單保超，付玉（西南石油大學油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室，成都610500）

關于水平井產(chǎn)量公式的討論與分析

單保超，付玉
（西南石油大學油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室，成都610500）

介紹了水平井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式的推導思路與推導過程，根據(jù)水平井的滲流場特征，對常用的水平井產(chǎn)量公式（Borisov公式、Giger公式、Joshi公式、Renard-Dupuy公式）進行了對比分析。通過分析發(fā)現(xiàn)，水平井產(chǎn)量公式在推導過程中存在疏漏，應予以修正。通過實例計算，證明了修正后的水平井產(chǎn)量公式與Borisov公式、Giger公式、Renard-Dupuy公式等在計算結果上有很好的一致性，實現(xiàn)了水平井產(chǎn)量公式在形式上的統(tǒng)一。

水平井；產(chǎn)量公式；對比；優(yōu)化；統(tǒng)一

水平井是油氣田增產(chǎn)的一種有效措施，在裂縫性油氣藏、低滲油氣藏等非常規(guī)油氣藏的開發(fā)中有著廣泛的應用。目前，關于水平井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計算公式主要采用解析法和模擬法。這些公式雖然在推導過程和推導思路上有所不同，但最終結果卻大同小異。

1　水平井產(chǎn)量公式推導思路

常用水平井產(chǎn)量公式在推導過程中，沿用Joshi[1]和Giger[2]的思路，利用面積等值的擬圓形驅動邊界和生產(chǎn)坑道[3]的概念，借助達西定律、歐姆定律以及水電相似原理[4]，推導出陳氏水平井產(chǎn)量公式[5]。

1.1滲流阻力的劃分及數(shù)學表達式

假設油層厚度為h，泄油面積為A，在穩(wěn)產(chǎn)條件下，流體在驅動能量的作用下從驅動邊界流向井筒，滲流場可以看成水平方向上的外部滲流阻力區(qū)和垂向上的內部滲流阻力區(qū)，其滲流阻力則分別為水平方向上的外部滲流阻力R1和垂向上的內部滲流阻力R2.

將驅動邊界看成擬圓形驅動邊界時，驅動半徑reh與泄油面積A的關系可表示為

借助文獻［6］的研究成果以及產(chǎn)量等值原則[3]，可將水平井的水平段等價為擬圓形生產(chǎn)坑道，坑道中心半徑rpc=L/c（L為水平井段長度，c為轉換因子，一般取4）。生產(chǎn)坑道自身的圓形半徑為h/2，但一般來說，h/2遠小于坑道中心半徑L/4，故忽略坑道自身的圓形半徑，將坑道的中心半徑近似看作生產(chǎn)坑道的外邊緣半徑。由此可得生產(chǎn)坑道半徑為

根據(jù)等值滲流阻力法可得從驅動外邊界reh到生產(chǎn)坑道rpc的外部滲流阻力R1為

內部滲流阻力R2可以看作是從生產(chǎn)坑道半徑rpc流向生產(chǎn)井底rw的流動。將該流動看作是高為h間上垂直并圍繞水平井段的平面徑向流。因此，地層L，徑向流半徑可看作是地層有效厚度之半即

內部滲流阻力R2可以表示為

將地層視為各向同性，即Kv=Kh=K，滲流總阻力Rt是外部滲流阻力R1和內部滲流阻力R2之和，即

1.2產(chǎn)量公式的建立

在穩(wěn)定流動的條件下，根據(jù)產(chǎn)量、壓差與滲流阻力之間的關系式[4]

可以建立水平井產(chǎn)量公式

引入?yún)?shù)a，b，且滿足下列關系式：

聯(lián)立（8）式、（9）式、（10）式可得

（11）式即為陳氏水平井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式。

2　公式討論與分析

2.1公式討論

文獻［5］在推導陳氏水平井產(chǎn)量公式過程中采用面積等值原則，將橢圓形驅動邊界簡化為擬圓形驅動邊界，使得整個推導更加通俗易懂。另外，對比（8）式可見，（11）式在形式上更加簡潔，便于運用。

不過，文獻［5］在推導陳氏公式的過程中也存在以下3個疑點。

（1）在推導外部滲流阻力項的過程中，文獻［5］采用面積等值的方法和生產(chǎn)坑道的概念，將橢圓形驅動邊界簡化為擬圓形驅動邊界，得到外部滲流阻力

即內部滲流阻力中應有一個“π”。關于內部滲流阻力R2中是否有“π”，不同學者有不同的看法。文獻［8］曾應用保角變換方法重新推導Joshi公式，認為Joshi公式中少了一個“π”。而Joshi則堅持沒有“π”是正確的。文獻［5］曾經(jīng)在文章中指出這一項中不應有“π”，認為Borisov首先以俄文發(fā)表論文，經(jīng)他人翻譯為英文的過程中可能有問題，并質疑Giger[9]采用勢流動函數(shù)和鏡像反映法所得結果的正確性。事實上，陳氏公式在推導內部滲流阻力時，將水平井看作直井并將有效厚度看作水平井長度L的過程中，已有鏡像反映法的應用之意。

