張京軍，李國廣，高瑞貞，閆賓，薛會民

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基于無打滑現(xiàn)象鋼球研磨的動力學(xué)分析

張京軍1，李國廣2，高瑞貞2，閆賓2，薛會民2

(1. 河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院，河北邯鄲，056038；2. 河北工程大學(xué)機電工程學(xué)院，河北邯鄲，056038)

基于臥式研球機在研磨時鋼球與研磨盤之間不發(fā)生打滑現(xiàn)象，建立鋼球的研磨運動方程，并通過MATLAB軟件求解揭示其運動規(guī)律。為使鋼球在轉(zhuǎn)動盤牽引力的作用下不發(fā)生打滑，從垂直溝槽面和沿溝槽面分別對其進行動力學(xué)分析，推導(dǎo)出研磨壓力及研磨盤轉(zhuǎn)速的取值范圍。以研磨盤材料HT300和鋼球材料GCr15為例，給出摩擦因數(shù)和鋼球大小對研磨曲線的影響，并說明溝槽偏置時與的選擇原則，為改善鋼球的表面質(zhì)量提供參考。研究結(jié)果表明：通過增大盤徑來減小跡線間距的差值，進而使鋼球表面的跡線分布更加均勻化。

研磨；無打滑；動力學(xué)；溝槽；MATLAB軟件

軸承是當(dāng)代機械設(shè)備中一種舉足輕重的零部件。它的主要功能是支撐機械旋轉(zhuǎn)體，降低設(shè)備在傳動過程中的載荷摩擦因數(shù)。而鋼球作為球軸承的重要組成部分，其加工具有獨特的專業(yè)化特征，且加工的質(zhì)量將在很大程度上影響球軸承的使用壽命和可靠性[1?5]。研磨是鋼球加工的最后1道工序。在此期間，研磨盤、磨粒對球坯進行擠壓和刮擦，去除其表面的加工余量，從而提高鋼球的球度和降低表面的粗糙度[6?8]。球度是鋼球的主要技術(shù)指標(biāo)之一，對軸承的性能(如精度、噪聲、振動等)影響很大[9?13]。關(guān)于研磨，傳統(tǒng)的看法是鋼球在轉(zhuǎn)動盤牽引力的作用下繞圓盤軸線公轉(zhuǎn)，球面與溝槽接觸弧線的線速度差形成鋼球自轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)的共同作用使鋼球完成研磨[14]。但這種解釋較為簡單，因為在研磨過程中，公轉(zhuǎn)速度遠(yuǎn)大于自轉(zhuǎn)速度，鋼球勢必會形成橢圓體。朱晨[15]提出在同軸兩盤的研磨方式下, 研磨盤通過與鋼球的接觸點沿球面的3個圓進行重復(fù)性磨削，進而證明了單個鋼球在運動中的研磨軌跡是繞過球心某一軸線的跡線圓。本文作者針對鋼球的研磨，建立無打滑研磨運動方程，并利用MATLAB軟件計算其自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)及偏轉(zhuǎn)角。分析鋼球表面的跡線分布，通過減小2個跡線圓間距的差值，使鋼球表面的研磨更加均勻化。為避免鋼球在各個方向上發(fā)生打滑，從溝槽的2個面分別對其進行動力學(xué)分析，確定研磨壓力及研磨盤轉(zhuǎn)速的取值范圍。最后，以選取的研磨盤材料HT300和鋼球材料GCr15為例，得到研磨壓力與研磨盤最大允許轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系曲線，并說明溝槽偏置時為使跡線均勻分布與應(yīng)滿足的選擇原則。

