高磊

（1.青島科技大學機電工程學院，青島　266061；2.青島大學信息工程學院，青島　266071）

引入平滑項的離散力學優(yōu)化控制模型

高磊1，2

（1.青島科技大學機電工程學院，青島266061；2.青島大學信息工程學院，青島266071）

0　引言

針對力學系統(tǒng)離散化的優(yōu)化控制模型DMOC （Discrete Mechanics and Optimal Control）［1］，基本思想是直接對組成優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件進行離散操作，從而得到離散化的方程，進而通過離散方程的數(shù)值計算得到離散化的最優(yōu)解。離散化的模型不僅在數(shù)學上與連續(xù)模型等價，在物理上也能很好地與守恒定律保持一致。DMOC模型最初被用于優(yōu)化運動軌跡［1-3］，約束條件擴充后也用于多體系統(tǒng)的優(yōu)化控制［4-5］，均可獲得平穩(wěn)的運行軌跡。與此同時，在DMOC模型的目標函數(shù)中，只注重控制力總量的最小化，在離散時間步長較大時容易產生控制力波動的問題，甚至是控制力的大幅波動。如果減小離散步長，不僅使計算效率下降，也不能完全避免控制力的波動。造成這種問題的主要原因在于設計目標函數(shù)時只考慮到控制力總量最小，而在數(shù)值積分過程中取兩個相鄰時間離散點控制力的均值進行積分，相鄰兩離散點控制力圍繞0點的波動可使離散力趨向于最小，這種波動非常不利于控制力的平穩(wěn)輸出。通過在目標函數(shù)中引入平滑項，強制相鄰離散點控制力的變化較小，能夠保證離散力的平滑。

1　離散力學優(yōu)化控制模型

考慮一個一般化的優(yōu)化問題：一個力學系統(tǒng)在時間［0，1］內在空間Q中的經由曲線q（t）∈Q完成運動，系統(tǒng)的初態(tài)為（q（0），q.（0）），終態(tài)為（q（1），q.（1））。系統(tǒng)在控制力f的作用下運動。目標函數(shù)為：

系統(tǒng)運動過程中q（t）滿足達朗貝爾原理，即約束條件為：

變分δq滿足δq（0）=δq（1）=0，其中L是系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，為系統(tǒng)的運能減勢能。

離散優(yōu)化控制模型直接對目標函數(shù)和約束條件進行離散，將q在時間［0，1］上劃分成N等份，用qd表示，則對應的離散目標函數(shù)和約束條件分別為：

0，k=1，…，N-1（4）

所有下標d表示對應項的離散表示，其中：

Di為對第i項求偏導。為示離散的第k步的左、右離散力，定義為：

離散化的模型包含目標函數(shù)（3）和約束條件（4），可以采用SQP算法求解。

2　引入平滑項的優(yōu)化控制模型

根據前述產生控制力波動的原因，為保證控制力的平滑，可在目標函數(shù)中引入類似文獻［6］中的平滑項，其離散形式為：

其中，fk+1與fk為相鄰兩步的離散力，在Cd的計算中可與懲罰參數(shù)θ相乘保證相鄰離散力的差別不大。θ為一足夠大的正數(shù)，用于約束相鄰兩次的離散力的平穩(wěn)變化。在具體計算中，可取：

如果控制力的變化與運動路徑無關，可得簡化的目標函數(shù)為：

由于約束條件沒有變化，引入平滑項后的模型仍然為帶等式非線性約束的優(yōu)化問題，同樣可用SQP算法求解。

3　衛(wèi)星變軌數(shù)值仿真算例

為了驗證引入平滑項的優(yōu)化模型的有效性，使用MATLAB 2013b對衛(wèi)星變軌的優(yōu)化控制進行數(shù)值仿真。推動一個質量為m的衛(wèi)星由低軌半徑r0運行到同一平面的更大半徑r1所在軌道。衛(wèi)星用極坐標q=（r，φ）表示，控制力為f=（0 ru）T，其中u為只作用在運動方向上的推力。初態(tài)為。γ是引力常數(shù)，M是地球質量。設運動時間為T=（T0+T1）/2，其中T0和T1是初始位置和終止位置的軌道周期。相關參數(shù)分別為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：L（q，q.）=m（r.2+r.2φ.2）/2+γMm/r。離散化的目標函數(shù)為：