文獻［5］認為，在水平井周圍，流體發(fā)生垂直于水平井段的平面徑向流，它的外部半徑rb為h/2，內部半徑為rw，滲流場如圖1所示。

圖1　陳氏公式水平井段垂向徑向流示意

但是，對于上下封閉地層而言，由于封閉地層處沒有流體補給，因此是無法在上下邊界層h/2處發(fā)生徑向流的。也就是說，如果要將此處流動等效成徑向流，那么發(fā)生徑向流的半徑必小于地層厚度之半h/2.由此看來，徑向流半徑rc的大小應為h/2π，實際圍繞水平井段徑向流滲流場如圖2所示。

圖2　水平井周圍垂向徑向流示意

2.2常用產(chǎn)量公式

通過以上分析，下文重點比較陳氏公式以及在陳氏公式的內部滲流阻力項R2中加“π”后它們各自與Borisov公式[6]、Giger公式[2]、Joshi公式[1]、Renard-Du?puy公式[10]之間的差別。

為表述和計算方便，對各公式均采用礦場單位制。

（1）Borisov公式1964年，蘇聯(lián)學者Borisov系統(tǒng)研究了水平井的滲流原理，將水平井周圍三維滲流場近似分為內部滲流場和外部滲流場。他假設水平井位于頂?shù)追忾]的各向同性油層中部，流體在地層中的流動為穩(wěn)態(tài)滲流，且流體不可壓縮，忽略井筒中產(chǎn)生的壓降，利用擬三維方法得出了水平井產(chǎn)量公式，奠定了二維穩(wěn)態(tài)分析水平井產(chǎn)能的基礎，即

（2）Giger公式1984年，Giger利用等效半徑reh替代水平面橢圓泄流區(qū)半長軸，推導出均質各向同性油藏的水平井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式，即

（3）Joshi公式1988年，Joshi按照Borisov的思路，將水平井三維滲流場分解為內部的垂向平面徑向流和外部的水平方向的橢圓流動，綜合應用擬三維求解思想和勢能理論，推導出了均質油藏中水平井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式，即

（4）第二項中加“π”之后的Joshi公式

（5）Renard-Dupuy公式1991年，Renard和Du?puy引入表皮因子修正了Joshi的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式，分析了井眼附近地層傷害對產(chǎn)能的影響。其公式為

由于恒滿足2a/L>1，因此（19）式等價于

（6）陳氏公式

（7）本文修正后的陳氏公式

3　實例計算與分析

3.1實例計算

采用文獻［5］中所引用的計算實例進行計算，相關參數(shù)為：泄油面積A為485 830m2，水平井段長度L為609.76m，有效厚度h為18.29m，水平和垂直滲透率K均為100mD，原油體積系數(shù)Bo為1.20，原油黏度μo為0.90mPa·s，原始地層壓力pe為20.684MPa，生產(chǎn)壓差Δp為3.447MPa，井筒半徑rw為0.091 5m.通過實例計算，分析7個公式計算結果上的差異，從而間接證明，經(jīng)本文修正的陳氏公式的正確性。

將已知各參數(shù)代入到相應的公式當中，計算結果如表1所示.

表1　不同公式計算的滲流阻力和產(chǎn)量結果對比

3.2對比分析

對表1的計算結果進行分析可以得出以下結論。

（1）內部滲流阻力約為外部滲流阻力的11.71%.內部滲流阻力項如果沒有“π”，可以使內部滲流阻力的值增加33.09%，但是總滲流阻力僅僅增加了3.54%，因此，內部滲流阻力項中有無“π”對產(chǎn)量的影響不大，約為3%.

