劉德強 丁瑞強 李建平 馮杰

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非線性局部Lyapunov指數(shù)方法在目標觀測中的應用初探

劉德強1, 3丁瑞強1李建平2馮杰1, 3

1中國科學院大氣物理研究所大氣科學和地球流體力學數(shù)值模擬國家重點實驗室，北京100029;2北京師范大學全球變化與地球系統(tǒng)科學研究院，北京100875;3中國科學院大學，北京100049

本文初步探討了非線性局部Lyapunov指數(shù)方法（NLLE）在目標觀測中的應用。首先，在NLLE理論基礎(chǔ)上研究了非線性動力系統(tǒng)內(nèi)局部平均誤差相對增長（LAGRE）特征，證明了在誤差發(fā)展進入隨機狀態(tài)前，LAGRE與初始誤差大小無關(guān)而是與初始狀態(tài)有關(guān)；在演化進入隨機狀態(tài)后，LAGRE的飽和值由初始誤差大小決定這一特征。同時利用三個變量的常微分方程模型Lorenz63驗證了這一結(jié)論。其次，從非線性局部誤差增長理論出發(fā)，在局部動力演化相似方法（LDA）的基礎(chǔ)上提出向前局部動力演化相似方法（FLDA）的概念，并通過兩個混沌個例來說明LDA和FLDA方法能夠有效的利用歷史資料還原任意初始狀態(tài)的LAGRE。這些方法的提出為NLLE理論應用于觀測資料研究目標觀測問題提供了依據(jù)。

非線性 Lyapunov指數(shù)（NLLE）局部動力演化相似方法（LDA）向前局部動力演化相似方法（FLDA）目標觀測

1 引言

自從上世紀1960年代，Thompson（1957）和Lorenz（1963a，1963b）等人最早提出了確定性系統(tǒng)存在可預報性的問題，人們圍繞該問題展開了大量的研究，對混沌系統(tǒng)的可預報性理論的認識逐漸深入。其中，研究誤差的增長和傳播規(guī)律問題成為可預報性理論的重要內(nèi)容（穆穆等，2002；李建平等, 2006；Li and Wang，2008）。一些工作先后從模型以及非線性動力學的角度來定量考察誤差的增長。Thompson（1957）、Mintz（1964）、Leith（1965）等人先后嘗試在模式內(nèi)考察初始無限小誤差隨時間的倍增來衡量誤差的增長速率，但是后來研究表明，這種做法相對依賴于數(shù)值模型本身（穆穆等,2002；Li et al., 2000；封國林等,2001；Gao et al., 2003）。Lorenz（1963b）提出在相空間里通過Lyapunov指數(shù)度量初始相鄰相軌跡之間長期平均的指數(shù)發(fā)散率，表征初始無限小誤差的增長率。經(jīng)典Lyapunov指數(shù)雖然可以有效刻畫系統(tǒng)的全局誤差增長特征，但是在混沌吸引子內(nèi)部，初始誤差的發(fā)展并非處處相同（Legras and Ghil，1985；Nese, 1989），有時我們更加關(guān)心相空間內(nèi)局部的誤差增長特征（李建平等，2006；丁瑞強和李建平，2007）。顯然，經(jīng)典Lyapunov指數(shù)理論在度量混沌吸引子局部誤差的增長特征上具有一定的缺陷。

