非緊系統(tǒng)的次可加拓?fù)鋲?/h1>
2015-10-14 05:44楊宇張秀芬
楊宇，張秀芬
（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127）
非緊系統(tǒng)的次可加拓?fù)鋲?/p>
楊宇，張秀芬
（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127）
利用逆緊映射、容許覆蓋等概念，將緊系統(tǒng)上的次可加拓?fù)鋲和茝V到非緊系統(tǒng)上，給出了次可加拓?fù)鋲旱亩x，并討論了非緊系統(tǒng)上次可加拓?fù)鋲旱男再|(zhì).
非緊系統(tǒng)；逆緊映射；容許覆蓋；次可加拓?fù)鋲?/p>
1 引言
在測度論中，古典的Carathéodory構(gòu)造是由Carathéodory在文獻(xiàn)［1］中給出的.文獻(xiàn)［2］介紹了一種新的構(gòu)造，這種構(gòu)造是古典Carathéodory構(gòu)造的推廣，它引出了一些具有維數(shù)性質(zhì)的量，例如Hausdorff維數(shù)、拓?fù)潇氐龋Q這種構(gòu)造為Carathéodory-Pesin結(jié)構(gòu)（簡稱為C-P結(jié)構(gòu)），它是研究維數(shù)論和動力系統(tǒng)的重要工具.此外，文獻(xiàn)［3］利用C-P結(jié)構(gòu)給出了緊系統(tǒng)上不可加拓?fù)鋲旱木S數(shù)定義.文獻(xiàn)［4］利用逆緊映射、容許覆蓋等概念以及C-P結(jié)構(gòu)給出了非緊系統(tǒng)上拓?fù)潇氐亩x.受文獻(xiàn)［3-4］的啟發(fā)，本文利用文獻(xiàn)［4］的方法，將緊系統(tǒng)上的次可加拓?fù)鋲和茝V到非緊系統(tǒng)上，同時給出了拓?fù)鋲骸⑾氯萘客負(fù)鋲汉蜕先萘客負(fù)鋲旱亩x，并介紹了非緊系統(tǒng)上次可加拓?fù)鋲旱男再|(zhì)，如：拓?fù)鋲旱木S數(shù)性質(zhì)、拓?fù)鋲宏P(guān)于半范數(shù)連續(xù)的性質(zhì)以及拓?fù)鋲旱囊恍┑葍r刻畫等.
2 預(yù)備知識
本文恒設(shè)（X，d）是局部緊的可分度量空間.
定義2.1［5］設(shè)X是拓?fù)淇臻g.稱f：X→X是逆緊映射，如果f是連續(xù)的，并且任意緊集在f下的原像是緊的.
定義2.2［5］稱開集U為容許開集，如果U的閉包或補(bǔ)集是緊的.
定義2.3［5］稱X的開覆蓋U為容許覆蓋，如果U有限并且對任意A∈U，A是容許開集.
定義 2.4［5］稱度量d是容許的，如果滿足下列條件：
（1）如果對任意δ∈（a，b）（0＜a＜b），Uδ=｛B（x1，δ），···，B（xk，δ）｝是X的開覆蓋（B（x，δ）表示以x為球心，以δ為半徑的開球），那么存在δε∈（a，b），使得Uδε是容許覆蓋.
（2）X的每個容許覆蓋都有Lebesgue數(shù).
定義2.5［6］稱函數(shù)列Φ=（φn）n∈N是次可加的，如果對任意m，n∈N和x∈X有
定義2.6設(shè)（X，d）是局部緊的可分度量空間，f是逆緊映射，則稱（X，f）是逆緊系統(tǒng).
3 非緊系統(tǒng)上次可加拓?fù)鋲旱亩x
設(shè)（X，f）為非緊的逆緊系統(tǒng)，對任意n∈N和X的容許覆蓋U，用Wn（U）表示所有長度為n的向量U=（U1，···，Un）構(gòu)成的集合，U1，···，Un∈U.對任意U∈Wn（U），記向量U的長度為m（U）.定義
引理 3.1［4］設(shè)X是局部緊的可分度量空間，是X 的單點(diǎn)緊化，如果d是的某一度量限制在X上的度量，那么d是容許度量，并且對任意ε＞0，存在X的容許覆蓋，使得這個覆蓋的直徑小于ε.
