黃劍波，鄭黎明

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春　130033）

母光柵刻劃設備運動平臺機械誤差分析

黃劍波，鄭黎明

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春130033）

為了確定母光柵刻劃設備運動平臺各項機械誤差與設備最終刻劃精度之間的數(shù)學關系，為設備的設計和制造提供相關理論依據(jù)。首先，采用多體系統(tǒng)動力學方法，確立了母光柵刻劃設備運動平臺的拓撲結(jié)構及低序體陣列。然后，分析確定了運動平臺的機械誤差所包含的各個誤差項，并建立了運動平臺機械誤差與設備最終刻劃誤差之間的誤差分析模型。最后，應用Matlab軟件根據(jù)所建模型對母光柵刻劃設備的刻劃精度進行了仿真分析。仿真結(jié)果表明：各項機械誤差綜合結(jié)果在各軸向的分量都在±0.4μm范圍之內(nèi)，均滿足母光柵刻劃設備精度要求。所建立的誤差分析模型具有簡潔方便、便于編程等優(yōu)點，可以作為設備設計時誤差合成和誤差分配的依據(jù)。

運動平臺；機械誤差；多體系統(tǒng)動力學；低序體陣列

在現(xiàn)代機加行業(yè)中，大多采用光柵傳感器作為位置反饋裝置［1］。母光柵作為光柵尺產(chǎn)品中標尺光柵的復制模板，其質(zhì)量直接決定了光柵尺產(chǎn)品的測量精度。運動平臺是母光柵制作設備的重要部件，其誤差直接決定了母光柵制作的精度。全面分析運動平臺的各項誤差與母光柵制作精度兩者之間的關系是研制母光柵制作設備過程的關鍵環(huán)節(jié)之一。因此，本文旨在研究運動平臺的各項誤差與設備最終的刻劃誤差之間的數(shù)學關系，為設備設計時的誤差分析提供依據(jù)。

運動平臺的誤差包括平臺零部件和結(jié)構的空間幾何誤差、熱誤差、載荷誤差、伺服誤差和插補誤差等［2］。其中前三項誤差屬于機械誤差，后兩項誤差可以歸屬為控制誤差。由于載荷誤差主要體現(xiàn)在大型和重型機床上［3］，而母光柵刻劃設備運動平臺的載荷不大且屬于靜載荷，因此載荷誤差在此不予考慮。本文借鑒國內(nèi)外關于數(shù)控機床誤差建模的研究成果，并利用多體系統(tǒng)動力學理論建立了母光柵刻劃設備運動平臺的幾何誤差及熱變形誤差與設備最終刻劃誤差之間的工程分析模型。

本文應用Matlab軟件對所建模型進行了仿真分析，驗證了模型的準確性和工程實用性，從而確定了所建的模型可以作為設備設計時進行誤差分配和誤差合成的依據(jù)。

1　母光柵刻劃設備運動平臺整體結(jié)構

1.1運動平臺整體結(jié)構

圖1為母光柵刻劃設備運動平臺組成示意圖，運動平臺主要由X軸、Y軸、Z1軸和Z2軸四軸運動系統(tǒng)以及基座、龍門架等組成。龍門架與基座固定為一體，X軸運動系統(tǒng)置于龍門架上，Z1軸和Z2軸運動系統(tǒng)置于X軸的滑塊上，增量碼道曝光頭與絕對碼道曝光頭分別置于Z1軸和Z2軸運動系統(tǒng)的滑塊上，Y軸運動系統(tǒng)置于基座上，Y軸運動系統(tǒng)為宏微兩級運動系統(tǒng)，即在采用直線電機驅(qū)動的宏動平臺滑塊上設計一壓電陶瓷驅(qū)動機構作為微動系統(tǒng)，待刻玻璃尺板固定于微動平臺上。

圖1　運動平臺組成示意圖

根據(jù)光柵尺的測量原理以及生產(chǎn)光柵尺的工藝水平，要求母光柵刻劃設備運動平臺的機械誤差在各軸向的誤差分量不得超出±0.5μm范圍之外。

1.2運動平臺各項機械誤差

與數(shù)控機床的運動軸機械誤差同理，母光柵刻劃設備運動平臺每軸運動系統(tǒng)均有六項誤差［4］：3項平動誤差和3項轉(zhuǎn)角誤差，四軸共有24項誤差，同時各軸之間還有5項垂直度誤差，因此母光柵刻劃設備運動平臺具有29項幾何誤差。

母光柵刻劃設備運動平臺的熱變形誤差主要是由于所用位移傳感器與傳感器安裝基體的材料熱膨脹系數(shù)不一致所引起的平動誤差，母光柵刻劃設備運動平臺共采用3根光柵尺和一臺雙頻激光干涉儀作為位移測量元件，本文將環(huán)境變化引起雙頻激光干涉儀的測量誤差當作熱變形誤差，從而方便與其余3項光柵尺測量時的熱變形誤差進行同類處理，因此設備的熱變形誤差共用4項。