為了考察局部誤差增長特征，Nese（1989）、Yoden and Nomura（1993）、Ziehmann et al.（2000）等提出了有限時間Lyapunov指數(shù)，用來衡量有限時間內(nèi)初始誤差的平均增長率。然而這些工作都是建立在線性理論框架的基礎(chǔ)上，而隨著誤差的增長，系統(tǒng)會進入非線性階段，切線性近似不再成立，因此需要發(fā)展非線性局部的誤差增長理論（李建平等，2006；陳寶花等，2006）。李建平和丁瑞強等人提出了非線性局部Lyapunov指數(shù)（NLLE）（李建平等，2006；丁瑞強，2006；Ding and Li，2007；丁瑞強和李建平，2007；李建平和丁瑞強，2009；Li and Ding，2011），利用該指數(shù)，他們將局部動力演化相似方法（LDA）應用于觀測資料，結(jié)合大氣的動力學特征，分別研究了大氣中不同變量場天氣可預報性和氣候可預報性的時空分布，天氣可預報性的年代際變化，以及海溫可預報性的時空分布等問題（Ding et al., 2008b；丁瑞強和李建平，2009a，2009b；Ding et al., 2010，2011；李建平和丁瑞強，2008；Li and Ding，2011，2013），這對于了解吸引子結(jié)構(gòu)特征和度量混沌系統(tǒng)可預報性具有重要的意義。此外，NLLE方法還被用來研究初始狀態(tài)的局部可預報期限問題（Ding et al., 2008a）。對于某固定初始狀態(tài)的數(shù)值預報，其預報不確定性主要來源于初始分析誤差和模式誤差（Bergot et al., 1999；段晚鎖等，2013）。在模式誤差一定的條件下，為了減少初始分析誤差對于預報質(zhì)量的影響，目標觀測是有效的手段之一。目標觀測是一種改善數(shù)值預報質(zhì)量的技術(shù)和方法，是在確定對預報結(jié)果具有潛在最大影響的區(qū)域基礎(chǔ)上，通過移動觀測手段增加觀測，并結(jié)合同化方法減小數(shù)值模式中的初始分析誤差，從而達到減小預報不確定性、延長預報時效的目的（Langland，2005；Morss and Emanuel，2001；Zhou et al., 2012；Majumdar et al., 2011）。

目標觀測的核心問題是如何確定敏感區(qū)的位置，敏感區(qū)是指初始分析誤差較大或者增長很快或者對預報質(zhì)量影響最大的區(qū)域（Langland，2005）。傳統(tǒng)上，研究目標觀測問題的方法大多依賴于伴隨模式（Buizza and Montani，1999；Bergot and Doerenbecher，2002；Baker and Daley，2000；Kim et al., 2004），導致實際應用中計算量巨大，同時這些方法多基于線性誤差增長理論（Bishop and Toth，1999；Buizza and Montani，1999；Bergot and Doerenbecher，2002），而對于一些初始誤差較大或者誤差增長較快的個例來講，線性近似是不成立的（穆穆等，2007）。為了克服線性假設(shè)的不足，穆穆等（Mu et al., 2006，2009）提出了條件非線性最優(yōu)擾動（Conditional Nonlinear Optimal Perturbation，CNOP）方法研究天氣和氣候事件的可預報性，并成功將其應用于臺風、ENSO等天氣和氣候事件的目標觀測問題的研究（Riviere et al., 2008；Scheltinga and Dijkstra，2008；王斌和譚曉偉，2009；Tan et al., 2010；Wang and Tan，2010；Yu et al., 2012；Mu et al., 2014；Qin et al., 2013；Zhou and Mu，2011）。這些工作的提出對于目標觀測問題的研究有著重要的理論與實際應用意義。此外，傳統(tǒng)方法多依賴于數(shù)值模型，均假設(shè)模型是完美的（Buizza and Montani，1999；Bishop and Toth，1999；Bergot and Doerenbecher, 2002），而模型誤差是客觀存在的，利用這些方法確定的敏感區(qū)不可避免的會受到模式誤差的影響。因此用數(shù)值模式確定敏感區(qū)，須提前確定模式的模擬效果好，這是用數(shù)值模式確定敏感區(qū)的不方便之處，而NLLE可以直接用觀測資料確定敏感區(qū)，避免了這一步。NLLE方法是研究誤差非線性增長的重要理論，以往多被用于確定不同大小初始誤差的可預報期限，其研究結(jié)果表明NLLE方法相對線性誤差增長理論具有明顯的優(yōu)勢（丁瑞強和李建平，2007；Li and Ding，2011），但是將該方法應用于研究目標觀測問題的工作還未展開，所以驗證NLLE方法能否被用來研究目標觀測問題是開展該項工作的首要問題。

