任麗娜，芮執(zhí)元，王智明

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可修系統(tǒng)不完全維修連續(xù)比例強度模型及應用

任麗娜1，芮執(zhí)元1，王智明2

(1. 蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州，730050；2.淮海工學院機械工程學院，江蘇連云港，222005)

為解決傳統(tǒng)不完全維修模型難于工程應用的問題，基于邊界強度過程理論，提出一種新的具有封閉形式解的連續(xù)比例強度模型。討論模型的特性，推導模型參數(shù)及諸如給定時刻的條件可靠度、期望故障數(shù)、累積平均故障間隔時間等重要可靠性指標的極大似然點估計的計算公式，利用Fisher信息矩陣法和delta法給出模型參數(shù)及上述可靠性指標的區(qū)間估計，基于Akaike信息準則和擬合優(yōu)度檢驗指標，給出模型評價準則。以數(shù)控機床現(xiàn)場故障數(shù)據(jù)為例對所提方法進行驗證。研究結果表明：應用本文方法可以獲得數(shù)控機床可靠性指標封閉形式的解及置信區(qū)間，可以很好地應用于工程實際。

不完全維修；連續(xù)比例強度模型；邊界強度過程；極大似然估計；可修系統(tǒng)

對于可修系統(tǒng)，當其發(fā)生故障后，通常需經過維修才能使其恢復至功能狀態(tài)。根據(jù)維修的影響程度，通常假設維修可使系統(tǒng)恢復至“修復如新”(完全維 修[1])、“修復如舊”(最小維修[2?3])和“好于舊而次于新”(不完全維修[4?5])3種狀態(tài)，由于不完全維修假設同時考慮了運行時間和維修行為對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，因此更符合工程實際。常見的不完全維修模型主要有2種：虛齡模型[5]和比例強度模型[6]。虛齡模型由Kijima等[5]首次提出，認為維修效果可通過減小系統(tǒng)役齡來描述，有Kijima模型Ⅰ和Kijima模型Ⅱ 2種，模型參數(shù)求解方法主要有Monte Carlo(MC)仿真法[7]、極大似然估計法[8?9]、似然比檢驗法[10]、非線性約束規(guī)劃法[11]等，但由于模型本身的非連續(xù)性，這些方法均難獲得諸如條件可靠度、累積平均故障間隔時間等重要可靠性指標的封閉形式的解，因此，該模型很難用于解決工程實際問題。比例強度模型最早由Cox[6]提出，其強調通過強度減小系數(shù)來評估系統(tǒng)的維修水平，在Cox工作的基礎上，Lawless等[12]提出既包含系統(tǒng)運行時間信息又包含更新類型行為的比例強度模型，但該模型同樣存在難于應用的問題，鑒于此，Guo 等[13?14]提出將累積故障強度函數(shù)作為協(xié)變量引入比例強度模型，可以獲得模型參數(shù)及可靠性指標封閉形式的解，但未給出條件可靠度等可靠性指標的置信區(qū)間，且模型中系統(tǒng)的基礎故障強度過程主要由冪律過程(power law process, PLP)和對數(shù)線性過程(log-linear process, LLP)來描述，而對處于耗損期的可靠性惡化系統(tǒng)，由于頻繁的被維修，其故障強度會隨著時間的增加而趨于一穩(wěn)定值，此時，邊界強度過程[15]應該更適合描述其故障過程。因此，本文作者針對可用邊界強度過程描述的性能惡化的可修系統(tǒng)，在綜合考慮其故障過程、運行時間及維修歷史等信息影響的情況下，提出了一種新的具有封閉形式解的連續(xù)比例強度模型，并給出了重要可靠性指標置信區(qū)間的求解方法。

1 模型建立

對于維修頻繁的可靠性惡化系統(tǒng)，其經維修后一般會處于“好于舊而次于新”的中間狀態(tài)，因此不完全維修模型更適合描述其實際的維修效果，且因其故障過程更適合用邊界強度過程描述，因此，定義連續(xù)比例強度模型為

2 模型特性

(3)

顯然，式(3)可大于0或小于0，其符號主要由基本故障強度模型參數(shù)及維修影響系數(shù)決定，若式(3)在時刻大于零，則為一增函數(shù)，即系統(tǒng)處于耗損階段；若式(3)在時刻小于0，則為一減函數(shù)，即系統(tǒng)處于可靠性增長階段；若式(3)接近于0，則系統(tǒng)具有穩(wěn)定的故障強度。