綜上所述，母光柵刻劃設備運動平臺的機械誤差共計33項，其中29項為幾何誤差，另外4項為熱變形誤差。

2　母光柵刻劃設備運動平臺的拓撲描述

2.1母光柵刻劃設備運動平臺的拓撲描述

多體系統(tǒng)是對一般機械系統(tǒng)的完整抽象和有效描述，是分析和研究機械系統(tǒng)的最優(yōu)模型形式［5，6］。對于任意多體系統(tǒng)都可用低序體陣列對系統(tǒng)拓撲結(jié)構進行數(shù)字化描述［7］。采用多體系統(tǒng)理論來描述復雜系統(tǒng)，具有簡潔方便、規(guī)范化、通用性好并且程式化的優(yōu)點，特別方便于計算機編程。

圖2　運動平臺的拓撲結(jié)構圖

圖2為母光柵刻劃設備運動平臺的拓撲結(jié)構圖，B0為基座及龍門架，即為本系統(tǒng)的慣性參考系，B1為Y軸運動系統(tǒng)的宏動級，B2為Y軸運動系統(tǒng)的微動級，待刻玻璃板固定在B2上，B3為X軸運動系統(tǒng)，B4為Z1軸運動系統(tǒng)，B5為Z2軸運動系統(tǒng)。表1為母光柵刻劃設備運動平臺的各階低序體陣列，表中的k為體號，Ln（）K 為低序體算子，n為階數(shù)。

表1　低序體陣列

若高序體 j有大于低序體i的其它低序體，則低序體i的坐標系至高序體j的坐標系之間的齊次坐標系變換矩陣為［8，9］：

式（1）中k為j的不小于i的低序體號。

2.2母光柵刻劃設備運動平臺機械誤差描述

母光柵刻劃設備運動平臺的33項機械誤差分別為：X軸的3項平動誤差δxx、δyx、δzx，X軸的3項轉(zhuǎn)角誤差εxx、εyx、εzx；Y軸的3項平動誤差δxy、δyy、δzy，Y軸的3項轉(zhuǎn)角誤差εxy、εyy、εzy；Z1軸的3項平動誤差δxz1、δyz1、δzz1，Z1軸的3項轉(zhuǎn)角誤差εxz1、εyz1、εzz1；Z2軸的3項平動誤差δxz2、δyz2、δzz2，Z2軸的3項轉(zhuǎn)角誤差εxz2、εyz2、εzz2；各軸之間的垂直度誤差Sxy、Syz1、Syz2、Sxz1、Sxz2；各軸的熱變形誤差δx、δy、δz1、δz2。文中，δ表示平動誤差，ε表示角度誤差，第一下角標表示誤差方向，第二角標表示運動軸方向，熱變形誤差項的單角標即表示運動軸方向，x、y、z1、z2分別表示設備工作時在各軸向的運動增量。

X軸運動的誤差特征變換矩陣為：

Y軸運動的誤差特征變換矩陣為：

Z1軸運動的誤差特征變換矩陣為：

Z2軸運動的誤差特征變換矩陣為：

3　誤差模型

將圖2中從基座B0到光刻頭B4或B5稱為刀具分支，而把從基座B0到Y(jié)軸運動系統(tǒng)微動級B2稱為工件分支。在待刻玻璃尺板的安裝基面上設置一坐標系n作為工件坐標系，在光刻頭的安裝基面上設置一坐標系m作為刀具坐標系，且n與m的各坐標軸平行且方向相同，參考坐標系j到坐標系n的齊次變換矩陣為，參考坐標系 j到坐標系m的齊次變換矩陣為。假如各個部件沒有任何誤差，那么理想情況下，空間中一點的位移增量分別經(jīng)過刀具分支和工件分支變換到慣性參考系中的坐標值應該完全相等。由于各項誤差的存在，使得設備在各軸向的位移出現(xiàn)誤差，誤差的形式為：

式（6）即為母光柵刻劃設備運動平臺機械誤差模型的一般表達式，式中，｛｝t為設備工作時各軸的運動增量。因此，可以得到增量碼道的誤差模型為式（7）：

同理可得到絕對碼道的誤差模型為式（9）：

從而可得到增量碼道的誤差在各軸向的分量值為式（9），增量碼道的誤差在各軸向的分量為式（10）。

4　仿真結(jié)果

母光柵刻劃設備運動平臺機械結(jié)構示意圖如圖1所示，運動平臺的設計方案中四個運動軸系均采用氣浮導軌，X、Z1、Z2三軸均采用直線電機直接驅(qū)動，Y軸的宏動部分也采用直線電機驅(qū)動，微動部分采用壓電陶瓷驅(qū)動。設計時采用的導軌、電機等元件的性能參數(shù)均可以參考元件供貨商現(xiàn)有產(chǎn)品的參數(shù)。將各個參數(shù)與誤差矩陣的參數(shù)對應起來，采用蒙特卡洛法進行隨機模擬，即可得到母光柵刻劃設備運動平臺設計方案的機械誤差統(tǒng)計規(guī)律，從而預測運動平臺的設計方案是否滿足要求。