本文在前人工作的基礎(chǔ)上，應用NLLE方法研究了單個初始狀態(tài)局部平均的誤差增長規(guī)律問題。首先，本文從理論上證明了在誤差發(fā)展進入隨機狀態(tài)前，局部平均誤差相對增長（LAGRE）與初始誤差大小無關(guān)而是與初始狀態(tài)有關(guān)；在誤差演化進入隨機狀態(tài)后，LAGRE的飽和值由初始誤差大小決定。并在Lorenz63模型（Lorenz，1963a）中驗證了這一結(jié)論。其次，在局部動力演化相似方法（LDA）（丁瑞強和李建平，2009a；Li and Ding，2011）的基礎(chǔ)上提出向前動力演化相似方法（FLDA）的概念，通過兩個簡單的混沌模型來說明LDA和 FLDA方法能夠有效的利用歷史資料還原任意初始狀態(tài)的誤差增長率，為NLLE方法研究目標觀測問題提供了依據(jù)，而在復雜模型中的驗證將在下一步的工作中給出。

2 非線性局部Lyapunov指數(shù)方法

李建平和丁瑞強等（李建平等，2006；丁瑞 強，2006；Ding and Li，2007；丁瑞強和李建平，2007；Li and Wang，2008；Li and Ding，2011）提出了NLLE理論和方法。對于一個維非線性動力系統(tǒng)，對其誤差演化方程不作任何近似，保留所有非線性項，誤差演化方程的解可以從初始時刻到演化時刻進行數(shù)值積分，得到

Li and Ding（2011）將NLLE方法應用于觀測資料來定量研究系統(tǒng)的可預報性期限問題，提出了LDA方法確定單個變量的初始狀態(tài)在歷史資料里的相似狀態(tài)。對于時間序列里所有的狀態(tài)（和的間隔一定要足夠長，這樣可以避免持續(xù)性對相似點位置的影響），和之間的初始距離表示為

3 非線性局部平均誤差增長特征

為了討論混沌系統(tǒng)里任意固定的初始狀態(tài)(0)的局部平均誤差相對增長情況，在其周圍施加一個小的初始誤差域。該初始誤差域可以被假想為相空間里以(0)為中心的一個圓球，圓球內(nèi)部均勻分布著距離(0)大小不等、方向不同的初始誤差（圖1）。

圖1 估計任意初始狀態(tài)x0的LAGRE（局部平均誤差相對增長）方法示意圖。圖中的圓球是以x0為中心、以初始誤差域r為半徑的球，x0（ti）是x0在第i時刻的演化，x01（ti）和x02（ti）分別是x0（ti）的相似狀態(tài)，L(ti) 和L'(ti)是相似狀態(tài)和參考狀態(tài)在第i時刻時的距離。計算參考軌跡和所有相似軌跡之間平均的NLLE，可以得到隨時間變化的LAGRE

定理（丁瑞強和李建平，2007；Ding and Li，2007）：假設(shè)獨立的隨機變量1，2，…，X具有如下的概率分布：

其中，和是任意實數(shù)（＜），()為定義在[,]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。令