1 鋼球研磨的運動規(guī)律

1.1 研磨運動方程

研究臥式研球機鋼球的研磨運動時，將鋼球和研磨盤都視為剛體，這時兩者之間為理想化點接觸。圖1所示為鋼球運動分析圖。如圖1所示，設(shè)鋼球與轉(zhuǎn)動盤、固定盤的3個接觸點分別是0，1和2，其公轉(zhuǎn)半徑為0，1和2。鋼球在溝槽內(nèi)的轉(zhuǎn)動，可分為繞轉(zhuǎn)動盤中心公轉(zhuǎn)的角速度0及繞自身球心自轉(zhuǎn)的角速度1，一般情況下，自轉(zhuǎn)又可分為樞轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動和滾轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動[16?17]。不考慮接觸變形，應(yīng)用剛體普遍原理，在三接觸點處的鋼球無打滑研磨運動方程為

其中：為轉(zhuǎn)動盤的轉(zhuǎn)速；為偏轉(zhuǎn)角；為鋼球半徑。

解出3個研磨參數(shù)分別為

圖1 鋼球運動分析圖

Fig. 1 Motion analysis of a steel ball

由式(2)可得鋼球無打滑研磨運動的規(guī)律：當(dāng)鋼球在溝槽中的位置及轉(zhuǎn)動盤轉(zhuǎn)速確定時，，0和1有唯一解，即運動可以被唯一確定，且0和1均正比于。由于一般不為0，1在三接觸處就存在法向和切向2個分量，其中，法向分量對應(yīng)的運動主要起磨削作用，切向分量對應(yīng)的運動主要起碾壓作用，兩者相輔相成，共同完成對鋼球的研磨。

1.2 研磨盤結(jié)構(gòu)優(yōu)化

圖2所示為研磨跡線分布圖。從圖2可見：3條跡線之間的距離為和，有

由式(3)可得

(4)

圖2 研磨跡線分布圖

位于鋼球表面3個跡線圓，經(jīng)過點0的圓居中，經(jīng)過點1和2的圓分列2側(cè)。由式(4)可以看出：跡線圓間距的比值僅與/0有關(guān)，其關(guān)系曲線如圖3所示。試驗表明：/影響鋼球研磨的質(zhì)量和效率，當(dāng)/接近于1時，將有利于鋼球表面精度的提高[18?19]。

圖3 r/R0?a/b曲線

當(dāng)縱坐標(biāo)為1時，橫坐標(biāo)無限趨近于0，即公轉(zhuǎn)半徑遠(yuǎn)大于鋼球半徑。即若加工的鋼球規(guī)格一定，則可通過增大研磨盤的直徑來減小外溝槽對應(yīng)的橫坐標(biāo)，進而提高鋼球表面的研磨質(zhì)量。但是，加大外徑也存在一些問題，若研磨盤內(nèi)外溝槽的公轉(zhuǎn)半徑相差過大，勢必會造成線速度有較大的差值，這樣將無法使所有的鋼球同時順利地進出溝槽，造成鋼球表面的破壞。所以，選取/0時需綜合考慮前面的2個方面。

2 鋼球研磨的動力學(xué)分析

對于臥式研球機，圖4所示為鋼球在研磨盤上同一溝槽中的分布。設(shè)單個鋼球的重力為，則其在4個象限中的分量分別為：

，

2.1 垂直溝槽面的動力學(xué)方程

不計鋼球間的相互作用及研磨液對鋼球的影響，取單個作無打滑研磨運動的鋼球為研究對象。為避免鋼球在各個方向上發(fā)生打滑，選取垂直溝槽和沿溝槽2個面分別進行分析，圖5所示為垂直溝槽面受力分析圖，圖6所示為沿溝槽面受力分析圖。

圖5 垂直溝槽面受力分析

圖6 沿溝槽面受力分析

從圖5可知：鋼球若要在V形槽中不發(fā)生繞軸方向的打滑，需滿足的動力學(xué)方程為

即

(6)

式中：0，1和2為三接觸點處所受的壓力；0，1和2為三接觸點處的滑動摩擦力；*為鋼球受到的慣性力；*為鋼球受到的慣性力偶矩。

設(shè)三接觸點處的臨界壓力為[0]，[1]和[2]，臨界滑動摩擦力為[0]，[1]和[2]，則有如下關(guān)系式：

[0]=[0]，[1]=[1]，[2]=[2] (7)

