尹碧妮, 曾憲忠, 顧永耕

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帶擴散的Lotka–Volterra捕食模型正穩(wěn)態(tài)解的存在性

尹碧妮1, 曾憲忠1, 顧永耕2

(1. 湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院, 湖南湘潭, 411201; 2. 湖南師范大學數(shù)學與計算機科學學院, 湖南長沙, 410081)

研究了一個帶擴散作用的Lotka–Volterra捕食模型。使用橢圓方程的相關理論、非線性泛函分析的指數(shù)理論和度理論, 在一定條件下, 獲得穩(wěn)態(tài)模型正解的存在性和非存在性, 即物種共存是否存在。

Lotka–Volterra捕食模型; 正解的存在性和非存在性; Sobolev嵌入定理

生物數(shù)學模型一直是非?；钴S的研究內容之一, 它能有效地刻畫生物的多樣性、生物擁擠、稀有生物保護問題。對于這些問題, 國內外許多數(shù)學家和生物學家已有許多研究[1–9], 并已獲得了許多重要的成果。這些成果包括: 捕食問題正解(物種共存狀態(tài))是否存在性、正解的數(shù)量以及正解的穩(wěn)定性; 正解曲線的分支結果; 拋物型捕食模型正解的動力行為; 以及對含有不同轉換率和響應函數(shù)的模型, 對含有交叉擴散模型的研究。除了不考慮空間位置的常微分方程系統(tǒng)外, 一般來說, 與空間位置有關的偏微分方程系統(tǒng)更適合描述實際問題。

本文研究下列穩(wěn)態(tài)型Lotka–Volterra捕食模型

顯然, 問題(1)有一個平凡解(0, 0)和2個半平凡解(*= (, 0),*= (0,))。本文主要研究它的正解存在性。使用橢圓方程的相關理論、以及非線性泛函分析的指數(shù)理論和度理論, 在一定條件下, 獲得穩(wěn)態(tài)模型(1)正解的存在性(即物種共存)和非存在性。本文的結論如下:

定理 1 如果＞1且＞1(), 或者1(-) ＜≤1, 那么, 穩(wěn)態(tài)問題(1)存在正解。

1 預備知識和問題(1)正解存在的必要條件

設1() ＜2()≤3() ≤…是下列問題的特征值

根據(jù)文獻[8–9]可以得到以下引理2和引理3。

(i) 當≤1()時,≡ 0是問題(3)的唯一解;

(ii) 當＞1()時, 問題(3)存在唯一的正解。

讓引理2中=,=。如果= 0, 那么當＞1時, 讓是式(3)的唯一正解。考慮算子

引理2 讓≡ 0,和如上規(guī)定, 則(i) 由式(3)產(chǎn)生的映射是單調增加的, 并且在(1, ∞)上可微; 當時, 并且0 ＜＜; (ii)的特征值都大于0。

進行與文獻[8–9]類似的討論, 得到下列引理。

引理3 設＞1, 如果式(1)有正解(,), 那么,＞1(), 并且0 ＜＜,＜＜+ da＜+。

2 穩(wěn)態(tài)問題(1)的正解(物種共存)存在性

與文獻[8–9] 類似的討論, 得到下列2個性質。

性質1 如果0 ＜＜ 1, 0.75 ＜＜ 1且, 那么對于充分大的有。

性質2 設≠1(-)和≠1(), 則(i)(, 0) = 0; (ii) 當＞1(-)時(,*) = 0, 而當＜1(-)時(,*) = 1; (iii) 當＞1()時(,*) = 0, 而當＜1()時(,*) = 1。

定理1的證明。取一個足夠大的正數(shù)＞ 1, 考慮下列問題

(8)

根據(jù)引理4以及≥ 0,≥ 0, 可以得到。進一步, 對于問題(8)使用橢圓方程估計理論和Sobolev嵌入定理可以得到下面的估計:。因此存在＞ 0使得, 并且對于, 輔助問題(8)在上沒有解。

由以上討論可知, 當＞1時,＞1()是問題(1)有正解(物種共存)的充要條件。

參考文獻：

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[9] 顧永耕, 曾憲忠. 被捕食者帶有第三邊值的捕食模型的正穩(wěn)態(tài)解的存在性[J]. 數(shù)學物理學報, 2007, 27A(2): 248– 262.

[10] 葉其孝, 李正元. 反應擴散方程引論[M]. 北京: 科學出版社, 1994.

(責任編校:劉剛毅)

Existence of positive steady state solutions for a Lotka-Volterra prey-predator model with diffusion terms

Yin Bini1, Zeng Xianzhong1, Gu Yonggeng2

(1. School of Mathematics and Computing Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China; 2. School of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)

A Lotka-Volterra prey-predator model with diffusion terms is discussed. By using some theories of the elliptic equations, the index theory and the degree theory of the nonlinear functional analysis, the existence and non-existence of its positive solutions under some conditions are obtained, i.e. whetherornothas the species coexistence.

Lotka-Volterra prey-predator model; existence and non-existence of positive solutions; degree theory

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.008

O 175. 25

1672–6146(2015)02–0023–03

曾憲忠, 448397807@qq.com;尹碧妮, 710186786@qq.com。

2014–12–19

國家自然科學基金(11271120, 61402166), 湖南省自然科學基金(13JJ3085)。