那么，

取樣本平均

平均誤差相對增長的對數(shù)為

其中，2是初始時刻誤差的幾何平均，代表初始誤差域的大小，為一常數(shù)；1是0+時刻絕對誤差的幾何平均，代表0+時刻誤差域的大小，隨時間變化。

在吸引子域和誤差域的限制下，(0+)的概率分布隨變化，抽象到相空間內(nèi)，吸引子域包含著初始誤差域，初始誤差域越小，則其達到覆蓋吸引子域的時間越久，對應的可預報期限越長。反之，可預報期限越短。在誤差演化時間時，只與初始狀態(tài)(0)和演化時間有關(guān)，當和固定時，的值是固定的，對于一個固定的初始狀態(tài)疊加不同大小的初始誤差域，1和2的比值不依賴于初始誤差大小，也即LAGRE大小與初始誤差無關(guān)的；而當誤差演化進入隨機狀態(tài)后，初始誤差域隨時間逐漸增大最終覆蓋整個吸引子域，此時1值近似飽和代表整個吸引子域的大小，圍繞一定值震蕩。1和2的比值隨著1達到飽和而不再變化，近似為一個常數(shù)，且該常數(shù)依賴于初始誤差大小，初始誤差域越小則LAGRE的飽和值越大。在維的混沌系統(tǒng)里，不同變量的可預報性不同。李建平和丁瑞強（2009）提出了單個變量的NLLE理論，能夠有效的計算不同變量的可預報期限。不同變量的可預報性不一致，其本質(zhì)是不同變量的誤差增長快慢不同造成的。同樣，對于某單個變量的初始狀態(tài)施加一個小的誤差域，在誤差演化任意時刻，LAGRE仍依賴于c1和c2的比值，其證明過程和維系統(tǒng)一致，這里從略。

為了驗證上述理論，利用Lorenz63模型（Lorenz，1963a）設(shè)計如下兩個試驗：（1）試驗1，固定初始狀態(tài)，分別改變疊加在該初始狀態(tài)上的初始誤差域的大小；（2）試驗2，固定初始誤差域，任選三個不同的初始狀態(tài)。模型中的參數(shù)標準與文獻（Lorenz，1963a）中相同，積分步長為0.01。試驗1的結(jié)果如圖2所示，對于任意選取的一個初始狀態(tài)，分別疊加不同大小的初始誤差域，我們發(fā)現(xiàn)在誤差演化進入隨機狀態(tài)之前，和的對數(shù)是一致的，但是在誤差演化進入隨機狀態(tài)后其值達到飽和，且飽和值大小不同，依賴于初始誤差大小。在誤差發(fā)展的線性階段，LAGRE的大小顯然只依賴于1和2的比值，與初始誤差域大小無關(guān)。圖3是試驗2的結(jié)果，描述了任意三個不同的初始狀態(tài)在附加同一初始誤差域時，和的對數(shù)隨時間的演化，發(fā)現(xiàn)誤差增長因為初始狀態(tài)不同而存在著顯著差異，但和對數(shù)的飽和值相同，依賴于初始誤差大小。綜合試驗1、2的結(jié)果，驗證了在誤差發(fā)展進入隨機狀態(tài)前，LAGRE大小只與初始狀態(tài)有關(guān)，與初始誤差域大小無關(guān)；在誤差發(fā)展進入隨機狀態(tài)后，LAGRE的飽和值與初始誤差大小有關(guān)這一結(jié)論。

圖2 在Lorenz63系統(tǒng)里任選一個初始狀態(tài)x01，不同初始誤差域條件下，平均NLLE（）以及局部平均誤差相對增長（）的自然對數(shù)隨時間（無量綱）的變化。從上到下曲線對應的初始誤差域分別為10?8、10?7、10?6、10?5、10?4、10?3

圖3 在Lorenz63系統(tǒng)里任選三個不同的初始狀態(tài)x01、x02、x03，在相同的初始誤差域條件下，平均NLLE（）以及局部平均誤差相對增長（）的自然對數(shù)隨時間（無量綱）的變化

4 NLLE在目標觀測中應用的可行性分析

在維相空間中，不同位置上的初始狀態(tài)對于初始誤差的敏感性存在差異，具體表現(xiàn)在對于相同大小的初始誤差，不同初始狀態(tài)的誤差相對增長率是不同的，根據(jù)誤差相對增長率的大小可以將相空間內(nèi)存在的初始狀態(tài)分為敏感的和非敏感的兩類。對于敏感的初始狀態(tài)，即使對其疊加的初始誤差是無窮小的，其誤差也能達到快速增長，而對于非敏感的初始狀態(tài)，即使對其疊加較大的初始誤差，其誤差相對增長率仍然很小。Lorenz（1965）在利用28個變量的簡單譜模式研究可預報期限隨時間的變化時曾發(fā)現(xiàn)小擾動的增長在很大程度上依賴于參考軌跡在相空間中的位置，其本質(zhì)上就是初始狀態(tài)的敏感性存在差異而導致的。為了確定敏感狀態(tài)在相空間中的位置，可以計算所有初始狀態(tài)的LAGRE，大值對應著敏感的初始狀態(tài)。