將式(4)兩邊進行變換并取不定積分，得

(5)

通過對式(5)進行求解，可得

(7)

＜(9)

3 模型參數(shù)及可靠性指標的極大似然點估計及區(qū)間估計

3.1 模型參數(shù)及可靠性指標的極大似然點估計

與式(1)中的新模型相對應的經驗故障強度函數(shù)為

(11)

(12)

而第次故障時間t的條件概率密度函數(shù)為

(13)

若故障數(shù)據(jù)為時間截尾，則似然函數(shù)為

式中：為試驗結束時間。若故障數(shù)據(jù)為故障截尾，則=t，且。

那么，對于單個系統(tǒng)，當故障數(shù)據(jù)為時間截尾時，對數(shù)似然函數(shù)為

當故障數(shù)據(jù)為故障截尾時，對數(shù)似然函數(shù)為

(16)

(17)

因此，將式(17)代入式(16)中可以得到1個含有2個參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)：

(18)

所以，在式(17)大于零的條件下，將式(18)最大化并作為目標函數(shù)，將參數(shù)估計問題轉化為優(yōu)化問題，即可求出模型參數(shù)和，再將其代入式(17)，則可求出參數(shù)。對于單個系統(tǒng)，模型參數(shù)求解過程與上述方法相同。

(20)

(21)

(23)

3.2 模型參數(shù)及可靠性指標的區(qū)間估計

在小樣本(＜30)情況下，若利用參數(shù)極大似然估計的漸近正態(tài)分布特性求置信區(qū)間會產生負的置信下限，而其漸近對數(shù)正態(tài)分布避免了這一問題，因此，若要求模型參數(shù)大于0，利用參數(shù)極大似然估計的漸近對數(shù)正態(tài)分布特性求置信區(qū)間更優(yōu)。因此，模型估計參數(shù)或可靠性指標的置信區(qū)間可由下式求出：

因此，只需求出待估計參數(shù)或可靠性指標的方差即可求出置信區(qū)間。根據(jù)Fisher信息矩陣法[16]，單個系統(tǒng)故障截尾數(shù)據(jù)不完全維修模型參數(shù)，和的方差(var)和協(xié)方差(cov)可由逆Fisher矩陣給出，即

(25)

對式(16)中各模型參數(shù)求二階偏導數(shù)得

；

；

；

對于可靠性指標的置信區(qū)間，可以根據(jù)模型參數(shù)的方差及協(xié)方差求出。根據(jù)delta法[13]，系統(tǒng)條件可靠度的方差為

將上式中()用()等其他可靠性指標代替，即可求出相應可靠性指標的方差。

為使系統(tǒng)可靠度變換到[0,1]區(qū)間內，在計算可靠度區(qū)間上邊界、下邊界時引入logit函數(shù)，其表達式為

因此，可靠度置信區(qū)間計算公式為

將計算結果與式(24)進行比較，2種計算方法中上邊界較小者為最終上邊界，下邊界較大者為最終下 邊界。

4 實例分析

收集到國內某機床廠某一數(shù)控機床現(xiàn)場故障截尾數(shù)據(jù)20個，故障時間為950.46，1 405.2，1 515.92， 1 611.4，2 709.33，2 797.42，2 954.22，3 153.87，3 446.2，3 543.11，3 706.49，3 923.93，4 074.9，4 126.33，4 427.4，4 659.99，5 061.16，5 840.57，6 345.3，6 742.95 h。

那么，基于何種假設的模型最佳，最適合描述數(shù)控機床的故障過程，還需進行選擇。Akaike信息準則法[17]是比較簡單實用的模型選擇方法之一，該準則利用似然估計性質，認為當Akaike信息準則(AIC)最小時，對應的模型即為最佳模型，其表達式定義為

式中：為模型參數(shù)的個數(shù)；ln為故障數(shù)據(jù)的最大對數(shù)似然估計。

不同模型的AIC計算結果如表1所示，顯然，本文模型的AIC最小，初步說明本文模型即為最佳模型。由此可知，該數(shù)控機床經維修后處于“好于舊而次于新”的中間維修狀態(tài)，應基于不完全維修假設對其可靠性進行分析。為進一步驗證所選模型即為最佳模型，可對模型進行擬合優(yōu)度檢驗，定義擬合優(yōu)度評價指標[18]為