引理3.2設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，對任意次可加的緩變連續(xù)函數(shù)列Φ，極限
存在.
4 非緊系統(tǒng)上次可加拓?fù)鋲旱男再|(zhì)
本節(jié)介紹非緊系統(tǒng)上次可加拓?fù)鋲旱男再|(zhì).例如：拓?fù)鋲旱木S數(shù)性質(zhì)、拓?fù)鋲宏P(guān)于半范數(shù)連續(xù)的性質(zhì)以及拓?fù)鋲旱囊恍┑葍r刻畫.
定理4.1設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，Φ是次可加的連續(xù)函數(shù)列，那么關(guān)于拓?fù)鋲河幸韵滦再|(zhì)：
定理4.2設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，Φ是次可加的連續(xù)函數(shù)列，那么關(guān)于上容量拓?fù)鋲骸⑾氯萘客負(fù)鋲河幸韵滦再|(zhì)：
定理4.1和定理4.2的證明可參考文獻(xiàn)［2］.
定義X上函數(shù)列Φ空間中的一個半范數(shù)
下面的定理表明拓?fù)鋲宏P(guān)于這個半范數(shù)是連續(xù)的.
定理4.3設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，對任意次可加的緩變連續(xù)函數(shù)列Φ=（φn）n∈N和Ψ=（ψn）n∈N，下面的性質(zhì)成立：
（1）當(dāng)n充分大時，如果φn≤ψn，那么
（2）如果∥Φ∥＜∞，∥Ψ∥＜∞，那么
定理4.4設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，Φ是次可加的連續(xù)函數(shù)列.對任意n∈N，定義
其中下確界取遍所有覆蓋Z的Γn?Wn（U）.那么
定理4.5設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，Φ是次可加的有界連續(xù)函數(shù)列.
［1］Carathéodory C.über das lineare mass［J］.G?ttingen Nachr.，1914，1914：406-426.
［2］Pesin Y.Dimension Theory in Dynamical Systems［M］.Chicago：the University of Chicago Press，1997.
［3］Barreira L.A non-additive thermodynamic formalism and applications to dimension theory of hyperbolic dynamical systems［J］.Ergod.Theory and Dyn.Syst.，1996，16：871-828.
［4］Ma Dongkui，Cai Bin.Topological entropy of proper map［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2014，18（4）：1219-1241.
［5］Patr?o M.Entropy and its variational principle for non-compact metric spaces［J］.Ergodic Theory Dynam.Systems，2010，30：1529-1542.
［6］Barreira L.Thermodynamic Formalism and Applications to Dimension Theory［M］.Basel：Birkh?user，2011.
［7］廖公夫，王立冬，范欽杰.映射迭代與混沌動力系統(tǒng)［M］.北京：科學(xué)出版社，2013.
The subadditive topological pressure of a noncompact system
Yang Yu，Zhang Xiufen
（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）
By the notions of proper mapping，admissible cover and so on，subadditive topological pressure of the compact system is generalized to the noncompact system.The notion of subadditive topological pressure is given and some properties of subadditive topological pressure of the noncompact system are studied.
the noncompact system，proper mapping，admissible cover，subadditive topological pressure
O189.1
A
1008-5513（2015）03-0265-08
10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.007
2015-01-16.
國家自然科學(xué)基金（11301417）.
楊宇（1991-），碩士生，研究方向：拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)及其遍歷理論.