對于目標觀測研究中所要尋找的敏感區(qū)，實際上就是初始場里分析誤差增長較快的敏感初始狀態(tài)所在的區(qū)域，所以只需計算出目標時刻LAGRE的空間分布，大值區(qū)即是敏感區(qū)。從前文可知，NLLE可以被有效的用于觀測資料并計算出目標狀態(tài)的LAGRE，但是其是否等于該目標狀態(tài)理論上的LAGRE仍需要驗證，而這是關(guān)系到NLLE方法能否被用于目標觀測研究的關(guān)鍵問題，因此考慮使用兩個簡單的理論模型，Logistic（丁瑞強和李建平，2007）和Lorenz63進行驗證。

當NLLE方法被應用于觀測資料研究目標觀測問題時，根據(jù)目標狀態(tài)之后的資料是否已知將問題分解為兩類：一類是目標狀態(tài)（t）之后的時間序列已知時，可以應用局部動力演化相似方法去尋找目標狀態(tài)（t）的相似狀態(tài)（t），進而計算出目標時刻（t）的LAGRE（圖4）。另一類則是目標狀態(tài)（t）之后的時間序列未知時，通過尋找目標時刻（t）前的一小段序列（short interval）的相似軌跡，確定相似狀態(tài)的位置，計算t時刻的誤差增長率代替目標時刻0的LAGRE。對于前一種計算目標狀態(tài)LAGRE的方法，我們稱之為局部動力演化相似LDA方法，該方法要求混沌吸引子內(nèi)部的兩個相似狀態(tài)之間，不僅初始距離要小，而且由這兩個狀態(tài)延伸出的相軌跡之間隨時間的演化誤差也要小。而對于后一種方法，由于在實際業(yè)務中，當前時刻之后的時間序列不可知，所以考慮尋找當前時刻之前一小段時間序列在歷史資料里的相似軌跡，進而判定當前預報時刻的相似狀態(tài)，并將其相似狀態(tài)的LAGRE代替其自身的LAGRE，我們稱這種方法為向前動力演化相似方法（FLDA）（圖5）。

圖4 基于局部動力演化相似方法（LDA）計算目標時刻x0的LAGRE的方法示意圖。x1是x0的相似狀態(tài)，L（t0）是兩個狀態(tài)之間的距離。此種情形下，tT時刻之后的時間序列已知

圖5 基于向前動力演化相似方法（FLDA）計算目標時刻tT時的LAGRE方法示意圖。此種情形下，目標狀態(tài)x0之后的時間序列未知，x1是tT之前一小段時間tT?si時刻的狀態(tài)，通過局部動力演化相似方法確定x1在歷史資料里tA?si時刻的相似狀態(tài)x'1，進而確定x0在相似時刻tA時的相似狀態(tài)x'0（tT和tT?si間隔很?。?，計算tA時刻的LAGRE代替tT時刻的LAGRE

下面分別通過Logistic和Lorenz63兩個理論模型來驗證LDA和FLDA利用觀測資料計算所得到的LAGRE與理論值保持一致，結(jié)果分別見圖6、圖7。

圖6 在Logistic系統(tǒng)里任選一個初始狀態(tài)，平均NLLE以及誤差平均相對增長的自然對數(shù)隨的變化。紅色、藍色和綠色曲線分別代表FLDA、LDA和理論的結(jié)果

Fig.6 For a certain initial state in the Logistic model, the mean NLLE () and the logarithm of LAGRE () against time steps (). The black, green and red curves represent the LAGRE calculated by FLDA, LDA and theoretical growth, respectively