引入平滑項，為：

數(shù)值仿真實驗證明，當離散步數(shù)N大于某特定值時，隨著N的增大目標函數(shù)保持不變，即離散步長的大小對計算結果的精度影響不大。為兼顧計算效率和統(tǒng)一比較兩種模型的結果，取N=40，引入平滑項的DMOC模型中取θ=50。兩種模型不同的變軌軌跡和控制力時間曲線如圖2、圖3所示。

圖2　衛(wèi)星變軌軌跡

如圖2所示，DMOC模型和引入平滑項的DMOC模型的衛(wèi)星的變軌軌跡幾乎相同，但圖3所示的衛(wèi)星推力的時間曲線相差很大。DMOC模型的推力波動嚴重，引入平滑項之后的推力更為平穩(wěn)和可控。

圖3　衛(wèi)星推力的時間曲線

4　結語

DMOC模型直接對優(yōu)化問題中的目標函數(shù)和約束條件進行離散操作，離散后的數(shù)學模型能夠保持與物理守恒定律的一致，由于側重于控制力總量的最小化，控制力的波動不可避免。通過引入平滑項，限制相鄰離散力的變化，可保證控制力的平穩(wěn)。衛(wèi)星變軌仿真實驗表明在采用相同計算方法的前提下，引入平滑項的DMOC模型能夠有效保證控制力的平滑輸出。

［1］Junge O，Marsden J E，Ober-Bl?baum S.Discrete mechanics and optimal control.Proccedings of IFAC World Congress，2005，35（5）：1507-1525.

［2］張衛(wèi)忠，孟秀云，單家元.離散機械最優(yōu)控制的軌跡設計方法仿真研究.系統(tǒng)仿真學報，2011，23（B07）：69-71.

［3］Moore A，Ober-Bl?baum S，Marsden J E.Trajectory design combining invariant manifolds with discrete mechanics and optimal control.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（5）：1507-1525.

［4］Leyendecker S，Ober-Bl?baum S，Marsden J E，et al.Discrete mechanics and optimal control for constrained systems.Optimal Control Applications and Methods，2010，31（6）：505-528.

［5］劉穎，馬建敏.約束多體系統(tǒng)動力學分析的改進的離散零空間算法.計算力學學報，2013（4）：496-501.

［6］Rudin L I，Osher S，F(xiàn)atemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms.Physica D：Nonlinear Phenomena，1992，60（1）：259-268

Discrete Mechanics；Optimal Control；Smoothing Term

Discrete Mechanics and Optimal Control with Smoothing Term

GAO Lei1，2

（1.College of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao 266061；2.College of Information Engineering，Qingdao University，Qingdao266071）

1007-1423（2015）26-0018-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.26.005

高磊（1977-），男，山東萊蕪人，講師，碩士研究生，研究方向為動力學與控制

2015-07-16

2015-08-15

作為一種新近提出的力學系統(tǒng)的離散優(yōu)化控制模型，DMOC在大步長時易產生控制力的波動，對控制力的平穩(wěn)輸出非常不利。將平滑項引入DMOC模型，可以保證控制力的穩(wěn)定。衛(wèi)星變軌的數(shù)值仿真結果表明，平滑項的引入能夠使控制力最小化的同時，保持控制力平穩(wěn)變化。

離散力學；優(yōu)化控制；平滑項

As a recently developed discrete optimal control model for mechanical system，discrete mechanics and optimal control（DMOC）suffers fluctuation of control forces when discrete step is large，which is unfavorable for stable output of control forces.With smoothing term added to DMOC model，stability of control forces can be acquired.Numerical simulation results of the satellite orbit transferring show that the introduction of smoothing term can keep control forces change smoothly while minimizing the total control forces.