其中：為滑動摩擦因數(shù)。由式(6)和式(7)聯(lián)立可得：

對于臨界壓力，每1項都包含*，n和*。在一般情況下，*，n和*/三者具有相同的數(shù)量級，滑動摩擦因數(shù)比較小。所以，式(8)可以近似表示為

(9)

對于運動中的鋼球，轉(zhuǎn)動慣量和慣性力偶矩*分別為

為使鋼球不發(fā)生打滑，臨界壓力需小于三接觸點處的實際研磨壓力，其關(guān)系式為

[0]＜0，[1]＜1，[2]＜2(11)

根據(jù)式(9)~(11)，可以得出0的下限不等式為

2.2 沿溝槽面的動力學(xué)方程

從圖6可知：鋼球若要不發(fā)生繞軸和軸方向的打滑，需滿足的動力學(xué)方程為

即

(14)

式中：3，4和5為三接觸點處的滑動摩擦力；0，1和2為三接觸點處的樞轉(zhuǎn)摩擦力矩；0，1和2為三接觸點處的滾轉(zhuǎn)摩擦力矩；m和m為樞轉(zhuǎn)摩擦力矩和滾轉(zhuǎn)摩擦力矩在軸和軸上投影的代數(shù)和。

其中：m和m的表達式分別為：

在三接觸點處，滾轉(zhuǎn)摩擦力矩遠(yuǎn)小于樞轉(zhuǎn)摩擦力矩。不妨略去滾轉(zhuǎn)摩擦力矩，只考慮樞轉(zhuǎn)摩擦力矩在軸上的投影，則表達式可化簡為：

(16)

聯(lián)立式(14)~(16)可得

設(shè)鋼球﹑研磨盤的彈性模量和泊松比分別為E和E；υ和υ。按彈性接觸理論，三接觸點處的樞轉(zhuǎn)摩擦力矩分別為[20]

(18)

分析鋼球在溝槽中的靜態(tài)受力，發(fā)現(xiàn)靜態(tài)時研磨壓力的比值近似等于動態(tài)臨界壓力的比值。所以，有理由認(rèn)為實際研磨壓力的相對關(guān)系為

聯(lián)立式(18)~(19)可將式(17)化簡得

(20)

在研磨過程中，轉(zhuǎn)動盤需克服三接觸點處的樞轉(zhuǎn)摩擦力矩和滾轉(zhuǎn)摩擦力矩，帶動鋼球轉(zhuǎn)動。若要使鋼球在轉(zhuǎn)動時不發(fā)生打滑，需滿足的條件為

|3|＜0，|4|＜1，|5|＜2(21)

比較式(20)中滑動摩擦力，4大于3和5。選取4為代表式，將式(20)代入式(21)化簡可得：

2.3 壓力及轉(zhuǎn)速的選取

由式(18)中可得，0正比于04/3。將式(18)代入式(22)，存在使0小于某個特定的值，這里記為。同理，對式(21)的第1和第3個不等式化簡求解，可得出0分別小于特定值和。

所以，為使鋼球在研磨過程中各個方向都不發(fā)生打滑，需滿足如下關(guān)系式：

把式(2)代入式(23)可知，下限表達式正比于2。由于，和均是與轉(zhuǎn)動盤轉(zhuǎn)速無關(guān)的常數(shù)，可推出＜，即為轉(zhuǎn)動盤轉(zhuǎn)速允許的最大值。

3 影響參數(shù)

3.1 工藝參數(shù)

鋼球在溝槽中作無打滑研磨運動時，公轉(zhuǎn)半徑的不同會影響研磨壓力及最大允許轉(zhuǎn)速的取值范圍。選取研磨盤的材料為HT300，鋼球的材料為GCr15，公轉(zhuǎn)半徑0為315 mm。