2010 MSC：54A10
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（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127）
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非緊系統(tǒng)；逆緊映射；容許覆蓋；次可加拓?fù)鋲?/p>
1 引言
在測度論中，古典的Carathéodory構(gòu)造是由Carathéodory在文獻(xiàn)［1］中給出的.文獻(xiàn)［2］介紹了一種新的構(gòu)造，這種構(gòu)造是古典Carathéodory構(gòu)造的推廣，它引出了一些具有維數(shù)性質(zhì)的量，例如Hausdorff維數(shù)、拓?fù)潇氐龋Q這種構(gòu)造為Carathéodory-Pesin結(jié)構(gòu)（簡稱為C-P結(jié)構(gòu)），它是研究維數(shù)論和動力系統(tǒng)的重要工具.此外，文獻(xiàn)［3］利用C-P結(jié)構(gòu)給出了緊系統(tǒng)上不可加拓?fù)鋲旱木S數(shù)定義.文獻(xiàn)［4］利用逆緊映射、容許覆蓋等概念以及C-P結(jié)構(gòu)給出了非緊系統(tǒng)上拓?fù)潇氐亩x.受文獻(xiàn)［3-4］的啟發(fā)，本文利用文獻(xiàn)［4］的方法，將緊系統(tǒng)上的次可加拓?fù)鋲和茝V到非緊系統(tǒng)上，同時給出了拓?fù)鋲骸⑾氯萘客負(fù)鋲汉蜕先萘客負(fù)鋲旱亩x，并介紹了非緊系統(tǒng)上次可加拓?fù)鋲旱男再|(zhì)，如：拓?fù)鋲旱木S數(shù)性質(zhì)、拓?fù)鋲宏P(guān)于半范數(shù)連續(xù)的性質(zhì)以及拓?fù)鋲旱囊恍┑葍r刻畫等.
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定義2.2［5］稱開集U為容許開集，如果U的閉包或補(bǔ)集是緊的.
定義2.3［5］稱X的開覆蓋U為容許覆蓋，如果U有限并且對任意A∈U，A是容許開集.
定義 2.4［5］稱度量d是容許的，如果滿足下列條件：
（1）如果對任意δ∈（a，b）（0＜a＜b），Uδ=｛B（x1，δ），···，B（xk，δ）｝是X的開覆蓋（B（x，δ）表示以x為球心，以δ為半徑的開球），那么存在δε∈（a，b），使得Uδε是容許覆蓋.
（2）X的每個容許覆蓋都有Lebesgue數(shù).
定義2.5［6］稱函數(shù)列Φ=（φn）n∈N是次可加的，如果對任意m，n∈N和x∈X有
定義2.6設(shè)（X，d）是局部緊的可分度量空間，f是逆緊映射，則稱（X，f）是逆緊系統(tǒng).
3 非緊系統(tǒng)上次可加拓?fù)鋲旱亩x
設(shè)（X，f）為非緊的逆緊系統(tǒng)，對任意n∈N和X的容許覆蓋U，用Wn（U）表示所有長度為n的向量U=（U1，···，Un）構(gòu)成的集合，U1，···，Un∈U.對任意U∈Wn（U），記向量U的長度為m（U）.定義
引理 3.1［4］設(shè)X是局部緊的可分度量空間，是X 的單點(diǎn)緊化，如果d是的某一度量限制在X上的度量，那么d是容許度量，并且對任意ε＞0，存在X的容許覆蓋，使得這個覆蓋的直徑小于ε.
引理3.2設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，對任意次可加的緩變連續(xù)函數(shù)列Φ，極限
存在.
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定理4.1和定理4.2的證明可參考文獻(xiàn)［2］.
定義X上函數(shù)列Φ空間中的一個半范數(shù)
下面的定理表明拓?fù)鋲宏P(guān)于這個半范數(shù)是連續(xù)的.
定理4.3設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，對任意次可加的緩變連續(xù)函數(shù)列Φ=（φn）n∈N和Ψ=（ψn）n∈N，下面的性質(zhì)成立：
（1）當(dāng)n充分大時，如果φn≤ψn，那么
（2）如果∥Φ∥＜∞，∥Ψ∥＜∞，那么
定理4.4設(shè)（X，f）為逆緊系統(tǒng)，Φ是次可加的連續(xù)函數(shù)列.對任意n∈N，定義
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［1］Carathéodory C.über das lineare mass［J］.G?ttingen Nachr.，1914，1914：406-426.
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［5］Patr?o M.Entropy and its variational principle for non-compact metric spaces［J］.Ergodic Theory Dynam.Systems，2010，30：1529-1542.
［6］Barreira L.Thermodynamic Formalism and Applications to Dimension Theory［M］.Basel：Birkh?user，2011.
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the noncompact system，proper mapping，admissible cover，subadditive topological pressure
O189.1
A
1008-5513（2015）03-0265-08
10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.007
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