（2）從圖3可以看出，Giger公式的外部滲流阻力和滲流總阻力較其他公式明顯偏高，陳氏公式[5]和Joshi公式[1]的總滲流阻力略有偏高，而本文修正的陳氏公式與Borisov公式[6]、Renard-Dupuy公式[10]以及修正Joshi公式呈現(xiàn)出很好的一致性。這也從側面佐證了本文修正的陳氏公式的正確性。

圖3　不同公式計算的滲流阻力對比

（3）由圖4可知，根據(jù)不同的公式計算出的產(chǎn)量各不相同。與總滲流阻力相對應，產(chǎn)量大小分布也大致呈現(xiàn)出3個陣營，即：Giger公式產(chǎn)量明顯偏低，陳氏公式[5]和Joshi公式[1]產(chǎn)量略有偏低，而Borisov公式[6]、修正的Joshi公式、Renard-Dupuy公式[10]以及本文修正的陳氏公式4者之間有很好的一致性。由于Giger公式[2]沒有詳細的推導過程，其產(chǎn)量偏低的具體原因也就無從得知。陳氏公式和Joshi公式產(chǎn)量偏低的原因主要是因為內部滲流阻力項中少了一個“π”，是內部滲流阻力項偏大的必然結果。值得指出的是，本文修正的陳氏公式與Borisov公式雖然在形式上不同，但是各參數(shù)的選取和計算是完全相同的，計算得到的產(chǎn)量自然也完全相同。

圖4　不同公式計算的產(chǎn)量對比

4　結束語

（1）通過分析可見，內部滲流阻力項中應統(tǒng)一有“π”，這既是在形式上的統(tǒng)一，又是分析和計算之后的必然結果。文獻［5］中曾提到在水平井的周圍發(fā)生的是垂直于水平井段的平面徑向流，滲流外部半徑為h/2，內部半徑為rw.既然是上下封閉的地層，那么在上下距井h/2處是不可能有流體供給的，其泄流半徑也不可能是h/2，而應該是hπ/2.

（2）文獻［5］所推導的水平井產(chǎn)量公式的外部滲流阻力項雖然在形式上有別于Borisov公式，但二者在實質上卻是相同的。陳氏公式在推導過程中用擬圓形的驅動邊界代替了橢圓形驅動邊界，但又在求解的過程中引入了參數(shù)a，b，并且給出了a，b的表達式，這是沒有必要的。當然，文獻［5］中水平井產(chǎn)量公式的推導過程從側面證明了Borisov公式的正確性，該公式思路明確，通俗易懂，不失為一種很好的計算水平井產(chǎn)量的公式。

（3）目前，關于水平井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式研究較多，也較為成熟。國內外學者對水平井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式作了大量研究[11-18]，并各自在自身理論成果研究的基礎上推導出了相應的水平井產(chǎn)量公式。這些公式雖然在形式上有所不同，但是計算結果卻相差不大。計算結果的差異大多是由于假設條件不同而產(chǎn)生的。相比較而言，關于水平井擬穩(wěn)定產(chǎn)能、不穩(wěn)定產(chǎn)能以及考慮地層與流體流動相耦合的水平井不穩(wěn)定產(chǎn)能等方面研究較少，而這些卻更為貼近現(xiàn)場實際，特別是對于低滲油氣田的開發(fā)有著更為顯著的作用。因此，在以后的研究當中，將重點放在更加貼近現(xiàn)場實際、去掉多余的假設條件等方面會更有意義。

符號注釋

a——橢圓形長軸半長，m；

A——泄油面積，m2；

b——橢圓形短軸半長，m；

Bo——原油體積系數(shù)，m3/m3；

c——轉換因子，無因次；

h——儲集層厚度，m；

Kh——水平方向滲透率，mD；

Kv——垂直方向滲透率，mD；

L——水平井段長度，m；

pe——原始地層壓力，MPa；

Δp——生產(chǎn)壓差，MPa；

q——產(chǎn)量，m3/d；

rb——徑向流半徑，m；

rpc——生產(chǎn)坑道半徑，m；

reh——驅動半徑，m；

rw——井筒半徑，m；

R1——水平方向上的外部滲流阻力，MPa·d/m3；R2——垂直方向上的內部滲流阻力，MPa·d/m3；Rt——總滲流阻力，MPa·d/m3；

μo——原油黏度，mPa·s.

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Discussion and Analysisabout HorizontalW ell Productivity Formulas

SHANBaochao,FUYu
(State Key Laboratory ofOiland Gas ReservoirGeology and Exploitation，SouthwestPetroleum University，Chengdu,Sichuan 610500，China)

This paper introduces the deducing ideasand processes ofsteady?state productivity formulas forhorizontalwells,and compares the commonly used formulas.Through the analysis,it is indicated that there are loopholes in the processofdeducing the productivity formu?lasforhorizontalwells,which should be corrected.There are little differencesamong themodified formula,Borisov’sformula,and Renard?Dupuy’sformula in the calculation results,thus providng the validity and practicability ofthemodified formula,and realizing the unifica?tion ofproductivity formulasforhorizontalwells in form.

horizontalwell;productivity formula;comparison;optimization;unification

TE313.8

A

1001-3873（2015）05-0624-05

10.7657/XJPG20150524

2015-03-28

2015-06-01

國家自然科學基金（51404201）