圖7所示為=10 mm時研磨盤最大允許轉(zhuǎn)速與研磨壓力之間的關(guān)系曲線。從圖7可見：隨研磨壓力的增加，最大允許轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)上升趨勢。摩擦因數(shù)越大，研磨盤允許達到的轉(zhuǎn)速越大，進而鋼球?qū)⒆兊迷讲蝗菀装l(fā)生打滑。圖8所示為鋼球半徑對研磨曲線的影響。從圖8可知：在滑動摩擦因素=0.05時隨鋼球半徑的增大，研磨盤的最大允許轉(zhuǎn)速減小，說明鋼球?qū)⒆兊萌菀装l(fā)生打滑，此時應(yīng)加大研磨壓力、降低研磨盤轉(zhuǎn)速。

f: 1—0.05; 2—0.10; 3—0.15

r/mm: 1—5; 2—10; 3—15

3.2 溝槽偏置

在研磨過程中，影響鋼球表面質(zhì)量的因素很多，如溝槽形狀、機床精度和研磨盤力學(xué)性能等。溝槽的形狀容易控制和改變，可通過變化參數(shù)和來實現(xiàn)。圖9所示為接觸點處的相對轉(zhuǎn)動。從圖9可知：三接觸點處轉(zhuǎn)速的法向和切向分量分別為

通過分析發(fā)現(xiàn)接觸點處的法向分量和切向分量呈反向關(guān)系，接觸點間的研磨情況存在差異。圖10所示為與的關(guān)系曲線。從圖10可以看出：在π/4附近時，有零值存在，此時三接觸點間的研磨相差較小。所以，溝槽偏置時和的選擇應(yīng)符合一定的原則：兩者宜不相等且相差不大，相加之和在π/2附近，這樣可使跡線圓在鋼球表面能有較好的分布，同時提高鋼球的研磨效率。

圖10 α與tan θ關(guān)系曲線

4 結(jié)論

1) 當(dāng)鋼球作無打滑研磨運動時，其運動規(guī)律可以被唯一確定，且鋼球的公轉(zhuǎn)角速度與自轉(zhuǎn)角速度均正比于轉(zhuǎn)動盤轉(zhuǎn)速。

2) 臥式研球機對鋼球進行研磨時，若要使鋼球不發(fā)生打滑現(xiàn)象，則研磨壓力必須限制在一定的范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)動盤轉(zhuǎn)速也不得大于其允許的最大值。

3) 增大研磨壓力或滑動摩擦因數(shù)，都可以降低鋼球發(fā)生打滑的可能；研磨大鋼球比研磨小鋼球更容易發(fā)生打滑，此時可以加大研磨壓力和降低研磨盤轉(zhuǎn)速。

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Dynamic analysis of grinding balls based on no slipping

ZHANG Jingjun1, LI Guoguang2, GAO Ruizhen2, YAN Bin2, XUE Huimin2

(1. College of Civil Engineering, Hebei University of Engineering, Handan 056038, China;2. College of Mechanical and Electrical Engineering, Hebei University of Engineering, Handan 056038, China)

Based on no-slip cases between steel balls and lapping discs when a horizontal grinding machine works, the motion equations of the ball lapping were established and the law of the motion was revealed by the MATLAB software. In order to prevent balls from slipping when rotary disc drived them to rotate, the ranges of the lapping pressure and lapping disc speed were deduced by using the dynamics analysis considering from the vertical trench surface and along the groove surface, respectively. The material HT300 of lapping discs and the material GCr15 of steel balls were taken as an example to analyze the effect of friction and sizes of balls on the lapping curves, and the selection principles of alpha and beta were explained when the trench had some bias, which can provide reference for improving the quality of the steel balls surface. The results show that the difference of the trace spacing is reduced by increasing the disc diameter, which can make the trace distribution of the steel ball surface more uniform.

grinding; no slipping; dynamics; groove; MATLAB software

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.010

TH133

A

1672?7207(2015)07?2452?07

2014?10?23；

2014?12?30

河北省科技廳科技支撐計劃項目(12212110D) (Project(12212110D) supported by the Technology Support Projects of the Department of Science and Technology in Hebei Province)

張京軍，博士，教授，從事機床設(shè)計及動力學(xué)研究；E-mail: santt88@163.com

(編輯 羅金花)