表2　各項機械誤差的取值范圍

各項幾何誤差在其取值范圍內(nèi)隨機變化，因此將各項幾何誤差視為隨機誤差進行仿真。設備所處恒溫室的溫度范圍是±0.1℃，因此在各軸的整個運動過程中，溫度變形也在一定范圍內(nèi)變動，那么也將溫度變形作為隨機誤差進行仿真。根據(jù)母光柵刻劃設備的總體精度指標要求以及當前針對各機械零件的加工精度水平和材料的線膨脹系數(shù)等，為各項機械誤差分配相應的誤差范圍。各個誤差項的取值范圍如表2所示。

根據(jù)所得誤差模型，利用Matlab進行隨機仿真10000次。進行隨機模擬時即是根據(jù)表2所列的誤差范圍對各項機械誤差進行隨機取值，每進行一次隨機仿真，所有33項機械誤差的值都隨機取值一次，將33個隨機誤差取值代入第3節(jié)所得到的誤差模型（即式（9））中，即可得到一次各軸向誤差分量的隨機仿真結(jié)果。隨機仿真1000次后即可得到各軸向誤差分量的統(tǒng)計規(guī)律。由于Z1軸和Z2軸結(jié)構完全相同，因此，仿真僅對包含Z1軸的增量碼道的誤差模型進行仿真，將Z1軸和Z2軸統(tǒng)稱為Z軸。將仿真結(jié)果進行統(tǒng)計，表3是設備的機械誤差在各軸向的誤差分量的仿真結(jié)果樣本統(tǒng)計的特征值，圖3是各軸向誤差分量值，圖4是各軸向誤差分量的概率統(tǒng)計直方圖。

表3　各軸向誤差分量統(tǒng)計特征值

由圖3、圖4和表3可以得知，母光柵刻劃設備運動平臺的綜合機械誤差在各個軸向的分量值均在±0.4μm范圍之內(nèi)，其置信度為99.73%，且誤差在各個軸向的分量值近似符合標準正態(tài)分布。

圖3　各軸向誤差分量

圖4　各軸向誤差分量的概率密度

5　結(jié)論

采用多體系統(tǒng)動力學方法，實現(xiàn)了對母光柵刻劃設備運動平臺機械誤差與設備最終刻劃誤差之間的誤差分析建模，并根據(jù)工程實際給出各個機械誤差量的取值范圍，應用Matlab對所建誤差模型進行仿真分析。仿真結(jié)果表明：最終的刻劃誤差在各個軸向誤差分量值均在±0.4μm之內(nèi)，完全滿足母光柵刻劃設備的指標需求；各軸向的誤差值概率分布近似符合標準正態(tài)分布。通過對母光柵刻劃設備運動平臺機械誤差的工程建模，可以快速簡便地預測設備最終精度，同時也能根據(jù)模型和零部件的加工難易程度對各機械誤差值進行重新分配和調(diào)整，在保證最終精度的前提下適當?shù)亟档土悴考圃炀?，從而降低制造成本和加工難度。

［1］ 孫強.高精度絕對式光柵尺研究進展及技術難點［J］.世界制造技術與裝備市場，2012，（5）：72-73.

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［7］ 休斯敦RL，劉又午.多體系統(tǒng)動力學［M］（上下冊）.天津：天津大學出版社，1987/1991.

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［9］ 齊朝暉.多體系統(tǒng)動力學［M］.北京：科學出版社，2008.

Mechanical Error Analysis for Motion Platform of Master Grating Ruling Engine

HUANG Jianbo，ZHENG Liming
（Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033）

In order to establish the relationship between the mechanical errors of the motion platform and the ultimate accuracy for the master grating ruling engine，and provide a theoretical basis for the design and manufacture.First，the topological structure and the lower body array have been established，using the method of multibody system dynamics. Then after establishing the error components of the mechanical error of the motion platform，a analytical model between the error components and the ultimate accuracy of the master grating ruling engine has been established.Finally，Matlab simulation for the accuracy of the master grating ruling engine based on the model has been accomplished.The simulation results indicate that every axial error component is within±0.4μm range and meets the master grating ruling requirement.The model can be used as a theoretical basis of error synthesis and error allocation for instrument design，as well as its advantages of simple and convenient，and easy programming etc.

motion platform；mechanical error；multibody system dynamics；lower numbered body array

TH128

A

1672-9870（2015）05-0009-05

2015-07-14

國家科技重大專項子課題“高集成化單碼道絕對式光柵尺研發(fā)及產(chǎn)業(yè)化”（2013ZX04007-021）

黃劍波（1983-），男，碩士，助理研究員，E-mail：huangjianbo208@163.com