸，提高網(wǎng)絡(luò)整體資源利用率，進(jìn)一步提升網(wǎng)絡(luò)抗毀性。

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