式中：N為時刻實際累積故障數(shù)；為期望故障數(shù)的估計值。越大則說明模型擬合程度越好。不同模型的擬合優(yōu)度計算結果如表1所示。從表1可以看出：本文模型的擬合優(yōu)度評價指標最大，進一步說明本文模型即為最佳模型。不同模型的累積故障數(shù)擬合曲線如圖1所示，從圖1可以看出：本文提出的連續(xù)比例強度模型更適合描述其故障趨勢。

表1 不同模型計算結果

圖1 不同模型累積故障數(shù)擬合曲線

本文模型故障強度曲線如圖2所示。從圖2可以看出：故障強度先增加后減小。故障強度增加可能是因為數(shù)控機床某部位故障時，其他部件雖在用但潛在的未揭露的故障增加的緣故，而后隨著不斷地維修，故障強度逐漸減小。系統(tǒng)條件可靠度與時間曲線、瞬時平均故障間隔時間曲線和累積平均故障間隔時間曲線分別如圖3~5所示。從圖3和圖5可以看出：對處于耗損期的數(shù)控機床，由于頻繁地對其進行維修，系統(tǒng)條件可靠度有了明顯提高，但由于耗損增加，可靠度相對來說也在逐漸下降，累積平均故障間隔時間也逐漸縮短直至趨于穩(wěn)定。由圖4所示本文模型對應曲線可知：該機床大約從第5個故障開始，瞬時平均故障間隔時間逐漸增加，說明不完全維修效果顯著，實現(xiàn)了機床的可靠性增長。而對于BIP模型，瞬時平均故障間隔時間一直處于逐漸減小的狀態(tài)，維修并沒有使系統(tǒng)可靠性得到明顯改善，與本案例機床實際情況不符。

圖2 新模型故障強度曲線

1—本文模型；2—BIP模型

1—本文模型；2—BIP模型

1—本文模型；2—BIP模型

；

；

；

；

則模型參數(shù)和可靠性指標的點估計和置信度為95%的區(qū)間估計如表2所示。

表2 模型參數(shù)和可靠性指標的點估計和區(qū)間估計

5 結論

1) 本文提出的連續(xù)比例強度模型，同時考慮了運行時間及維修行為對系統(tǒng)可靠性的影響，是一種新的不完全維修模型。該模型采用連續(xù)函數(shù)形式表達，模型參數(shù)和可靠性指標具有封閉形式的解，容易獲得相應的置信區(qū)間，更易于實現(xiàn)工程實際中的可修系統(tǒng)可靠性評估。

2) 利用數(shù)控機床現(xiàn)場故障數(shù)據(jù)對模型進行驗證，結果表明，本文模型可以很好地應用于工程實際，為可靠性預測及準確地確定維修策略提供了一定的理論依據(jù)。

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Imperfect repair continuous proportional intensity model for repairable systems and its application

REN Lina1, RUI Zhiyuan1, WANG Zhiming2

(1. School of Mechanical and Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China;2. School of Mechanical Engineering, Huaihai Institute of Technology, Lianyungang 222005, China)

Considering that traditional imperfect repair model was difficult to use in practice, a new continuous proportional intensity model with closed-form solutions was proposed based on the theory of bounded intensity process. The characteristics of the model were discussed, the formula of point maximum likelihood estimators for model parameters, as well as the important reliability indices such as the conditional reliability at given time, the s-expected number of failures, and the cumulative mean time between failure were all derived, the interval estimators of model parameters and reliability indices were given by using the Fisher information matrix method and delta method, and the assessment criterion of model was provided based on Akaike information criterion and the index of goodness-of-fit test. An example of real failure data from numerical control machine tools was taken to prove the proposed method. The results show that the closed-form solutions and confidence bounds of reliability indices for NC machine tools are obtained and the method can be well applied in practical.

imperfect repair; continuous proportional intensity model; bounded intensity process (BIP); maximum likelihood estimation; repairable systems

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.012

TG659；TB114

A

1672?7207(2015)07?2467?07

2014?07?25；

2014?10?04

國家自然科學基金資助項目(51165018)；甘肅省省青年科技基金資助項目(145RJYA307) (Project(51165018) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (145RJYA307) supported by the Youth Science and Technology Foundation of Gansu Province, China)

芮執(zhí)元，教授，博士生導師，從事復雜成套裝備數(shù)字化設計與制造、系統(tǒng)仿真技術與可靠性研究；E-mail: zhiy_rui@163.com

(編輯 楊幼平)