圖7 同圖6，但為Lorenz63模型中的結(jié)果

在Logistic模型里，積分步長為1，分別計算三種情況下對應的平均非線性局地Lyapunov指數(shù)（）和平均相對誤差增長的對數(shù)（）隨時間的變化。比較LDA和FLDA的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，用FLDA計算目標時刻的NLLE和LAGRE與用LDA算得目標時刻的NLLE和LAGRE在誤差演化進入隨機狀態(tài)之前擬合較好，與初始誤差大小無關(guān)，同時兩者均和理論上的NLLE和LAGRE一致，說明LDA和FLDA方法能夠有效的確定目標狀態(tài)的NLLE和LAGRE，這使得在不借助模型的情況下，利用觀測資料來研究目標觀測問題成為可能。在Lorenz63模型里，積分步長為0.01，同樣分別計算了三者對應的和隨時間的變化，得到了和Logistic模型里類似的結(jié)論。

5 總結(jié)和討論

李建平和丁瑞強等人在線性誤差增長理論的基礎(chǔ)上，提出了NLLE方法（李建平等，2006；丁瑞強，2006；Ding and Li，2007；丁瑞強和李建平，2007；Li and Wang，2008；Li and Ding，2011），從整體上對非線性系統(tǒng)的動力特性進行研究，這對于可預報性問題的研究具有重要意義，但是對于局部誤差增長特征并沒有給出具體的研究。本文在其工作基礎(chǔ)上，應用NLLE方法研究了單個初始狀態(tài)局部平均的誤差增長規(guī)律問題。首先，從理論上證明了在誤差發(fā)展進入隨機狀態(tài)前，LAGRE只與初始狀態(tài)有關(guān)；在演化進入隨機狀態(tài)后，LAGRE的飽和值與初始誤差大小相關(guān)。并利用Lorenz63模型驗證了這一結(jié)論。其次，在LDA方法的基礎(chǔ)上提出了FLDA的概念，通過兩個混沌個例來說明 LDA和FLDA方法能夠有效的利用歷史資料還原任意初始狀態(tài)的局部平均的誤差相對增長率。

非線性誤差增長規(guī)律對于研究目標觀測具有重要的意義。應用NLLE方法容易得到誤差增長率的空間分布，進而獲得敏感區(qū)的空間分布。由于NLLE方法是基于觀測資料的，所以回避了模型誤差的影響。本文僅利用簡單模型探討了NLLE方法在目標觀測中應用的可行性，未來將基于復雜模型以及實際觀測資料考察NLLE方法研究目標觀測問題的可行性與實際效果。

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Preliminary Application of the Nonlinear Local Lyapunov Exponent to Target Observation

LIU Deqiang1, 3, DING Ruiqiang1, LI Jianping2, and FENG Jie1, 3

1,,,100029;2,,100875;3,100049

This study investigates the preliminary application of the nonlinear local Lyapunov exponent (NLLE) to target observation. Based on NLLE theory, we analyze the essential feature of the local average relative growth of initial error (LAGRE) in nonlinear dynamical systems. Our results prove that the LAGRE is determined by the initial state before it evolves into chaos, whereas afterwards the development of error become unpredictable. The saturation value of LAGRE is determined by the magnitude of the initial error. Lorenz63 model, a set of ordinary differential equations contain three variables, is used to confirm these conclusions. We then develop a forward local dynamic evolution analog method (FLDA) from the local dynamic evolution analog method (LDA). Two chaotic cases are subsequently used as examples to illustrate the feasibility of using LDA and FLDA to calculate the LAGRE of a random initial state from historical records. These methods provide a scientific basis, via NLLE theory, for the study of target observation using observational datasets.

Nonlinear local Lyapunov exponent, Local dynamic evolution analog method, Forward local dynamic evolution analog method, Target observation

1006-9895(2015)02-0329-09

P456

A

10.3878/j.issn.1006-9895.1405.13337

2013-12-20；網(wǎng)絡(luò)預出版日期 2014-05-27

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）項目2012CB955200，國家自然科學基金項目41175069、41375110

劉德強，男，1987年出生，博士研究生，主要從事可預報性研究。E-mail: deqiang_1987@163.com

李建平，E-mail: ljp@bnu.edu.cn